微积分知识点归纳

知识点归纳

1. 求极限

2.1函数极限的性质P35

唯一性、局部有界性、保号性

P34 A x f x x =→)(lim 0

的充分必要条件是

：A x f x f x f x f x x x x ==

+==-+-→→)()0()()0(lim lim 0

000 2.2 利用无穷小的性质P37：

定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。

0)sin 2(30

lim =+→x x x

定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

0)1sin (20lim =→x

x x

定理3无穷大的倒数是无穷小。反之，无穷小的倒数是无穷大。

例如：lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131

2352

3+--+x x x x 0=

2.3利用极限运算法则P41

2.4利用复合函数的极限运算法则P45

2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47

夹逼准则与单调有界准则，

lim 0→x x x tan 1=，lim 0→x x x arctan 1=，lim 0

→x x x arcsin 1=，

lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =，lim 0)(→x ?)(1

))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55

当0→x 时，

x x ~sin ，x x ~tan ， x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~，22

1~cos 1x x -，x x αα++1~)1(，≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限？P66

)(ln )()()(x u x v x v e x u =，)(ln )()(lim )

(lim x u x v x v a x a x e x u →=→

2.8洛必达法则P120

lim a x →)()(x g x f )

()(lim x g x f a x ''=→ 基本未定式：00，∞∞，

其它未定式 ∞?0，∞-∞，00，∞1，0∞（后三个皆为幂指函数）

2. 求导数的方法

2.1导数的定义P77：

lim 00|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x

y x ?-?+=??→?)()(000lim h x f h x f h )

()(000

lim -+=→

x f h x f h ---=→)()(000lim 00)()(lim 0

x x x f x f x x --=→ 左极限：h

x f h x f x f h )()()(0000lim -+='-→- 右极限：h x f h x f x f h )()()(0000lim -+='+

→+ 定理1：)(x f y =在0x 处可导的充分必要条件是：)()(00x f x f +-'='

2.2 求导的四则运算法则P84、反函数的导数P86、

复合函数的导数P87

2.3高阶导数P92

2.4隐函数的导数P95、对数求导法P97、参数方程的导数P98

2.5函数的微分定义P100

2.6基本初等函数的微分公式与微分运算法则P103

3.求积分的方法

3.1原函数的定义、不定积分的定义P161

3.2不定积分的性质P163：性质1－性质4

例10 ,P165

3.3基本积分表

3.4换元积分法

3.4.1凑微分法P167

常用凑微分公式P168

3.4.2变量代换法P170

补充基本积分公式P173

3.5分部积分法P175

3.6有理函数的积分

4.6.1有理函数的积分P180

4.6.2三角有理函数的积分

万能置换公式，修改的万能置换公式

4.6.3简单无理函数的积分P186

4.其它

4.1 判断函数连续性及间断性P59

例1,例2,例4,例5,例6,例8

4.2求方程的根

4.2.1零点定理P67,例5,例6

4.2.2罗尔定理P114,例1,例2

4.4.3判断根的唯一性：罗尔定理P114 的例2,单调性P132例5 4.4.4导数的几何意义P80、可导性与连续性的关系P81例10,例11 4.4证明恒等式P116,例3

4.5证明不等式

4.5.1用拉格郎日中值定理P117,例4

4.5.2利用函数单调性P132,例4

4.5判断单调性P131与凹凸性P133、求拐点P134

4.6求函数的极值及最值

4.6.1求函数的极值P136

必要条件P137，第一充分条件P137，第二充分条件P139

4.6.2求函数的最值P140

4.7求曲线的渐近线P144

4.8导数在经济学中的运用

4.8.1边际函数及其经济意义P147

4.8.2弹性函数及其经济意义P150

（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）

微积分知识点小结

第一章函数一、本章提要基本概念函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数第二章极限与连续一、本章提要 1.基本概念函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式 (1) 1sin lim 0=→口口口， (2) e )11(lim 0=+→口口口 (口代表同一变量). 3.基本方法 ⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求0 0形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求 ∞∞形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 第三章导数与微分一、本章提要

瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2.基本公式基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3.基本方法 ⑴利用导数定义求导数； ⑵利用导数公式与求导法则求导数； ⑶利用复合函数求导法则求导数； ⑷隐含数微分法； ⑸参数方程微分法； ⑹对数求导法； ⑺利用微分运算法则求微分或导数．第四章微分学的应用一、本章提要 1. 基本概念未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线． 2.基本方法 ⑴用洛必达法则求未定型的极限； ⑵函数单调性的判定； ⑶单调区间的求法； ⑷可能极值点的求法与极大值（或极小值）的求法； ⑸连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法； ⑹求实际问题的最大（或最小）值的方法； ⑺曲线的凹向及拐点的求法； ⑻曲线的渐近线的求法； ⑼一元函数图像的描绘方法． 3. 定理柯西中值定理,拉格朗日中值定理,罗尔中值定理, 洛必达法则,函数单调性的判定定理,极值的必要条件,极值的第一充分条件,极值的第二充分条件,曲线凹向的判别法则．第五章不定积分一、本章提要 1. 基本概念原函数，不定积分．

