运筹学复习卷

6月4号作业

1.设S 为n

R 中的一个非空凸集，f 为S 上的凸函数，α为一个实数，则水平集{|,()}S x x S f x αα=∈≤是凸集证明：(1)(2)[0,1]x x S α

λ?∈∈

则(1)(2)x x S ∈ 且 (1)(2)()()f x f x αα≤≤

由S 凸知

(1)(2)

(1)x x S

λλ+-∈ 由f 凸知 (1)

(2)(1)

(((1))()(1)()f x x f x

f x λλλλ+-≤+-

(1)λαλαα≤+-=

所以 (1)(2)(1)x x S αλλ+-∈

2. 判断 1

2121212(,)()4x x f x x x x x x e +=-++ 是否为凸函数

解：1212212()4x x f x x x e x +?=-++? 1222

12x x f e x +?=+? 12212

2x x f e x x +?=+?? 1212122()4x x f x x x e x +?=--++? 12

22x x f e x +?=+? 12221

2x x f e x x +?=+??

在每一点1

2()x x 处Hesse 矩阵121212122

22()22x x x x x x x x e e f x e e ++++??

++?= ? ?++??

半正定，

所以()f x 是凸函数

运筹学复习题

（武汉大学）

1. 某汽车零件制造商，在不同的地方开设了3个工厂，从这些厂将汽车零件运至设在另地的4个仓库，并希望运费最少。下表给出了运价以及3个厂的供应量和4个仓库的需求量。求出运费最小的运输方案。

（2）用位势法求检验数

令

v=求出,

i j

u v

( )内位非基变量的检验数，均非负，故当前方案最优，最优费用为*50130140125352205

z=?+?+?+?+?=（货币单位）

（2005浙江大学）

解：这是一个产大于销的运输问题。

虚设一个销地4B ，其销量为33

50464i j

i j b a b

===-=-=∑∑

再用表上作业法对上述问题求最优解。可求得一个最优的运输方案：

*****132132333415,18,12,1,4x x x x x =====，其余0ij x =。其最小总运价为

*3151821261093z =?++?+?+=（货币单位）

因为非基格31x 的检验数310σ=，故此运输问题的最优方案不是唯一的。

3.解0-1规划问题123

123123

23123min

4322534433..1,,01

z x x x x x x x x x s t x x x x x =++-+≤??++≥??

+≥?

?=?或

解：通过观察，可找到(0,0,1)T 为可行解，对应的目标函数值2z =，故增加约束 1234322x x x ++≤

由下表可得，原问题的最优解为：*(0,0,1)T X =，min 2z =

4. 已知整数规划问题

12121212

max

..4520

,0,,z x x x x s t x x x x x x =++≤??

+≤??≥?为整数先求出此问题的松弛问题的最优解；然后利用割平面法求解整数规划的最优解

解：将其化为标准型

123

1241412

max

26..4520,,0,,z x x x x x s t x x x x x x x =+++=??

++=??≥?为整数

由上表得上述整数规划相应的线性规划的解为： 12345/3,8/3,0,0;13/3

x x x x z ===

= 再由最终计算表中得到变量间的关系式：

1345/6/65/3x x x +-=； 2342/3/38/3x x x -+=

将系数和常数项分解成整数和非负真分数之和，移项，以上两式变为：

143412/35()/6x x x x --=-+； 233422/3()/3

x x x x --=-+

由第二个式子得到切割方程342/3()/30x x -+≤，即：342x x --≤- 加约束3452x x x --+=-，利用对偶单纯形法，得：

得最优解(1)

(2,2,0,2,0)T X =或(2)(0,4,2,0,0)T X =，*max 4z z ==

（2006年上海交通大学）

5.某建筑公司分配给5个施工队承包5项工程，要求每队恰好分一项。因各队水平和条件差异，其所得收入不等（数据见下表），试问公司如何分配任务，使全公司的总收入达到最大？（1）要求建立此问题的模型，并写出必要的计算过程

解：5

151

max 1(1,2,,5)..1(1,2,,5)01(,1,2,,5)ij ij

i j ij i ij j ij z c x x i s t x j x i j =====?==???==???==??

∑∑∑∑或令ij ij b M c =-，其中,max{}17ij i j

M c ==，则有

5ij ij

ij ij i j i j b x

M c x =====-∑∑∑∑

51081089

82122[]10

0335231212747

70ij B b ?? ? ? ?==→ ? ? ??

535

376010010

03350

1101054

070??

? ? ?

? ???

试指派，并进行调整得最优指派方案

100000010010

10100000000

1X ?? ? ? ?= ? ? ??

? 1000

0000012000100

100000

X ??

? ? ?= ? ? ??

这两个指派方案对应的总收入均为

*121514141772z =++++=（万元）

6.用动态规划方法求解

123

123max

49224310..0(1,2,3)

i F x x x x x x s t x i =++++≤??

≥=?

解：令112x s =，2124s s x =+ 323310s s x =+≤

则：312123,0,0243

s s s

x x x =≤≤≤≤ 用顺推法，得：

1111112

()max {4}2x s f s x s ===，最优解为 *112x s =

2222222221121222004

()max {9()}max {92)}max {2}4

x s x s x s f s x f s x s x s s ≤≤≤≤≤≤=+=+=+=

最优解为 *

224x s =

3333223332233303039()max {2()}max {2(3)}4

x s x s f s x f s x s x ≤≤≤≤=+=+-

经比较，在端点*

330,10x s ==处，33()f s 达到最大值

904

反推得最优解为：***

1230,52,0,x x x === 最优值*

452z =

6.用递推法求解

123

123max

49210

..0(1,2,3)

i z x x x x x x s t x i =++++=??

