0212波尔振动的物理研究实验报告
波尔振动的物理研究
【实验目的】
1. 观察扭摆的阻尼振动，测定阻尼因数。
2. 研究在简谐外力矩作用下扭摆的受迫振动，描绘扭摆在不同阻尼情况下的共振曲线（幅频特性曲线）。
3. 描绘外加强迫力矩与受迫振动之间的位相随频率变化的特性曲线（即相频特性曲线）。
4. 分析波尔共振的相位和角速度的关系。
【实验仪器】
扭摆（波尔摆）一套（PHYWE ），秒表，数据采集器，转动传感器。
【实验原理】
1．扭摆的阻尼振动
在有阻力矩的情况下，使扭摆由某一摆角开始做自由振动。此时扭摆受到两个力矩的作用：一是弹性恢复力矩M 弹，它与摆的扭转角θ成正比，即M c θ弹＝（c 为扭转系数）；二是阻力矩阻M 阻，可近似认为它与摆动的角速度成正比，即d M r dt
θ
-阻＝(r 为阻矩系数）。若扭摆的转动惯量为I ，则根据转动定律可列出扭摆的运动方程：
22d d I c r dt dt
θθθ=-- （1） 即
220d r d r dt I dt I
θθθ++= （2） 令
2r I β=（β称为阻尼因数）
，2
0r I
ω=（称0ω为固有圆频率），则式(2)的解为 002exp()cos exp()cos A t t A t t T
π
θββω=-=- （3）
其中0A 为扭摆的初始振幅，T 为扭摆做阻尼振动的周期，且2T ωπ==
由式（３）可见，扭摆的振幅随着时间按指数规律衰减。若测得初始振幅0A 及第n 个 周期时的振幅n A ，并测得摆动n 个周期所用的时间nT ，则有
则
01
ln A nT A
β=
（4） 2．扭摆的受迫振动
当扭摆在有阻尼的情况下受到简谐外力矩作用时，就会作受迫振动。设外加简谐力矩通过弹簧加到摆轮上，其频率是ω，幅度为0M （00c M θ=，0θ为外力矩角幅），且有
0cos M M t ω外＝，则扭摆的运动方程变为
22
022cos d d h t dt dt
θθβωθω++= （5） 其中0h M I =，在稳态情况下，式（5）的解是
cos()A t θω?=+ （6）
其中A 为角振幅，
A =
（7）
而角位移θ 与简谐外力矩之间的位相差?则可表示为
22
2arctan(
)βω
?ωω=- （8） 式（6）说明，扭摆在简谐外力矩作用下的运动也是简谐振动，它的振幅是A ，它的频率与外力矩的频率相同，但二者的位相差是?。
由式（7）可见，当ω→0时，振幅A 接近外力矩角幅0θ（∵2
000M c h I I
θωθ===）
，随着ω的逐渐增大，振幅A
将随之增加，当ω= A 有最大值，此时称
为共振，此频率称为共振频率，即ω=共ωω>共或ωω<共时，振幅都将
减小；当ω很大时，振幅趋于零。
由式（8）可见，当00ωω≤≤时，有02
π
?≥≥，即受迫振动的位相落后于外加简谐
力矩的位相；在共振情况下，位相落后接近于
2
π
，而在0ωω=时（有阻尼时不是共振状态），位相才正好落后2π；当0ωω≥时，有0tg ?>，此时2
π
?<-，即位相落后得更多；当0
ωω≥时，?趋近π-，即接近于反位相。在已知0ω及β的情况下，则可由式（8）计算出各ω值
00
0exp()exp()
A A nT A A nT ββ==-
所对应的?值。
【实验内容及步骤】
1．波尔共振实验注意事项
(1) 对电路有充分的认识，了解每一部分的作用（电流表、二极管等）。电路所加的电流不
能超过1A。
(2) 分析清楚自由振动、阻尼振动、受迫振动的区别：电路上怎么去区分这三种状态。
(3) 做受迫振动时，输出电压调到最大，则电机转速变化范围最大，有利于调出共振状态。
2. 手工操作实验内容
（1）测量扭摆在自由状态下的固有频率。
（2）观察阻尼振动现象，测量阻尼电压是6V 和8V 时候的阻尼因数β。
（3）观察共振现象，测量在6V 和8V 阻尼情况下的受迫振动的幅频特性和相频特性。
幅频特性曲线：以ω/ω0为横坐标，振幅A为纵坐标。
相频特性曲线：以ω/ω0为横坐标，相位?为纵坐标。
3. 计算机测控实验内容
此方法采用转动传感器（运动记录仪）和计算机自动采集和处理数据。将一条细线的一端粘在波尔摆黄色转盘的边缘上，另一端绕过传感器的转轮绑一个2g的砝码，使得波尔摆转动时可以带动传感器转动，这样就可以通过传感器获得波尔摆的转动角度、角速度、和周期等一系列参数。
（1）实验开始时，在计算机里打开一个与数据采集器对应的软件（measure）。在软件的参数设置时，同时选择角度和角速度，软件就会在同一个坐标里画出扭摆的转动角度、角速度和周期的样图，将样图和得到的数据存盘，存在“E:\2010材料物理 10330025陈嘉平光信息10329051陈海域”。
（2）数据的导出：在measure 菜单中选择export data，里面的两个单选按钮都选第二个，然后存盘就可以了。在样图上分析周期：点击工具栏最后一栏的第二个按钮，再点击calculate，对数据分析可以得出周期。我们希望能在同一坐标系下画出扭摆的转动角度和角速度的相图。运行Origin 软件，点击工具栏的Import ASCII 按钮，打开刚才存盘的数据文件，将第二列数据改成X 坐标，再选定后面两列数据，点击“line”，就可以画出转动角度和角速度的相图了。
（3）用上述的方法对扭摆的三种振动状态进行分析。要求： ①利用软件算出扭摆的振动周期和固有频率。 ②讨论各振动状态相图中的物理意义。
③自由振动、阻尼振动、受迫振动的相图的异同点。
【实验数据记录与整理】
一、 手工操作
1. 测量共振摆在自由状态下的固有频率
测量玻尔摆的固有频率，通过改变初始振幅来取得多个数据。同时验证初始振幅与玻尔摆的固有频率无关。
步骤：①将玻尔摆转至一定角度A 0。
②放手，用电子表测定一定周期数后的时间nT 。这里定为10个周期。 ③记录A 0、10T 。
④改变初始振幅A 0，重复①②③步。 ⑤计算玻尔摆平均共振频率。
表1 自由状态下的固有频率与初始振幅、振动周期数的关系
其中固有圆频率由T
π
ω20=
计算得出。
平均值∑=
7
007
1i ωω=3.156rad/s 。
标准误差：)/(2018.0)(671
27
1
s rad i i =-∑?=
=ωωσω
。
角频率ω的相对误差：%639.000639.0156
.302018
.00
===
=
ωσωE 。
所以波尔摆自由状态下的固有圆频率为0ω=3.156×(1+0.639%) rad/s ，且从表1可以验证0ω与初始振幅无关。
2. 观察现象，测量不同阻尼电压时的阻尼因数。
步骤：①连接好电路，分别接入2V 、4V 、6V 、8V 的电压到阻尼线圈。
②以初始振幅为表盘上的90格（已修正）。
③自然放开波尔摆，用电子秒表测量5个周期T 一共用去的总时间10t(s)
及末振幅格数，记录数据到表2。其中当我们做至6V 电压时，五个周期后的振幅已变得很小。因此我们调整8V 阻尼下的测算时间为两个周期。每个电压阻尼测量三或四次。
④计算不同阻尼电压下的阻尼因数β
根据阻尼振动方程，可得阻尼因数计算式n
A A 0ln nT 1=β。取平均后可得
各阻尼电压下的阻尼因数。
阻尼振动的实验现象：摆开始振动后，振幅急剧减小，最后趋于零；而且所加阻尼电压越大，振幅减小越快。
可以看到，随着阻尼电压增大，阻尼系数也会显著增大。
实验中A 0 、n 均改变，这样可能会增大误差，且无法计算标准误差。从数据中可以看出，当n 取比较大且初始摆幅较小时，结果出现比较大的偏差。这是因为当n 较大时，末状态摆幅将变小。导致相对误差较大。改进的办法是固定A 0 为90、n 随着阻尼电压增大而适当减小，使得误差程度保持相对稳定，在相同的条件下测量几组数据再加以计算。
3. 观察共振现象，测量不同阻尼电压下的受迫振动的幅频特性和相频特性。
步骤：①在实验2的基础上，分别接入6V 和8V 电压到阻尼线圈；
②从15V 到6V 变化，将电压接入受迫振动电机; ③测量不同电压下，振动10个周期后所用时间10T 及波尔摆的末振幅格数，将其记录表3；
④根据表格数据，计算各振动角频率ω。
⑤画出幅频特性曲线：以0/ωω为横坐标，振幅A 为纵坐标。画出相频特性曲线：以0/ωω为横坐标，相位?为纵坐标。
其中共振摆固有频率ω0=3.156rad/s ，6V 下阻尼因数β=0.3628s -1，
