等比数列基础测试题题库百度文库
一、等比数列选择题
1.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=,38a =.则数列()
{}
1
11n n n a a -+-的
前n 项的和为( )
A .()23
82133n n +--
B .()23
182155n n +---
C .()2382133
n n ++-
D .()23182155
n n +-+-
2.记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和,若2415S S ==,,则7S =( ).
A .710S =
B .72
3S =
C .7623
S =
D .7127
3
S =
3.设{a n }是等比数列,若a 1 + a 2 + a 3 =1,a 2 + a 3 + a 4 =2,则 a 6 + a 7 + a 8 =( ) A .6 B .16 C .32 D .64
4.已知数列{}n a 中,其前n 项和为n S ,且满足2n n S a =-,数列{}
2
n a 的前n 项和为n T ,若2
(1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立,则实数λ的取值范围是( )
A .()3,+∞
B .()1,3-
C .93,5?? ???
D .91,5?
?- ??
?
5.已知数列{}n a 满足112a =
,*
11()2
n n a a n N +=∈.设2n n n b a λ-=,*n N ∈,且数列
{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围是( )
A .(,1)-∞
B .3
(1,)2
-
C .3(,)2
-∞
D .(1,2)-
6.在等比数列{}n a 中,132a =,44a =.记12(1,2,)n n T a a a n ==……,则数列{}n T ( )
A .有最大项,有最小项
B .有最大项,无最小项
C .无最大项,有最小项
D .无最大项,无最小项 7.在3和81之间插入2个数,使这4个数成等比数列,则公比q 为( )
A .2±
B .2
C .3±
D .3
8
的等比中项是( )
A .-1
B .1
C
.
2
D
.2
±
9.公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中,1349,27a a a ==,则1a q +=( ) A .1
B .2
C .3
D .4
10.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件
11a >,66771
1,
01
a a a a -><-,则下列结论正确的是( ) A .681a a >
B .01q <<
C .n S 的最大值为7S
D .n T 的最大值为7T
11.等比数列{}n a 中各项均为正数,n S 是其前n 项和,且满足312283S a a =+,
416a =,则6S =( )
A .32
B .63
C .123
D .126
12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()*
2n n S a n n N =+∈,则3
a
=( )
A .7-
B .3-
C .3
D .7
13.已知等比数列{}n a 中,n S 是其前n 项和,且5312a a a +=,则4
2
S S =( ) A .76
B .32
C .
2132
D .
14
14.已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ,若29512T T ==,则n T 的最大值为( ) A .152
B .142
C .132
D .122
15.已知q 为等比数列{}n a 的公比,且1212a a =-,31
4a =,则q =( ) A .1- B .4
C .12-
D .12
±
16.等比数列{}n a 中,1234a a a ++=,4568a a a ++=,则789a a a ++等于( ) A .16
B .32
C .64
D .128
17.已知1,a 1,a 2,9四个实数成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,9五个数成等比数列,则b 2(a 2﹣a 1)等于( ) A .8
B .﹣8
C .±8
D .98
18.古代数学名著《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:一女子善于织布,每天织的布是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问该女子每天分别织布多少?由此条件,若织布的总尺数不少于20尺,该女子需要的天数至少为 ( ) A .6
B .7
C .8
D .9
19.已知等比数列{}n a ,7a =8,11a =32,则9a =( )
A .16
B .16-
C .20
D .16或16-
20.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知5=10S ,1050S =,则15=S ( ) A .180
B .160
C .210
D .250
二、多选题
21.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若31a =,13511121
4
a a a ++=,则( ) A .{}n a 必是递减数列 B .531
4
S =
C .公比4q =或
14
D .14a =或
14
22.计算机病毒危害很大,一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后,该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数,某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件,如果该台计算机有一半以上文件被感染,则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件,如果未经防毒和杀毒处理,则下列说法中正确的是( )
A .在第3分钟内,该计算机新感染了18个文件
B .经过5分钟,该计算机共有243个病毒文件
C .10分钟后,该计算机处于瘫痪状态
D .该计算机瘫痪前,每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 23.已知数列{}n a 是等比数列,则下列结论中正确的是( ) A .数列2
{}n a 是等比数列 B .若4123,27,a a ==则89a =± C .若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D .若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-1
24.关于递增等比数列{}n a ,下列说法不正确的是( ) A .当10
1a q >??
>?
B .10a >
C .1q >
D .
