上海民办上宝中学数学三角形解答题同步单元检测(Word版 含答案)
上海民办上宝中学数学三角形解答题同步单元检测（Word 版 含答案）
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动． （1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠AEB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB 的大小．
（2）如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，又DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CED 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及延长线相交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO 的度数．
【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45° 【解析】 【分析】
（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB=90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出1BAE OAB 2∠=∠，1
ABE ABO 2
∠=∠，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）延长AD 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB=90°，进而得出OAB OBA 90∠+∠=? ，故PAB MBA 270∠+∠=?，再由AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知1BAD BAP 2∠=
∠，1
ABC ABM 2
∠=∠，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知
CDE DCE 112.5∠+∠=?，进而得出结论；
（3））由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知
1EAO BAO 2∠=∠,1
EOQ BOQ 2
∠=∠ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO
和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论． 【详解】
（1）∠AEB 的大小不变，
∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，
∴∠AOB=90°，
∴OAB OBA 90∠+∠=?，
∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线， ∴1BAE OAB 2∠=
∠，1
ABE ABO 2
∠=∠， ∴()1
BAE ABE OAB ABO 452
∠+∠=∠+∠=°， ∴∠AEB=135°；
（2）∠CED 的大小不变． 如图2，延长AD 、BC 交于点F ． ∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ， ∴90∠=AOB °，
∴OAB OBA 90∠+∠=°， ∴PAB MBA 270∠+∠=°，
∵AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线， ∴1BAD BAP 2∠=
∠，1
ABC ABM 2
∠=∠， ∴()1
BAD ABC PAB ABM 1352
∠+∠=
∠+∠=°，F 45∠=°， ∴FDC FCD 135∠+∠=°， ∴CDA DCB 225∠+∠=°，
∵DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线， ∴CDE DCB 112.5∠+∠=°， ∴E 67.5∠=°；
（3）∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E ， ∴1EAO BAO 2∠=
∠,1
EOQ BOQ 2
∠=∠ ， ∴()11
E EOQ EAO BOQ BAQ ABO 22
∠=∠-∠=
∠-∠=∠， ∵AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线， ∴EAF 90∠=°． 在△AEF 中，
∵有一个角是另一个角的3倍，故有：
①EAF 3E ∠=∠，E 30∠=°，ABO 60∠=°； ②EAF 3F ∠=∠，E 60∠=°，ABO 120∠=°； ③EAF 3E ∠=∠，E 22.5∠=°，ABO 45∠=°； ④EAF 3F ∠=∠，E 67.5∠=°，ABO 135∠=°． ∴∠ABO 为60°或45°． 【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
2．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”． 如图，∠MON ＝60°，在射线OM 上找一点A ，过点A 作AB ⊥OM 交ON 于点B ，以A 为端点作射线AD ，交线段OB 于点C （规定0°< ∠OAC < 90°）．
（1）∠ABO 的度数为 °，△AOB （填“是”或“不是”灵动三角形）； （2）若∠BAC ＝60°，求证：△AOC 为“灵动三角形”； （3）当△ABC 为“灵动三角形”时，求∠OAC 的度数．
【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°. 【解析】 【分析】
（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO 的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；
（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；
（3）分点C 在线段OB 和线段OB 的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算． 【详解】
（1）答案为：30°；是； （2）∵AB ⊥OM ∴∠B AO ＝90° ∵∠BAC ＝60°
∴∠OAC ＝∠B AO-∠BAC=30° ∵∠MON ＝60°
∴∠ACO ＝180°-∠OAC-∠MON ＝90° ∴∠ACO ＝3∠OAC ， ∴△AOC 为“灵动三角形”；
（3）设∠OAC= x°则∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x ,∠ABC＝30°
∵△ABC为“智慧三角形”，
Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，°，
∴30＝3（90-x），∴x=80
Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，
∴30=3（60+x）∴x= -50 （舍去）
∴此种情况不存在，
Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，
∴60+x＝3（90-x），
∴x＝52.5°，
Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时，
∴60+x＝90°，
∴x＝30°，
Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，
∴90-x＝90°，
∴x＝0°（舍去）
Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时，
∴90-x＝3（60+x），
∴x= -22.5（舍去），
∴此种情况不存在，
∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。
【点睛】
考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
3．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠BAD的平分线AG交BC于点G．
（1）求证：∠BAG=∠BGA；
（2）如图2，∠BCD的平分线CE交AD于点E，与射线GA相交于点F，∠B=50°．
①若点E在线段AD上，求∠AFC的度数；
②若点E在DA的延长线上，直接写出∠AFC的度数；
（3）如图3，点P在线段AG上，∠ABP=2∠PBG，CH∥AG，在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，请直接写出∠ABM：∠PBM的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①20°；②160°；（3）1
3
或
7
3
【解析】
【分析】
（1）根据AD//BC可知∠GAD=∠BGA，由AG平分∠BAD可知∠BAG=∠GAD，即可得答案.（2）①根据CF平分∠BCD，∠BCD=90°，可求出∠GCF的度数，由AD//BC可求出∠AEF 和∠DAB的度数，根据三角形外角的性质求出∠AFC的度数即可；②根据三角形外角性质求出即可；（3）根据M点在BP的上面和下面两种情况讨论，分别求出∠PBM和∠ABM 的值即可.