22
2arctan(
)βω
?ωω=-，得出表3-1。
表3-1 各受迫电压下振动10T 所用时间及末振幅格数 阻尼电压6V
以ω/ω0 为横坐标，分别以振幅A 和相位φ为纵坐标，做出幅频特性曲线和相频特性曲线。
图2 6V 阻尼电压下受迫振动的幅频特性曲线
由图2可以看出，当ω/ω0=1，即驱动力频率在玻尔摆固有频率附近时，摆的振幅最大,此时即为共振。当驱动力频率分别在系统固有频率两侧减小或增大时，玻尔摆的振幅都在不断地减小。
图3 6V 阻尼电压下受迫振动的相频特性曲线
ω/ω0
ω/ω0
A/格
φ/°
由图3可以看到：当ω远小于0ω时，?的值趋向于零，即驱动力与摆振动趋于同相；随着ω的增大，?的值不断减小，当ω接近0ω时，?的值趋于2/π-，即受迫振动的位相落后于外加简谐力矩的位相趋于2/π-;当ω远大于0ω时，?的值接近π-，即受迫振动的位相落后于外加简谐力矩的位相趋于π-。
共振摆固有频率ω0=3.156rad/s ，8V 下阻尼因数β=0.6141s -1，
22
2arctan(
)βω
?ωω=-，得出表3-2。
表3-2 各受迫电压下振动10T 所用时间及末振幅格数 阻尼电压8V
同样地，以ω/ω0 为横坐标，分别以振幅A 和相位φ为纵坐标，做出幅频特性曲线和相频特性曲线。
A/格
ω/ω0
图4 8V阻尼电压下受迫振动的幅频特性曲线
φ/°
ω/ω0
图5 8V阻尼电压下受迫振动的相频特性曲线
由图4和图5可以发现，6V阻尼和8V阻尼下受迫振动的幅频曲线和相频曲线的特性有很多可比较之处。为了更好地比较这两种情况下的特性曲线，将两种阻尼下的幅频曲线和相频曲线分别绘到同一个图中。如图6和图7。
图6 6V和8V阻尼下的相频特性比较
图7 6V和8V阻尼下的相频特性比较
由图6和图7可以看出：
（1）在不同的β值下，幅频特性曲线与相频特性曲线的变化趋势相同。从图6可以看出，两条幅频曲线均近似在ω/ω0=1处到达最高点。从图7可以看到两条相
频曲线近似在ω/ω0=1处相交，即在不同的β值下，当ω接近ω0时，受迫振动
的相位均落后于驱动力相位π/2。
（2）在不同的β值下，摆受迫振动的幅频特性与相频特性有所不同：
幅频特性：β值越大，在相同的频率下摆的振幅越小。所以β值大的幅频特性曲线应该在固有频率附近的部分总在β较小的曲线的下方，但当ω远小于ω0或远
大于ω0时振幅的差值越来越小，变化的趋势越来越相近。本实验所得图线表示两
β值不同的曲线在有限点处有相交，可能与测量精确度有关。
相频特性：对同一个ω值，以ω/ω0=1分界线。若ω<ω0，β值越大，|φ|越大，若ω>ω0，β值越大，|φ|越小。
二、计算机测控实验内容
传感器型号为：BEWEGUNGSAUFNEHMER MOVEMENTRECORDER；
数据存放路径：E:\2010材料物理10330025陈嘉平光信息10329051陈海域
1.测量共振摆在自由状态下的固有频率。
数据源文件名freedampedvebration.txt。
图8 自由振动下角速度（angular velocity）和角位置(angle)随时间变化曲线随时间变化曲线
如图8所示为波尔摆做自由振动时转动角度与角速度随时间的变化，由图可知：虽没有外加阻尼，但是摆的转动角度与角速度的幅值都在随时间的变化而不断减
小。这是由于摆自身有一定的摩擦，使得摆在没有外加阻尼的情况下做微小的阻尼
振动。不同玻尔摆由于参数不进相同，所以其固有阻尼也不同。可以看出本组实验
所用玻尔摆固有阻尼较大，因而衰减稍明显。
由图8根据计算机测得，12T=21.8s ，由T
π
ω20=
得，计算机测固有频率为
3.177rad/s 。与手工测量值3.156rad/s 相比，绝对误差0.0209rad/s ，相对误差为0.662%。
同时运用软件的快速傅里叶变换来分析数据，所得傅里叶分析如下：
图9 自由振动的傅里叶分析
所得频率为X = 0.0502512563，乘以系数10，根据T
π
ω20=
，得固有角频
率为：ω0=3.157rad/s ，绝对误差为1.38e-3 rad/s ，相对误差为0.437%。综上可知手动测量的准确度很高。
分析比较：两次测量的数据有所不同，但相差较小；虽然计算机采集的数据也会有误差，但计算机采集的数据应该比手动测量的数据准确，因此两次测量数据不同的原因主要是由于在使用秒表测量周期的时候，摆是运动着的，实验人想要判断摆是否运动到某一标定位置是一件比较困难的事，而且眼睛的判断与手按秒表之间存在反应时间，所以手工测量不如计算机的测量精确。
在计算机测量计算时，运用傅里叶变换能较为精确地测量出周期频率。
图10 自由振动下的位相图
自由振动的位相图如图10，理论上自由振动的位相图应该是一个椭圆线，而实际上由于摆的自身摩擦等原因，使得椭圆线向内收缩。但由于自身摩擦较小，自由振动时椭圆线收缩得较慢。
2. 观察阻尼振动现象，测量不同阻尼电压时的阻尼因数β。
数据源文件名damped 2v.txt, damped 4v.txt, damped 6v.txt 。
2V 阻尼电压
A 0=1.61；A T =0.979；nT=17.8
0.02794ln nT 10==n
A A
β
4V 阻尼电压
A 0=1.468；A T =0.276；nT=13.8
0.12111ln nT 1
0==n
A A β
6V 阻尼电压
A 0=1.295；A T =0.104；nT=7.9
0.31923ln nT 1
0==n
A A β
图11 不同阻尼下角速度（angular velocity ）和角位置(angular)随时间变化曲线随时间变化曲线
与手工测量结果表2-1作比较：
表2-2 各阻尼电压下的阻尼因数β
分析：
从图11中可以看出，玻尔摆做阻尼运动时，摆的转动角度与角速度随时间衰减。而且阻尼越大，转动角度与角速度衰减得越快。
图11所测阻尼因数为通过数据所得的图线，在计算机上测量并计算而得到的值。与手工测量值比较，有一定误差，且可发现阻尼电压越大，两者相差越大，大
概与手工测量时末期振幅较小导致读书不准确有关。但仍然在可接受范围内。两者
都从大小趋势上正确描述了阻尼电压（外界阻扰因子）对阻尼因数的影响。
2V阻尼电压4V阻尼电压6V阻尼电压图12 不同阻尼下角速度（angular velocity）和角位置(angular)随时间变化的傅里叶分析
2V阻尼电压4V阻尼电压6V阻尼电压
图13 不同阻尼电压下的位相图
分析：
从图13可以看出，摆在做阻尼振动时，由于阻尼的存在，摆的能量在不断被消耗，所以摆的转动角度与角速度都在不断减小，最近将趋向于（0，0）点，即摆
停止摆动。而且摆所受阻尼越大，曲线向内收缩越快。
3.观察共振现象，测量在6V阻尼情况下受迫振动的幅频特性和相频特性。
数据源文件名分别为forced damped 6v-6.011v.txt，forced damped 6v-7.010v.txt，forced damped 6v-8.005v.txt，forced damped 6v-9.010v.txt，forced damped
6v-9.995v.txt，forced damped 6v-11.005v.txt，forced damped 6v-12.008v.txt，forced
damped 6v-13.010v.txt，forced damped 6v-14.000v.txt。
首先测量6V阻尼下的受迫振动，重复手工测量，改变电机输出电压。得出以下角位置(angular)随时间变化的图线。
输出电压6.011V 输出电压7.010V 输出电压8.005V
输出电压9.010V 输出电压9.995V 输出电压11.005V
输出电压12.008V 输出电压13.010V 输出电压14.000V 图14 阻尼电压6V时不同输出电压下角位置随时间变化曲线
由图14可以看出，在受迫振动的情况下，当摆动稳定时，摆的转动角度与角速度变化区间基本保持不变，这是由于驱动力为摆提供了能量。并且在外加简谐力矩的频率与摆固有频率接近时（U=9.995V），即ω接近ω0时，摆的角速度与角位置的大小都远大于另外两个频率下所测的数值。
从图中可以发现，随着驱动电压加大，相同时间内运动的周期数越多，这与事实相符，因为驱动电压越来越大，频率ω就越来越大。
