纳什均衡的存在性定理中的相关解释

纳什均衡的存在性定理中的相关解释

教材（《经济博弈与应用》）p33，图2.1表明不动点是曲线()?f 与45o 线的交点。当函数()x f 定义在[]1,0∈x 区间上且因变量()x f y =的值域也为[]1,0区间时，如果()x f 是连续的，则必然存在不动点。

图2.1 [0,1]区间上的自变换函数的不动点

直接用来证明纳什存在性定理的不动点定理不是Brouwer

角谷静夫(Kakutani)不动点定理。

定义1 S 是凸的(Convex)当且仅当对任意的M M R y R x ∈∈,及满足1

≤≤λ的λ，只要S x ∈和S y ∈，则有

()S y x ∈-+λλ1

定义2 S 是闭的(Closed)当且仅当对每个收敛的序列()}{∞

=1j j x ，如果对每个

j 都有()S j x ∈，则有

()S j x j ∈∞

→lim

定义3 R M 中的子集S 是开的(open)当且仅当它的补集R M /S 是闭的。 定义4 S 是有界的(bounded)当且仅当存在某个正数K 使得对S 中的每个元素x 都有

∑

∈≤M

m m K x

定义5 当函数()x f 满足下述性质时，我们称其为凹的：

()()()()()[]n

R

x x x f x f x x f ∈∈-+≥-+212121, 1,0,11λλλλλ

x x

第一季第二季第三季第四季)(x f

x

1

如果当()1,0∈λ时上面的不等式严格成立，则称()x f 为严格凹的。一个函数

()x f 是凸的当且仅当函数-()x f 是凹的；()x f 为严格凸函数当且仅当-()x f 为严

格凹函数。

拟凹函数是凹函数概念的一种推广，它包括了凹函数在内的一大类函数，而这类函数在经济学中有着广泛应用，关于拟凹函数的定义如下：

定义6 函数()x f 定义在R n 中的子集D 上，当且仅当()x f 满足如下性质时，

()x f 是拟凹的：

()()()()()2121,min 1x f x f x x f ≥-+λλ ∈λ[0,1]

显然，凹函数是拟凹的，但反过来并不成立，即拟凹函数不一定是凹函数。在下图中，函数()x f 是拟凹的，但不是凹的。

图 不是凹函数的拟凹函数

x 1

y

x 2

x

()

x f