分段函数、解析式与图像含详解答案
解析式、分段函数、函数图像作业
题型一分段函数1．已知函数2,01,()2,12,1,2,2x x f x x x ??≤≤?=<
3[()]2f f f ?????
?的值为2．设函数23,0()(2),0
x x x f x f x x ?+≥=?+
3．设(
)()121,1
x f x x x <<=-≥??，若()12f a =，则a =4.分段函数已知函数3,0,
()4,0.
x x f x x x -+≤?=?>?(1)画函数图像(2)求((1))f f -；(3)若0()2f x >,求0x 的取值范围.
题型二解析式
1.求下列函数的解析式
（1）已知2()f x x x =+，求(1)f x -的解析式
（2）若1)f x +=+
()f x 的解析式（3）如果1f x ?? ???＝1x x
-，则当x ≠0，1时，求()f x 的解析式（4）已知2112f x x x x ?
?+=+ ??
?，求()f x 的解析式2.求下列函数的解析式
（1）已知函数()f x 是一次函数，若()48f f x x =+????，求()f x 的解析式；
（2）已知
()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +-=，求()f x 的解析式
（3）已知函数f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x，求()f x 的解析式．
（4）已知函数()f x 的定义域是一切非零实数，且满足13()24f x f x x ??+=
???
．求()f x 的解析式．
3.已知函数()21f x x =-，2,0,(){1,0,x x g x x ≥=-<求()f g x ????和()g f x ????的解析式．题型三函数图像
1.画出函数2)(x x f =的图像，并用变换的方法画出以下函数的图像。
（1）2)(2+=x x f （2）2)1()(-=x x f （3）2)2()(2
+-=x x f （4）32)(2+-=x x x f （5）542)(2
-+=x x x f 2.画出下列函数函数的图像。（1）11
)(-=x x f （2）21)(+=x x f （3）32
1)(+-=x x f （4）3241)(--=x x f （5）231)(+-=x
x f 3.画函数12
x y x -=-的图像4.画下列函数的图像
（1）()3f x x =-（2）f（x）=|x 2﹣6x+8|（3）2
x
y x =+（4）223y x x =-++（5）1
2||
y x =-
由三角函数图象求解析式
已知函数()f x =Acos(x ω?+)的图象如图所示，2 ()2 3 f π =- ，则(0)f =（ ） （A ）23- (B) 23 (C)－ 12 (D) 1 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2π 3，于是【解析】选B.由图象可得最小正周期为f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对 称，所以 f(2π3)＝－f(π2)＝2 3. 如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π?? ??? ，0中心对称，那么||?的最小值 为（ ） （A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2 π w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】选A. 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π?? ??? ，0中心对称w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4232k ππφπ∴? +=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6π φ=. 已知函数y=sin （ωx+?）（ω>0, -π≤?<π）的图像如图所示，则 ?=________________ 【解析】由图可知， ()544,,2,1255T x πωπ??? = ∴=+ ??? 把代入y=sin 有： 89,510ππ???? +∴= ??? 1=sin 已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712 f π ?? = ??? 。
【解析】由图象知最小正周期T ＝32（445ππ-）＝ 32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4 π时，f （x ）＝0，即2φπ +? 4 3sin(）＝0，可得4 π φ= ，所以，712f π ?? = ? ?? 2)41273sin(ππ+?＝0。 ）已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的图象与x 轴的 交点中，相邻两个交点之间的距离为2 π ，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[ ,]122 x ππ ∈，求()f x 的值域. 【解析】（1）由最低点为2(,2)3 M π -得A=2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2 π ，即T π=，222T ππωπ=== 由点2(,2)3M π-在图像上得242sin(2)2,)133ππ ???+=-+=-即sin( 故42,32k k Z ππ?π+=-∈ 1126 k π?π∴=- 又(0, ),,()2sin(2)266f x x π ππ ??∈∴= =+故 （2）7[,],2[,]122636x x πππππ ∈∴+∈ 当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266 x ππ+= 即2 x π =时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]把函数y ＝cos(3x ＋4 π )的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( )