显然输出电压=9.995V时，玻尔摆振幅最大，最接近共振态。因此研究输出电压=9.995V时的数据。
图14 输出电压U=9.995V情况下受迫振动的转动角度和角速度随时间变化曲线
图15 输出电压=9.995V时受迫振动稳定时的位相图
由图15可知，受迫振动时系统稳定，即能量状态处于平衡。同时振动频率与外力振动源一致，但存在相位差。
4.对自由振动、阻尼振动和受迫振动的综合分析：
1.电路分析中示波器可出现李萨如图，其中椭圆表示X/Y输入端的信号频率相
同，与这里出现的椭圆本质是一样的。相图中椭圆的面积可以表示系统的能量大小；
其中角速度代表动能，角位置代表势能。
2.自由振动、阻尼振动、受迫振动相图的相同点为：三者均可描述振动任意时
刻的状态，三种相图均由数个椭圆线组成。不同点：自由振动的相图的椭圆线缓慢
地向内收缩（系统自身有摩擦），系统能量缓慢地减小；阻尼振动的相图快速向内
收缩，系统能量快速较小，而且所加阻尼电压越大，收缩速度越快，即系统能量减
小地越快；受迫振动的相图中的椭圆面积不收缩，即驱动力为系统源源不断地提供
能量，共振时，各椭圆同心，非共振时，各椭圆不同心。
【实验总结】
本实验分别通过手工测量和计算机测控两种方式来完成。
由于实验仪器自身存在系统误差，使得实验结果总是存在不可避免的误差，另一方面，实验人进行测量时也会使实验结果加入偶然误差。如使用计算机采集数据，则可以大大减小偶然误差。同时计算机在数据记录方面的方便性、全面性和准确性
也使实验更为高效。
计算机在实验中有反应时间短、精度高的优势，而利用软件处理数据可以使之更精确，更全面。但同时，手工测量所做的前期工作、粗测取样范围，也为实验贡
献良多。
大学物理实验简谐振动与阻尼振动的实验报告
湖北文理学院物理实验教学示范中心 实 验 报 告 学院 专业 班 学号： 姓名： 实验名称 简谐振动与阻尼振动的研究 实验日期： 年 月 日 实验室： N1-103 [实验目的]: 1. 验证在弹性恢复力作用下,物体作简谐振动的有关规律；测定弹簧的弹性系数K 和有效质量m. 2. 测定阻尼振动系统的半衰期和品质因数，作出品质因数Q 与质量M 的关系曲线。 [仪器用具]:仪器、用具名称及主要规格（包括量程、分度值、精度等） 气垫导轨、滑块、附加质量(2)、弹簧(4)、光电门(2)、数字毫秒计. [实验原理]:根据自己的理解用简练的语言来概括(包括简单原理图、相关公式等) 1．简谐振动 在水平气垫导轨上的滑块m 的两端连接两根弹性系数1k 、2k 近乎相等的弹簧，两弹簧的另一端分别固定在气轨的两端点。滑块的运动是简谐振动。其周期为： 2 122k k M T +== π ω π 由于弹簧不仅是产生运动的原因，而且参 加运动。因此式中M 不仅包含滑块（振子）的质量m ，还有弹簧的有效质量0m 。M 称为弹簧振子系统的有效质量。经验 证：0m m M += 其中 s m m 31 0=，s m 为弹簧质量。假设：k k k ==21则有周期： 22T πω= = 若改变滑块的质量m ?，则周期2T 与m ?成正比。222 4422M m T k k ππ?=+。以2T 为纵坐标，以m ?为横坐标，作2T -m ?曲线。则为一条斜率为242k π的直线。由斜率可以求出弹簧的弹性系数k 。求出弹性系数后再根据式22 42M T k π=求出弹簧的 有效质量。 2．阻尼振动 简谐振动是一种振幅相等的振动，它是忽略阻尼振动的理想情况。事实上，阻尼力不可避免，而抵抗阻力做功的结果，使振动系统的能量逐渐减小。因此，实验中发生的一切自由振动，振幅总是逐渐减小以至等于零的。这种振动称为阻尼振动。用品质因数（即Q 值），来反映阻尼振动衰减的特性。其定义为：振动系统的总能量E 与在一个周期中所损耗能 量E ?之比的π2倍，即 2E Q E π =?；通过简单推导也有： 12 ln 2 T Q T π= 2 1T 是 阻尼振动的振幅从 0A 衰减为 2 0A 所用时 间，叫做半衰期。测出半衰期就可以计算出品质因数Q 。在实验中，改变滑块的质量。作质量与品质因数的关系曲线。 [实验内容]: 简述实验步骤和操作方法 1. 打开气泵观察气泵工作是否正常，气轨出气孔出气大小是否均匀。 2. 放上滑块，调节气轨底座，使气轨处于水平状态。 3. 把滑块拉离平衡位置，记录下滑块通过光电门10次所用的时间。 4. 改变滑块质量5次，重复第3步操作。 5. 画出m T -2 关系曲线，.据m T -2关系曲线，求出斜率K ，并求出弹性系数k 。 6. 用天平测量滑块（附挡光片）、每个附加物的质量后；求出弹簧的有效质量。 7. 用秒表测量滑块儿的振幅从A 0衰减到A 0/2所用的时间2 1T ；求出系统的品质因数Q 8. 滑块上增至4个附加物，重复步骤7作出Q-m ?的关系曲线；
波尔共振实验报告
波尔共振 振动是一种常见的物理现象,而共振是特殊的振动，为了趋利避害在工程技术和科学研究领域中对其给予了足够的重视。 目前,电力传输采用的是高压输电法。而据报载，2007年6月美国麻省理工学院的物理学家索尔加斯克领导的一个小组，成功地利用无线输电技术，点亮了距离电源2米远的灯泡！无线输电法原理的核心就是共振。人们期待着能在更远的距离实现无线输电，那时生产和生活将会发生一场重大变革。 【目的与要求】 1. 观察测量自由振动中振幅与周期的关系。 2. 研究阻尼振动并测量阻尼系数。 3. 观察共振现象及其特征；研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响及其辐频特性和相频特 性。 4. 学习用频闪法测定动态物理量----相位差。 【实验原理】 物体在周期性外力（即强迫力）的作用下发生的振动称为受迫振动。若外力是按简谐振动规律变化，则稳定状态时的振动也是简谐振动，此时，振幅保持恒定，振幅的大小与强迫力的频率和原振动系统的固有频率以及阻尼系数有关。在受迫振动状态下，系统除了受到强迫力的作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用。所以在稳定状态时物体的位移、速度变化与强迫力变化不是同相位的，存在一个相位差。在无阻尼情况下，当强迫力频率与系统的固有频率相同时产生共振，此时振幅最大，相位差为90°。 当摆轮受到周期性强迫外力矩t M M ωcos 0=的作用，并在有空气阻尼和电磁阻尼的媒质中运动时（阻尼力矩为dt d b θ-），其运动方程为 t M dt d b k dt d J ωθ θθcos 02 2+--= （33-1） 式中，J 为摆轮的转动惯量，-k θ为弹性力矩，M 0为强迫力矩的幅值，ω为强迫力的圆频率。 令 ,2 0J k =ω ,2J b =β J M m 0= 则式（33-1）变为 t m dt d dt d ωθωθβθcos 22022=++ （33-2） 当0cos =t m ω时，式（2）即为阻尼振动方程。 当0=β，即在无阻尼情况时式（33-2）变为简谐振动方程，系统的固有圆频率为ω0。方程（33-2）的通解为 )cos()cos(021?ωθαωθθβ+++=-t t e f t （33-3） 由式（33-3）可见，受迫振动可分成两部分： 第一部分，)cos(1αωθβ+-t e f t 和初始条件有关，经过一定时间后衰减消失。
实验报告