1
1n
n a a +< 25.在《增减算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关”.则下列说法正确的是( ) A .此人第六天只走了5里路
B .此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C .此人第二天走的路程比全程的
1
4
还多1.5里 D .此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
26.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件
1201920201,1a a a >>,
201920201
01
a a -<-,下列结论正确的是( )
A .S 2019
B .2019202010a a -<
C .T 2020是数列{}n T 中的最大值
D .数列{}n T 无最大值
27.在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是( ) A .此人第二天走了九十六里路
B .此人第三天走的路程站全程的
18
C .此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
D .此人后三天共走了42里路
28.将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵,如下图:
111213212223231
32
3331312
n n n n n n n
n
a a a a a a a a a a a a a a a a ?????????? 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列,每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知112a =,13611a a =+,记这2n 个数的和为
S .下列结论正确的有( )
A .3m =
B .7
67173a =?
C .1
(31)3
j ij a i -=-?
D .()1
(31)314
n S n n =
+- 29.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a = B .954S =
C .135********a a a a a +++
+=
D .
222
122019
20202019
a a a a a +++= 30.已知数列{}n a 为等差数列,11a =,且2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项,记()0,1n
a n n
b a q q =≠,则{}n b 的前n 项和可以是( )
A .n
B .nq
C .
()
12
1n n n q nq nq q q ++---
D .
()
211
2
1n n n q nq nq q q ++++---
31.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中,n S 是数列{}n a 的前n 项和,若 1418a a +=, 2312a a +=,则下列说法正确的是( )
A .2q
B .数列{}2n S +是等比数列
C .8
510S =
D .数列{}lg n a 是公差为2的等差数列
32.定义在()(),00,-∞?+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,数列
(){}n
f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在
()(),00,-∞?+∞上的四个函数中,是“保等比数列函数”的为( )
A .()2f x x =
B .()2x
f x =
C .(
)f x =
D .()ln f x x =
33.已知等比数列{a n }的公比2
3
q =-,等差数列{b n }的首项b 1=12,若a 9>b 9且a 10>b 10,则以下结论正确的有( ) A .a 9?a 10<0 B .a 9>a 10
C .b 10>0
D .b 9>b 10
34.在递增的等比数列{a n }中,S n 是数列{a n }的前n 项和,若a 1a 4=32,a 2+a 3=12,则下列
说法正确的是( ) A .q =1 B .数列{S n +2}是等比数列
C .S 8=510
D .数列{lga n }是公差为2的等差数列
35.已知数列{}n a 是等比数列,则下列结论中正确的是( ) A .数列2
{}n a 是等比数列
B .若32a =,732a =,则58a =±
C .若123a a a <<,则数列{}n a 是递增数列
D .若数列{}n a 的前n 和1
3n n S r -=+,则1r =-
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一、等比数列选择题 1.D 【分析】
根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项,即可得到数列的通项公式,代入
()
1
11n n n a a -+-可知数列为等比数列,求和即可.
【详解】
因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=,38a =,
所以31121
208a q a q a q ?+=?=?,
解得2q
,12a =,
所以1222n n
n a -=?=,
()
()
()
111
1
1
1222111n n n n n n n n a a ++-+--+=??-=∴--,
()
{
}
1
11n n n a a -+∴-是以8为首项,4-为公比的等比数列,
()
23
3
5
7
9
21
11
8[1(4)]8222222
(1)1(4)155
n n n n n n S -++---∴=-+--+
+?==+---, 故选:D 【点睛】
关键点点睛:求出等比数列的通项公式后,代入新数列,可得数列的通项公式,由通项公式可知数列为等比数列,根据等比数列的求和公式计算即可. 2.D 【分析】
利用等比数列前n 项和公式列出方程组,求出首项和公比,由此能求出这个数列的前7项和. 【详解】
n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和,21S =,45S =,
∴21410(1)
11(1)51q a q q
a q q ?
?>?
?-?=?
-??-?=-??,解得113a =,2q ,
771
(12)
1273123
S -∴==
-.
故选:D . 3.C 【分析】
根据等比数列的通项公式求出公比2q ,再根据等比数列的通项公式可求得结果.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ,
则234123()2a a a a a a q ++=++=,又1231a a a ++=,所以2q
,
所以55
678123()1232a a a a a a q ++=++?=?=.