≥=?

解：令11x s =， 211s s x =+ 32310s s x =+=

则：112233,0,0x s x s x s =≤≤≤≤ 用顺推法，得：

1111()max {4}4x s f s x s ===，最优解为 *

11x s =

22211222222000()max {9()}max {94()}max {54}9x s x s x s f s x f s x s x x s s ≤≤≤≤≤≤=+=+-=+=

最优解为 *22x s =

33223332233010

010

()max {2()}max {29(10)}x x f s x f s x x ≤≤≤≤=+=+-3233010

max {2990}200x x x ≤≤=-+=

最优解为 *310x =

反推上去，得最优解为：***1230,0,10,x x x === 最优值*

200z =

6月8号作业

1．给定非线性规划问题22

1221212129

min ()(2)4

..06

x x s t x x x x x x -+--+≥+≤≥，判断下列各点是否为KT 点

(1)

(2)

302924x

x ???? ?== ? ???

解：令 22

122112

212

3142

()()(2)4

()()6()()f x x x g x x x g x x x g x x g x x =-+-=-+=--==

则

1112342921102()()()()()()410112(2)x x f x g x g x g x g x x ??---??

????

??=?=?=?=?= ?

? ?

?- ???????

??-??

KT 条件：4

()()0

()0

,401,

i i i i i i f x g x g x i i ωωω=?-?===≥=∑ 即：1112321242

11221231429

2()20

2(2)0

()0

(6)000

x x x x x x x x x ωωωωωωωωωω-++-=--+-=-+=--===

对 (1)

3294x

S ??

?=∈ ???

代入KT 条件，得： 12341

0002ωωωω==== 为KT 点

对(3)

02x S ??

=∈ ???

代入KT 条件，得：1234900002

ωωωω===-<=不是KT 点

2．用KT 条件求解非线性规划问题：

121212min ()ln()

..25

f x x x s t x x x x =-++≤≥≥

解：令 12()ln()f x x x =-+ 112

213()52()()g x x x g x x g x

x =--== 则 12123121110()()()()1201x x f x g x g x g x x x -??

?+-??

??=?=?=?= ?

? ?--??????

?+??

KT 条件

()()

()01,201,2

i i i i i i f x g x g x i i ωωω=?-?===≥=∑

即：

1212

1312

11221321231

20(52)000

x x x x x x x x ωωωωωωωωωω-+-=+-+-=+--===≥

解之，得：**5()ln 50X f X ??

==-

???

3. 用0618法求解问题 2

min ()21f x x x =--，初始区间11[,][1,1]a b =-，要求迭代两次

解：k k

k a b k k λμ ()()k k f f λμ

1 -1 1 -0.236 0.236 -0.653 -1.125

2 -0.236 1 0.236 0.528 -1.125 -0.970

3 -0.236 0.528

运筹学参考文献

参考文献 [1] 胡运权．运筹学教程．北京：高等教育出版社，2005 [2] 胡运权．运筹学基础及应用．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1998 [3] 《运筹学》编写组．运筹学．北京：清华大学出版社， 1990 [4] 张莹．运筹学基础．北京：清华大学出版社，2002 [5] 袁亚湘，孙文瑜．最优化理论与方法．北京：科学出版社，1999 [6] 何坚勇．运筹学基础．北京：清华大学出版社， 2000 [7] 马振华等．现代应用数学手册—运筹学与最优化理论卷．北京：清华大学出版社，2000 [8] 牛映武．运筹学．西安：西安交通大学出版社，1993 [9] 梁工谦．运筹学- 典型题解析集自测试题。西安：西北工业大学出版社，2002 [10] 徐永仁．运筹学试题精选与答题技巧．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2000 [11] 徐玖平，胡知能，王緌．运筹学(第二版)．北京：科学出版社，2004 [12] 刘满风，傅波，聂高辉．运筹学模型与方法教程- 例题分析与题解．北京：清华大学出版社，2001 [13] 胡运权．运筹学习题集．北京：清华大学出版社，2002 [14] 盛昭瀚，朱乔，吴广谋．DEA理论、方法与应用．北京：科学出版社，1996 [15] Frederick ~S．Hillier，Gerald~J．Lieberman．Introduction to Operations Research (6th Ed．)．Beijing：China Machine Press/ McGraw - Hill，1999 [16] J．D．Wiest，F．K．Levy．统筹方法管理指南．北京：机械工业出版社，1983 [17] 王元等．华罗庚科普著作选集．上海：上海教育出版社，1984 [18] 江景波等．网络计划技术．北京：冶金工业出版社，1983 [19] David R．Anderson，Dennis J．Sweeney，Thomas A．Williams．数据、模型与决策．北京：机械工业出版社，2003 [20] Frederick S．Hillier，Mark S．Hillier，Jerald J．Lieberman．Introduction to Management Science．Beijing：McGraw - Hill Comanies，Inc．，2001

运筹学复习手册

运筹学复习手册课程：《运筹学（1）》课程号：20250013 课序号：2 授课老师：王焕刚授课学期：秋季学期基于材料：《运筹学基础》，张莹著，清华大学出版社《运筹学（1）》课件2007年秋，王焕刚编辑记录：第一次：王诚，starlit@zzxy，自46，2008年1月完成手册初样，待完善、更正、补充。

