高考试题分类考点空间直角坐标系空间向量及其运算

高考试题分类考点空间直角坐标系空间向量及其运算

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考点37 空间直角坐标系、空间向量及其运算

一、解答题

1.（2012·北京高考理科·Ｔ16）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD,如图

2. （1） 求证：A 1C ⊥平面BCDE ；

（2） 若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；

（3） 线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由.

【解题指南】（1）利用线面垂直的判定定理证明；（2）（3）找出三个垂直关系，

建系，利用向量法求解.

【解析】（1）//,,DE BC AC BC DE AC ⊥∴⊥Q ，1,DE A D DE CD ∴⊥⊥，

111

,,A D CD D DE ACD DE AC =∴⊥∴⊥Q I 面

又11,,AC CD CD DE D AC BCDE ⊥=∴⊥Q I 面.

（2）由（1）可知，1,,CB CD AC 两两互相垂直，分别以它们为x 轴、y 轴、z 轴

建立空间直角坐标系，则1(0,0,23)A ,(0,1,3),(0,1,3),(1,2,0),M CM BE ==-u u u u r u u u r

1(3,0,23)A B =-u u u r ，设平面1A BE 的法向量为1111(,,)n x y z =u r

， 由

1111111203230n BE x y n A B x z ??=-+=???=-=??u r u u u r u r u u u r ，令11x =，得113(1,,)22

n =u r ，

A

B C D E

C B E D

A

M 图图

设所求线面角为α，则113

22

sin

22

n CMα

?=+=??

u r u u u u r

，

2

sin

2

α=

，

[0,]

2

π

α∈

Q

，4

π

α

∴=

.

（3）假设存在这样的点P，设点P的坐标为(m,0,0)，04

m

≤≤3,

(0,2,0)

D,1(,0,23),

A P m

=-

u u u r

1

(0,2,23)

A D=-

u u u u r

,

设2222

(,,)

n x y z

=

u u r

为平面1A DP的法向量，由

2122

2122

230

2230

n A P mx z

n A D y z

??=-=

?

?

?=-=

??

u u r u u u r

u u r u u u u r

，

令23

z=，得2

6

(,3,3)

n

m

=

u u r

，

又11

A DP A BE

Q平面与平面垂直，

12

n n

∴?=

u r u u r6330

22

m

++=

，解得2

m=-（舍去）.

所以不存在点P.

2.（2012·辽宁高考理科·T18）如图，直三棱柱///

ABC A B C

-，90

BAC

∠=o，/,

AB AC AA

λ

==点M，N分别为/A B和//

B C的中点.

(Ⅰ)证明：MN∥平面//

A ACC;

(Ⅱ)若二面角/A MN C

--为直二面角，求λ的值.

【解题指南】（1）由中点联想到中位线，据中位线和底边平行，解决问题；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求λ的值

【解析】（1）连接,

AB AC

'',由已知得M为AB'的中点，又N为B C''的中点，所以MN

为三角形AB C ''的中位线，故MN ∥AC ',又MN A ACC AC A ACC '''''??平面，平面， 因此

（2）以A 为坐标原点O ，分别以直线,,AB AC AA '为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系o xyz -，

设1AA '=，则AB AC λ==,从而(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,1),(,0,1),(0,,1)A B C A B C λλλλ'''

所以1(,0,),(,,1)

2222M N λλλ

设(,,)m x y z =u r 是平面A MN '的一个法向量，由00m A M m MN ?'?=???=??u r u u u u u r u

r u u u u r 得1022

1022x z y z λλ?-=????+=??

取1x =，则1,y z λ=-=，故

(1,1,)

m λ=-u r

设(,,)n a b c =r 是平面MNC 的一个法向量，由0

0n NC n MN ??=???=??r u u u r r u u u u r 得

取1b =-，则3,a c λ=-=，故

(3,1,)

n λ=--r

因为A MN C '--为直二面角，所以

0(1,1,)(3,1,)02

m n λλλ?=?-?--=?=u r r

.

3.（2012·天津高考理科·Ｔ17）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，AC 丄AD ，AB 丄BC ，∠BCA

==2PA AD ，=1AC .

D

C

B

A

P

(Ⅰ)证明PC 丄AD ；

（Ⅱ）求二面角A PC D

--的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为0

30，求AE的长. 【解题指南】建立空间直角坐标系应用空间向量证明垂直关系、求空间角较简捷.

【解析】方法一：如图，

以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得

A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B)0,

2

1

,

2

1

(-，P（0,0,2），

（Ⅰ）易得),

2-,1,0(

=

PC),

0,0,2(

=

AD于是0

.=

AD

PC，所以PC⊥AD.

（Ⅱ）PC(0,1,-2),

=

u u u r

CD(2,1,0),

=-

u u u r

设平面PCD的一个法向量n

r

),

,

,

(z

y

x

n=则

不妨令1

=

z，可得n

r

)1,2,1(

=，可取平面PAC的一个法向量m

u u r

)0,0,1(

=，于是

从而所以二面角A-PC-D的正弦值为

6

30

.

（Ⅲ）设点E的坐标为（0,0,h）,其中]2,0[∈

h，由此得

11

(,,),

22

BE h

=-

u u u r

由(2,1,0),

CD=-

u u u r

故

2

BE CD3

cos BE,CD

|BE||CD|1020h

<>==

+

u u u r u u u r

u u u r u u u r g

u u u r u u u r

g

，

所以

2

3

30

cos

20

10

30

2

=

=

+h

，解得

10

10

=

h，即

10

10

=

AE.