解析函数
第2章 解析函数 2.1 解析函数的概念及C-R 条件 复数作为复数域的向量，是一维向量，或复数是复数域上的一维线性空间. 2-1 ()f z 在000i z x y =+点可导的充分必要条件是（ ）. （A ）在00(,)x y 点,u v 可导，且满足C-R 条件，即,u v u v x y y x ????==-????在00(,)x y 成立 （B ）()f z 在00(,)x y 点的一个邻域内可导 （C ）在00(,)x y 点,u v 可微，且满足C-R 条件 （D ）在00(,)x y 点,u v 具有连续的偏导数，且满足C-R 条件 解 由上题的推导过程知，若()f z 在0z 点可导，则,u v 在00(,)x y 可微，且 ,.u v u v a b x y y x ????==- ==???? 在00(,)x y 点成立. 反之，若,u v 在00(,)x y 可微，且满足C-R 条件，则 ()i f z u v z z ??+?=?? i()(||)(i )i(i )(||) (i )(||)x y x y x x x x x u x u y v x v y o z z z u x y v x v y o z z z u v z o z z z ?+?+?+??=+ ???+?+?+??=+ ??+??=+ ?? 故 0() lim x x z f z u iv z ?→?=+? 选（C ）. 2-2 若22 2 22,0(,),(,),()i 0,0xy x y x y u x y v x y xy f z u v x y 2?+≠?+===+??+=? ，则函数() f z （ ）. （A ）仅在原点可导 （B ）处处不可导 （C ）除原点外处处可导 （D ）处处可微 解 (,)u x y 在原点虽有 0y v x y ??==??但不可微；而除原点外,u v 可微但不满足C-R 条件，因此，()f z 处处不可导. 选（B ）. ()f z z =如此简单一个函数却处处连续但不可导！ 2-3 若2 2 ()()i(32)f z x y ax by cxy x y =-+++++处处解析，则(,,)a b c =（ ）. （A ）(3,2,2) （B ）(2,3,2)-- （C ）（(2 ,3,2)- （D ）(2,3,2)- 解 由C-R 条件及 2,2,3, 2.u u v v x a y b cy cx x y x y ????=+=-+=+=+????故2,2, 3.c a b ===- 2-3 若22 ()i f z xy x y =+则()f z （ ）. （A ）令在直线y x =上可导 （B ）仅在直线y x =-上可导 （C ）仅在（0，0）点解析 （D ）仅在（0，0）点可导
分段函数的几种常见题型和解法
函数的概念和性质 考点 分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f . 3．求分段函数的最值
例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 226(12) .()3(24) x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 5．作分段函数的图像
由函数图像求解析式
由函数y ＝Asin(ωx ＋φ)+B 的 图象求解析式 一、知识回顾 1、五点作图：y ＝Asin(ωx ＋φ) 2、图像变换: y=sinx 到 y=Asin(ωx+?) 方法1:(按φ、ω、A 顺序变换) 方法1:(按ω、φ、A 顺序变换) 3. 巩固练习： 【练习1】已知函数 2sin(2x )3y π =+ (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3) 3 2sin(2x )y π=+的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得？ 要得到y=cos2x 的图象,只需把函数y=sin(2x -π/3 ) 的图象向______平移______个单位得到. 二、探究新知： 例1、函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A>0，ω>0， 0<φ<π)的部分图象如图所示，则函数的解析式？ 小结：知图求式的方法 （1)由最值确定A; (2)由T 确定ω； (3)由图象上的对应点确定φ. 变式训练 1、如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一段，求其解析式． 例2 sin()(0,0,)2y A x B A πωφωφ=++>>< 如图是函数的部分图像，求它的解析式
例3 已知函数()sin(),0,0 2 f x A x x R π ω?ω? ?? =+∈><< ? ?? 的部分图象如图所示.求函 数的解析式； 三、课堂小结：谈谈你的收获！ 四、课后思考： sin()(0,0,)2, 212 y A x A P Q PQ ππ ωφωφ =+>>< 设函数图像上一最高点的坐标为（，），且与它相邻的最低点又
函数概念及解析式