目录第1章线性规划的数学模型 (1) 1.1 标准型 (1) 1.2 线性规划标准型的基本假定, 基与解 (2) 1.3 基本定理 (3) 第2章单纯形法 (3) 2.1 普通单纯形法 (3) 2.2 退化问题的求解 (4) 2.3 改进单纯形法 (4) 第3章线性规划的对偶原理 (5) 3.1 对偶问题 (5) 3.2 对偶单纯型法 (6) 第4章灵敏度分析 (6) 4.1 改变价值向量C (6) 4.2 改变限定向量b（变为b’） (6) 4.3 改变初始约束矩阵的一列P j（变为P j’） (6) 4.4 增加一个新约束 (6) 4.5 增加一个新变量 (6) 第5章整数规划 (7) 5.1 分枝定界法 (7) 5.2 求解0-1规划的隐枚举法 (7) 5.3 求解指派问题的匈牙利法 (8) 第6章目标规划 (8) 6.1 基本概念和数学模型 (8) 6.2 图解法 (10) 6.3 序贯式算法 (10) 6.4 单纯型法 (10) 第7章非线性规划的基本概念和基本原理 (11) 7.1 数学模型和基本概念 (11) 7.2 凸函数和凸规划 (11) 7.3 无约束条件的极值条件 (12) 第8章单变量函数的寻优方法 (12) 8.1 黄金分割法 (12) 8.2 牛顿法 (13) 第9章无约束条件下变量函数的寻优方法 (14) 9.1 牛顿法 (14) 9.2 单纯型搜索法 (14) 9.3 最速下降法 (14) 第10章约束条件下多变量函数寻优 (14) 10.1 约束极值问题的最优性条件 (14) 10.2 罚函数法 (16) 第11章动态规划的基本概念和基本原理 (18) 11.1 基本概念和模型组成 (18) 11.2 基本原理和基本方程 (18)

运筹学应用实例分析

运筹学课程设计实践报告学号： 01 班级：管理科学与工程类4班

第一部分小型案例分析建模与求解 ................................................................... 错误!未定义书签。案例1. 杂粮销售问题 ........................................................................................................ 错误!未定义书签。案例2. 生产计划问题 ........................................................................................................ 错误!未定义书签。案例3. 报刊征订、推广费用的节省问题 ...................................................................... 错误!未定义书签。案例4. 供电部门职工交通安排问题 ................................................................................ 错误!未定义书签。案例5. 篮球队员选拔问题 ................................................................................................ 错误!未定义书签。案例6. 工程项目选择问题 .............................................................................................. 错误!未定义书签。案例7. 高校教职工聘任问题（建摸） .......................................................................... 错误!未定义书签。案例8. 电缆工程投资资金优化问题 ................................................................................ 错误!未定义书签。案例9. 零件加工安排问题 ................................................................................................ 错误!未定义书签。案例10. 房屋施工网络计划问题 ...................................................................................... 错误!未定义书签。第二部分：案例设计 ...................................................................................................... 错误!未定义书签。问题背景： .......................................................................................................................... 错误!未定义书签。关键词： .............................................................................................................................. 错误!未定义书签。一、问题的提出 .................................................................................................................. 错误!未定义书签。二、具体问题分析和建模求解 .......................................................................................... 错误!未定义书签。三、模型的建立对于N个应聘人员M个用人单位的指派是可行的。......................... 错误!未定义书签。

《运筹学》复习题

运筹学-学习指南一、名词解释 1松弛变量为将线性规划问题的数学模型化为标准型而加入的变量。 2可行域满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。 3人工变量亦称人造变量.求解线性规划问题时人为加入的变量。用单纯形法求解线性规划问题，都是在具有初始可行基的条件下进行的,但约束方程组的系数矩阵A中所含的单位向量常常不足m个，此时可加入若干(至多m)个新变量，称这些新变量为人工变量。 4对偶理论每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题，在求出一个问题解的同时，也给出了另一个问题的解。研究线性规划中原始问题与对偶问题之间关系的理论 5灵敏度分析研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。 6影子价格反映资源配置状况的价格。影子价格是指在其他资源投入不变的情况下,每增加一单位的某种资源的投入所带来的追加收益。即影子价格等于资源投入的边际收益。只有在资源短缺的情况下,每增加一单位的投入才能带来收益的增加 7产销平衡运输一种特殊的线性规划问题。产品的销售过程中，产销平衡是指工厂产品的产量等于市场上的销售量。 8西北角法是运筹学中制定运输问题的初始调运方案（即初始基可行解）的基本方法之一。也就是从运价表的西北角位置开始，依次安排m个产地和n个销地之间的运输业务，从而得到一个初始调运方案的方法。 9最优性检验检验当前调运方案是不是最优方案的过程。 10动态规划解决多阶段决策过程优化问题的方法：把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解 11状态转移方程从阶段K到K+1的状态转移规律的表达式

运筹学复习重点

运筹学复习重点第1章线性规划与单纯形法（1）化线形规划标准形的手法（2）线性规划解的概念、解的情形、解的判定（3）单纯形法的计算过程、迭代逻辑。（4）熟练运用单纯形表求解问题；若给出单纯形表，要会解读，会基于单纯形法基本原理反推出表中一些参数。（5）两阶段法、大M法第2章对偶理论和灵敏度分析（1）会写对偶问题，掌握对偶性质，原问题与对偶问题之间的关系。（2）互补松弛定理的应用：知道一个问题的最优解，求另一个问题的最优解。（3）对偶单纯形法（4）当目标函数系数和右端项变化时灵敏度分析的简便方法第3章目标规划（1）根据问题的特征和对多个目标的追求，通过引入偏离量，正确构建所需的目标规划数学模型（2）会用图解法求目标规划的最优解或满意解第4章整数规划（1）分支定界法：如何构造分支子问题，如何更新目标函数最优值上下界，何时终止。（2）割平面法：如何写对源约束方程；如何拆分、组装割平面方程；如何利用对偶单纯形法继续求解。第5章无约束优化（1）凸函数与凸规划的定义与判别（2）一维搜索的0.618法基本原理和迭代过程（3）无约束优化的最速下降法的基本原理、迭代过程第6章约束极值优化（1）可行下降方向的含义、满足什么代数条件、几何意义（2）正确写出Kuhn-Tucker条件，理解K-T条件与最优解的关系（3）利用Kuhn-Tucker条件，求出K-T点和最优解。