用波耳共振仪研究受迫振动 振动是物体运动的一种普遍现象。比较生动与直观的机械振动在科研与生活中随处可见。而广义地说物质或物理量在某一数值附近作周期性的变化，都叫做振动。所以活塞的往复机械运动是振动，电磁学领域中空间电场的电场强度随时间作周期性的变化是振动，微观领域中微观物质的原子运动也是振动.研究振动与受迫振动所导致的共振现象是重要的工程物理现象。在机械制造和建筑工程等科技领域中振动与共振现象既有破坏作用，也有许多实用价值。众多电声器件，是运用共振原理设计制作的。利用核磁共振和顺磁共振研究物质结构是在微观科学领域研究振动的重要手段。而大桥由于共振遭至倒塌是世人尽知的。所以，研究振动与受迫振动是一个很有意义的物理实验项目。 表征受迫振动性质的是受迫振动的振幅-频率特性和相位-频率特性（简称幅频和相频特性）。本实验中，采用波耳共振仪定量测定机械受迫振动的幅频特性和相频特性，并利用频闪方法来测定动态的物理量——相位差。数据处理与误差分析方面内容也较丰富。 [实验目的] 1、 研究波尔共振仪中摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性。 2、 研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响，观察共振现象。 3、 学习用频闪法测定运动物体的某些量。 [实验原理] 物体在周期外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动，这种周期性的外力称为强迫力。如果外力是按简谐振动规律变化，那么稳定状态时的受迫振动也是简谐振动，其振动频率与外力频率相同。此时，振幅保持恒定，振幅的大小与强迫力的频率，原振动系统无阻尼时的固有振动频率，以及阻尼系数有关。在受迫振动状态下，系统除了受到强迫力的作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用。所以在稳定状态时物体的位移、速度变化与强迫力变化不是同相位的，存在一个相位差。（当强迫力频率与系统的固有频率相同时产生共振，此时振幅最大，相位差为90°。） 采用波耳共振仪研究与测量自由振动、阻尼振动、受迫振动等的基本物理特性，是十分直观与全面的。 A B H C E F D G 机械振动仪 电器控制仪 I 图1 波耳共振仪
气垫弹簧振子的简谐振动实验报告
××大学实验报告 学院：×× 系：物理系专业：×× 年级：××级 姓名：×× 学号：×× 实验时间：×× 指导教师签名：_______________ 实验四：气垫弹簧振子的简谐振动 一．实验目的与要求： 1. 考察弹簧振子的振动周期与振动系统参量的关系。 2. 学习用图解法求出等效弹簧的倔强系数和有效质量。 3. 学会气垫调整与试验方法。 二．实验原理： 1.弹簧的倔强系数 弹簧的伸长量x 与它所受的拉力成正比 F=kx k= X F 2.弹簧振子的简谐运动方程 根据牛顿第二定律，滑块m 1 的运动方程为 -k 1(x+x 01)-k 2(x-x 02)=m 22dt x d ,即-(k 1+k 2)x=m 22dt x d 式中，m=m 1+m 0（系统有效质量），m 0是弹簧有效质量，m 1是滑块质量。令k=k 1+k 2,则 -kx= m 22dt x d 解为x=A sin （ω0t+ψ ），ω0= m k = m k k 2 1
而系统振动周期 T 0= 2ωπ =2πk m 当m 0《 m 1时，m 0=3 s m ，m s 是弹簧的实际质量（m 0与m s 的关系可简单写成m 0=3 m s ）。 本实验通过改变m 1测出相应的T ，以资考察T 和m 的关系，从而求出m 0和k 。 三．主要仪器设备： 气垫导轨、滑块（包括挡光刀片）、光电门、测时器、弹簧。 四．实验内容及实验数据记录： 1.气垫导轨水平的调节 使用开孔挡光片，智能测时器选在2pr 功能档。让光电门A 、B 相距约60cm(取导轨中央位置),给滑块以一定的初速度(Δt 1和Δt 2控制在20-30ms 内),让它在导轨上依次通过两个光电门.若在同一方向上运动的Δt 1和Δt 2的相对误差小于3%,则认为导轨已调到水平.否则重新调整水平调节旋钮。 2.研究弹簧振子的振动周期与振幅的关系 先将测时器设置于6pd （测周期）功能档。按动选择钮，屏幕显示6pd 时，按动执行键，显示为0。每按一次选择键，显示加1；当达到预定值（如预置数为n =6，则表示测3个周期的时间）后，将滑块拉离平衡点6.00厘米（即选定某一振幅），再按执行键，放手让其运动，进入测周期操作。当屏幕上显示预置数减为0后，
波尔共振
实验十六 玻尔共振 振动是物理学中一种重要的运动，是自然界最普遍的运动形式之一。振动可分为自由振动（无阻尼振动）、阻尼振动和受迫振动。振动中物理量随时间做周期性变化，在工程技术中，最多的是阻尼振动和受迫振动，及由受迫振动所导致的共振现象。共振现象一方面对建筑物有破坏作用，另一方面却有许多实用价值能为我们所用。如利用共振原理设计制作的电声器件，利用核磁共振和顺磁共振研究物质的结构等。本实验用波耳共振仪研究阻尼振动和受迫振动的特性。 [实验目的] 1．观察阻尼振动，研究波尔共振仪中弹性摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性。 2．观察共振现象，研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响。 3．学习闪频法测定运动物体的定态物理量——相位差。 [实验原理] 当一个物体在持续的周期性外力作用下发生振动时，称为受迫振动，周期性外力称为强迫力。若周期性外力按简谐振动规律变化的，则这种受迫振动也是简谐振动。在稳定状态，振幅恒定不变，振幅大小与强迫力的频率、振动系统的固有振动频率及阻尼系数有关。振动系统同时受到阻尼力和强迫力作用，作受迫振动。在稳定状态时物体的位移、速度变化与强迫力变化相位不同，有一个相位差。当强迫力频率与振动系统固有频率相同时会产生共振，此时相位差90o，振幅最大。 波尔共振仪的摆轮在弹性力矩作用下作自由摆动，在电磁阻尼力矩作用下产生阻尼振动。通过观察周期性强迫力阻尼振动，可以研究波尔共振仪中弹性摆轮受迫振动幅频特性和相频特性，以及不同阻尼力矩对受迫振动的影响。 设周期性强迫力矩：t M ωcos 0；电磁和空气阻尼力矩：dt d b θ-；振动系统的弹性力矩：θk -。 则摆轮的运动方程为： t M dt d k dt d J o ωθθθcos b 22+--= （16 -1） 式中J 为摆轮的转动惯量，令J M m J b J k o ===,2,20βω，o ω、β和m 分别称固有频率、阻尼系数和强迫力矩。则式（15-1）变为 t m dt d dt d o ωθωθβθcos 2222=++ （16-2） 此式称为阻尼振动方程，其解为：
大学物理题库-振动与波动
振动与波动题库 一、选择题（每题3分） 1、当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为（ ） （A ） 2v （B ）v （C ）v 2 （D ）v 4 2、一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。当0=t 时, 位移为cm 6，且向x 轴正方向运动。则振动表达式为（ ） (A) ）（3 cos 12.0π π-=t x （B ） ）（3 cos 12.0π π+=t x （C ） ）（3 2cos 12.0π π-=t x （D ） ） （32cos 12.0π π+=t x 3、 有一弹簧振子，总能量为E ，如果简谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的四倍，则它的总能量变为 （ ） （A ）2E （B ）4E （C ）E /2 （D ）E /4 4、机械波的表达式为()()m π06.0π6cos 05.0x t y +=，则 （ ） （Ａ） 波长为100 ｍ （Ｂ） 波速为10 ｍ·ｓ-1 （Ｃ） 周期为1/3 ｓ （Ｄ） 波沿x 轴正方向传播 5、两分振动方程分别为x 1=3cos (50πt+π/4) ㎝ 和x 2=4cos (50πt+3π/4)㎝，则它们的合振动的振幅为（ ） (A) 1㎝ （B ）3㎝ （C ）5 ㎝ （D ）7 ㎝ 6、一平面简谐波，波速为μ=5 cm/s ，设t= 3 s 时刻的波形如图所示，则x=0处的质点的振动方程为 （ ） (A) y=2×10－ 2cos (πt/2－π/2) (m) (B) y=2×10－ 2cos (πt + π) (m) (C) y=2×10－ 2cos(πt/2+π/2) (m) (D) y=2×10－ 2cos (πt －3π/2) (m) 7、一平面简谐波，沿X 轴负方向 传播。x=0处的质点 的振动曲线如图所示，若波函数用余弦函数表示，则该波的初位相为（ ） （A ）0 （B ）π (C) π /2 (D) － π /2 8、有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 100=m 。设小球的运动可看作筒谐振动，则该振动的周期为（ ） (A) 2π （B ）32π （C ）102π （D ）52π 9、一弹簧振子在光滑的水平面上做简谐振动时，弹性力在半个周期内所做的功为 [ ] (A) kA 2 （B ）kA 2 /2 （C ）kA 2 /4 （D ）0