函数的概念及解析式 【复习目标】 1． 理解函数的概念； 2． 掌握函数的表示方法； 【知识梳理】 1. 设A 、B 是____的数集，如果按某种对应关系f ，__________________________________________.，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数。 2. 函数的三要素：____________、________________、________________________; 3. 常用函数的表示方法：_____________________、______________、_____________; 4. 分段函数是指____________________________________________________________________; 【基础达标】 1． f(1－x)=x 2，则f(x)=____________, 2． 若f(x －221)1x x x +=, 则f(x)=__________. 3． 已知f(x)=11+-x x ,则f(x)+f()1x =_____________. 4． 若f(x)=x 2－mx+n,f(n)=m,f(1)=－1，则f(－5)=____________. 5． 已知)3(4 1)(,2)(2+=+=x x g a x x f ，若g[f(x)]=x 2+x+1，则a=_____________. 6．已知f(1－cosx)=sin 2x ，则f(x)=________________. 【典型例题】 例1．求函数解析式 ⑴.求一次函数f(x)，使f[f(x)]=9x+1； ⑵.设二次函数()y =f x 的最大值为13，且3(1)5f f （ ）=-=，求()f x 的解析式. ⑶.已知2(31)23f x x x +=-+，求(1)f x -=. ⑷.已知2 21)1(x x x x x f ++=+，求f(x)；
高中数学-分段函数的几种常见题型及解法
分段函数常见题型及解法 【解析】 3 ?求分段函数的最值 4x 3 (x 0) 例3?求函数f(x) x 3 (0 x 1)的最大值 x 5 (x 1) 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 有不同的对应法则的函数 它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数 ；它的定义域是各段函数定义域的并 集，其值域也是各段函数值域的并集 ?由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知 识的程度的考察上有较好的作用 ，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题 型做了一些思考，解析如下： 1 ?求分段函数的定义域和值域 例1.求函数f(x) 值域? 【解析】 2x 2 x [ 1,0]; 1 x x (0,2);的定义域、 3 x [2，)； 作图， 利用“数形结合”易知f (x)的定义域为 [1，)，值域为(1,3]. 2 ?求分段函数的函数值 |x 1| 2，(|x| 例2 . ( 05年浙江理)已知函数 f(x) 1 1 x 2 (|x| 1) 1) 求f[? 因为 f(i) 11 1| 2 所以 f[f(b] f( 1 4 1 ( i) 2 13
【解析】当 X 0 时,f max (X ) f(0) 3,当 0 X 1 时，f max (X ) f(1) 4, 当 X 1 时, X 5 15 4,综上有 f max (x) 4. 4 ?求分段函数的解析式 例4 .在同一平面直角坐标系中，函数y f (X )和y g(X )的图象关于直线 y X 对 称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得 的图象是由两条线段组成的折线(如图所示) ，则函数f (x)的表达式为() 5 ?作分段函数的图像 例5?函数y e IM |X 1|的图像大致是() 2x 2 (1 X 0) A. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 0) B. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 2) C. f(x) X 2 1 ( 2 X 4) 2x 6 (1 X 2) D. f(x) X 2 3 (2 X 4) 【解析】 将其图象沿X 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1 个单位 得解析式为y 今(x 2) 1 1 4 1 f(x) 2x 2 (x [ 1,0]),当 x [0,1]时, y 2x 1,将其图象沿x 轴向右平移2 个单位，再沿y 轴向下平移 1个单位, 得解析式y 2(x 2) 1 1 2x 4, 所以 f(x) 2x 2 (x [0,2]) 综上可得f(x) 2x 2 ( 1 x 0) ■2 2 (0 x 2) 故选A 当 X [ 2,0]时，y 1 x 1
确定一次函数表达式及图像的应用练习题
一、选择题（每小题4分，共28分） 1. 直线y=kx+b 的图象如图所示，则（ ） A. k=－23，b=－2 B. k=23，b=2 C. k=－32，b=2 D. k=23，b=－2 2. 已知油箱中有油25升，每小时耗油5升，则剩油量P （升）与耗油时间t （小时）之间的函数关系式为（ ） A. P=25+5t B. P=25－5t C. P=t 525 D. P=5t －25 3. 下列函数中，图象经过原点的有（ ） ①y=2x ；②y=5x 2－4x ；③y=－x 2；④y= x 6 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 已知正比例函数y=kx 的图象经过点（1，2），则k 的值为（ ） A. 21 B. 1 C. 2 D. 4 5. 为了鼓励节约用水，按以下规定收取水费：（1）每户每月用水量不超过20立方米，则每立方米水费元；（2）每户每月用水量超过20立方米，则超过部分每立方米水费2元，设某户一个月所交水费为y （元），用水量为x （立方米），则y 与x 的函数关系式用图象表示为（ ） 6. 如图，OA 、BA 分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中S 和t 分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）
