高考数学填空题限时练四

限时练(四)

(建议用时：40分钟)

1．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x ≤0}，则A ∩B ＝________． 解析 ∵B ＝[0，2]，∴A ∩B ＝[0，1]．

答案 [0，1]

2．复数5（1＋4i ）2

i （1＋2i ）＝________．

解析 5（1＋4i ）2i （1＋2i ）＝5（－15＋8i ）－2＋i ＝5（－15＋8i ）（－2－i ）

（－2＋i ）（－2－i ）＝

5（38－i ）

5＝38－i.

答案 38－i

3．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率

分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为________．

解析 高三年级总人数为：90

0.05＝1800；90～100分数段人数的频率为0.45；

分数段的人数为1800×0.45＝810.

答案 810

4．曲线y ＝1

x

在x ＝2处的切线斜率为________．

解析 根据导数的几何意义，只要先求出导数以后，将x ＝2代入即可求解．因为y ′＝－1

x 2，所以y ′|x ＝2＝－1

4

，即为切线的斜率．

答案 －1

4

5．将一枚骰子(一种六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)

先后抛掷2次，向上的点数分别记为m ，n ，则点P (m ，n )落在区域|x －2|＋|y －2|≤2的概率是________．

解析 利用古典概型的概率公式求解．将一枚骰子先后抛掷2次，向上的点数分别记为m ，n ，则点P (m ，n )共有36个，其中落在区域|x －2|＋|y －2|≤2内的点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，2)，共11个，故所求概率是1136

.

答案

1136

6．已知向量a ＝(3，1)，b ＝? ?

???－1，12，若a ＋λb 与a 垂直，则λ等于________．

解析 根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a ＋λb ＝?

?

???3－λ，1＋12λ，所以(a ＋λb )⊥a ?3(3－λ)＋1＋12λ＝0?λ＝4.

答案 4

7．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8y

xy

的最小值为________．

解析 利用“1”的代换，结合基本不等式求解．因为x ，y 为正数，且x ＋2y ＝2，

x ＋8y xy ＝? ????1y ＋8x ? ????x 2＋y ＝x 2y ＋8y

x

＋5≥2x 2y ·8y

x

＋5＝9，当且仅当x ＝4y ＝43时，等号成立，所以x ＋8y xy 的最小值为9.

答案 9

8．给出四个命题： ①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行； 其中真命题的序号是________． 解析 若α∥β，α∥γ，则β∥γ，

即平行于同一平面的两个不重合的平面平行，故①正确； 若a ∥α，a ∥β，则α与β平行或相交，故②错误； 若α⊥γ，β⊥γ，则平面α与β平行或相交，故③错误； 若a ⊥α，a ⊥β，则α与β平行，故④正确．

答案 ①④

9．设某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是________．

解析 阅读算法中流程图知：

运算规则是S ＝S ×k 2故

第一次进入循环体后S ＝1×32＝9，k ＝3；

第二次进入循环体后S ＝9×52＝225＞100，k ＝5.退出循环，其输出结果k ＝5.故答案为：5.

答案 5

10．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＋a 2＋a 5＞13，且a 1，a 2，a 5成等比数列，

则a 1的取值范围为________．

解析 利用a 1，a 2，a 5成等比数列确定公差与首项的关系，再解不等式即可．设等差数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以a 1，a 2，a 5成等比数列?a 22＝a 1a 5?(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )?d ＝2a 1，代入不等式a 1＋a 2＋a 5＞13，解得a 1＞1.

答案 (1，＋∞)

11．P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，

PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________．

解析

由?????y ＝b 3a x ，x 2a 2

－y 2b 2

＝1，得?????x ＝－324a ，y ＝－2

4

b ，又PF 1

垂直于x 轴，所以324a ＝c ，

即离心率为e ＝c a ＝32

4

.

答案

324

12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面

积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．

解析 由S △ABC ＝12ab sin C ，代入数据解得sin C ＝3

2，又C 为三角形的内角，

所以C ＝60°或120°.若C ＝60°，则在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋

b 2－2ab cos C ＝84，此时，最大边是b ，故最大角为B ，其余弦值cos B ＝a 2＋

c 2－b 22ac ＝3221，正弦值sin B ＝53221

，正切值tan B ＝533；若C ＝120°，

此时，C 为最大角，其正切值为tan120°＝－ 3.

答案 53

3

或－ 3

13．若存在区间M ＝[a ，b ](a ＜b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为

函数f (x )的一个“稳定区间”．给出下列四个函数：①y ＝e x ，x ∈R ；②f (x )＝x 3；③f (x )＝cos

πx

2

；④f (x )＝ln x ＋1.其中存在稳定区间的函数有________(写出所有正确命题的序号)．

解析 根据新定义逐一判断．因为函数y ＝e x ，x ∈R 递增，且e x ＞x ，x ∈R 恒成立，函数y ＝e x ，x ∈R 不存在“稳定区间”，故①不存在“稳定区间”；函数f (x )＝x 3存在稳定区间[－1，0]或[0，1]或[－1，1]，故②存在“稳定区间”；函数f (x )＝cos

πx

2

存在稳定区间[0，1]，故③存在“稳定区间”；函数f (x )＝ln x ＋1在(0，＋∞)上递增，且ln x ＋1≤x ，x ＞0恒成立，函数

f (x )＝ln x ＋1在定义域上不存在“稳定区间”，故④不存在“稳定区间”．

答案 ②③

14．若关于x 的方程

|x |

x ＋2

＝kx 2有四个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．

解析 由于关于x 的方程|x |

x ＋2

＝kx 2有四个不同的实根，x ＝0是此方程的一个根，故关于x 的方程

|x |

x ＋2

＝kx 2有3个不同的非零的实数解．

∴方程1

k ＝???x （x ＋2），x ＞0，－x （x ＋2），x ＜0有3个不同的非零的实数解，即函数y ＝1k

的图象和函数g (x )＝???x （x ＋2），x ＞0，－x （x ＋2），x ＜0的图象有3个交点，画出函数g (x )

的图象，如图所示，故0＜1

k

＜1，解得k ＞1.

答案(1，＋∞)