三角形的外角练习题及标准答案

7．2．2 三角形的外角

基础过关作业

1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．

2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．

3．如图1，x=______．

(1) (2) (3)

4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．

5．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．6．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、?CE的交点，求∠BHC的度数．

综合创新作业

7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，

则∠EDC=______．

8．一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A

应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°，

李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合

格，你能说出道理吗？

9．（1）如图7-2-2-7（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；

（2）如图7-2-2-7（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

10．（易错题）三角形的三个外角中最多有_______个锐角．

培优作业

11．（探究题）（1）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF?的平分线，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．

（2）如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．

12．（趣味题）如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？

数学世界

七桥问题

18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有七座桥，将河中的两个岛和河岸连接．如图所示．城中的居民经常沿河过桥散步，于是就提出一个问题：?能否一次不重复地把这七座桥走遍？可是，走来走去，这个愿望还是无法实现．该怎样走才好呢？?这就是著名的哥尼斯堡七桥问题．??好奇的人把这个问题拿给当时的大数学家欧拉（1707～1783）．欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在．

你知道欧拉是根据什么道理证明的吗？

答案:

1．钝角

2．直角点拨：∵∠C-∠B=∠A，∴∠C=∠A+∠B．

又∵（∠A+∠B）+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，∴∠C=90°，

∴△ABC的外角中最小的角是直角．

3．60 点拨：由题意知x+80=x+（x+20）．解得x=60．

4．∠1>∠2>∠3

点拨：∵∠1是∠2的外角，∠2是∠3的外角，∴∠1>∠2>∠3．

5．解：∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-（52°+78°）=50°．∵AE是∠BAC的平分线，

∴∠BAE=∠CAE=1

2

∠BAC=25°．

∴∠AEB=∠CAE+∠C=25°+78°=103°．

6．解：在△ACE中，∠ACE=90°-∠A=90°-60°=30°．而∠BHC是△HDC的外角，

所以∠BHC=∠HDC+∠ACE=90°+30°=120°．

7．30°点拨：设∠CAD=2a，由AB=AC知∠B=1

2

（180°-60°-2a）=60°-?a，?

∠ADB=180°-∠B-60°=60°+a，由AD=AE知，∠ADE=90°-a，

所以∠EDC=180°-∠ADE-∠ADB=30°．

8．解法1：如答图1，延长BC交AD于点E，

则∠DEB=∠A+∠B=90°+30°=?120°，

从而∠DCB=∠DEB+∠D=120°+20°=140°．

若零件合格，∠DCB应等于140°．

李叔叔量得∠BCD=142°，

因此可以断定该零件不合格．

(1) (2) (3)

点拨：也可以延长DC与AB交于一点，方法与此相同．

解法2：如答图2，连接AC并延长至E，则∠3=∠1+∠D，∠4=∠2+∠B，因此∠DCB=∠1+∠D+∠2+∠B=140°．以下同方法1．

解法3：如答图3，过点C作EF∥AB，交AD于E，

则∠DEC=90°，∠FCB=∠B=?30°，所以∠DCF=∠D+∠DEC=110°，

从而∠DCB=∠DCF+∠FCB=140°．以下同方法1．

说明：也可以过点C作AD的平行线．

点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和．

9．解：（1）由图知∠A+∠F=∠OQA，∠B+∠C=∠QPC，∠D+∠E=∠EOP．

而∠OQA、?∠QPC、∠EOP是△OPQ的三个外角．

∴∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．

（2）360°点拨：方法同（1）．

10．1 点拨：本题易因混淆内角、外角的概念，而误填为3．

11．解：（1）∠BDC=90°-1

2

∠A．

理由：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．

∠EBC+∠FCB=（180°-∠ABC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+∠A．∵BD、CD分别为∠EBC、∠FCB的平分线，

∴∠CBD=1

2

∠EBC，∠BCD=

1

2

∠FCB．

∴∠CBD+∠BCD=1

2

（∠EBC+∠FCB）=

1

2

×（180°+∠A）

=90°+1

2

∠A．

在△BDC中，∠BDC=180°-（∠CBD+∠BCD）=180°-（90°+1

2

∠A）=90°-

1

2

∠A．

（2）∠BDC=1

2

∠A．

理由：∵∠ACE是△ABC的外角，

∴∠ACE=∠A+∠ABC，

∵CD是∠ACE的平分线，BD是∠ABC的平分线，

∴∠DCE=1

2

∠ACE=

1

2

∠A+

1

2

∠ABC，∠DBC=

1

2

∠ABC．

∵∠DCE是△BCD的外角，

∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=1

2

∠A+

1

2

∠ABC-

1

2

∠ABC=

1

2

∠A．

12．解：如图，设球员接球时位于点C，他尽力向球门冲近到D，

此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中．

理由说明如下：

延长CD到E，则∠ADE>∠ACE，∠BDE>∠BCE，

∴∠ADE+∠BDE>∠ACE+∠BCE，即∠ADB>∠ACB．

点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题．

数学世界答案:

欧拉将七桥布局转化为图所示的简单图形，于是七桥问题就变成一个一笔画的问题．这个图形显然无法一笔画出，也就是说，?要想一次无重复地走遍这七座桥是办不到的．