A. 2.5米 B. 2米 C. 1.5米 D. 1米 7. 某学生从家里去学校，开始匀速跑步前进，跑累了，再匀速步行余下的路程，下面图中，横坐标表示该生从家里出发后的时间，纵坐标表示离开家里的路程s ，则路程s 与时间t 之间的关系的函数图象大致是（ ） 二、沉着冷静耐心填（每小题4分，共28分） 8. 若一次函数y=kx －3k+6的图象过原点，则k=_______，一次函数的解析式为________. 9. 若y －1与x 成正比例，且当x=－2时，y=4，那么y 与x 之间的函数关系式为________. 10. 如图：直线AB 是一次函数y=kx+b 的图象，若|AB|=5，则函数的表达式为________. 11. 已知直线经过原点和P （－3，2），那么它的解析式为______. 12. 随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，即含氧量3(g /m )y 与大气压强(kPa)x 成正比例函数关系. 当36(kPa)x =时，3108(g /m )y =，请写出y 与x 的函数关系式 . 13. 当b=______时，直线y=x+b 与直线y=2x+3的交点在y 轴上. 14. 假定甲乙两人在一次赛跑中，路程s 与时间t 的关系如图所示，那么可以知道：这是一次______米赛跑；甲、乙两人中先到达终点的是______；乙在这次赛跑中的速度为______
人教版高中数学高二-根据函数图象求解析式
根据函数图象求解析式 给出函数sin()y A x k ω?=++在一个周期内的图象，求它的解析式，关键在于观察给出的图象，从图象给出的信息中确定A k ω?，，，．求解的一般步骤如下： 1．观察图象的最高点与最低点，设其纵坐标分别为M m ，，则22 M m M m A k -+= =，； 2．由始点到终点的横坐标01x x ，求周期，即10T x x =-（也可由中间点确定）； 3．由公式2π T ω=，求出ω； 4．通过图象的平移或“五点法”求?． 下面通过例题加以说明． 例1 如图1是函数sin()y A x ω?=+的图象的一段，试确定其解析式． 解：由图象可知，5ππ3π66A T ??==--= ???，，所以2π2T ω==． 又因为点π06??- ??? ，是五点中的第一个点， 所以π206????-+= ??? ，即π3?=． 故所求函数的解析式是π3sin 23y x ??=+ ?? ?． 例2 如图2是函数π2sin()2y x ω????=+< ???的图象，那么（ ） Ａ．10π116ω?==， Ｂ．10π116 ω?==-， Ｃ．π26ω?==， Ｄ．π23 ω?==， 解：观察图象可知(01)，点在图象上，把点(01)，代入函数关系式，得12sin ?=， 即 1sin 2 ?=， 又π2?< ，所以π6 ?=． 又由图象知，11π012?? ???，是第五个关键点， 所以11ππ2π126 ω+=·． 所以2ω=．故选（Ｃ）． 例3已知函数sin()(00)y A x k A ω?ω=++>>，在同一个周期内，当5π3x = 时，y 有最大值为73；当11π3x =时，y 有最小值为23 -．求此函数的解析式． 解：由题意，7233 M m ==-，，
分段函数、解析式与图像含详解答案
解析式、分段函数、函数图像作业 题型一分段函数1．已知函数2,01,()2,12,1,2,2x x f x x x ??≤≤?=<?(1)画函数图像(2)求((1))f f -；(3)若0()2f x >,求0x 的取值范围. 题型二解析式 1.求下列函数的解析式 （1）已知2()f x x x =+，求(1)f x -的解析式 （2）若1)f x +=+ ()f x 的解析式（3）如果1f x ?? ???＝1x x -，则当x ≠0，1时，求()f x 的解析式（4）已知2112f x x x x ? ?+=+ ?? ?，求()f x 的解析式2.求下列函数的解析式 （1）已知函数()f x 是一次函数，若()48f f x x =+????，求()f x 的解析式； （2）已知 ()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +-=，求()f x 的解析式 （3）已知函数f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x，求()f x 的解析式． （4）已知函数()f x 的定义域是一切非零实数，且满足13()24f x f x x ??+= ??? ．求()f x 的解析式．
3.已知函数()21f x x =-，2,0,(){1,0,x x g x x ≥=-<求()f g x ????和()g f x ????的解析式．题型三函数图像 1.画出函数2)(x x f =的图像，并用变换的方法画出以下函数的图像。 （1）2)(2+=x x f （2）2)1()(-=x x f （3）2)2()(2 +-=x x f （4）32)(2+-=x x x f （5）542)(2 -+=x x x f 2.画出下列函数函数的图像。（1）11 )(-=x x f （2）21)(+=x x f （3）32 1)(+-=x x f （4）3241)(--=x x f （5）231)(+-=x x f 3.画函数12 x y x -=-的图像4.画下列函数的图像 （1）()3f x x =-（2）f（x）=|x 2﹣6x+8|（3）2 x y x =+（4）223y x x =-++（5）1 2|| y x =-