【详解】
（1）∵AD∥BC，
∴∠GAD=∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD，
∴∠BAG=∠BGA；
（2）①∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，
∴∠GCF=45°，
∵AD∥BC，∠ABC=50°，
∴∠AEF=∠GCF=45°；∠DAB=180°﹣50°=130°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD=65°，
∴∠AFC=65°﹣45°=20°；
②如图：
∵∠AGB=65°，∠BCF=45°，
∴∠AFC=∠CGF+∠BCF=115°+45°=160°；
（3）有两种情况：
①当M在BC的下方时，如图：∵∠ABC=50°，∠ABP=2∠PBG，
∴∠ABP=（100
3
）°，∠PBG=（50
3
）°，
∵AG∥CH，
∴∠BCH=∠AGB=65°，∵∠BCD=90°，∴∠DCH=∠PBM=90°﹣65°=25°，
∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=（100
3
+25）°=（
175
3
）°，
∴∠ABM：∠PBM=（175
3
）°：25°=7
3
；
②当M在BC的上方时，如图：
同理得：∠ABM=∠ABP﹣∠PBM=（100
3
﹣25）°=（25
3
）°，
∴∠ABM：∠PBM=（25
3
）°：25°=1
3
；
综上，∠ABM：∠PBM的值是1
3
或
7
3
．
【点睛】
本题考查平行线的性质和三角形外角性质，熟练掌握平行线性质是解题关键.
4．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令
∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：.【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解
析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．
【解析】
试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；
（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；
（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．
试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，
∵∠C＝90°，∠α＝50°，
∴∠1＋∠2＝140°，
故答案为140；
（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，
∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.
故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.
（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，
设DP与BE的交点为M，
∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，
∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.
（4）如图④，
设PE 与AC 的交点为F ， ∵∠PFD ＝∠EFC ，
∴180°－∠PFD ＝180°－∠EFC ， ∴∠α＋180°－∠1＝∠C ＋180°－∠2， ∴∠2＝90°＋∠1－∠α. 故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α
点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.
5．ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，AE BC ⊥，垂足为E ，作CF//AD ，交直线AE 于点F.设B α∠=，ACB β∠=．
()1若B 30∠=，ACB 70∠=，依题意补全图1，并直接写出AFC ∠的度数； ()2如图2，若ACB ∠是钝角，求AFC ∠的度数(用含α，β的式子表示)；
()3如图3，若B ACB ∠∠>，直接写出AFC ∠的度数(用含α，β的式子表示)．
【答案】（1）补图见解析，AFC 20∠=；（2） ()1
AFC 180βα2
∠=-
-；（3） ()1
AFC αβ2
∠=
-． 【解析】 【分析】
(1)先根据三角形内角和定理求出∠BAC 和∠CAE ，根据角平分线定义求出∠CAD ，即可求出答案；
(2)先根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据角平分线定义求出∠BAD ，根据三角形外角性质求出∠ADC ，根据三角形内角和定理求出∠DAE ，根据平行线的性质求出即可； (3)求出∠DAE 度数，根据平行线的性质求出即可． 【详解】 解：()1如图1，
B 30∠=，ACB 70∠=，
BAC 180B ACB 80∠∠∠∴=--=，
AD 是BAC ∠的平分线，
1
CAD CAB 402
∠∠∴==，
AE BC ⊥，
AEC 90∠∴=，
ACB 70∠=，
EAC 180907020∠∴=--=，
DAE CAD CAE 402020∠∠∠∴=-=-=，
CF//AD ，
AFC DAE 20∠∠∴==；
()2如图2，
ABC 中，BAC B ACB 180∠∠∠++=， ()BAC 180B ACB ∠∠∠∴=-+． ()180αβ=-+，
AD 是BAC ∠的平分线，
()11
BAD BAC 90αβ22
∠∠∴==-+，
()()11
ADE B BAD α90αβ90βα22
∠∠∠∴=+=+-+=--，
AE BC ⊥，
DAE ADE 90∠∠∴+=，
()1
DAE 90ADE βα2
∠∠∴=-=
-， CF//AD ，
DAE AFC 180∠∠∴+=，
()1
AFC 180βα2
∠∴=-
-； ()3如图3，
ABC 中，BAC B ACB 180∠∠∠++=， ()BAC 180B ACB ∠∠∠∴=-+， ()180αβ=-+，
AD 是BAC ∠的平分线，
()11
CAD BAC 90αβ22
∠∠∴==-+，
AE BC ⊥，
AEC 90∠∴=， ACB β∠=，
EAC 18090β90β∠∴=--=-，
()
()()11
DAE CAE CAD 90β90αβαβ22
∠∠∠??∴=-=----=-????．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线定义、三角形的高、平行线的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
6．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AC 、BC 上（不与点A 、B 、C 重合），点P 是直线AB 上的任意一点（不与点A 、B 重合）．设∠PDA=x，∠PEB=y，∠DPE=m，∠C=n． （1）如图，当点P 在线段AB 上运动，且n=90°时 ①若PD∥BC，PE∥AC，则m=_____； ②若m=50°，求x+y 的值．
（2）当点P 在直线AB 上运动时，直接写出x 、y 、m 、n 之间的数量关系．
【答案】（1）①90°，②140°；（2）详见解析.