故选:C . 4.D 【分析】
由2n n S a =-利用11,1,2
n n n S n a S S n -=?=?-≥?,得到数列{}n a 是以1为首项,1
2为公比的等比
数列,进而得到{}
2
n a 是以1为首项,
1
4
为公比的等比数列,利用等比数列前n 项和公式得到n S ,n T ,将2(1)0n
n n S T λ-->恒成立,转化为(
)
()
321(1)
2
10n
n
n
λ---+>对
*n N ∈恒成立,再分n 为偶数和n 为奇数讨论求解.
【详解】
当1n =时,112S a =-,得11a =; 当2n ≥时,由2n n S a =-, 得112n n S a --=-, 两式相减得
11
2
n n a a -=, 所以数列{}n a 是以1为首项,
1
2
为公比的等比数列. 因为11
2
n n a a -=, 所以22114
n n a a -=.
又2
11a =,所以{}
2
n a 是以1为首项,
1
4
为公比的等比数列, 所以1112211212n
n n S ??- ???????==-?? ???????-,11414113414
n
n
n T ??- ???????=
=-?? ???????-, 由2(1)0n n n S T λ-->,得2
14141(1)10234n n
n λ????????---?->???? ? ?????????????
,
所以2
21131(1)1022n n n
λ????????---->???? ? ????????????
?,
所以2
11131(1)110222n n n n λ????????????----+>?????? ? ? ???????????????????
. 又*n N ∈,所以1102n
??-> ???
,
所以1131(1)1022n n n
λ????????---+>???? ? ????????????
?,
即(
)
()
321(1)
2
10n
n
n
λ---+>对*n N ∈恒成立,
当n 为偶数时,(
)()
321210n
n
λ--+>,
所以(
)()
321
32
16
63212121
n n
n n n λ-+-<
==-
+++, 令6
321
n n b =-+,则数列{}n b 是递增数列,
所以22
69
3215
λb <=-=+; 当n 为奇数时,(
)()
321210n
n
λ-++>,
所以()()3213216
632121
21
n
n
n n n λ-+--<==-
+++,
所以16
332121
λb -<=-=-=+, 所以1λ>-.
综上,实数λ的取值范围是91,5?
?- ??
?.
故选:D. 【点睛】
方法点睛:数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种:一是判断数列问题中的一些不等关系;二是以数列为载体,考查不等式的恒成立问题;三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时,往往转化为函数的最值问题. 5.C 【分析】 由*11()2n n a a n N +=
∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列,1
2
n n a =,得2(2)2n n n
n b n a λ
λ-=
=-,结合数列{b n }是单调递增数列,可得1n n b b +>对于任意的*n N ∈*恒成立,参变分离后即可得解.
【详解】 由*11
()2
n n a a n N +=
∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列, 所以1111()222
n n n a -=
=, 2(2)2n n n
n b n a λ
λ-=
=- ∵数列{n b 是单调递增数列, ∴1n n b b +>对于任意的*n N ∈*恒成立, 即1
(12)2
(2)2n n n n λλ++->-,整理得:2
2
n λ+<
3
2λ∴< ,
故选:C. 【点睛】
本题主要考查了已知数列的单调性求参,一般研究数列的单调性的方法有: 一、利用数列单调性的定义,由1n n a a +>得数列单增,1n n a a +<得数列单减; 二、借助于函数的单调性研究数列的单调性. 6.B 【分析】
首先求得数列的通项公式,再运用等差数列的求和公式求得n T ,根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项. 【详解】
设等比数列{}n a 为q ,则等比数列的公比41
4141
328a q a -=
==,所以12
q =, 则其通项公式为:1
1
6113222n n n n a a q ---??
=?=?= ?
??
,
所以()
()
561154
2
2
12
622
2
22
n
n +n n n n n T a a
a ---==?==,
令()11t n n =-,所以当5n =或6时,t 有最大值,无最小值,所以n T 有最大项,无最小项. 故选:B. . 7.D 【分析】
根据等比数列定义知3
813q =,解得答案
.
【详解】
4个数成等比数列,则3
813q =,故3q =.
故选:D. 8.D 【分析】
利用等比中项定义得解. 【详解】
2311(
)((
2-==,的等比中项是 故选:D 9.D 【分析】
利用已知条件求得1,a q ,由此求得1a q +. 【详解】
依题意22211113
19
12730
a a q a q a a q q q ??===??=???
=??>?