大学物理实验讲义实验波尔共振实验54
实验02 波尔共振实验 因受迫振动而导致的共振现象具有相当的重要性和普遍性。在声学、光学、电学、原子核物理及各种工程技术领域中，都会遇到各种各样的共振现象。共振现象既有破坏作用，也有许多实用价值。许多仪器和装置的原理也基于各种各样的共振现象，如超声发生器、无线电接收机、交流电的频率计等。在微观科学研究中共振现象也是一种重要的研究手段，例如利用核磁共振和顺磁共振研究物质结构等。 表征受迫振动的性质是受迫振动的振幅频率特性和相位频率特性（简称幅频和相频特性）。本实验中，用波尔共振仪定量测定机械受迫振动的幅频特性和相频特性，并利用频闪方法来测定动态物理量——相位差。 【实验目的】 1．研究波尔共振仪中弹性摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性。 2．研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响，观察共振现象。 3．学习用频闪法测定运动物体的某些量，例相位差。 【仪器用具】 ZKY-BG波尔共振实验仪 【实验原理】 物体在周期外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动，这种周期性的外力称为强迫
力。如果外力是按简谐振动规律变化，那么稳定状态时的受迫振动也是简谐振动，此时，振幅保持恒定，振幅的大小与强迫力的频率和原振动系统无阻尼时的固有振动频率以及阻尼系数有关。在受迫振动状态下，系统除了受到强迫力的作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用。所以在稳定状态时物体的位移、速度变化与强迫力变化不是同相位的，存在一个相位差。当强迫力频率与系统的固有频率相同时产生共振，此时速度振幅最大，相位差为90°。 实验采用摆轮在弹性力矩作用下自由摆动，在电磁阻尼力矩作用下作受迫振动来研究受迫振动特性，可直观地显示机械振动中的一些物理现象。 当摆轮受到周期性强迫外力矩t cos M M 0ω=的作用，并在有空气阻尼和电磁阻尼的媒质中运动时（阻尼力矩为dt d b θ-）其运动方程为 t cos M dt d b k dt d J 022ω+θ-θ-=θ （1） 式中，J 为摆轮的转动惯量，θ-k 为弹性力矩，0M 为强迫力矩的幅值，ω为强迫力的圆频率。 令 J k 20=ω，J b 2=β，J m m 0= 则式（1）变为 t cos m dt d 2dt d 2022ω=θω+θβ+θ （2） 当0t cos m =ω时，式（2）即为阻尼振动方程。
华中科技大学大学物理实验报告-音叉的受迫振动与共振
华中科技大学音叉的受迫振动与共振 【实验目的】 1.研究音叉振动系统在驱动力作用下振幅与驱动力频率的关系，测量并绘制它们的关系曲线，求出共振频率和振动系统振动的锐度。 2.通过对音叉双臂振动与对称双臂质量关系的测量，研究音叉共振频率与附在音叉双臂一定位置上相同物块质量的关系。 3.通过测量共振频率的方法，测量附在音叉上的一对物块的未知质量。 4.在音叉增加阻尼力情况下，测量音叉共振频率及锐度，并与阻尼力小情况进行对比。 【实验仪器】 FD-VR-A型受迫振动与共振实验仪（包括主机和音叉振动装置）、加载质量块（成对）、阻尼片、电子天平（共用）、示波器（选做用） 【实验装置及实验原理】 一．实验装置及工作简述 FD-VR-A型受迫振动与共振实验仪主要由电磁激振驱动线圈、音叉、电磁线圈传感器、支座、低频信号发生器、交流数字电压表（0～）等部件组成（图1所示） 1.低频信号输出接口 2.输出幅度调节钮 3.频率调节钮 4.频率微调钮 5.电压输入接口 6.电源开关 7.信号发生器频率显示窗 8.数字电压表显示窗 9.电压输出接口10.示波器接口Y11.示波器接口X12.低频信号输入接口13.电磁激振驱动线圈14.电磁探测线圈传感器15.质量块16.音叉17.底座18.支架19. 固定螺丝 图1 FD-VR-A型受迫振动与共振实验仪装置图 在音叉的两双臂外侧两端对称地放置两个激振线圈，其中一端激振线圈在由低频信号发生器供给的正弦交变电流作用下产生交变磁场激振音叉，使之产生正弦振动。当线圈中的电流最大时，吸力最大；电流为零时磁场消失，吸力为零，音叉被释放，因此音叉产生的振动频率与激振线圈中的电流有关。频率越高，磁场交变越快，音叉振动的频率越大；反之则小。另一端线圈因为变化的磁场产生感应电流，输出到交流数字电压表中。因为I=dB/dt，而dB/dt取决于音叉振动中的速度v，速度越快，磁场变化越快，产生电流越大，电压表显示的数值越大，即电压值和速
用波尔共振仪研究受迫振动
用波尔共振仪研究受迫振动 在机械制造和建筑工程等领域中，受迫振动所导致的共振现象引起工程技术人员极大关注。它既有破坏作用，也有实用价值。很多电声器件都是运用共振原理设计制作的。另外，在微观科学研究中，“共振”也是一种重要的研究手段。例如：利用核磁共振和顺磁共振研究物质结构等。 表征受迫振动性质是受迫振动的振幅—频率特性和相位—频率特性（简称幅频和相频特性）。 本实验中，采用波尔共振仪定量测定机械受迫振动的幅频特性和相频特性，并利用频闪方法来测定动态的物理量——相位差。数据处理与误差分析方面的内容也比较丰富。 【实验目的】 1. 研究波尔共振仪中弹性摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性。 2. 研究不同阻尼矩对受迫振动的影响，观察共振现象。 3. 学习用频闪法测定运动物体的某些量。 【实验原理】 物体在周期外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动，这种周期性的外力称为策动力。如果外力是按简谐振动规律变化，那么稳定状态时的受迫振动也是简谐振动，此时，振幅保持恒定，振幅的大小与策动力的频率和原振动系统无阻尼时的固有振动频率以及阻尼系数有关。在受迫振动状态下，系统除了受到策动力的作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用。所以在稳定状态时物体的位移、速度变化与策动力变化不是同相位的，而是存在一个相位差。当策动力频率与系统的固有频率相同产生共振，测试振幅最大，相位差为90°。 实验采用摆轮在弹性力矩作用下自由摆动，在电磁阻尼力矩作用下作受迫振动来研究受迫振动特性，可直观地显示机构振动中的一些物理现象。当摆轮受到周期性策动力矩M=M 0cos ωt 的作用，并在有空气阻尼和电磁阻尼的媒质中运动时（阻尼力矩为dt d b θ?），其运动方程为 t M dt d b k dt d J ωθθθcos 022+??= (1) 式中，J 为摆轮的转动惯量，–k θ为弹性力矩，M 0为强迫力矩的幅值，ω为策动力的圆频 率。令 J k =2 0ω， J b =β2， J M m 0= 则式（1）变为 t m dt d dt d ωθωθβθcos 22022=++ (2)
大学物理复习题答案(振动与波动)