（4）外点法和内点法的基本原理、无约束优化目标函数的一般构造手法第7章动态规划（1）动态规划的基本原理和基本方程（2）动态规划的逆推解法（3）动态规划求静态规划问题的套路第8章图与网络优化（1）图的基本概念、树的基本性质、最小支撑树的求法（2）求最短路的Dijkstra算法（3）增广链的概念、用途，求网络最大流的标号法第9章网络计划（1）遵循网络计划图的绘制规则，正确画出网络计划图。（2）会计算网络计划的各种时间参数，确定关键线路（3）不同目标下网络计划优化的方法第10章排队论（1）排队系统基本性能指标的含义、关系（2）泊松流与负指数分布的关系，排队系统中基本参数λ和μ含义的多维解读。（3）系统状态概率Pn的含义、它在推导系统基本性能指标中的基础地位，推导它自身所依据的状态转移图。（4）标准M/M/1模型的系统状态概率、基本性能指标的表达式。第11章对策论（1）矩阵对策中鞍点、最优纯策略、对策的值（2）矩阵对策的混合策略和图解法（3）矩阵对策局中人各自对应的线性规划问题之间的关系（理解互补松弛定理在对策论中的应用）第12章决策论（1）风险决策的EMV准则，EOL准则，二者之间的关系（2）多级风险决策的图形工具：决策树，以及基于决策树的EMV决策套路（3）会利用决策树计算抽样信息的期望价值、完全信息的期望价值题型：计算题和证明题。计算量不大，不必带计算器，可带尺子画图。

运筹学复习题目加答案

一、单选题 1．目标函数取极小（minZ ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大的线性规划问题求解，原问题的目标函数值等于（）。 A. maxZ B. max(-Z) C. –max(-Z) D.-maxZ 2．下列说法中正确的是（）。 A ．基本解一定是可行解 B ．基本可行解的每个分量一定非负 C ．若B 是基，则B 一定是可逆 D ．非基变量的系数列向量一定是线性相关的 3．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为（） A.多余变量 B ．松弛变量 C ．人工变量 D ．自由变量 4. 当满足最优解，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得（）。 A ．多重解 B ．无解 C ．正则解 D ．退化解 5．对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验但不完全满足（）。 A ．等式约束 B ．“≤”型约束 C ．“≥”约束 D ．非负约束 6. 原问题的第ｉ个约束方程是“＝”型，则对偶问题的变量i y 是（）。 A ．多余变量 B ．自由变量 C ．松弛变量 D ．非负变量 7.在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目( )。 A.等于m+n B.大于m+n-1 C.小于m+n-1 D.等于m+n-1 二、判断题 1．线性规划问题的一般模型中不能有等式约束。 2．对偶问题的对偶一定是原问题。 3．产地数与销地数相等的运输问题是产销平衡运输问题。 4．对于一个动态规划问题，应用顺推或逆解法可能会得出不同的最优解。 5．线性规划问题的每一个基本可行解对应可行域上的一个顶点。 6．线性规划问题的基本解就是基本可行解。三、填空题 1．如果某一整数规划：MaxZ=X 1+X 2 X 1+9/14X 2≤51/14 -2X 1+X 2≤1/3 X 1,X 2≥0且均为整数所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X 1=3/2，X 2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X 1进行分枝，应该分为和。 2．如希望I 的2 倍产量21x 恰好等于II 的产量2x ，用目标规划约束可表为： 3. 线性规划解的情形有 4. 求解指派问题的方法是。 5．美国的R.Bellman 根据动态规划的原理提出了求解动态规划的最优化原理为 6. 在用逆向解法求动态规划时，f k (s k )的含义是：

浅析运筹学在实际生活中的应用1

运筹学在实际生活中的应用摘要：随着经济的快速发展和社会的进步，社会各行各业之间的竞争日益激烈，尤其表现为对资源的争夺。因此，在有限的资源下获得最大的利益是每个竞争者所考虑的问题，这也是经济学和运筹学所着重解决的问题。运筹学就是以数学为主要手段、着重研究最优化问题解法的学科。作为一门实用性很强的学科，运筹学可以用来很好的解决生活中的许多问题。运筹学有着广泛的应用，对现代化建设有重要作用。正因为如此，运筹学在企业决策领域中有着广泛的应用。众所周知，运筹学研究的根本目的在于对资源进行最优化配置，用数学的理论与方法指导社会管理，提高生产效率，创造经济效益。而企业投资的根本目的也是在资源的优化配置和有限资源的有效使用的基础上，达到既定目标，实现企业利润最大化。然而，随着市场竞争的日趋激烈，决策是否有效对于企业生存发展的影响愈来愈大。正确的决策可以使企业获利并促进企业的发展，而错误的或者无效的决策只能使企业无利可获甚至亏损，阻碍企业的发展。而运筹学、经济学、博弈论等决策性的科学可以引导投资者选择最佳投资组合策略，为决策者在投资决策过程中提供一些有价值的思路。用来解决人们用纯数学方法或者现实实验无法解决的问题，对企业正确决策的形成有着积极地促进作用。关键词：运筹学；决策；应用；理论体系；效益一、引言人们无论从事任何工作，不管采取什么行动，都希望所制订的工作或行动方案，是一切可行方案中的最优方案，以期获得满意的结果，诸如此类的问题，通常称为最优化问题。运筹学就是以数学为主要手段、着重研究最优化问题解法的学科。求解最优化问题的关键，一是建立粗细适宜的数学模型，把实际问题化

