2020-2021学年最新高考总复习数学(文)高考调研检测试题及答案解析
最新度第二学期高三年级学业质量调研
数学文
一、填空题 1.函数2
()x f x +=
的定义域为. 2.已知线性方程组的增广矩阵为11334a -?? ???,若该线性方程组的解为12-??
???
,则实数a =.
3.计算2123lim
1
n n n →∞+++++L =. 4.若向量a r 、b r 满足||1,||2a b ==r r ,且a r 与b r 的夹角为π
3
,则||a b +=r r .
5.若复数1234,12z i z i =+=-,其中i 是虚数单位,则复数12||
z z i
+的虚部为.
6.61
()x x
-的展开式中,常数项为.
7.已知ABC △的内角A 、B 、C 所对应边的长度分别为a 、b 、c ,若a c b a c a
b
b
--=
,则角C 的
大小是.
8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且满足:174a a =,则数列2{log }n a 的前7项之和为.
9.已知变量,x y 满足530,0x y x y x y +≤??
-≥-??≥≥?
,则23x y +的最大值为.
10.已知正六棱柱的底面边长为2,侧棱长为3,其三视图中的俯视图如右图所示,则其左视图的面积是.
11.已知双曲线2
2
14
y x -=的右焦点为F ,过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P ,M 在直线PF 上,且满足0OM PF ?=u u u u r u u u r ,则||
||
PM PF =u u u u r
u u u r . 12.现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务,要求每个班级至多两位老师带队,且教师甲、乙不能单独带队,则不同的带队方案有.(用数字作答) 13.若关于x 的方程54
(5)|4|x x m x x
+--
=在(0,)+∞内恰有四个相异实根,则实数m 的取值范围为.
14.课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积.现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法:可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,然后在圆柱内
挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1),即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上,解答以下问题:
已知椭圆的标准方程为22
1425
x y +=,将此椭圆绕y 轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(图2),
其体积等于.
二、选择题
15.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,)+∞上递增的是( )
A.||
2x y = B.ln y x = C.13
y x = D.1y x x
=+ 16.已知直线l 的倾斜角为α,斜率为k ,则“π
3
α<
”是“3k < ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
17.设x ,y ,z 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是( )
A.22
11
x x x x
+
+≥ 312x x x x +++C.1
||2x y x y
-+
-≥ D.||||||x y x z y z --+-≤ 18.空间中n 条直线两两平行,且两两之间的距离相等,则正整数n 至多等于
A 、2 B.3 C.4 D.5 三、解答题
19.如图,底面是直角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中,11
12
AC BC AA ===,D 是棱1AA 上的动点.
(1)证明:1DC BC ⊥; (2)求三棱锥1C BDC -的体积.
20.某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ,现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB (假设OM 、ON 这两面墙都足够长).已知|PA |=|PB |=10 (米),π
4
AOP BOP ∠=∠=
,OAP OBP ∠=∠.设OAP θ∠=,四边形OAPB 的面积为S . (1)将S 表示为θ的函数,并写出自变量θ的取值范围; (2)求出S 的最大值,并指出此时所对应θ的值.
21.已知函数2()log (21)x
f x ax =++,其中a ∈R .
(1)当a =-
1
2
时,求证:函数()f x 是偶函数; (2)已知a >0,函数()f x 的反函数为1
()f x -,若函数1()()y f x f x -=+在区间[1,2]上的最小值为
21log 3+,求函数()f x 在区间[1,2]上的最大值.
22、已知数列{}n a 和{}n b 满足:12a =,1(1)(1),n n na n a n n n +=+++∈*
N ,且对一切n ∈*N ,
均有
12n
a n b
b b =L . (1)求证:数列{
}n
a n
为等差数列,并求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n b 的前n 项和n S ; (3)设()n n
n n n
a b c n a b -=
∈*N ,记数列{}n c 的前n 项和为n T ,求正整数k ,使得对任意n ∈*N ,均有k n T T ≥
23.已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距
为F 与短轴的两个端点组成一个正
三角形.若直线l 与椭圆C 交于11(,)A x y 、22(,)B x y ,且在椭圆C 上存在点M ,使得:
3455
OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r
(其中O 为坐标原点),则称直线l 具有性质H .
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若直线l 垂直于x 轴,且具有性质H ,求直线l 的方程;
(3)求证:在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ,使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H .
19、(1)证明:因为直三棱柱111ABC A B C -中,CC 1⊥平面ABC ,所以,CC 1⊥BC , 又底面ABC 是直角三角形,且AC =BC =1,所以AC ⊥BC , 又1AC CC I =C ,所以,BC ⊥平面ACC 1A 1,所以,BC ⊥DC 1 (2)11C BDC B CDC V V --=
=1112113
23
????=
20(1)在三角POB 中,由正弦定理,得:
10
3sin()sin
44
OB ππθ=
-,得OB =10(cos sin θθ+) 所以,S =121010(cos sin )sin 2
θθθ???+=2
100(sin cos sin )θθθ+,
(2)S =2100(sin cos sin )θθθ+=2
50(2sin cos 2sin )θθθ+
=50(sin 2cos 21)θθ-+=502)504
π
θ-
+
所以,
21、(1)当a =-
12时,21
()log (21)2
x f x x =-++,定义域为R , 21()log (21)2
x
f x x --=++2112lo
g ()22x x x +=+
=
221log (21)log 22x x x ++-=21
log (21)2
x x -++=()f x ,偶函数。
22、(1)证明:由1(1)(1),n n na n a n n n +=+++∈*
N ,两边除以(1)n n +,得
111n n a a n n +=++,即111n n a a
n n
+-=+, 所以,数列{}n a
n
为等差数列
2(1)11n
a n n n
=+-?=+,所以,(1)n a n n =+
23、(1)223c =,所以3c =,
又右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形,所以,2a b = 因为2
2
2
a b c =+,解得:2,1a b ==,
所以,椭圆方程为:2
24
x y +=1