,所以14a q +=. 故选:D 10.B 【分析】
根据11a >,66771
1,01
a a a a -><-,分0q < ,1q ≥,01q <<讨论确定q 的范围,然后再逐项判断. 【详解】
若0q <,因为11a >,所以670,0a a <>,则670a a ?<与671a a ?>矛盾,
若1q ≥,因为11a >,所以671,1a a >>,则67101a a ->-,与671
01
a a -<-矛盾, 所以01q <<,故B 正确;
因为
671
01
a a -<-,则6710a a >>>,所以()26870,1a a a =∈,故A 错误; 因为0n a >,01q <<,所以1
11n n a q a S q q
=
---单调递增,故C 错误; 因为7n ≥时,()0,1n a ∈,16n ≤≤时,1n a >,所以n T 的最大值为6T ,故D 错误; 故选:B 【点睛】
关键点点睛:本题的关键是通过穷举法确定01q <<. 11.D 【分析】
根据等比数列的通项公式建立方程,求得数列的公比和首项,代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+, ∴123122()83a a a a a ++=+,即321260a a a --=. ∴2
260q q --=,∴2q 或3
2
q =-(舍去),
∵416a =,∴4
13
2a a q =
=,
∴6616(1)2(12)
126112
a q S q --=
==--, 故选:D. 12.A 【分析】
先求出1a ,再当2n ≥时,由(
)*
2n n S a n n N
=+∈得1
121n n S
a n --=+-,两式相减后化
简得,121n n a a -=-,则112(1)n n a a --=-,从而得数列{}1n a -为等比数列,进而求出
n a ,可求得3a 的值
【详解】
解:当1n =时,1121S a =+,得11a =-, 当2n ≥时,由(
)*
2n n S a n n N
=+∈得1
121n n S
a n --=+-,两式相减得
1221n n n a a a -=-+,即121n n a a -=-,
所以112(1)n n a a --=-,
所以数列{}1n a -是以2-为首项,2为公比的等比数列,
所以1122n n a --=-?,所以1
221n n a -=-?+,
所以232217a =-?+=-,
故选:A 13.B
【分析】
由5312a a a +=,解得q ,然后由4142
42212(1)111(1)11a q S q q q a q S q
q
---===+---求解. 【详解】
在等比数列{}n a 中,5312a a a +=, 所以421112a q a q a +=,即42210q q +-=, 解得2
12
q =
所以4142
42212(1)1311(1)12
1a q S q q q a q S q q
---===+=---, 故选:B 【点睛】
本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算,属于基础题,
【分析】
根据29T T =得到7
61a =,再由2121512a a a q ==,求得1,a q 即可.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ,
由29T T =得:7
61a =, 故61a =,即5
11a q =. 又2
121512a a a q ==,
所以9
1
512
q =, 故12
q =
, 所以()()21112
2
123411...2n n n n n n n T a a a a a a q
--??=== ???
,
所以n T 的最大值为15
652T T ==.
故选:A. 15.C 【分析】
利用等比通项公式直接代入计算,即可得答案; 【详解】
()21114
221
11111
22211121644a a q a q q q q a q a q ??=-=--??????=?=-????=?=
????
, 故选:C. 16.A 【分析】
由()4633512a a a a a a q +++=+,求得3
q ,再由()3
7s 94s 6a a a a a a q ++=++求解.
【详解】
1234a a a ++=,4568a a a ++=.
∴3
2q =,
∴()3
78945616a a a a a a q ++=++=.
故选:A 17.A 【分析】
由已知条件求出公差和公比,即可由此求出结果.
设等差数列的公差为d ,等比数列的公比为q , 则有139d +=,4
19q ?=,
解之可得8
3
d =
,23q =, ()22218
183
b a a q ∴-=??=.
故选:A. 18.B 【分析】
设女子第一天织布1a 尺,则数列{}n a 是公比为2的等比数列,由题意得
515(12)
512a S -==-,解得1531
a =
,由此能求出该女子所需的天数至少为7天. 【详解】
设女子第一天织布1a 尺,则数列{}n a 是公比为2的等比数列,
由题意得515(12)
512a S -==-,解得1531a =
, 5
(12)
3120
12
n n S -∴=-,解得2125n . 因为6264=,72128=
∴该女子所需的天数至少为7天.