大学物理1复习题答案 一、单选题（在本题的每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号内） 1．一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和 T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为'T 1和'T 2。则有 ( B ) A ．'T T >11且 'T T >22 B ．'T T =11且 'T T >22 C ．'T T <11且 'T T <22 D ．'T T =11且 'T T =22 2．一物体作简谐振动，振动方程为cos 4x A t ?? =+ ?? ? πω，在4 T t = （T 为周期）时刻，物体的加速度为 ( B ) A. 2ω 2ω C. 2ω 2ω 3．一质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为/2A -，且向x 轴的正方向 运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 ( D ) A A A A A A C) A x x A A x A B C D 4. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动方程为 )cos(1αω+=t A x ．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二 个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为 ( B ) A. )π21cos( 2++=αωt A x B. )π21 cos(2-+=αωt A x ． C. )π2 3 cos( 2-+=αωt A x D. )cos(2π++=αωt A x ．
5．波源作简谐运动，其运动方程为t y π240cos 10 0.43 -?=，式中y 的单位为m ，t 的单 位为s ，它所形成的波形以s m /30的速度沿一直线传播，则该波的波长为 ( A ) A ．m 25.0 B ．m 60.0 C ．m 50.0 D ．m 32.0 6．已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为： ( B ) A ．cos x t ππ??=+ ???2 2233 B ．cos x t ππ??=+ ??? 42233 C ．cos x t ππ??=- ???22233 D ．cos x t ππ??=- ??? 42233 二． 填空题（每空2分） 1． 简谐运动方程为)4 20cos(1.0π π+ =t y （t 以s 计，y 以m 计） ，则其振幅为 0.1 m,周期为 0.1 s ；当t=2s 时位移的大小为205.0m. 2．一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2cm ，则该简谐振动 的初相为4 0π ?=，振动方程为_)4 cos(2π π+ =t y 。 3. 平面简谐波的波动方程为()x t y ππ24cos 08.0-=，式中y 和x 的单位为m ，t 的单位为s ，则该波的振幅A= 0.08 ，波长=λ 1 ，离波源0.80m 及0.30m 两处的相位差=?? -Л 。 4. 一简谐振动曲线如图所示，则由图可确定在t = 2s 时刻质点的位移为___0 ___，速度为：πω3=A ． t
大学物理实验讲义实验07 波尔共振实验45854
实验02波尔共振实验 因受迫振动而导致的共振现象具有相当的重要性和普遍性。在声学、光学、电学、原子核物理及各种工程技术领域中，都会遇到各种各样的共振现象。共振现象既有破坏作用，也有许多实用价值。许多仪器和装置的原理也基于各种各样的共振现象，如超声发生器、无线电接收机、交流电的频率计等。在微观科学研究中共振现象也是一种重要的研究手段，例如利用核磁共振和顺磁共振研究物质结构等。 表征受迫振动的性质是受迫振动的振幅频率特性和相位频率特性（简称幅频和相频特性）。本实验中，用波尔共振仪定量测定机械受迫振动的幅频特性和相频特性，并利用频闪方法来测定动态物理量——相位差。 【实验目的】 1． 研究波尔共振仪中弹性摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性。 2． 研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响，观察共振现象。 3． 学习用频闪法测定运动物体的某些量，例相位差。 【仪器用具】 ZKY-BG 波尔共振实验仪 【实验原理】 物体在周期外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动，这种周期性的外力称为强迫力。如果外力是按简谐振动规律变化，那么稳定状态时的受迫振动也是简谐振动，此时，振幅保持恒定，振幅的大小与强迫力的频率和原振动系统无阻尼时的固有振动频率以及阻尼系数有关。在受迫振动状态下，系统除了受到强迫力的作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用。所以在稳定状态时物体的位移、速度变化与强迫力变化不是同相位的，存在一个相位差。当强迫力频率与系统的固有频率相同时产生共振，此时速度振幅最大，相位差为90°。 实验采用摆轮在弹性力矩作用下自由摆动，在电磁阻尼力矩作用下作受迫振动来研究受迫振动特性，可直观地显示机械振动中的一些物理现象。 当摆轮受到周期性强迫外力矩t cos M M 0ω=的作用，并在有空气阻尼和电磁阻尼的媒质中运动时（阻尼力矩为dt d b θ -）其运动方程为 t cos M dt d b k dt d J 022ω+θ-θ-=θ（1） 式中，J 为摆轮的转动惯量，θ-k 为弹性力矩，0M 为强迫力矩的幅值，ω为强迫力的圆 频率。 令J k 2 = ω，J b 2=β，J m m 0= 则式（1）变为 t cos m dt d 2dt d 2 02 2ω=θω+θβ+θ（2）
东南大学物理实验报告材料-受迫振动
物理实验报告 标题：受迫振动的研究实验 摘要： 振动是自然界中最常见的运动形式之一，由受迫振动引发的共振现象在日常生活和工程技术中极为普遍。共振现象在许多领域有着广泛的应用，例如，众多电声器件需要利用共振原理设计制作。它既有实用价值，也有破坏作用。本实验采用玻耳共振仪定量测定了阻尼振动的振幅比值，绘制了受迫振动的幅频特性和相频特性曲线，并分析了阻尼对振动的影响以及受迫振动的幅频特性和相频特性。另外，实验中利用了频闪法来测定动态的相位差。
目录 1引言 (3) 2.实验方法 (3) 2.1实验原理 (3) 2.1.1受迫振动 (3) 2.1.2共振 (4) 2.1.3阻尼系数的测量 (5) 2.2实验仪器 (6) 3实验内容、结果与讨论 (7) 3.1测定电磁阻尼为0情况下摆轮的振幅与振动周期的对应关系 (7) 3.2研究摆轮的阻尼振动 (8) 3.3测定摆轮受迫振动的幅频与相频特性曲线，并求阻尼系数 (9) 3.4比较不同阻尼的幅频与相频特性曲线 (14) 4.总结 (15) 5.参考文献 (16)
1引言 振动是自然界中最常见的运动形式之一，由受迫振动引发的共振现象在日常生活和工程技术中极为普遍。共振现象在许多领域有着广泛的应用，例如为研究物质的微观结构，常采用核共振方法。但是共振现象也有极大的破坏性，减震和防震是工程技术和科学研究的一项重要任务。表征受迫振动性质的是受迫振动的振幅—频率特性和相位—频率特性（简称幅频和相频特性）。本实验采用玻耳共振仪定量测定了阻尼振动的振幅比值，绘制了受迫振动的幅频特性和相频特性曲线，并分析了阻尼对振动的影响以及受迫振动的幅频特性和相频特性。 2.实验方法 2.1实验原理 2.1.1受迫振动 本实验中采用的是玻耳共振仪，其构造如图1所示： 图一
共振演示仪实验报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除共振演示仪实验报告 篇一：波尔共振实验报告 实验3波尔共振实验 【实验目的】 1、研究波尔共振仪中弹性摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性。 2、研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响，观察共振现象。 3、学习用频闪法测定运动物体的某些量，例相位差。 【仪器用具】 ZKY-bg型波尔共振仪 【实验原理】 1、受迫振动：物体在周期外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动，这种周期性的外力称为强迫力。 2、受迫振动特点：如果外力是按简谐振动规律变化，那么稳定状态时的受迫振动也是简谐振动，此时，振幅保持恒定，振幅的大小与强迫力的频率和原振动系统无阻尼时的