【解析】
分析：（1）①证明四边形DPEC为平行四边形可得结论；
②根据四边形内角和为360°，列等式求出x+y的值；
（2）根据P、D、E位置的不同，分五种情况：①y-x=m+n，如图2，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；
②x-y=m-n，如图3，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；
③x+y=m+n，如图4，点P在线段BA上时，根据四边形的内角和为360°列等式，化简后得出结论；
④x-y=m+n，如图5，同理得出结论；
⑤y-x=m-n，如图6，同理得出结论．
详解：（1）①如图1，
∵PD∥BC，PE∥AC，
∴四边形DPEC为平行四边形，
∴∠DPE=∠C，
∵∠DPE=m，∠C=n=90°，
∴m=90°；
②∵∠ADP=x，∠PEB=y，
∴∠CDP=180°-x，∠CEP=180°-y，
∵∠C+∠CDP+∠DPE+∠CEP=360°，
∠C=90°，∠DPE=50°，
∴90°+180°-x+50°+180°-y=360°，
∴x+y=140°；
（2）分五种情况：
①y﹣x=m+n，如图2，
理由是：
∵∠DFP=n+∠FEC，∠FEC=180°﹣y，
∴∠DFP=n+180°﹣y，
∵x+m+∠DFP=180°，
∴x+m+n+180°﹣y=180°，
∴y﹣x=m+n；
②x﹣y=m﹣n，如图3，
理由是：
同理得：m+180°﹣x=n+180°﹣y，
∴x﹣y=m﹣n；
③x+y=m+n，如图4，
理由是：
由四边形内角和为360°得：180°﹣x+m+180°﹣y+n=360°，∴x+y=m+n；
④x﹣y=m+n，如图5，
理由是：
同理得：180°=m+n+y+180°﹣x，
∴x﹣y=m+n；
⑤y﹣x=m﹣n，如图6，
理由是：
同理得：n+180°﹣x=m+180°﹣y，
∴y﹣x=m﹣n．
点睛：本题考查了三角形综合、平行四边形的判定.
7．如图①，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(4，1)，C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．
(1)求证：∠OAC＝∠OCA；
(2)如图②，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC
＝1
3
∠AOC，∠PCE＝
1
3
∠ACE，求∠P的大小；
(3)如图③，在(2)中，若射线OP、CP满足∠POC＝1
n
∠AOC，∠PCE＝
1
n
∠ACE，猜想∠OPC
的大小，并证明你的结论(用含n的式子表示)．
【答案】（1）证明见解析（2）15°（3）45 n
【解析】
试题分析：（1）根据AB坐标可以求得∠OAB大小，根据角平分线性质可求得∠OAC大小，即可解题；
（2）根据题干中给出的∠POC=1
3
∠AOC、∠PCE=
1
3
∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，
再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题；
（3）解法和（2）相同，根据题干中给出的∠POC=1
n
∠AOC、∠PCE=
1
n
∠ACE可以求得
∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题．
试题解析：(1)证明：∵A(0，1)，B(4，1)，∴AB∥CO，∴∠OAB＝180°－∠AOC＝90°.∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝45°，∴∠OCA＝90°－45°＝45°，∴∠OAC＝∠OCA.
(2)解：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝30°.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝
(180°－45°)＝45°.∵∠P＋∠POC＝∠PCE，∴∠P＝∠PCE－∠POC＝15°.
(3)解：∠OPC＝.
证明如下：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝
(180°－45°)＝.
∵∠OPC＋∠POC＝∠PCE，
∴∠OPC＝∠PCE－∠POC＝.
点睛：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，本题中求∠PCE和∠POC的大小是解题的关键．
8．如图，已知，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E的线段AD(除去端点A、D)上一动点，EF⊥BC于点F.
(1)若∠B＝40°，∠DEF＝10°，求∠C的度数．
(2)当E在AD上移动时，∠B、∠C、∠DEF之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．
【答案】(1)∠C＝60°.
(2)∠C－∠B＝2∠DEF.理由见解析
【解析】
试题分析：（1）已知：EF⊥BC，∠DEF＝10°可以求得∠EDF的度数，∠EDF又是?ABD的外角，已知∠B的度数，可求得∠BAD的值，AD平分∠BAC，所以∠BAC的值也可求出，从而求出∠C。（2）EF⊥BC，可得到∠EDF＝90°－∠DEF，∠EDF又是?ABD的外角，可得到∠BAD＝∠EDF－∠B=90°－∠DEF－∠B，然后可将∠ BAC用含∠DEF、∠B的角来表示，即∠BAC =2(90°－∠DEF－∠B),最后利用∠B、∠ BAC、∠C的和为180°求得三角之间的等量关系。
试题解析：(1)∵EF⊥BC，∠DEF＝10°，
∴∠EDF＝80°.