故选:B 19.A 【分析】
根据等比数列的通项公式得出6
18a q =,10
132a q
=且10a >
,再由
819a a q ==.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ,则6
18a q =,10
132a q
=且10a >
则81916a q a ====
故选:A 20.C 【分析】
首先根据题意得到5S ,105S S -,1510S S -构成等比数列,再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】
因为{}n a 为等比数列,所以5S ,105S S -,1510S S -构成等比数列. 所以()()2
155010=1050S --,解得15210S =. 故选:C
二、多选题
21.BD 【分析】
设设等比数列{}n a 的公比为q ,则0q >,由已知得11121
14
a a ++=,解方程计算即可得答案. 【详解】
解:设等比数列{}n a 的公比为q ,则0q >,
因为2
153
1a a a ==,2311a a q == , 所以
511151351515111111121
11114
a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=, 解得1412a q =???=??或1
142.
a q ?
=??
?=?, 当14a =,12q =时,5514131
21412
S ?
?- ?
??==-,数列{}n a 是递减数列; 当11
4
a =
,2q 时,531
4
S =
,数列{}n a 是递增数列; 综上,5314
S =. 故选:BD. 【点睛】
本题考查数列的等比数列的性质,等比数列的基本量计算,考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为11121
14
a a ++=,进而解方程计算. 22.ABC 【分析】
设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +,前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ,则
()121n n a S +=+,且12a =,可得123n n a -=?,即可判断四个选项的正误.
【详解】
设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +,前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ,则
()121n n a S +=+,且12a =,
由()121n n a S +=+可得()121n n a S -=+,两式相减得:12n n n a a a +=-,
所以13n n a a +=,所以每分钟内新感染的病毒构成以12a =为首项,3为公比的等比数列,
所以1
23n n a -=?,
在第3分钟内,该计算机新感染了31
32318a -=?=个文件,故选项A 正确;
经过5分钟,该计算机共有()551234521311324313
a a a a a ?-+++++=+==-个病毒文
件,故选项B 正确;
10分钟后,计算机感染病毒的总数为
()
1010512102131
11310132
a a a ?-+++
+=+
=>?-,
所以计算机处于瘫痪状态,故选项C 正确; 该计算机瘫痪前,每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列,故选项D 不正确; 故选:ABC 【点睛】
关键点点睛:解决本题的关键是读懂题意,得出第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +与 前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S 之间的递推关系为()121n n a S +=+,从而求得
n a .
23.AC 【分析】
根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】
设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠
则2221
12(
)n n n n
a a q a a ++==,即数列2{}n a 是等比数列;即A 正确; 因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号,而40,a > 所以80a >,即B 错误;
若123,a a a <<则12
1
1101a a a q a q q >?<<∴?>?或1001a q ?<
,即数列{}n a 是递增数列,C 正确; 若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211
323(1),3
a a q r r a a =
==∴=+=-,即D 错误 故选:AC 【点睛】
等比数列的判定方法
(1)定义法:若
1
(n n
a q q a +=为非零常数),则{}n a 是等比数列; (2)等比中项法:在数列{}n a 中,0n a ≠且2
12n n a a a a ++=,则数列{}n a 是等比数列;
(3)通项公式法:若数列通项公式可写成(,n
n a cq c q =均是不为0的常数),则{}n a 是等比
数列;
(4)前n 项和公式法:若数列{}n a 的前n 项和(0,1,n
n S kq k q q k =-≠≠为非零常数),则
{}n a 是等比数列.
24.BCD 【分析】
利用等比数列单调性的定义,通过对首项1a ,公比q 不同情况的讨论即可求得答案. 【详解】
A ,当10
1a q >??>?时,从第二项起,数列的每一项都大于前一项,所以数列{}n a 递增,正确;
B ,当10a > ,0q <时,{}n a 为摆动数列,故错误;
C ,当10a <,1q >时,数列{}n a 为递减数列,故错误;
D ,若10a >,
1
1n
n a a +<且取负数时,则{}n a 为 摆动数列,故错误, 故选:BCD . 【点睛】
本题考查等比数列的单调性的判断,意在考查对基础知识的掌握情况,属基础题. 25.BCD 【分析】
设此人第n 天走n a 里路,则{}n a 是首项为1a ,公比为1
2
q = 的等比数列,由6=378S 求得首项,然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】
解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列, 设此人第n 天走n a 里路,则{}n a 是首项为1a ,公比为1
2
q =
的等比数列. 所以6
6
1161[1()](1)2=3781112
a a q S q --==--,解得1
192a =. 选项A:5
561119262a a q ??==?= ???
,故A 错误,
选项B:由1192a =,则61378192186S a -=-=,又1921866-=,故B 正确. 选项C:211192962
a a q ==?