高等数学知识点总结 (1)

高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：（三）空间直线及其方程 1、一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-

大学微积分知识点总结

【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识）（1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。（2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数）（3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1 （α≠1，α为常数）（4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数（6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7 ）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地，（9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。（10）不定积分的计算方法数乘运算加减运算线性运算（8）

①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法：【解释：一阶微分形式不变性】释义：函数对应：y=f(u) 说明：（11）分段函数的积分例题说明：{}dx x? ?2,1 max （12）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一（16）隐函数求不定积分例题说明：（17）三角有理函数积分的万能变换公式（18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换（19）其他形式的不定积分

微积分下册知识点

微积分（下）知识点第 1 页共 18 页微积分下册知识点第一章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算 1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、线性运算：加减法、数乘； 3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ， ),,(z y x b b b b = ，则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、向量的模、方向角、投影： 1）向量的模： 222z y x r ++= ； 2）两点间的距离公式： 212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4）方向余弦：r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5）投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。（二）数量积，向量积 1、数量积：θcos b a b a =? 1）2a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、向量积：b a c ?=

微积分（下）知识点第 1 页共 18 页大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则 1）0 =?a a 2）b a //?0 =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （三）曲面及其方程 1、曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S 2、旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周： 0),(2 2=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 3、柱面： ),(=y x F 表示母线平行于 z 轴，准线为 ?????==0 ),(z y x F 的柱面 4、二次曲面（不考） 1）椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：122 222 2=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 4）双叶双曲面：122 22 2 2 =--c z b y a x

大一上微积分知识点重点(供参考)

大一（上）微积分知识点第一章函数一、A ?B=?,则A 、B 是分离的。二、设有集合A 、B ，属于A 而不属于B 的所有元素构成的集合，称为A 与B 的差。 A-B={x|x ∈A 且x ?B}（属于前者，不属于后者）三、集合运算律：①交换律、结合律、分配律与数的这三定律一致； ②摩根律：交的补等于补的并。四、笛卡尔乘积：设有集合A 和B ，对?x ∈A,?y ∈B ，所有二元有序数组（x,,y ）构成的集合。五、相同函数的要求：①定义域相同②对应法则相同六、求反函数：反解互换七、关于函数的奇偶性，要注意： 1、函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的，若函数的定义域关于原点不对称，则函数无奇偶性可言，那么函数既不是奇函数也不是偶函数； 2、判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义：若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f =-成立，则)(x f 为偶函数；若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f -=-成立，则)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-不能对所有的)(f D x ∈成立，则)(x f 既不是奇函数也不是偶函数； 3、奇偶函数的运算性质：两偶函数之和是偶函数；两奇函数之和是奇函数；一奇一偶函数之和是非奇非偶函数（两函数均不恒等于零）；两奇（或两偶）函数之积是偶函数；一奇一偶函数之积是奇函数。第二章极限与连续一、一个数列有极限，就称这个数列是收敛的，否则就称它是发散的。二、极限存在定理：左、右极限都存在，且相等。三、无穷小量的几个性质： 1、limf(x)=0，则 2、若limf(x)=)(lim x g =0，则0)()(lim =+x g x f 3、若limf(x)=)(lim x g =0，则lim )(x f ·)(x g 0= 4、若g(x)有界（|g(x)|＜M ），且limf(x)=0，则limf(x)·g(x ）=0 四、无穷小量与无穷大量的关系： ①若 y 是无穷大量，则y 1是无穷小量； ②若y （y ≠0)是无穷小量，则y 1是无穷大量。

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→

微积分下册主要知识点

4.1不定积分 *基本积分表 *基本积分法：利用基本积分表。 4.2换元积分法一、第一换元积分法(凑微分法) C x F C u F du u g dx x x g +=+=='??)]([)()()()]([???. 二、常用凑微分公式三、第二换元法 x u x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x x x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln ) (arcsin )(arcsin 11 )(arcsin .11) (arctan )(arctan 11 )(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4) (ln )(ln 1 )(ln .3) 0()()(1 )(.2)0()()(1 )(.12 2 221==========+=-=-=+-==-=?=?=?=?=?≠=≠++= +??????????????????????-μμμμμμμ 法分积元换一第换元公式积分类型