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝∠EDF－∠B＝80°－40°＝40°.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝80°.
∴∠C＝180°－40°－80°＝60°.
(2)∠C－∠B＝2∠DEF.理由如下：
∵EF⊥BC，∴∠EDF＝90°－∠DEF.
∵∠EDF＝∠B＋∠BAD，
∴∠BAD＝90°－∠DEF－∠B.
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝180°－2∠DEF－2∠B. ∴∠B＋180°－2∠DEF－2∠B＋∠C＝180°. ∴∠C －∠B ＝2∠DEF.
【点睛】本题主要考查考生对三角形外角和性质得理解及灵活运用，以及对三角形内角和，角平分线的定义的理解。此为易考点及重点。考查考生等量代换思想的形成及掌握，在解题过程中涉及到角与角之间的转换。此为难点。
9．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ．
(1)若∠B ＝72°，∠C ＝30°，①求∠BAE 的度数；②求∠DAE 的度数；
(2)探究：如果只知道∠B ＝∠C ＋42°，也能求出∠DAE 的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】（1）①39°；②21°；（2）21°. 【解析】 【分析】
()1①先根据三角形内角和定理计算出BAC 78∠=，然后根据角平分线定义得到
1BAE BAC 392
∠∠==；
②根据垂直定义得到ADB 90∠=，则利用互余可计算出BAD 90B 18∠∠=-=，
然后利用DAE BAE BAD ∠∠∠=-进行计算即可；
()2由B C BAC 180
∠∠∠++=，B C 42∠∠=+可消去C ∠得到
BAC 2222B ∠∠=-，则根据角平分线定义得到BAE 111B ∠∠=-，接着在ABD
中利用互余得BAD 90B ∠∠=-，然后利用DAE BAE BAD ∠∠∠=-进行计算即可得到DAE 21∠=． 【详解】 解：()1B C BAC 180∠∠∠++=①
，
BAC 180723078∠∴=--=，
AE 平分BAC ∠，
1
BAE BAC 392
∠∠∴==；
AD BC ⊥②， ADB 90∠∴=，
BAD 90B 18∠∠∴=-=，
DAE BAE BAD 391821∠∠∠∴=-=-=；
()2能．
B C BAC 180∠∠∠++=，B C 42∠∠=+，
C B 42∠∠∴=-， 2B BAC 222∠∠∴+=， BAC 2222B ∠∠∴=-，
AE 平分BAC ∠，
BAE 111B ∠∠∴=-，
在ABD 中，BAD 90B ∠∠=-，
()()
DAE BAE BAD 111B 90B 21∠∠∠∠∠∴=-=---=．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理：三角形内角和是180.掌握角平分线和高的定义，熟练进行角度的运算．
10．动手操作，探究：
探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系． 已知：如图（1），在△ADC 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠ACD ，试探究∠P 与∠A 的数量关系．并说明理由．
探究二：若将△ADC 改为任意四边形ABCD 呢？
已知：如图（2），在四边形ABCD 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ，请你利用上述结论探究∠P 与∠A +∠B 的数量关系，并说明理由．
探究三：若将上题中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF 如图（3）所示，请你直接写出∠P 与∠A +∠B +∠E +∠F 的数量关系．
【答案】探究一： 90°+12∠A ；探究二：1
2
（∠A +∠B ）；探究三：∠P =
1
2（∠A +∠B +∠E +∠F ）﹣180°． 【解析】 试题分析：
探究一：根据角平分线的定义可得∠PDC=1
2
∠ADC，∠PCD=
1
2
∠ACD，然后根据三角
形内角和定理列式整理即可得解.
探究二：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究一解答即可.探究三：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究一解答即可.试题解析：
探究一：∵DP、CP分别平分∠AD C和∠ACD，
∴∠PDC=1
2
∠ADC，∠PCD=
1
2
∠ACD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-1
2
∠ADC-
1
2
∠ACD，
= 180°-1
2
（∠ADC+∠ACD），
=180°-1
2
（180°-∠A），
=90°+1
2
∠A；
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=1
2
∠ADC，∠PCD=
1
2
∠BCD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-1
2
∠ADC-
1
2
∠BCD，
=180°-1
2
（∠ADC+∠BCD），
=180°-1
2
（360°-∠A-∠B），
=1
2
（∠A+∠B）；
探究三：六边形ABCDEF的内角和为：（6-2）×180°=720°，∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=1
2
∠EDC，∠PCD=
1
2
∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-1
2
∠EDC-
1
2
∠BCD，
=180°-1
2
（∠EDC+∠BCD），
=180°-1
2
（720°-∠A-∠B-∠E-∠F），
=1
2
（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P=1
2
（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．
点睛：本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，在此类题目中根据同一个解答思路求解是解题的关键.
