人教版九年级上册数学 24.1 圆的有关性质 同步课时训练(含答案)

人教版初三数学24.1 圆的有关性质同步课

时训练

一、选择题

1. 已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB 的度数为()

A．45°B．35°C．25°D．20°

2. 小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是()

A.AB，AC边上的中线的交点

B.AB，AC边上的垂直平分线的交点

C.AB，AC边上的高所在直线的交点

D.∠BAC与∠ABC的角平分线的交点

3. 如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P(0，－3)，那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为()

A．4 B．5 C．8 D．10

4. 如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，水面宽AB 为8 m，则拱桥的半径OC为()

A ．4 m

B ．5 m

C ．6 m

D ．8 m

5. 如图，AD 是⊙O

的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB

相交于点P ，下列结论错误的是( )

A ．AP ＝2OP

B ．CD ＝2OP

C ．OB ⊥AC

D ．AC 平分OB

6. 2019·聊城

如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是BC ︵

上的两点，连接BD ，CE

并延长交于点A ，连接OD ，OE .如果∠A ＝70°，那么∠DOE 的度数为( )

A ．35°

B ．38°

C ．40°

D ．42°

7. 如图，从

A 地到

B 地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半

圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A 地到B 地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行(怕被猫吃掉)，就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是( )

A ．猫先到达

B 地 B ．老鼠先到达B 地

C ．猫和老鼠同时到达B 地

D ．无法确定

8. 如图，A ，B ，C ，D

是⊙O 上的四个点，B 是AC ︵

的中点，M 是半径OD 上任

意一点．若∠BDC ＝40°，则∠AMB 的度数不可能是( )

A ．45°

B ．60°

C ．75°

D ．85°

二、填空题

9. 如图，AB

为⊙O 的直径，CD ⊥AB.若AB ＝10，CD ＝8，则圆心O 到弦CD

的距离为________．

10. 如图，以△

ABC 的边BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ，连接OD ，

OE .若∠A ＝65°，则∠DOE ＝________°.

11. 如图，已知等腰三角形

ABC 中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝4，在平面内任作

∠APB ＝60°，则BP 的最大值为________．

12. 如图

0，A ，B 是⊙O 上的两点，AB ＝10，P 是⊙O 上的动点(点P 与A ，B

两点不重合)，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝________．

13. 如图，平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(3，0)，⊙M的半径为2，过点M的直线与⊙M的交点分别为A，B，则△AOB的面积的最大值为________，此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于________°.

14. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝________°.

15. 如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，－4)，N(0，－10)，则圆心P的坐标为________．

16. 如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C，D与点A，B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是________．

三、解答题

17. 如图所示，AB ，CD 是⊙O 的两条直径，弦

BE ＝BD.求证：AC ︵＝BE ︵

.

18. 已知：如图

5，在⊙O 中，M ，N 分别为弦AB ，CD 的中点，AB ＝CD ，AB

不平行于CD.

求证：∠AMN ＝∠CNM.

19. 如图，点

E 是△ABC 的内心，线段AE 的延长线交BC 于点

F (∠AFC ≠90°)，

交△ABC 的外接圆于点D .

(1)求点F 与△ABC 的内切圆⊙E 的位置关系； (2)求证：ED ＝BD ；

(3)若∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆的直径是6，求BD 的长；

(4)B ，C ，E 三点可以确定一个圆吗？若可以，则它们确定的圆的圆心和半径分别是什么？若不可以，请说明理由．

20. 如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，A是优弧BAD上的一个动点(不与点B，D重合)．

(1)当圆心O在∠BAD的内部时，若∠BOD＝120°，则∠OBA＋∠ODA＝________°.

(2)若四边形OBCD为平行四边形．

①当圆心O在∠BAD的内部时，求∠OBA＋∠ODA的度数；

②当圆心O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．

人教版初三数学24.1 圆的有关性质同步课

时训练-答案

一、选择题

1. 【答案】A

2. 【答案】B[解析]本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选B.

3. 【答案】C[解析] 过点P作弦AB⊥OP，连接OB，如图．

则PB ＝AP ，∴AB ＝2BP ＝2 OB2－OP2.

再过点P 任作一条弦MN ，过点O 作OG ⊥MN 于点G ，连接ON . 则MN ＝2GN ＝2

ON2－OG2.

∵OP ＞OG ，OB ＝ON ，∴MN ＞AB ， ∴AB 是⊙O 中的过点P 最短的弦．

在Rt △OPB 中，PO ＝3，OB ＝5，由勾股定理，得PB ＝4，则AB ＝2PB ＝8.

4. 【答案】B

[解析] 如图，连接BO.

由题意可得AD ＝BD ＝4 m.

设⊙O 的半径OC ＝x m ，则DO ＝(8－x)m. 由勾股定理可得x2＝(8－x)2＋42，解得x ＝5. 故拱桥的半径OC 为5 m.

5. 【答案】A

[解析] ∵AD 是⊙O 的直径，

∴∠ACD ＝90°.

∵四边形OBCD 是平行四边形， ∴CD ∥OB ，CD ＝OB ，∴∠CPO ＝90°， 即OB ⊥AC ，∴选项C 正确； ∴CP ＝AP.又∵OA ＝OD ， ∴OP 是△ACD 的中位线， ∴CD ＝2OP ，∴选项B 正确；

∴CD ＝OB ＝2OP ，即P 是OB 的中点， ∴AC 平分OB ，∴选项D 正确．

6. 【答案】C

7. 【答案】C

8. 【答案】D

[解析] 连接AD ，OA ，OB .∵B 是AC ︵

的中点，∴∠ADB ＝∠BDC

＝40°，∴∠AOB＝2∠ADB＝80°.又∵M是OD上一点，∴∠ADB≤∠AMB≤∠AOB，即40°≤∠AMB≤80°，则不符合条件的只有85°.