微积分上重要知识点总结

1、常用无穷小量替换 2、关于邻域:邻域的定义、表示(区间表示、数轴表示、简单表示);左右邻域、空心邻域、有界集。 3、初等函数:正割函数sec就是余弦函数cos的倒数;余割函数就是正弦函数的倒数;反三角函数:定义域、值域 4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。 5、无穷小量与无穷大量:无穷小量的定义、运算性质、定理(无穷小量与极限的替换)、比较、高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。 6、极限的性质:局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质(保序性)。 7、极限的四则运算法则。 8、夹逼定理(适当放缩)、单调有界定理(单调有界数列必有极限)。 9、两个重要极限及其变形 10、等价无穷小量替换定理 11、函数的连续性:定义(增量定义法、极限定义法)、左右连续 12、函数的间断点:第一类间断点与第二类间断点,左、右极限都存在的就是第一类间断点,第一类间断点有跳跃间断点与可去间断点。左右极限至少有一个不存在的间断点就是第二类间断点。 13、连续函数的四则运算 14、反函数、复合函数、初等函数的连续性 15、闭区间上连续函数的性质:最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。 16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。 17、求导法则与求导公式:函数线性组合的求导法则、函数积与商的求导法则、反函数的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式 18、隐函数的导数。 19、高阶导数的求法及表示。 20、微分的定义及几何意义、可微的充要条件就是可导。 21、A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0)Δx、

微积分(下册)主要知识点汇总

4.1不定积分 *基本积分表 *基本积分法：利用基本积分表。 4.2换元积分法一、第一换元积分法(凑微分法) C x F C u F du u g dx x x g +=+=='??)]([)()()()]([???. 二、常用凑微分公式三、第二换元法 C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=??)]([)()()]([)(ψ??, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有 a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c) ,22a x - 可令 .sec t a x = x u x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x x x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln ) (arcsin )(arcsin 11 )(arcsin .11)(arctan )(arctan 11 ) (arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4) (ln )(ln 1 )(ln .3) 0()()(1 )(.2) 0()()(1 )(.12 2221==========+=-=-=+-==-=?=?=?=?=?≠=≠++=+??????????????????????-μμμμμμμ 法分积元换一第换元公式积分类型

微积分知识点归纳

知识点归纳 1. 求极限 2.1函数极限的性质P35 唯一性、局部有界性、保号性 P34 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是：A x f x f x f x f x x x x == +==-+-→→)()0()()0(lim lim 0 000 2.2 利用无穷小的性质P37：定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 0)sin 2(30 lim =+→x x x 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 0)1 sin (20 lim =→x x x 定理3无穷大的倒数是无穷小。反之，无穷小的倒数是无穷大。例如：lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131 23523+--+x x x x 0= 2.3利用极限运算法则P41 2.4利用复合函数的极限运算法则P45 2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47 夹逼准则与单调有界准则，

lim 0→x x x tan 1=，lim 0→x x x arctan 1=，lim 0→x x x arcsin 1=， lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =，lim 0 )(→x ?) (1 ))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55 当0→x 时， x x ~sin ，x x ~tan ， x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~，221 ~cos 1x x -，x x αα++1~)1(，≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限？P66 )(ln )()()(x u x v x v e x u =，)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120 lim a x →)() (x g x f )() (lim x g x f a x ''=→ 基本未定式：00，∞∞ ，其它未定式 ∞?0，∞-∞，00，∞1，0∞（后三个皆为幂指函数） 2. 求导数的方法 2.1导数的定义P77： lim 00|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ?-?+ =??→?) ()(000lim h x f h x f h ) ()(000lim -+=→

微积分(下册)主要知识点汇总

一、第一换元积分法(凑微分法) C x F C u F du u g dx x x g +=+=='??)]([)()()()]([???. 二、常用凑微分公式三、第二换元法 C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=??)]([)()()]([)(ψ??, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有 a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c) ,22a x - 可令 .sec t a x = 当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换t x 1 =. 四、积分表续 4.3分部积分法 x u x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x x x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln ) (arcsin )(arcsin 11 ) (arcsin .11) (arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1 )(ln .3)0()()(1)(.2) 0()()(1 )(.1法分积元换一第换元公式积分类型2 2 2 2 1==========+=-=-= +-==-=?=?=?=?=?≠=≠++= +?????? ????????????????-μμ μμμμμ