2020-2021上海民办上宝中学小学数学小升初模拟试卷(含答案)
2020-2021上海民办上宝中学小学数学小升初模拟试卷(含答案) 一、选择题 1．7.49亿这个数中的“4”表示（） A. 4亿 B. 4000万 C. 400000 D. 400万2．口袋里有3个红球和5个白球，球除颜色外完全相同。从中任意摸出一个球，摸出红球的可能性是（）. A. B. C. D. 3．要想描述六年级（3）班同学身高分组的分布情况，应选用（）合适。 A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 以上都行 4．一个零件长4毫米，画在图上长12厘米。这幅图的比例尺是（）。 A. 1：30 B. 1：3 C. 30：1 D. 3：1 5．一项工程，甲独立完成要30天，乙独立完成要20天，现两队合作，几天后完成了这项 工程的。如果按这样的效率，算式（）可以表示求剩下的工程需要多少天完成。 A. ÷（ + ） B. （1- ）÷（ + ） C. 1÷（ + ） D. （1- ）÷（ - ） 6．一套科技读物原价90元，商场庆“五一”搞促销打七五折，算式（）表示求现价。A. 90×75% B. 90×（1-75%） C. 90÷75% D. 90÷（1-75%）7．长沙地铁1号线和地铁2号线总里程约为50千米，2019年5月随着地铁4号线的开通，长沙地铁总里程增加了67%，地铁4号线开通后，长沙地铁总里程约为（） A. 67千米 B. 117.1千米 C. 33.5千米 D. 83.5千米8．一块玉璧的形状是一个圆环，外圆半径是3cm，内圆半径是1cm，这个圆环的面积是（）（π取3.14） A. 3.14cm2 B. 12.56cm2 C. 25.12cm2 D. 28.26cm2 9．甲车间的出勤率比乙车间高，以下说法正确的是（） A. 甲车间的总人数一定比乙车间多 B. 甲车间的出勤人数一定比乙车间多 C. 甲车间的未出勤人数一定比乙车间少 D. 以上说法都不对 10．小明五次数学考试成绩如下表，第五次考试成绩是（）分。 次别第一次第二次第三次第四次第五次平均分 成绩（分）8896939993 11．有一张方格纸，每个小方格的边长是1厘米，上面堆叠有棱长1厘米的小正方体（如左下图），小正方体A的位置用（1，1，1）表示，小正方体B的位置用（2，6，5）表示，那么小正方体 C的位置可以表示成（）。
上海市上宝中学数学圆 几何综合章末训练(Word版 含解析)
上海市上宝中学数学圆几何综合章末训练（Word版含解析） 一、初三数学圆易错题压轴题（难） 1．如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD 的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E. （1）求证：∠E=∠C； （2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长； （3）在（2）的条件下，求△ABC的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）48 5 . 【解析】 试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C； （2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解. 试题解析：（1）如解图，连接OB， ∵CD为⊙O的直径， ∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°， ∵AB是⊙O的切线， ∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°， ∴∠ABD＝∠CBO. ∵OB、OC是⊙O的半径， ∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO. ∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD， ∴∠E＝∠C； （2）∵⊙O的半径为3，AD＝2， ∴AO＝5，∴AB＝4. ∵BD∥OE， ∴＝， ∴＝， ∴BE＝6，AE=6+4=10 （3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得
S △ABC = S △AOE == 2．已知： 图1 图2 图3 （1）初步思考： 如图1， 在PCB ?中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明： 1 2 PN PC = （2）问题提出： 如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求 1 2 PD PC +的最小值． （3）推广运用： 如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求1 2 PD PC -的最大值． 【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值37DG =【解析】 【分析】 （1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN ?∽BCP ?，得到PN BN PC BP =，即可得到结论成立； （2）在BC 上取一点G ，使得BG=1，由△PBG ∽△CBP ，得到1 2 PG PC =，当D 、P 、G 共线时，1 2 PD PC + 的值最小，即可得到答案； （3）在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理得到1 2 PG PC =，当点P 在DG 的延长线上时，1 2 PD PC -的值最大，即可得到答案. 【详解】 （1）证明：∵2,1,4PB BN BC ===，
2017-2018上海上宝中学九上英语期中考试(附答案)
上宝中学2017学年第一学期期中考试卷2017.11.7 Part 2 Phonetics, Grammar and Vocabulary （第二部分语音、语法和词汇） Ⅱ. Choose the best answer（选择最恰当的答案）（共20分） 26. The temperate dropped to minus ten degrees centigrade. Which of the following is correct for the underlined word? A. /'men?s/ B. /'mi:n?s/ C. /'ma?n?s/ D. /'m?n?s/ 27. I’m feeling a little depressed at the moment, but I’m sure good times are just ______. A. on the corner B. in the corner C. at the corner D. around the corner 28. The happiest are not those who _____ all the best things, but those who can appreciate the beauty of life ______. A. owns, on their own B. own, with their own hearts C. own, of their own D. own, by their own hearts 29. He is keen on scientific research but indifferent to promotion. Which of the following can’t b e used to replace the underlined part? A. is interested in B. is fond of C. is in favor of D. goes in for 30. Products produced by Apple Co. are quite popular ____ young people. A. with B. about C. in D. of 31. A mistake ______ have been made on our bill. We didn’t order any fish today. A. should B. would C. must D. can 32. The basic design of the house is very _____ that of earlier models, but ___ than it. A. same as, twice bigger B. same as, bigger twice C. similar to, twice bigger D. similar to, bigger twice 33. The fact that the examiners had failed over half the candidates discouraged us, ____? A. didn’t it B. hadn’t they C. did it D. had they 34. He is unwilling to admit ____ the assignment. A. having trouble understanding B. having trouble with understanding C. to have trouble understanding D. to have trouble with understanding 35. I’m not prepared to _____ some private matter _____. A. discuss about, by telephone B. discuss, over the telephone C. talk, on the telephone D. talk about, by the telephone 36. If the fire _____, anybody should ______ 119 at once and the firemen would come in no time. A. broke out, ring B. was broken out, phone C. broke out, dial D. was broken out, talk 37. Do not wait for good things to ______ you. You need walk towards happiness. A. happen on B. happen to C. take place on D. take place to 38. The three ______ assisted several ____ to find their hotel. A. boy volunteers, women tourists B. boy volunteers, woman tourists C. boys volunteers, women tourist D. boys volunteers, woman tourists 39. Wechat attracts ____ the people, they spend 80-90 _____ their spare time on it. A. a large percent of, percent of B. a high percent of, percentage of