为数学问题；二是选择正确而简便的解法，以通过计算确定最优解和最优值。最优解与最优值相结合，便是最优方案。人们按照最优方案行事，即可达到预期的目标。运筹学的应用可大可小，可以处理各种策略性的问题。通过对运筹学的学习，无论是从简单的故事，还是真实的案例中，我们可以发现，所谓的运筹，是用最小的功效获得最大的利益。这在我们的生产生活中有极大的意义。运筹学有广阔的应用领域，它已渗透到诸如矿山、服务、库存、搜索、人口、对抗、控制、时间表、资源分配、厂址定位、能源、设计、生产、可靠性、等各个方面。二、运筹学概述运筹学作为一门用来解决实际问题的学科，在处理千差万别的各种问题时，一般有以下几个步骤：确定目标、制定方案、建立模型、制定解法。虽然不大可能存在能处理及其广泛对象的运筹学，但是在运筹学的发展过程中还是形成了某些抽象模型，并能应用解决较广泛的实际问题。运筹学的思想在古代就已经产生了。敌我双方交战，要克敌制胜就要在了解双方情况的基础上，做出最优的对付敌人的方法，这就是“运筹帷幄之中，决胜千里之外”的说法。但是作为一门数学学科，用纯数学的方法来解决最优方法的选择安排，却相对较晚。也可以说，运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。运筹学的具体内容包括：规划论（包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划）、图论、决策论、对策论、可靠性理论等。三、运筹学的发展 Operation Research原意是操作研究、作业研究、运用研究、作战研究，译作运筹学，是借用了《史记》“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外”一语中“运筹”二字，既显示其军事的起源，也表明它在我国已早有萌芽。运筹学是一门应用科学，是应用分析、试验、量化的方法，它使用许多数学工具（包括概率统计、数理分析、线性代数等）和逻辑判断方法，来研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调度等问题。它对管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以期发挥最大效益。作

运筹学期末复习及答案

运筹学概念部分一、填空题 1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。 2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。 3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。 6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。 9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。 11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。 12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。 13用运筹学解决问题时，要分析，定义待决策的问题。 14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。 15.数学模型中，“s·t”表示约束（subjectto 的缩写）。 16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。二、单选题 19．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ） A．销售数量B．销售价格C．顾客的需求 D．竞争价格 20．我们可以通过（ C）来验证模型最优解。 A．观察B．应用C．实验D．调查 21．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。 A．观察环境B．数据分析C．模型设计D．模型实施 22.建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（B ） A数量B变量C约束条件 D 目标函数 23.模型中要求变量取值（ D ） A可正 B可负 C非正 D非负 24.运筹学研究和解决问题的效果具有（A ） A 连续性 B整体性C 阶段性D再生性

运筹学基础及应用课后习题答案

运筹学基础及应用习题解答习题一 P46 (a) 该问题有无穷多最优解，即满足2 1 0664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。 (b) 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。 (a) (1) 图解法

最优解即为?? ?=+=+82594321 21x x x x 的解??? ??=23,1x ，最大值235=z (2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 ???=++=+++++=8 25943 ..00510 max 421321 4321x x x x x x t s x x x x z 则43,P P 组成一个基。令021==x x 得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。5 839,58min =?? ? ??=θ

02>σ，23 28,1421min =??? ? ?=θ 0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 2 3 1,4321====x x x x 。最大值 2 35 *=z (b) (1) 图解法 \\ 最优解即为?? ?=+=+5 24262121x x x x 的解??? ??=23,27x ，最大值217=z (2) 单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式

1234523124125 max 2000515.. 6224 5z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=?? ++=??++=? 则3P ，4P ，5P 组成一个基。令021==x x 得基可行解()0,0,15,24,5x =，由此列出初始单纯形表 21σσ>。245min ,,461θ? ?=-= ?? ? 02>σ，15 33min ,24,5 22θ??== ??? 新的单纯形表为

运筹学复习整理(保准管用)

1. 简答题（1）运筹学的工作步骤提出和形成问题：即要弄清问题的目标，可能的约束，问题的可控变量以及相关的参数，搜集相关资料；建立模型：即把问题中可控变量，参数，目标与约束之间的关系用模型表示出来；求解：用各种手段将模型求解，解可以是最优解，次优解，满意解。复杂模型的求解需用计算机，解得精度要求可有决策者提出；解的检验：首先检查求解步骤和程序有无错误，然后检查解是否反映现实问题；解的控制：通过控制解的变化过程决定对解是否做一定的改变；解的实施：是指将解用到实际中必须考虑的实际问题，如向实际部门讲清解的用法，在实施中可能产生的问题和修改。（2）退化产生原因及解决办法单纯形法计算中用θ规则确定换出变量时，有时存在两个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于零，这就出现退化解。勃兰特规则： 1.选取cj-zj ＞0中下标最小的非基变量xk 为换入变量，即k=min(j ｜cj-zj ＞0) 2. 当按θ规则计算存在两个和两个以上最小比值时，选取下标最小的基变量为换出变量。（3）对偶问题的经济解释 ? 这说明yi 是右端项bi 每增加一个单位对目标函数Z 的贡献。 ? 对偶变量 yi 在经济上表示原问题第i 种资源的边际价值。 ? 对偶变量的值 yi*所表示的第i 种资源的边际价值，称为影子价值。 ∑∑=====n j m i i i j j y b x c Z 1 1 ω i i y b Z =??