高中数学常见题型解法归纳含详解第15招 分段函数常见题型解法
【知识要点】 分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题. 1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为： 11 2 2() ()()() n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈??∈?=? ∈??∈?K K ，不要写成11 22 ()()()()n n n y f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈??=∈?=?∈? ?=∈?K K .注意分段函数的每一段的自变量的取值范 围的交集为空集，并集为函数的定义域D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面. 2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并. 3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并. 4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合. 5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合. 6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性. 7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的. 虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】 题型一 分段函数的解析式问题 解题方法 一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.
几何图形中函数解析式的求法(学法指导)
几何图形中函数解析式的求法 函数是初中数学的重要容，也是初中数学和高中数学有相关联系的细节，在历年的中考试题中都占有重要的份量，而求函数的解析式则成为中考的热点。求函数的解析式的方法是多种多样的，但是学生往往把思维固定在用“待定系数法”去求函数的解析式。而使用待定系数法去求函数的解析式的大前提是必须根据题目的条件，选用恰当函数（如正、反比例函数，一次、二次函数）的表达式。如果题目中能根据直接条件或间接条件给出函数的类型，当然是选用待定系数法求函数的解析式。 但我们发现，在几何图形中求函数解析式却成为初中数学考试的常见题、压轴题。同时我们也发现，在几何图形中求函数解析式往往是无法确定所求函数的类型，因此用待定系数法进行解题是行不通的。我们知道，函数的解析式也是等式，要建立函数解析式，关键是运用已知条件在几何图形中找出等量关系，列出以变量有关的等式。下面以几个例子来探求在几何图形中建立函数解析式的常见类型和解题途径。 一、 用图形的面积公式确立等量关系 例1、如图1，正方形ABCD 的边长为2，有一点P 在 BC 上运动，设PB=x ，梯形APCD 的面积为y （1）求y 与x 的函数关系式； （2）如果S △ABP =S 体型APCD 请确定P 的位置。 分析：本题所给的变量y 是梯形的面积，因此可根据梯形面积公式 B C A D P 图1
A D C B E F G N 图2 S=2 1（上底+下底）×高 ，分别找出上底、下底、高问题可获解决。因为上底CP=x -2，下底AD=2，高CD=2，于是由梯形面积公式建立两个变量之间的等量关系，2)22(2 1 ?+-=x y ，整理得：22 2 +-=x y 。（2）略 例2、如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，AD=a ，BC=2a ，CD=2，四边形EFCG 是矩形，点E 、G 分别在腰AB 、CD 上， 点F 在BC 上。设EF=x ，矩形EFCG 的面积为y 。（2002年中考题） （1）求y 与x 的函数关系式； （2）当矩形EFCG 的面积等于梯形ABCD 的面积的一半时，求x 的值； （3）当∠ABC=30°时，矩形EFCG 是否能成正方形，若能求其边长，若不能试说明理由。 分析：本题所给的变量y 值是矩形的面积，因此根据矩形面积公式S=长×宽，若能算出长FC 与宽EF ，或者用变量x 、y 表示FC 和EF ，则问题可获解决。其中宽EF=x ，问题归结为求出长FC ，从而两个变量x 、y 之间的关系通过矩形面积公式建立了。 解：（1）过点A 作AN ⊥BC 于N ，因为在矩形EFCG 中，EF ⊥BC ， ∴EF ∥AN ∴ AN EF BN BF = 即 22x a a BF =-， 得BF=2 ax
已知三角函数图象求解析式方法例析
已知三角函数图象求解析式方法例析 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