2017-2018学年上宝中学九上英语12月月考 上海市 英语试卷
2017学年上宝中学初三12月份月考卷 Part 2 Vocabulary and Grammar II. Choose the best answer: 26.What’s the correct phonetic symbol of the word ”speech”? A. [spit?] B. [spi??] C. [spi?t?] D. [spi?] 27.Which of the underlined part pronounces different from others? A. confident B. computer C. contact D. common 28.We will have a ____ business trip abroad . A. two month B. two-month C. two-month’s D. two-months 29.After the earthquake ,some decided to leave and __ choose to stay to rebuild their hometown. A. other B. the other C. others D. the others 30.Everyone except Tom and Mary __ there when the meeting begin. A. are B .is C. was D. were 31.John was the third ____ to make a speech on the stage. A. to ask B. asked C. being asked D. to be asked 32.I do not know what it is, so I went to _____ the information in the encyclopedia. A. look into B. look at C. look up D. look out 33.It is ___ to see ____ big planes at the exhibition. A. excitement ...so B. exciting .. so C. excited, such D. exciting, such 34.We went ____ the river ____ the next ferry and the chief were already there. A. across….by B. through...by C. through....on D. across...on 35.The creator of comic strips designed some bubbles____ thoughts to express the ideas of the characters. A. with B. about C. for D. in 36.Words ____ thought or speech bubbles to make the comic strip more interesting. A. adds for B. are added C. are added to D. are added with 37.The Turkish security forces were__ the survivors in the ruins. A. search of B. searching C. in search for D. in search of 38.Bob spent fifteen months___. Ann,____, took care of children on her own. A. in prison ,in addition B. in the prison ,while C, in prison ,meanwhile D, in the prison, on the other hand 39.She ___ a bad cold for a week and still can’t get rid of it. A.caught B, has caught C. had D, has had 40.”____ your new neighbor ____?” Tall and a little fat.” A.What does....like B. How is ..like C．What does...look like D. How does ... look like 41.This outing depends on __ the weather is fine. A. which B. whether C. if D. that 42.Would you please tell me ____?
2019-2020上海市上宝中学数学中考一模试题(含答案)
2019-2020上海市上宝中学数学中考一模试题(含答案) 一、选择题 1．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行,最新统计数据显示,中国每年浪费食物总量折合粮食大约是230000000人一年的口粮,将230000000用科学记数法表示为( ) A ．2.3×109 B ．0.23×109 C ．2.3×108 D ．23×107 2．地球与月球的平均距离为384 000km ，将384 000这个数用科学记数法表示为（ ） A ．3.84×103 B ．3.84×104 C ．3.84×105 D ．3.84×106 3．将抛物线2 3y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A ．23(2)3y x =++ B ．23(2)3y x =-+ C ．23(2)3y x =+- D ．23(2)3y x =-- 4．在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示： 册数 0 1 2 3 4 人数 4 12 16 17 1 关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A ．中位数是2 B ．众数是17 C ．平均数是2 D ．方差是2 5．如图，直线l 1∥l 2，将一直角三角尺按如图所示放置，使得直角顶点在直线l 1上，两直角边分别与直线l 1、l 2相交形成锐角∠1、∠2且∠1＝25°，则∠2的度数为（ ） A ．25° B ．75° C ．65° D ．55° 6．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x ﹣12 x 2刻画，斜坡可以用一次函数y= 1 2 x 刻画，下列结论错误的是（ ）
上宝中学2018学年第一学期期中考试 上海市 英语试卷
上宝中学2018学年第一学期期中考试 Part2 Phonetics,Vocabulary and Grammar 第二部分语音，词汇和语法 II.Choose the best answer.(20分) 26.He didn’t just command.He personally fought in several healthy battles.Which of the following is correct for the underlined word. A. [k?’ma:nd] B. [k?’m?:nd] C. [ki’m?nd] D.[k?’ma:nd] 27.Which of the following underlined parts is different in pronunciation from others? A.For the first few ye ars I didn’t draw any sal ary at all. B.I’d like a full-time position with more responsibility. C. Weber gave a fair hearing to anyone who held a different opinion. D.He has served the farm faithfully for 20 years. 28.While he was investing ways to improve the telescope,Newton made _____discovery which completely changed_____man’s understanding of color. A.a;/ B. a;the C. /;the D.the;a 29.The students also take SAT and CAT_______mathematics and chemistry. A. except B. except for C. beside D.besides 30.It is not rare in______that people in_____fifties are going to university for future education. A. 90s;/ B. the 90’s;/ C.90s;their D.the 90’s;their 31.The hunter______the fox,took off its skin and_____it on the tree. A. hung;hanged B. hung;hung C. hanged;hanged D.hanged;hung 32.The room is used to____parties by the young man.He is used to_____parties here. A.holding;hold B. hold;holding C.holding;holding D.hold;hold 33.Tom must have played the guitar______if he has got one. A. Some times B. sometimes C. for some time D.sometime 34.When she was asked about the missing calculator,she_______ever seeing it. A. refused B.denied C.opposed D.pretended 35.