若原问题的价值系数Cj 表示单位产值，则yi 称为影子价格；若原问题的价值系数Cj 表示单位利润，则yi 称为影子利润。影子价格不是资源的实际价格，而是资源配置结构的反映，是在其它数据相对稳定的条件下某种资源增加一个单位导致的目标函数值的增量变化。（4）分枝定界法步骤 a) 先求出整数规划相应的LP(即不考虑整数限制)的最优解， b) 若求得的最优解符合整数要求，则是原IP 的最优解； c) 若不满足整数条件，则任选一个不满足整数条件的变量来构造新的约束，在原可行域中剔除部分非整数解。 d) 然后，再在缩小的可行域中求解新构造的线性规划的最优解，这样通过求解一系列线性规划问题，最终得到原整数规划的最优解。（5）树的性质一个无圈的连通图称为树。 1 树至少有两个悬挂点。 2 一个图为树的充要条件是：不含圈，边数比点数少1. 3 一个图为树的充要条件是：连通，边数比点数少1. 4 一个图为树的充要条件是：任两点之间恰有一条链。 2. 建模题（1）线性规划建模： ) .(x ,,x ,x b ),(x a x a x a ).(b ),(x a x a x a b ),(x a x a x a ) .(x c x c x c z max(min)n m n m m m n n n n n n 310 21112122112 22221211 12121112211≥≥=≤+++≥=≤+++≥=≤++++++= 约束条件目标函数

简单的运筹学实际应用案例

运筹学的实际应用学生会晨读考勤巡视人员分配建模晨读考勤制度是我校对大学一年级及二年级学生的特殊制度，针对上午第一节有课的班级——周一至周五上午第一节课有课（包括任何课程）的班级需7:30到教室组织英语晨读，未按时到达学生录入考勤系统，按迟到处理。晨读考勤状况的盘点与巡视工作由校学生会负责。因为每天上晨读的班级数目都不一样，所以每天需要的巡查人员数目也并不同，根据每天晨读班级数目制定的每日所需巡查人数如下表所示。巡视工作枯燥繁重，所以成员在连续参与巡视工作3天后，可以连休两天。（周二至周四巡视过得人员可以在周五和下周一休息）。学生会人数有限，所以请设计一套方案，需满足每天所需的巡查人数，又使项目解决：一，项目内容要求提取（1）忽略星期六和星期日（2）巡视人员连续工作3天后连续休息2天，忽略请假情况（3）分配休息两天后周一至周五每天开始工作的人员，使总工作人数最少。二，分析建模此问题是一个典型并且简单的线性规划问题，所以接下来是建立目标函数以及对应的约束条件，并设法求解。建立模型： Z为所需巡视人员总的人数。设：x i（i=1,2,3,4,5）为休息两天后，周一至周五每天开始工作的学生会成员。 minZ=x1+x2+x3+x4+x5 x1+x4+x5≥40 x1+x2+x5≥55

x1+x2+x3≥30 x2+x3+x4≥48 x3+x4+x5≥30 x i≥0，i=1,2,3,4,5 三，求解运用Matlab的linprog函数求解编写命令： c=[1,1,1,1,1] A=[-1 0 0 -1 -1; -1 -1 0 0 -1; -1 -1 -1 0 0; 0 -1 -1 -1 0; 0 0 -1 -1 -1;] b=[-40;-55;-30;-49;-30]; Aeq=[];beq=[]; vlb=[0;0;0;0;0];vub=[] [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 求解得出： x = 4.3625 32.0000 0.0000 17.0000 18.6375 fval = 72.0000

运筹学期末复习题

《运筹学》期末考试试卷(A) 学院班级学号一、填空题以下是关于目标函数求最大值的单纯行表的一些结论，请根据所表述的意思判断解的情况： 1.所有的检验数非正，这时的解是。 2.有一个正检验数所对应的列系数均非正，这时线性规划的解。 3.非基变量检验数中有一个为零时，线性规划的解。 4.在两阶段法中，如果第一阶段的最优表中的基变量中有人工变量，则该线性规划。 6.基变量取值为负时的解为。 7.最优表中的非基变量检验数的相反数就是。 8.已知一个线性规划两个最优解是：（3，2），和（5，9），请写出其他解： 9.线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种。 10.在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为4，则说明如果在该空格中增加一个运量运费将增加4。

11.“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错？错 12.如果某一整数规划： MaxZ=X 1+X 2 X 1+9/14X 2≤51/14 -2X 1+X 2≤1/3 X 1,X 2≥0且均为整数所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X 1=3/2，X 2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X 1进行分枝，应该分为 X1≤1 和 X1≥2 。 13.在用逆向解法求动态规划时，f k (s k )的含义是：从第k 个阶段到第n 个阶段的最优解。 14. 假设某线性规划的可行解的集合为D ，而其所对应的整数规划的可行解集合为B ，那么D 和B 的关系为 D 包含 B 15. 已知下表是制订生产计划问题的一LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“≤”型不等式）其中X3,X4,X5为松驰变量。问：（1）写出B -1 =???? ? ??---1003/20.3/131 2 (2)对偶问题的最优解：Y ＝（5，0，23，0，0）T

《运筹学》复习参考资料知识点及习题

第一部分线性规划问题的求解一、两个变量的线性规划问题的图解法：㈠概念准备：定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可行（解）域。定义：达到目标的可行解为最优解。㈡图解法：图解法采用直角坐标求解：x1——横轴；x2——竖轴。1、将约束条件（取等号）用直线绘出； 2、确定可行解域； 3、绘出目标函数的图形（等值线），确定它向最优解的移动方向；注：求极大值沿价值系数向量的正向移动；求极小值沿价值系数向量的反向移动。 4、确定最优解及目标函数值。㈢参考例题：（只要求下面这些有唯一最优解的类型）例1：某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需在A、B、C三种不同的设备上加工，每种产品在不同设备上加工所需的工时不同，这些产品销售后所能获得利润以及这三种加工设备因各种条件限制所能使用的有效加工总时数如下表所示：问：该厂应如何组织生产，即生产多少甲、乙产品使得该厂的总利润为最大？（此题也可用“单纯形法”或化“对偶问题”用大M法求解）