二、填空题

9. 【答案】3

10. 【答案】50[解析] 由三角形的内角和定理，得∠B＋∠C＝180°－∠A.再由OB＝OD＝OC＝OE，得到∠BDO＝∠B，∠CEO＝∠C.在等腰三角形BOD和等腰三角形COE中，∠DOB＋∠EOC＝180°－2∠B＋180°－2∠C＝360°－2(∠B＋∠C)＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A，所以∠DOE＝180°－2∠A＝50°.

11. 【答案】8[解析] 由题意可得A，P，B，C在同一个圆上，所以当BP为圆的直径时，BP最大，此时∠P AB＝90°.过点C作CD⊥AB于点D，可求得AB ＝4 3，进而可求得BP的最大值为8.

12. 【答案】5[解析] ∵OE过圆心且与PA垂直，

∴PE＝EA.

同理PF＝FB，∴EF是△PAB的中位线，

∴EF＝1

2AB＝5.

13. 【答案】690[解析] ∵AB为⊙M的直径，

∴AB＝4.

当点O到AB的距离最大时，△AOB的面积最大，此时AB⊥x轴于点M，

∴△AOB的面积的最大值为1

2×4×3＝6，∠AMO＝90°.

即此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°.

14. 【答案】215[解析] 连接CE，则∠B＋∠AEC＝180°，∠DEC＝∠CAD＝35°，∴∠B＋∠AED＝(∠B＋∠AEC)＋∠DEC＝180°＋35°＝215°.

15. 【答案】(－4，－7)[解析] 过点P作PH⊥MN于点H，连接PM，则MH＝

1

2MN ＝3，OH ＝OM ＋MH ＝7.由勾股定理，得PH ＝4，∴圆心P 的坐标为(－4，－7)．

16. 【答案】

34 [解析] 如图，当CD ∥AB 时，PM 的长最大，连接OM ，OC .

∵CD ∥AB ，CP ⊥AB ， ∴CP ⊥CD .

∵M 为CD 的中点，OM 过点O ， ∴OM ⊥CD ，

∴∠OMC ＝∠PCD ＝∠CPO ＝90°， ∴四边形CPOM 是矩形， ∴PM ＝OC .

∵⊙O 的直径AB ＝8， ∴半径OC ＝4，∴PM ＝4. 三、解答题

17. 【答案】

证明：∵AB ，CD 是⊙O 的两条直径， ∴∠AOC ＝∠BOD ，∴AC ＝BD. 又∵BE ＝BD ， ∴AC ＝BE ，∴AC ︵＝BE ︵

.

18. 【答案】

证明：连接OM ，ON ，OA ，OC ，如图所示．

∵M ，N 分别为AB ，CD 的中点，

∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，AM ＝12AB ，CN ＝1

2CD. 又∵AB ＝CD ，∴AM ＝CN. 在Rt △AOM 和Rt △CON 中， ???OA ＝OC ，AM ＝CN ，

∴Rt △AOM ≌Rt △CON(HL)， ∴OM ＝ON ，∴∠OMN ＝∠ONM ， ∴∠AMO ＋∠OMN ＝∠CNO ＋∠ONM ， 即∠AMN ＝∠CNM.

19. 【答案】

解：(1)设⊙E 切BC 于点M ，连接EM ，则EM ⊥BC .又线段AE 的延长线交BC 于点F ，∠AFC ≠90°，∴EF >EM ，∴点F 在△ABC 的内切圆⊙E 外． (2)证明：∵点E 是△ABC 的内心， ∴∠BAD ＝∠CAD ，∠ABE ＝∠CBE . ∵∠CBD ＝∠CAD ，∴∠BAD ＝∠CBD . ∵∠BED ＝∠ABE ＋∠BAD ，∠EBD ＝∠CBE ＋ ∠CBD ，

∴∠BED ＝∠EBD ，∴ED ＝BD . (3)如图①，连接CD . 设△ABC 的外接圆为⊙O .

∵∠BAC ＝90°，∴BC 是⊙O 的直径， ∴∠BDC ＝90°.

∵⊙O 的直径是6，∴BC ＝6. ∵E 为△ABC 的内切圆的圆心， ∴∠BAD ＝∠CAD ，∴BD ＝CD .

又∵BD 2＋CD 2＝BC 2，∴BD ＝CD ＝3 2.

(4)B，C，E三点可以确定一个圆．

如图②，连接CD.

∵点E是△ABC的内心，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴BD＝CD.

又由(2)可知ED＝BD，

∴BD＝CD＝ED，

∴B，C，E三点确定的圆的圆心为点D，半径为BD(或ED，CD)的长度．20. 【答案】

5

2解：(1)60

(2)①如图(a)．

∵四边形OBCD为平行四边形，

∴∠BOD＝∠BCD，∠OBC＝∠ODC.

又∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∠BAD＝1

2∠BOD，

∴1

2∠BOD＋∠BOD＝180°，解得∠BOD＝120°，∴∠BAD＝

1

2∠BOD＝

1

2

×120°＝60°，∠OBC＝∠ODC＝180°－∠BOD＝180°－120°＝60°.

又∵∠ABC＋∠ADC＝180°，

∴∠OBA＋∠ODA＝∠ABC＋∠ADC－(∠OBC＋∠ODC)＝180°－(60°＋60°)＝60°.

②如图(b)所示，连接AO.

∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB.

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA.

∵∠OAB＝∠OAD＋∠BAD，

∴∠OBA＝∠ODA＋∠BAD＝∠ODA＋60°. 如图(c)，同理可得∠ODA＝∠OBA＋60°.