微积分下册主要知识点

第一换元积分法(凑微分法) g[ (X)]「(x)dx = g(u)du = F(U) C = FL (x)] C J f (x)dx= J f［毋(t)］"(t)dt = F(t)+C = F［寧(X)PC , 注：以上几例所使用的均为三角代换,三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下当被积函数中含有 a).a2-x2,可令X =as int; b)x2a2,可令x =ata nt; C).X22 -a ,可令x =asect. 当有理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换X=1 . t 四、积分表续 4.3分部积分法

UdV=UV- VdU (或微分)的逆运算.一般地，下列类型的被 n 都是正整数). n . X SInmX n X cosmx nx ? e SIn mx nx e cosmx 分部积分公式: UVdX=UV- U VdX (3.2) n mx X e n X arcsInmX X n (In x) X n arccosmx X n arcta nmx 等. 5.1定积分的概念 5.2定积分的性质两点补充规定: 性质性质性质性质性质推论推论 b ⑻当 a=b 时， f(x)dx=0; (b)当 a b 时， f(x)dx - - f (x)dx . b [f (x)二g(x)]dx f (X )dx g (X )dx. a a a b b kf (x)dx =k f (x)dx, (k 为常数). a IJ a b Cb f (x)dx f(x)dx 亠 I f (x)dx . a ?a ?c 若在区间若在区间 b dx 二b -a. a [a,b]上有 f(x)_g(x),则 f(χ)dx g(x)dx, (a ：：：b). ■a *a b [a,b]上 f(x)_0,贝 U f(x)dx_O, (a ：：b). a b I L f(X)dx 兰『I f (X)IdX (a cb). a L - 性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数f(x)在区间［a,b ］上的最大值及最小值，则 b m(b —a) _ f (x)dx _ M (b —a). a 性质7 (定积分中值定理)如果函数f (x)在闭区间［a,b ］上连续，则在［a,b ］上至少存在个点，使 b f(x)dx = f( )(b-a), (a _ -b). a 5.3微积分的基本公式一、引例 X 二、积分上限的函数及其导数：：?：J (X^ f(t)dt L a 定理2若函数f(x)在区间［a,b ］上连续，则函数 (3.1) 分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数积函数常考虑应用分部积分法 (其中m,

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

微积分下册知识点

微积分下册知识点第一章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算 1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、线性运算：加减法、数乘； 3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =ρ ，),,(z y x b b b b =ρ，则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±ρ ρ, ),,(z y x a a a a λλλλ=ρ； 5、向量的模、方向角、投影： 1）向量的模： 222z y x r ++=ρ； 2）两点间的距离公式：2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4）方向余弦：r z r y r x ρρρ===γβαcos ,cos ,cos 5）投影：?cos Pr a a j u ρρρ =，其中?为向量a ρ与u ρ 的夹角。（二）数量积，向量积 1、数量积：θ cos b a b a ρ ρρρ=? 1）2a a a ρρρ=? 2）?⊥b a ρρ0=?b a ρ ρ 2、向量积：b a c ρ ρρ?=

大小：θsin b a ρρ，方向：c b a ρ ρρ,,符合右手规则 1）0ρρ=?a a 2）b a ρρ//?0ρρρ=?b a 运算律：反交换律 b a a b ρ ρρρ?-=? （三）曲面及其方程 1、曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S 2、旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周： 0),(2 2=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f 3、柱面： 0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 0),(z y x F 的柱面 4、二次曲面（不考） 1）椭圆锥面：2 222 2z b y a x =+ 2）椭球面：122 22 2 2 =++c z b y a x 旋转椭球面：122 222 2=++c z a y a x

高等数学(下)知识点总结

主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三）空间直线及其方程

高等数学知识点归纳知识讲解

第一讲: 极限与连续一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=? >?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () () x x t y y t =?? =? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 1(0)x x →→∞, 0lim 1x x x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0 lim ln 0n x x x + →=, 0, x x e x →-∞ ?→?+∞→+∞ ?