______our country has plenty of oil,theirs has none. A. When B. While C.As D.Since 36.A library with five thousand books,______to the nation as a gift. A. is offered B. has offered C. are offered D.have offered 37.As soon as everyone taking the examination_______,the test paper were______. A. was seated;given up B.seated;given off C.sat;given in D.was seated;given out 38.The news came as no surprise to me. I_______for sometime that the factory was going to shut down. A. had known B. knew C.have known D.know 39.The taxi driver had no choice but_____help.
(完整word版)上海民办上宝中学2017学年第一学期初二第一次阶段测试英语卷(无听力部分)
上海上宝中学2017学年第一学期初二第一次阶段性测试英语卷 Part II Vocabulary and Grammar I. Choose the best answer:20’ 26. Which of the underline parts has the different pronunciation from the others? A business B luckily C assistant D simple 27. It’s _________honor for every guest to be involved to ________dinner. A. a, a B an,/ C an, the D /,/ 28. There are various kinds of _________in this river, and I have caught three ______so far. A. fish, fish B fishes, fishes C fish, fishes D fishes, fish 29. Mr. Bean as well as the other passengers ________quite angry ________the delay. A. are, with B are, about C is, with D is, at 30. ------You are always full of _________. Can you tell me the secret? ------ Taking plenty of exercise every day. A. energy B strength C force D power 31. The teacher who _______a class is a class teacher. A. is in charge of B is in the charge of C is responsibility for D in charge of 32. Since everyone is here, let’s get down to business. What does the underlined part mean? A. buying or selling goods B company C matters that need to be dealt with D trade 33. In the past few years, Dr. Sun __________great success in the field of science. A. has achieved B achieved C had achieved D achieves 34. I remember ________him 200 Yuan last week, but he forgets ______the money to me. A. lending, to return B. to lend, to return C. lending, returning D. to lend, returning 35. You are sure to learn the subject well ________ you find the right way. A. until B. through C.as long as D. unless 36. _______, you need to give all you have and try your best. A. Being a winner B. To be a winter C. Be a winner D. Having been a winner 37. He likes pop music, so he _______go to the corner tomorrow night, but I’m not sure. A. can B. may C. must D. should 38. Sorry, madam. This kind of laptops _______ out. Look! Laptops of that kind also _________well. A. have been sold, sell B. sells, have been sold C. have been sold, sold D. have been sold ,sell 39. Parents often expect their children ________all the things that they couldn’t do in the past. A. did B. doing C.to do D.do 40. It’s time to __________these foolish ideas and become serious. A. put away B. put up C. put up with D. put out 41. My brother is going to Japan ________next May and he will stay there for _______. A. some time, some times B. sometime, some time C. sometimes, some time D some times ,sometimes
2020-2021上海民办上宝中学七年级数学上期末模拟试卷(含答案)
2020-2021上海民办上宝中学七年级数学上期末模拟试卷(含答案) 一、选择题 1．若x 是3-的相反数，5y =，则x y +的值为（ ） A ．8- B ．2 C ．8或2- D ．8-或2 2．将7760000用科学记数法表示为( ) A ．57.7610? B ．67.7610? C ．677.610? D ．77.7610? 3．实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，且a 与c 互为相反数，则下列式子中一定成立 的是（ ） A ．a+b+c>0 B ．|a+b| 2016学年第一学期初三英语期中复习卷（三） number_____________ name________________ sore _____________ 1.choices: 1.look! There is _________army in the square. They are standing _________line. A. a/in B an/in C a/on D an, on 2. Avatar is such _______wonderful science movie that I want to see it ______second time. A. a, a B a, the C /, the D. /,a 3. The news that they failed their driving test discouraged him, ________? A did they B didn’t they C did it D didn’t it 4. It’s raining hard outside. Mary will have no choice but __________until it stops. A. waiting B waits C waited D to wait 5. That pile on the left are the ones that have been ______ for the library. A. picked up B picked out C picked off D picked on 6. personally, I am extremely satisfied with his appearance. Which word has the closest meaning of the underline word? A. very B also C often