解：设x 1、x 2为生产甲、乙产品的数量。 max z = 70x 1+30x 2 s.t. ???????≥≤+≤+≤+0 72039450555409321212121x x x x x x x x ，可行解域为oabcd0，最优解为b 点。由方程组 ???=+=+72039450 5521 21x x x x 解出x 1=75，x 2=15 ∴X * =??? ? ??21x x =（75，15） T ∴max z =Z *= 70×75+30×15=5700 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹

max z = 6x 1+4x 2 s.t. ???????≥≤≤+≤+0781022122121x x x x x x x ，解：可行解域为oabcd0，最优解为b 点。由方程组 ???=+=+810 22 121x x x x 解出x 1=2，x 2=6 ∴X * =? ?? ? ??21x x =（2，6）T ∴max z = 6×2+4×6=36 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹

管理运筹学复习要点

管理运筹学复习 (1)某工厂在计划期内要安排I ,n 两种产品的生产.生产单位产品所需的设备台时及两种原材料的消耗以及资源的限制如下表所示：工厂每生产一单位产品I 可获利 50元，每生产一单位产品n 可获利 100元，问工厂应分别生产多少单位产品I 和产品n 才能使获利最多？解： 50X 什100X 2 ；满足约束条件： X i2< 300 2X i2 < 400 X 2< 250 X i >(2>0o (2):某锅炉制造厂，要制造一种新型锅炉 10台，需要原材料为/ 63.5 X 4的锅炉钢管, 库存的原材料的长度只有 5500 一种规格，问如何下料，才能使总的用料根数最少？需要多少根原材料？解：为了用最少的原材料得到 10台锅炉，需要混合使用 14种下料方案设按14种方案下料的原材料的根数分别为 X 123456 7891011121314, 可列出下面的数学模型: f = X 1234567891011121314 满足约束条件： 2X 1 + X 2 + X 3+ X 4 > 80 X 2+ 3X 5 + 2X 6+ 2X 7+ X $+ X 9+ X 10 羽20 X 3+ X 6+ 2X 8+ X 9+ 3X 11 + X 12+ X 13 >350 X 4+ X 7+ X 9 + 2X 10 + X 12+ 2X 13 + 3X 14 > 10 X 1 , X 2, X 3, X 4, X 5, X 6, X 7, X 8 , X 9 , X 10 , X 11 , X 12, X 13 , X 14 > 0 (3)某公司从两个产地A 1、A 2将物品运往三个销地B 1、B 2、B 3,各产地的产量、

运筹学经典案例

运筹学经典案例案例一：鲍德西（（B AWDSEY）雷达站的研究 20世纪30年代，德国内部民族沙文主义及纳粹主义日渐抬头。以希特勒为首的纳粹势力夺取了政权开始为以战争扩充版图，以武力称霸世界的构想作战争准备。欧洲上空战云密布。英国海军大臣丘吉尔反对主政者的“绥靖”政策，认为英德之战不可避免，而且已日益临近。他在自己的权力范围内作着迎战德国的准备，其中最重要、最有成效之一者是英国本土防空准备。 1935年，英国科学家沃森—瓦特（R．Watson-Wart）发明了雷达。丘吉尔敏锐地认识到它的重要意义，并下令在英国东海岸的Bawdsey建立了一个秘密的雷达站。当时，德国已拥有一支强大的空军，起飞17分钟即可到达英国。在如此短的时间内，如何预警及做好拦截，甚至在本土之外或海上拦截德机，就成为一大难题。雷达技术帮助了英国，即使在当时的演习中已经可以探测到160公里之外的飞机，但空防中仍有许多漏洞，1939年，由曼彻斯特大学物理学家、英国战斗机司令部科学顾问、战后获诺贝尔奖金的P.M.S.Blachett为首，组织了一个小组，代号为“Blachett 马戏团”，专门就改进空防系统进行研究。这个小组包括三名心理学家、两名数学家、两名应用数学家、一名天文物理学家、一名普通物理学家、一名海军军官、一名陆军军官及一名测量人员。研究的问题是：设计将雷达信息传送给指挥系统及武器系统的最佳方式；雷达与防空武器的最佳配置；对探测、信息传递、作战指挥、战斗机与防空火力的协调，作了系统的研究，并获得了成功，从而大大提高了英国本土防空能力，在以后不久对抗德国对英伦三岛的狂轰滥炸中，发挥了极大的作用。二战史专家评论说，如果没有这项技术及研究，英国就不可能赢得这场战争，甚至在一开始就被击败。“Blackett马戏团”是世界上第一个运筹学小组。在他们就此项研究所写的秘密报告中，使用了 “Operational Research”一词，意指作战研究”或“运用研究”。就是我们所说的运筹学。Bawdseg雷达站的研究是运筹学的发祥与典范。项目的巨大实际价值、明确的目标、整体化的思想、数量化的分析、多学科的协同、最优化的结果，以及简明朴素的表述，都展示了运筹学的本色与特色，使人难以忘怀。