已知三角函数图象求解析式方法例析 已知函数y ＝Asin(ωx+φ)+k(A ＞0，ω＞0)的部分图象，求其解析式，与用“五点法”作函数y ＝Asin(ωx+φ)＋ｋ的图象有着密切联系，最主要的是看图象上的“关键点”与“特殊点”．本文就一般情况例析如下． 一、A 值的确定方法：A 等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半． 二、 ω值的确定方法： 方法１.在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期Ｔ，然后据ω＝T π2求得 ω的值． 方法２：“特殊点坐标法”。特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。在求出了A 与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值． 三、 φ值的确定方法： 方法１：“关键点对等法”．确定了ω的值之后，把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ，它应与曲线ｙ＝sinx 上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得φ的值．此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线y ＝sinx 在区间[0，2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、2 π、π、2 3π、2π,若设所给图象与曲线y=sinx 上对应五点的横坐标为x J (J ＝1,2,3,4,5), 则顺次有ωx 1+φ＝
0、 ωx 2+φ＝2 π、ωx 3+φ＝π、ωx 4+φ＝2 3π、ωx 5+φ＝ 2π,由此可求出φ的值。 方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定φ的值． 方法3：“特殊点坐标法”．（与2中的方法2类同）． 四、 k 值的确定方法： K 等于图象向上或向下平移的长度，图象上移时k 为正值，下移时k 为负值． 另外A 、ω、φ的值还可以通过“解方程（组）法”来求得． 例1.图1是函数ｙ＝2sin （ωx+φ）(ω＞０，φ≤2 π)的 图象，那么正确的是（ ） Ａ.ω＝11 10, φ＝6 π Ｂ．ω＝11 10, φ＝－6 π Ｃ．ω＝２，φ＝6 π Ｄ．ω＝２，φ＝－6 π , 解：可用“筛选选项法”． 题设图象可看作由y ＝2sin ωx 的图象向左平移而得到，所以φ＞0 排除B 和D ，由A,C 知φ＝6 π； ω值的确定可用“关键点对等法”， 图1 因点（12 11π,0）是“五点法”中的第五个点， ∴ω·12 11π +6 π＝2π 解得ω＝２， 故选C ． 例2.图2是函数y ＝Asin(ωx+φ)图象上的一段, 12 11π1211πx y 2 -
1.2.1函数的概念练习题及答案解析
1．下列说法中正确的为( ) A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数 B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数 C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数 D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同． 2．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 x D ．f (x )＝x 2－9x －3 ，g (x )＝x ＋3 解析：选B.A 、C 、D 的定义域均不同． 3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0} D ．{x |0≤x ≤1} 解析：选D.由? ???? 1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1. 4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________． 解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对 于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a ＞1或a ＜－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)． 答案：(2)(3) 1．函数y ＝1x 的定义域是( ) A ．R B ．{0} C ．{x |x ∈R ，且x ≠0} D ．{x |x ≠1} 解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．
人教A版高一数学函数的概念知识点总结与例题讲解
函数的概念知识点总结 本节主要知识点 （1）函数的概念. （2）函数的三要素与函数相等. （3）区间的概念及其表示. 知识点一 函数的概念 初中学习的函数的传统定义 一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对应,我们就说x 是自变量,y 是因变量,此时也称y 是x 的函数. 函数的近代定义 设A , B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应,那么就称f :B A →为从集合A 到集合B 的一个函数,记作 )(x f y =,A x ∈. 其中,x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫作函数值,函数值的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集. 对函数的近代定义的理解 （1）只有两个非空的数集之间才可能建立函数关系.定义域或值域为空集的函数是不存在的. 如x x y --= 11就不是函数. （2）注意函数定义中的“三性”:任意性、存在性和唯一性. 任意性:集合A 中的任意一个元素x 都要考虑到. 存在性:集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都存在对应元素y . 唯一性:在集合B 中,与每一个元素x 对应的元素y 是唯一的.