D too 7. Reading some books _________good for all of us, ____________? A. are, aren’t they B is, isn’t it C have, don’t they D has, doesn’t it 上宝中学2017学年第一学期期中考试卷 2017.11.7 Part 2 Phonetics, Grammar and Vocabulary （第二部分语音、语法和词汇） Ⅱ. Choose the best answer（选择最恰当的答案）（共20分） 26. The temperate dropped to minus ten degrees centigrade. Which of the following is correct for the underlined word? A. /'men?s/ B. /'mi:n?s/ C. /'ma?n?s/ D. /'m?n?s/ 27. I’m feeling a little depressed at the moment, but I’m sure good times are just ______. A. on the corner B. in the corner C. at the corner D. around the corner 28. The happiest are not those who _____ all the best things, but those who can appreciate the beauty of life ______. A. owns, on their own B. own, with their own hearts C. own, of their own D. own, by their own hearts 29. He is keen on scientific research but indifferent to promotion. Which of the following can’t b e used to replace the underlined part? A. is interested in B. is fond of C. is in favor of D. goes in for 30. Products produced by Apple Co. are quite popular ____ young people. A. with B. about C. in D. of 31. A mistake ______ have been made on our bill. We didn’t order any fish today. A. should B. would C. must D. can 32. The basic design of the house is very _____ that of earlier models, but ___ than it. A. same as, twice bigger B. same as, bigger twice C. similar to, twice bigger D. similar to, bigger twice 33. The fact that the examiners had failed over half the candidates discouraged us, ____? A. didn’t it B. hadn’t they C. did it D. had they 34. He is unwilling to admit ____ the assignment. A. having trouble understanding B. having trouble with understanding C. to have trouble understanding D. to have trouble with understanding 35. I’m not prepared to _____ some private matter _____. A. discuss about, by telephone B. discuss, over the telephone C. talk, on the telephone D. talk about, by the telephone 36. If the fire _____, anybody should ______ 119 at once and the firemen would come in no time. A. broke out, ring B. was broken out, phone C. broke out, dial D. was broken out, talk 初二（上）第二次月考数学试卷 一、填空题 1. 正比例函数图像上有两点与，则的值为____________ ()1,3-(),21a a +a 2. 若二次三项式在实数范围内不能分解因式，则m 的范围是____________ ()2132m x x +-+3. 已知反比例函数的图象经过点，则m 的值为____________2y x = (),1A m 4. 若点在反比例函数的图像上，则当函数值时，自变量(),2A m -4y x =2y ≥-x 的取值范围是____________ 5. 过反比例函数图象上一点A ，分别作轴、()0k y k x =≠x y 轴的垂线，垂足分别为B 、C ，如果的面积为3，则k 的值为____________ ABC 6. 已知点在双曲线上，且OA=4，过A 作AC 垂直(),A a b 6y x =x 轴于点C ，OA 的垂直平分线交线段OC 于B ，则ABC 的周长为____________ 7. 如图，ABC 中，∠B=22.5°，∠C=60°，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，交AB 于E ，已知，则的面积为____________ BD =ABC 8. 如果要通过平移直线得到的图像，那么直线13y x =-53x y --=13 y x =-必须向____平移____个单位 9. 关于的一次函数x ()313 y m x m =--+的图像不过第四象限，则试求m 的取值范围____________ 10. 直线交轴、轴于A 、B 两点，P 是反比例函数6y x =-x y ()40y x x =>图象上位于直线下方的一点，过点P 作轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F 。则____________ y AF BE ?=11. 如图4，已知在ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于点D 、E ，若设，DE x =，求与之间的关系式____________ BC y =y x 12. 如图5，直线与双曲线交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式1y k x b =+2k y x = 的解集是____________21k k x b x +≤ 上海民办上宝中学数学三角形解答题同步单元检测（Word 版 含答案） 一、八年级数学三角形解答题压轴题（难） 1．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动． （1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠AEB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB 的大小． （2）如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，又DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CED 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． （3）如图3，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及延长线相交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO 的度数． 【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45° 【解析】 【分析】 （1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB=90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出1BAE OAB 2∠=∠，1 ABE ABO 2 ∠=∠，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）延长AD 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB=90°，进而得出OAB OBA 90∠+∠=? ，故PAB MBA 270∠+∠=?，再由AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知1BAD BAP 2∠= ∠，1 ABC ABM 2 ∠=∠，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知 CDE DCE 112.5∠+∠=?，进而得出结论； （3））由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知 1EAO BAO 2∠=∠,1 EOQ BOQ 2 ∠=∠ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论． 【详解】 （1）∠AEB 的大小不变， ∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，上宝中学2016学年初三第一学期英语期中复习试卷三
2017_2018上海上宝中学九上英语期中考试(附答案)
2017-2018年上海市上宝中学八上第二次月考
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