浙教版八年级下专题五 与平行四边形的性质有关的计算与证明

教材P90作业题第5题)

已知：如图1，在?ABCD中，过AC的中点O的直线分别交CB，AD的延长线于点E，F.

求证：BE＝DF.

图1

证明：在平行四边形ABCD中，点O是AC的中点，

∴OA＝OC，AD∥BC，

AD＝BC，

∴∠F AC＝∠ECA，

又∠AOF＝∠COE，

∴△AOF≌△COE(ASA)，

∴AF＝CE，∴AF－AD＝CE－BC，

即DF＝BE.

【思想方法】平行四边形对边平行、对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质可以作为判定平行四边形中三角形全等的条件．

如图2，已知?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O任作一直线分别交AD，CB的延长线于E，F，求证：OE＝OF.

图2

证明：在?ABCD中，

AO ＝CO ，AD ∥BC ， ∴∠E ＝∠F ， ∠EAO ＝∠FCO . 在△AOE 和△COF 中，

???∠E ＝∠F ，

∠EAO ＝∠FCO ，AO ＝CO ，

∴△AOE ≌△COF (AAS )， ∴OE ＝OF .

[2013·南充]如图3，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交

于点O ，经过点O 的直线交AB 于E ，交CD 于F .

求证：OE ＝OF .

图3

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，AB ∥CD . ∴∠OAE ＝∠OCF . ∵∠AOE ＝∠COF ， ∴△OAE ≌△OCF (ASA )． ∴OE ＝OF .

[2013·淮安]如图4，在平行四边形ABCD 中，过AC 中点O 作直

线分别交AD ，BC 于点E ，F .求证：△AOE ≌△COF .

图4

证明：∵O 为AC 中点， ∴OA ＝OC .

∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC .

∴∠EAO ＝∠FCO ， ∠AEO ＝∠CFO . ∴ △AOE ≌△COF .

已知：如图5，BD 为?ABCD 的对角线，O 为BD 的中点，EF ⊥

BD 于点O ，与AD ，BC 分别交于点E ，F .求证：DE ＝DF .

图5

证明：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠OBF ＝∠ODE . ∵O 为BD 的中点， ∴OB ＝OD .

在△BOF 和△DOE 中，

???∠OBF ＝∠ODE ，

OB ＝OD ，

∠BOF ＝∠DOE ，

∴△BOF ≌△DOE . ∴OF ＝OE . ∵EF ⊥BD 于点O ， ∴DE ＝DF .

如图6，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，过O

点作直线EF 分别交BC ，AD 于E ，F .

(1)求证：BE ＝DF ；

(2)若AC ，EF 将平行四边形ABCD 分成的四部分的面积相等，指出E 点的位置，并说明理由．

图6

解：(1)证明：如图，在平行四边形ABCD 中， ∵AD ∥BC ，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∵O 是AC 的中点， ∴AO ＝CO ，

∴在△AOF 与△COE 中，

???∠3＝∠4，∠1＝∠2，AO ＝CO ，

∴△AOF ≌△COE ，∴AF ＝CE .

又∵AD ＝BC ，∴AD －AF ＝BC －CE ，即BE ＝DF .

变形5答图

(2)当E 点与B 点重合时，EF 将平行四边形ABCD 分成的四个部分的面积相等．

理由：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，

由△ABO 与△AOD 等底同高可知面积相等， 同理，△ABO 与△BOC 的面积相等， △AOD 与△COD 的面积相等，

从而易知所分成的四个三角形面积相等．

[2013·漳州]如图7，?ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上两点，且

BE ＝DF .

(1)图中共有__3__对全等三角形；

(2)请写出其中一对全等三角形：________≌________，并加以证明．

图7

解：(1)图中的全等三角形有：△ABE ≌△CDF ，△ABD ≌△CDB ，△ADE ≌△CBF ，共有3对．故填3；

(2)①△ABE ≌△CDF .理由如下： ∵在?ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴∠ABE ＝∠CDF ，

∴在△ABE 与△CDF 中，???AB ＝CD ，

∠ABE ＝∠CDF BE ＝DF ，

∴△ABE ≌△CDF (SAS )； ②△ABD ≌△CDB .理由如下： ∵在?ABCD 中，AD ＝CB ，AB ＝CD ，

∴在△ABD 与△CDB 中，???AD ＝CB ，

AB ＝CD ，BD ＝DB ，

∴△ABD ≌△CDB (SSS )； ③△ADE ≌△CBF .理由如下： ∵在?ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝CB ， ∴∠ADE ＝∠CBF . ∵BE ＝DF ，∴DE ＝BF ，

∴在△ADE 与△CBF 中，???AD ＝CB ，

∠ADE ＝∠CBF .DE ＝BF ，

∴△ADE ≌△CBF (SAS )．

[2013·徐州]如图8，四边形ABCD 是平行四边形，DE 平分∠ADC

交AB于点E，BF平分∠ABC交CD于点F.

(1)求证：DE＝BF；

(2)连结EF，写出图中所有的全等三角形．(不要求证明)

图8

解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，∠A＝∠C，

∠ADC＝∠CBA.

∵DE平分∠ADC，

BF平分∠ABC，

∴∠ADE＝1

2∠ADC，∠CBF＝

1

2∠CBA.

∴∠ADE＝∠CBF.

∴△ADE≌△CBF(ASA)．

∴DE＝BF

(2)△ADE≌△CBF；△DEF≌△BFE.

[2013·重庆]已知：在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连结DF，EG，AG，∠1＝∠2.

(1)若CF＝2，AE＝3，求BE的长；

(2)求证：∠CEG＝1

2∠AGE.

图9

解：(1)∵点F为CE的中点，∴CE＝CD＝2CF＝4.

又∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB＝CD＝4.

在Rt△ABE中，由勾股定理，得：

BE＝AB2－AE2＝7.

(2)证明：如图，延长AG，BC交于点H.

变形8答图∵CE＝CD，∠1＝∠2，∠C＝∠C，

∴△CEG≌△CDF.∴CG＝CF.

∵点F为CE的中点，即CF＝EF＝1

2CE，

又CE＝CD，∴CG＝GD＝1

2CD.

∵AD∥BC，

∴∠GAD＝∠H，∠ADG＝∠GCH. ∴△ADG≌△HCG.∴AG＝HG.

∵∠AEH＝90°，

∴EG＝1

2AH＝GH.

∴∠GEH＝∠H＝1

2∠AGE.