高二数学理科下学期知识点总结

高二第二学期理科数学总结一、导数 1、导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='=' →?=)()(lim )(000 00 ； 2、几何意义：切线斜率；物理意义：瞬时速度； 3、常见函数的导数公式: ①；②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(；⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 。 ⑨211x x -=' ?? ? ??；⑩ ()x x 21=' 4、导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2 v v u v u v u v u v u uv v u v u ' -'=''+'=''±'='± 5、复合函数的导数：; x u x u y y '?'=' 6、导数的应用：（1）利用导数求切线：根据导数的几何意义，求得该点的切线斜率为该处的导数（)(0x f k '=）；利用点斜式（)(00x x k y y -=-）求得切线方程。注意ⅰ）所给点是切点吗？ⅱ）所求的是“在”还是“过”该点的切线？（2）利用导数判断函数单调性：①)(0)(x f x f ?>'是增函数； ②)(0)(x f x f ?<'为减函数；③)(0)(x f x f ?≡'为常数；反之，)(x f 是增函数0)(≥'x f ，)(x f 是减函数0)(≤'x f （3）利用导数求极值：ⅰ）求导数)(x f '；ⅱ）求方程0)(='x f 的根；ⅲ）列表得极值。（4）利用导数最大值与最小值： ⅰ）求得极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。（5）求解实际优化问题： ①根据所求假设未知数和，并由题意找出两者的函数关系式，同时给出的范围；②求导，令其为0，解得值，舍去不符合要求的值； ③根据该值两侧的单调性，判断出最值情况（最大还是最小？）； ④求最值（题目需要时）；回归题意，给出结论； 7、定积分 ⑴定积分的定义： )(lim )(1 i n i b a n f n a b dx x f ξ∑ ? =∞ →-=（注意整体思想）

微积分下册主要知识点

微积分下册主要知识点 C x F C u F du u g dx x x g +=+=='??)]([)()()()]([???. 二、常用凑微分公式三、第二换元法 C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=??)]([)()()]([)(ψ??, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有 a) ,2 2x a - 可令 ;sin t a x = b) ,2 2a x + 可令 ;tan t a x = c) ,2 2a x - 可令 .sec t a x = 当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换t x 1= . 四、积分表续 4.3分部积分法分部积分公式： x u x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x x x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln ) (arcsin )(arcsin 11 ) (arcsin .11) (arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1 )(ln .3)0()()(1)(.2) 0()()(1 )(.1法分积元换一第换元公式积分类型2 2 2 2 1==========+=-=-= +-==-=?=?=?=?=?≠=≠++= +?????? ????????????????-μμ μμμμμ

大学微积分l知识点总结(一)

大学微积分I 知识点总结【第一部分】大学阶段准备知识 1、不等式: 2 2 a b 2ab 3 abc c 3 3abc a b a 2 b 2 2 ' 2 当且仅当，a i b i 为常数，i 1,2,3...n 时取等号 2、函数周期性和对称性的常用结论 1、若 f (X+a ) =± f (X+b )，则 f (x )具有周期性；若 f (a+X )=± f (b-X )，则 f ( X )具有对称性。双向不等式: 扩展：若有y -b b 两侧均在ab > 0或ab < 0时取等号且x 1 n 则的最大值为：Xl X2 ... X n n x 1 ?X 2?...?X n , X 2 ... x n p p 为常数柯西不等式: ^设 a i 、a 2、...a n ， b i 、 b 2、..?b n 均是实数，则有: a 〔 b-] a 2 2 2 2 a n b n a i a 2 2 2 2 ... a n b| b ? bn 2 a i a 2??? a n n n

口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性” 2、周期性 (1) 若f (x+a) =f (b+x)，贝U T=|b-a| (2) 若f (x+a) =-f (b+x)，则T=2|b-a| (3) 若f (x+a) =± 1/f (x),贝U T=2a (4) 若f (x+a)=【1-f (x)】/【1+f (x)】，则T=2a (5) 若f (x+a)=【1+f (x)】/【1-f (x)】，则T=4a 3、对称性 (1) 若f (a+x) =f (b-x)，贝U f (x)的对称轴为x= (a+b) /2 (2) 若f (a+x) =-f (b-x) +c，则f (x)的图像关于((a+b) /2，c/2)对称4、函数图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，两个对称中心，一条对称轴和一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。 (1) 若f (x)的图像有两条对称轴x=a和x=b，则f (x)必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a| 。 (2) 若f (x)的图像有两个对称中心(a，0)和(b，0)，(a^b)，则f (x) 必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a| (3) 若f (x)的图像有一个对称轴x=a和一个对称中心则f (x)必定为周期函数，其中一个周期为4|b-a| 3、三角函数正弦sin 余弦cos 十「十n 正切tan b，0) ，( a^ b)，

微积分知识点归纳

微积分知识点小结

高等数学知识点总结 (1)

大学微积分知识点总结

微积分下册知识点

大一上微积分知识点重点(供参考)

大学全册高等数学知识点(全)

微积分下册主要知识点

微积分上重要知识点总结

微积分(下册)主要知识点汇总

微积分知识点归纳

微积分(下册)主要知识点汇总

微积分下册主要知识点

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

微积分下册知识点

高等数学(下)知识点总结

高等数学知识点归纳知识讲解

高二数学理科下学期知识点总结

最新微积分知识点小结

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