固有振动频率以及阻尼系数有关。在受迫振动状态下，系统除了受到强迫力的作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用。所以在稳定状态时物体的位移、速度变化与强迫力变化不是同相位的，存在一个相位差。当强迫力频率与系统的固有频率相同时产生共振，此时振幅最大，相位差为90°。 摆轮运动方程为 dt 式中，J为摆轮的转动惯量，-kθ为弹性力矩，m0为强迫力矩的幅值，ω为强迫力的圆频率。 3、本实验研究方法：本实验采用摆轮在弹性力矩作用下自由摆动，在电磁阻尼力矩作用下作受迫振动来研究受迫振动特性，可直观地显示机械振动中的一些物理现象。 【实验步骤】 1、自由振荡—摆轮振幅θ与系统固有周期T。的对应值的测量。 选择自由振荡，用手转动160°左右，使测量状态变为“开”。开始记录数据，振幅的有限数值范围为50°~160°。选中回查，查看所有的数据。回查完毕，按确认键。运用此法可作出θ与T。的对应表，如图表3-1所示。 2、测定阻尼示数β。 选择阻尼振荡，按确认键显示。阻尼分三个挡次，阻尼1最小，根据实验选择阻尼挡。这里选择阻尼1，按确认键
0212波尔振动的物理研究实验报告
波尔振动的物理研究 【实验目的】 1. 观察扭摆的阻尼振动，测定阻尼因数。 2. 研究在简谐外力矩作用下扭摆的受迫振动，描绘扭摆在不同阻尼情况下的共振曲线（幅频特性曲线）。 3. 描绘外加强迫力矩与受迫振动之间的位相随频率变化的特性曲线（即相频特性曲线）。 4. 分析波尔共振的相位和角速度的关系。 【实验仪器】 扭摆（波尔摆）一套（PHYWE ），秒表，数据采集器，转动传感器。 【实验原理】 1．扭摆的阻尼振动 在有阻力矩的情况下，使扭摆由某一摆角开始做自由振动。此时扭摆受到两个力矩的作用：一是弹性恢复力矩M 弹，它与摆的扭转角θ成正比，即M c θ弹＝（c 为扭转系数）；二是阻力矩阻M 阻，可近似认为它与摆动的角速度成正比，即d M r dt θ -阻＝(r 为阻矩系数）。若扭摆的转动惯量为I ，则根据转动定律可列出扭摆的运动方程： 22d d I c r dt dt θθθ=-- （1） 即 220d r d r dt I dt I θθθ++= （2） 令 2r I β=（β称为阻尼因数） ，2 0r I ω=（称0ω为固有圆频率），则式(2)的解为 002exp()cos exp()cos A t t A t t T π θββω=-=- （3） 其中0A 为扭摆的初始振幅，T 为扭摆做阻尼振动的周期，且2T ωπ== 由式（３）可见，扭摆的振幅随着时间按指数规律衰减。若测得初始振幅0A 及第n 个 周期时的振幅n A ，并测得摆动n 个周期所用的时间nT ，则有
则 01 ln A nT A β= （4） 2．扭摆的受迫振动 当扭摆在有阻尼的情况下受到简谐外力矩作用时，就会作受迫振动。设外加简谐力矩通过弹簧加到摆轮上，其频率是ω，幅度为0M （00c M θ=，0θ为外力矩角幅），且有 0cos M M t ω外＝，则扭摆的运动方程变为 22 022cos d d h t dt dt θθβωθω++= （5） 其中0h M I =，在稳态情况下，式（5）的解是 cos()A t θω?=+ （6） 其中A 为角振幅， A = （7） 而角位移θ 与简谐外力矩之间的位相差?则可表示为 22 2arctan( )βω ?ωω=- （8） 式（6）说明，扭摆在简谐外力矩作用下的运动也是简谐振动，它的振幅是A ，它的频率与外力矩的频率相同，但二者的位相差是?。 由式（7）可见，当ω→0时，振幅A 接近外力矩角幅0θ（∵2 000M c h I I θωθ===） ，随着ω的逐渐增大，振幅A 将随之增加，当ω= A 有最大值，此时称 为共振，此频率称为共振频率，即ω=共ωω>共或ωω<共时，振幅都将 减小；当ω很大时，振幅趋于零。 由式（8）可见，当00ωω≤≤时，有02 π ?≥≥，即受迫振动的位相落后于外加简谐 力矩的位相；在共振情况下，位相落后接近于 2 π ，而在0ωω=时（有阻尼时不是共振状态），位相才正好落后2π；当0ωω≥时，有0tg ?>，此时2 π ?<-，即位相落后得更多；当0 ωω≥时，?趋近π-，即接近于反位相。在已知0ω及β的情况下，则可由式（8）计算出各ω值 00 0exp()exp() A A nT A A nT ββ==-
大学物理振动波动例题习题
精品 振动波动 一、例题 （一）振动 1.证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率。 2. 一质点沿x 轴作简谐运动，振幅为12cm ，周期为2s 。当t = 0时, 位移为6cm ，且向x 轴正方向运动。 求: (1) 振动表达式； (2) t = 0.5s 时，质点的位置、速度和加速度； (3)如果在某时刻质点位于x =-0.6cm ，且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 3. 已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为： x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI)x t π=+ 求：(1)合振动的初相及振幅. (2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0.07cos (10 t +? 3 ), 则当? 3为多少时 x 1 + x 3 的振幅最大?又? 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小? （二）波动 1. 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s 。在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动， 求：(1)波动方程 (2)x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。 2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。求：（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+。 S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。求：两波在P 点引起的合振动振幅。
【7A文】大学物理实验报告—受迫振动的研究
受迫振动的研究 摘要: 振动是自然界中最常见的运动形式，本文对物体的受迫振动进行了研究，观察到了共振现象，通过测量系统在振动时的相关物理量，获得了振动系统的固有频率，研究了受迫振动的幅频特性和相频特性，并绘出了图像。 关键词: 受迫振动幅频特性相频特性固有频率 The study of the forced vibration Abstract: Vibration is the most common form of eGercise in the nature. This article makes a research on vibration. Resonance is observed during the eGperiment. By measuring the related physical quantity during the vibration, the system’s natural frequency is got. The article also studies the amplitude-frequency characteristics and phase-frequency characteristics and draws pictures about them. Keywords: forced vibration amplitude-frequency characteristics phase-frequency characteristics natural frequency 一、实验原理 1.