实验4

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实

验

报

告

实验4

院系：计算机与信息技术学院

班级：2011级通信工程班

姓名：陶友

学号：1108224074

实验四 差分方程及其求解

一、实验目的

1．学习并掌握系统的差分方程表示方法以及差分方程的相关概念。 2.熟练使用filter 函数对差分方程进行数值求解。 3．掌握差分方程的求解及MATLAB 实现方法。 二、实验原理及方法

1．一LTI 系统可以用一个线性常系数差分方程表示：

∑∑==-=-N

k M

m m k

m n x b k n y a

)

()(

任意n 如果 0≠N a ,那么这个差分方程就是N 阶的，已知系统的输入序列，用这个方程可以根据当前输入x(n)和以前M 点的输入x(n-m),…,x(n-1),以及以前N 点的输出y(n-N),…,y(n-1)来计算当前输出y(n)。在实际中这个方程在时间上是从到

+∞=-∞=n n 到朝前计算的，因此该方程的另一种形式是：

∑∑==---=M m N

k k m k n y a m n x b n y 0

1

)

()()(

方程的解能以下面形式求得:

)

()()()(n y n y n y p H +=分别为方程的齐次解跟特解

部分。已知输入和差分方程的稀疏， 可用filter 对差分方程进行数值求解。最简单形式为：y =filter (b ,a , x )其中b=[b0,b1,…,bM];a=[a0,a1,…,aN]; 2． 上面差分方程解的形式为齐次解和特解，另外还可以求零输入解和零状态解理论计算中要用到z 变换，请好好掌握z 变换的内容。用MATLAB 实现时，若已知初始条件，则应用Y=filter (b ,a , x , xic )来求完全响应。这里xic 是初始状态输入数组。MATLAB 还提供一种filtic 函数来得到xic 。Xic=filtic (b ,a ,Y , X )其中b 和a 是滤波器系数数组，Y 和X 是分别从y(n)和x(n)的初始条件得来的初始状态数组。

三.实验内容

1、已知下面差分方程：

y(n)-y(n-1)+0.9y(n-2)=x(n);任意n

要求a.计算并画出在n=-20,…,100的脉冲响应h(n); b.计算并画出在n=-20,…,100的单位阶跃相应s(n). 2.解以下差分方程：

),()2(21

)1(23)(≥=-+--n n x n y n y n y

其中)

()41

()(n n x n μ=初始条件为4)1(=-y 和y(-2)=10。

要求先用理论计算，再用MATLAB 编程实现，并对比两个结果。

参考流程图： 实验内容1．

实验内容2.

四、实验报告要求

1．总结差分方程的性质及应用．

2．写出实验程序．记录实验数据并与理论计算作比较，总结结果。

五、程序

1.内容一

%实验内容1

%差分方程：y(n)=x(n)-(y(n-1)+0.9y(n-2))

b=[1];%x(n)系数

a=[1,0.9];%反馈系数

%构造x(n)为-20到100的单位冲击

for i=1:20

x1(i)=0;

end

x1(21)=1;

for i=22:121

x1(i)=0;

end

y1=filter(b,a,x1);%求解响应

figure(1)

plot(y1)

title('1108224074 陶友 n=-20，...100脉冲响应h(n)')

%构造x(n)为-20到100的单位阶跃输入函数

for i=1:20

x2(i)=0;

end

for i=21:121

x2(i)=1;

end

y2=filter(b,a,x2);%求解响应

figure(2)

plot(y2)

title('1108224074 陶友 n=-20，...100阶跃响应s(n)')

%实验内容2

%求解y(n)-3/2y(n-1)+1/2y(n-1)=x(n)

b2=[1];%x(n)系数

a2=[-3/2,1/2];

%构造x(n)

for n=1:4

x3(n)=0;%-4:-1

end

for n=5:105

x3(n)=(1/4)^(n-5);%0:100

end

X=x3;

Y=zeros(1,105);

Y(3)=10;%y(-2)=10

Y(4)=4;%y(-1)=4

xic=filtic(b2,a2,Y,X) ; y3=filter(b2,a2,x3,xic); figure(3) plot(y3)

title('1108224074 陶友 完全响应')

六、实验结果与分析

20

40

60

80

100

120

140

-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811108224074 陶友 n=-20，...100脉冲响应h(n)

20

40

60

80

100

120

140

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

11108224074 陶友 n=-20，...100阶跃响应s(n)

020406080100120

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

1108224074 陶友 完全响应

本实验实验结果与理论结果一致，通过本实验熟悉了。熟练了filter 函数对差分方程进行数值求解及对差分方程性质的掌握。