运筹学总复习

《运筹学》总复习第1章线性规划及其对偶问题 ●基本概念基本要素：决策变量、目标函数、约束条件线性规划定义：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件为决策变量的线性函数。标准形式：目标函数取“max”、约束条件取“=”、约束右端项非负、决策变量非负解的概念：凡满足约束条件的决策变量的取值称为线性规划的可行解,所有可行解的集合称为线性规划的可行域,使目标函数达到最优值的可行解称为线性规划的最优解。 ●数学建模与求解建模步骤：科学选择决策变量、找出所有约束条件、明确目标要求、非负变量的选择单纯形法与对偶单纯形法：单纯形法对偶单纯形法两阶段法：第一阶段：添加人工变量，构造人工变量之和为最小的目标函数辅助线性规划，由松驰

变量和人工变量构成初始单纯形表，进行迭代。在最终单纯形表中如果存在人工变量，由无可行解，否则转第二阶段。第二阶段：在第一阶段求解的最终单纯形表中去掉人工变量，目标系数恢复为标准模型的目标系数，按单纯形法继续迭代。 ● 练习题： 1.某厂利用原料A 、B 生产甲、乙、丙3种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件 2.每班服务员从开始上班到下班连续工作8小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅馆至少需要多少服务员？（列出该问题线性规划模型，不求解） 3.1231231231~3 min 232315 ..25200w x x x x x x s t x x x x =++++=?? ++=??≥? 4.用对偶单纯形法求解线性规划问题： 1231231231~3 min 524324 ..635120w x x x x x x s t x x x x =++++≥?? ++≥??≥? 第2章整数规划与分配问题 ● 0-1变量的用法及建模理解0-1变量的9种用途，其中(1)(2)(4)(8)重点掌握（1）多个取1：110, 1.n j j j x x ===∑，或

中国古代的运筹学案例

中国古代优秀的运筹案例 1. 孙武与《孙子兵法》孙武，字长卿，后人尊称其为孙武子、孙子，中国历史上著名军事家.公元前535年左右出生于齐国乐安（今山东惠民）. 后来到了吴国，因为献上兵法十三篇，被吴王阖闾重用，拜为大将，和伍子胥共事，辅佐吴王，领兵攻破楚国都城郢（今湖北江陵县纪南城）. 孙武在春秋末期（公元前476年前后）所著《孙子兵法》，是世界上现存最古老的兵书.其中的《始计第一》论述怎样在开战之前和战争中实行谋划的问题，以及谋划在战争中的重要意义；《作战第二》论述速战速胜的重要性；《谋攻第三》论述用计谋征服敌人的问题；《军形第四》论述用兵作战要先为自己创造不被敌人战胜的条件，以等待敌人可以被我战胜的时机，使自己“立于不败之地”；《兵势第五》论述用兵作战要造成一种可以压倒敌人的迅猛之势，并要善于利用这种迅猛之势；《虚实第六》论述用兵作战须采用“避实而击虚”的方针；《军争第七》论述如何争夺制胜的有利条件，使自己掌握作战主动权的问题；《九变第八》论述将帅指挥作战应根据各种具体情况灵活机动地处置问题，不要机械死板而招致失败，并对将帅提出了要求；《行军第九》论述行军作战中怎

样安置军队和判断敌情问题；《地形第十》论述用兵作战怎样利用地形的问题，并着重论述深入敌国作战的好处；《九地第十一》进一步论述用兵作战怎样利用地形及统兵之道的问题；《火攻第十二》论述在战争中使用火攻的办法、条件和原则等问题；《用间第十三》论述使用间谍侦察敌情在作战中的重要意义，以及间谍的种类和使用间谍的方法. 《孙子兵法》是体现我国古代军事运筹思想的最早的典籍.它考察了战争中各种依存、制约关系，总结了战争的规律，并依此来研究如何筹划兵力以争取全局的胜利. 书中的语言叙述简洁，内容也很有哲理性，后来的很多将领用兵都受到了该书的影响.《孙子兵法》对中国的文化发展有深远的影响. 2. 孙膑与齐王赛马孙膑（约公元前380－公元前432），孙武的后世子孙，战国中期的著名军事家. 少时孤苦，年长后从师鬼谷子（著名隐士，精通兵学和纵横学）学习《孙子兵法》十三篇等兵书战策. 庞涓妒孙膑之才而将其骗至魏,施以膑刑(割去膝盖骨).后来乘齐国使团来魏之机，孙膑被齐使秘密接到齐国,并被大将田忌所赏识，留在府中做幕僚，奉为上宾. 孙膑的“斗马术”是我国古代运筹思想中争取总体最优的脍炙人口的著名范例（记载于《史记·孙子吴起列传》），成为军事上一条重要的用兵规律，即要善于用局部的牺牲去换取全局的

2020年运筹学考试复习题及答案

2020年运筹学考试复习题及答案 5、线性规划数学模型具备哪几个要素？答：（1）.求一组决策变量x i或x ij的值（i =1，2，…m j=1，2…n）使目标函数达到极大或极小；（2）.表示约束条件的数学式都是线性等式或不等式；（3）.表示问题最优化指标的目标函数都是决策变量的线性函数第二章线性规划的基本概念一、填空题 1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。 2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。 3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。5．在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关 6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。 7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。 8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。 10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的

松驰数量在目标函数中的系数为零。 11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。12．线性规划模型包括决策（可控）变量，约束条件，目标函数三个要素。 13．线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。 15．线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解 16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。17．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。 18.如果某个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要引入一松弛变量。 19.如果某个变量X j为自由变量，则应引进两个非负变量X j′,X j〞,同时令X j＝X j′－X j。 20.表达线性规划的简式中目标函数为max(min)Z=∑c ij x ij。 21..(2.1 P5))线性规划一般表达式中，a ij表示该元素位置在i 行j列。二、单选题 1．如果一个线性规划问题有n个变量，m个约束方程(m