受迫振动： 物体在周期外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动，这种周期性的外力称为策动力。如果外力是按简谐振动规律变化，那么稳定状态时的受迫振动也是简谐振动，此时，振幅保持恒定，振幅的大小与策动力的频率和原振动系统无阻尼时的固有振动频率以及阻尼系数有关。在受迫振动状态下，系统除了受到策动力的作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用。所以在稳定状态时物体的位移、速度变化与策动力变化不是同相位的，而是存在一个相位差。当策动力频率与系统的固有频率相同产生共振，测试振幅最大，相位差为90°。 实验采用摆轮在弹性力矩作用下自由摆动，在电磁阻尼力矩作用下作受迫振动来研究受迫振动特性，可直观地显示机构振动中的一些物理现象。当摆轮受到周期性策动力矩的作用，并在有空气阻尼和电磁阻尼的媒质中运动时（阻尼力矩为），其运动方程为： (1) （1）式中，J为摆轮的转动惯量，–kθ为弹性力矩，为强迫力矩的幅值，ω为策动力矩的角频率。令，，。则（1）式可写为 (2) 式（2）即为阻尼振动方程。 阻尼系数为，摆轮固有频率为。在小阻尼的情况下，式（2）的通解为
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波尔共振 振动是一种常见的物理现象 , 而共振是特殊的振动，为了趋利避害在工程技术和科学研究 领域中对其给予了足够的重视。 目前 , 电力传输采用的是高压输电法。而据报载， 2007 年 6 月美国麻省理工学院的物理 学家索尔加斯克领导的一个小组， 成功地利用无线输电技术， 点亮了距离电源 2 米远的灯泡！ 无线输电法原理的核心就是共振。 人们期待着能在更远的距离实现无线输电， 那时生产和生 活将会发生一场重大变革。 【目的与要求】 1. 观察测量自由振动中振幅与周期的关系。 2. 研究阻尼振动并测量阻尼系数。 3. 观察共振现象及其特征；研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响及其辐频特性和相频特 性。 4. 学习用频闪法测定动态物理量 ---- 相位差。 【实验原理】 物体在周期性外力（即强迫力）的作用下发生的振动称为受迫振动。若外力是按简谐 振动规律变化， 则稳定状态时的振动也是简谐振动，此时，振幅保持恒定，振幅的大小与强 迫力的频率和原振动系统的固有频率以及阻尼系数有关。 在受迫振动状态下， 系统除了受到 强迫力的作用外， 同时还受到回复力和阻尼力的作用。 所以在稳定状态时物体的位移、 速度 变化与强迫力变化不是同相位的， 存在一个相位差。 在无阻尼情况下， 当强迫力频率与系统 的固有频率相同时产生共振，此时振幅最大，相位差为 90°。 当摆轮受到周期性强迫外力矩 M M 0 cos t 的作用，并在有空气阻尼和电磁阻尼的媒 质中运动时（阻尼力矩为 b d ），其运动方程为 dt d 2 k d M 0 cos t （33-1 ） J 2 b dt dt 式中， J 为摆轮的转动惯量， -k θ为弹性力矩， M 0 为强迫力矩的幅值，ω为强迫力的圆 频率。 令 2 k b M 0 , 2 , m J J J 则式（ 33-1 ）变为 d 2 d dt 2 2 dt 2 m cos t （33-2 ） 当 mcos t 0 时，式（ 2）即为阻尼振动方程。 当 0 ，即在无阻尼情况时式（ 33-2 ）变为简谐振动方程，系统的固有圆频率为ω0 。 方程（ 33-2 ）的通解为 1e t cos( f t ) 2 cos( t ) （ 33-3 ） 由式（ 33-3 ）可见，受迫振动可分成两部分： 第一部分， 1e t cos( f t ) 和初始条件有关，经过一定时间后衰减消失。
28波尔振动(二)实验报告讲解
实验2.8 波尔振动实验（二） 实验人姓名：合作人： 学院：物理工程与科学技术学院专业：光信息科学与技术年级：级学号： 日期：年月日室温：24℃相对湿度：67% 实验数据储存 【实验目的】 1.观察和研究自由振动、阻尼振动、受迫振动的特性 2.观察和研究振动过程的拍频、相图、机械能转换和守恒现象 【仪器用具】 仪器名称数量型号技术指标 扭摆（波尔摆） 1 ZKY-BG 固有振动频率约 0.5Hz 秒表 1 DM3-008 石英秒表，精度 0.01s 三路直流稳压稳流电源1 IT6322 三路隔离， 0-30V/1mV,0.3A/1mA 台式数字万用表 1 DM3051 5-3/4位，1μ V-1000V，10nA-10A， 准确度为读数的 0.025％ 数据采集器及转动传感器1 SW850及CI6531 最高采样率1000Hz， 分辨率0.25°，准确 度±0.009° 实验测控用计算机 1 IdeaCenterB320i 一体台式计算机 【原理概述】 1.振动的频谱 任何周期性的运动均可分解为简谐振动的线性叠加。采集一组如图1所示的扭摆摆动角度随时间变化的数据之后，对其进行傅立叶变换，就可以得到一组相对振幅随频率的变化数据。以频率为横坐标，相对振幅为纵坐标可作出一条如图2所示的曲线，即为波尔振动的频谱。在自由振动状态下，峰值对应的频率就是波尔振动仪的固有振动频率。
图1 角度随时间变化关系 图2 振动的频谱 2.拍频 3．相图和机械能 扭摆的摆动过程存在势能和动能的转换，其势能和动能为 其中I 为扭摆的转动惯量。势能与摆动角度的平方成正比，动能与角速度的平方成正比。 若以角度为横坐标，角速度为纵坐标画出两者的关系曲线，称为相图。通过相图可直观地 看出扭摆振动过程中势能与动能的变化。图3 所示为阻尼振动的相图，机械能不断损耗， 相图逐渐缩小至中心点。图4 所示为理想的自由振动的相图，势能和动能相互转换，但总 的机械能始终保持不变，相图为一个面积保持不变的椭圆。
大学物理振动与波动
振动与波动 选择题 0580.一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图所示）， 作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量23 1 ml J =，此摆作微小振 动的周期为 (A) g l π2. (B) g l 22π. (C) g l 322π . (D) g l 3π. ［ C ］ 3001. 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时．若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) π． (B) π/2． (C) 0 ． (D) θ． ［ C ］ 3003.轻弹簧上端固定，下系一质量为m 1的物体，稳定后在m 1下边又系一质量为m 2 的物体，于是弹簧又伸长了?x ．若将m 2移去，并令其振动，则振动周期为 (A) g m x m T 122?π= ． (B) g m x m T 212?π=． (C) g m x m T 2121?π= ． (D) g m m x m T )(2212+π=?． ［ B ］ 3004.劲度系数分别为k 1和k 2的两个轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m 的物体，构成一个竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为 (A) 21212)(2k k k k m T +π =． (B) ) (221k k m T +π= ． (C) 2121)(2k k k k m T +π=． (D) 2 122k k m T +π=． ［ C ］ 3255.如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体，再用此弹簧改系一质量为4m 的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质 量为m 的物体，则这三个系统的周期值之比为 (A) 1∶2∶2/1． (B) 1∶2 1 ∶2 ．