=,而61
94.54S =,9694.5 1.5-=,故C 正确.
选项D:2
123111
(1)192(1)33624
a a a a q q ++=++=?++=, 则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确. 故选:BCD 【点睛】
本题考查等比数列的性质,考查等比数列的前n 项和,是基础题. 26.AB 【分析】
由已知确定0q <和1q ≥均不符合题意,只有01q <<,数列{}n a 递减,从而确定
20191a >,202001a <<,从可判断各选项.
【详解】
当0q <时,2
2019202020190a a a q =<,不成立;
当1q ≥时,20192020
1,1a a >>,
201920201
01
a a -<-不成立; 故01q <<,且20191a >,202001a <<,故20202019S S >,A 正确;
2201920212020110a a a -=-<,故B 正确;
因为20191a >,202001a <<,所以2019T 是数列{}n T 中的最大值,C ,D 错误; 故选:AB 【点睛】
本题考查等比数列的单调性,解题关键是确定20191a >,202001a <<. 27.ACD 【分析】
若设此人第n 天走n a 里路,则数列{}n a 是首项为1a ,公比为1
2
q =
的等比数列,由6378S =求得首项,然后分析4个选项可得答案.
【详解】
解:设此人第n 天走n a 里路,则数列{}n a 是首项为1a ,公比为1
2
q =
的等比数列, 因为6378S =,所以1661(1)
2=
378112
a S -
=-,解得1
192a =,
对于A ,由于21
192962a =?=,所以此人第二天走了九十六里路,所以A 正确; 对于B ,由于 31481
19248,
43788
a =?=>,所以B 不正确; 对于C ,由于378192186,1921866-=-=,所以此人第一天走的路程比后五天走的路程
多六里,所以C 正确; 对于D ,由于45611
11924281632a a a ??++=?++= ???
,所以D 正确, 故选:ACD 【点睛】
此题考查等比数的性质,等比数数的前项n 的和,属于基础题. 28.ACD 【分析】
根据题设中的数阵,结合等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式,逐项求解,即可得到答案. 【详解】
由题意,该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列,每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列,且112a =,13611a a =+,
可得22
13112a a m m ==,6111525a a d m =+=+,所以22251m m =++,
解得3m =或1
2
m =-
(舍去),所以选项A 是正确的; 又由666
6761(253)3173a a m ==+??=?,所以选项B 不正确;
又由1
111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a m
a i m m i i a ----==+-??==-?+-??,所以选
项C 是正确的; 又由这2n 个数的和为S , 则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++
++++++++++
11121(13)(13)(13)131313
n n n n a a a ---=++
+
---1(231)(31)22n
n n +-=-? 1
(31)(31)4
n n n =
+-,所以选项D 是正确的, 故选ACD. 【点睛】
本题主要考查了数表、数阵数列的求解,以及等比数列及其前n 项和公式的应用,其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式,准确计算是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题. 29.ACD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥,依次判断四个选项,即可得正确答案. 【详解】
对于A ,写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8,故A 正确; 对于B ,911235813+21+3488S =++++++=,故B 错误;
对于C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,……,201920202018a a a =-,可得:
13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++???+=+-+-+-+
+-=,故C
正确.
对于D ,斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+,则2
121a a a =,
()222312321a a a a a a a a =-=-,()233423423a a a a a a a a =-=-,……,
()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-,2
20192019202020192018a a a a a =-,可得222
12201920202019201920202019
a a a a a a a a
+++==,故D 正确;
故选:ACD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,考查方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意递推关系的灵活转换,属于中档题. 30.BD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ,根据2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项求得0d =或1,再分情况求解{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,且2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项
∴2428a a a =,即()()()2
11137a d a d a d +=++,化简得:(1)0d d -=,所以0d =或1,
故1n a =或n a n =,所以n b q =或n
n b n q =?,设{}n b 的前n 项和为n S ,
①当n b q =时,n S nq =;
②当n
n b n q =?时,
23123n n S q q q n q =?+?+?+??+?(1), 2341123n n qS q q q n q +=?+?+?+??+?(2),
(1)-(2)得:()()2
3
1
1111n n
n n n q q q S q q q q n q
n q q
++--=+++-?=
-?-+??,
所以1211
22
(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-?+--=-=---,
【点睛】
本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型. 31.ABC 【分析】
由1418a a +=,23
12a a +=,31118a a q +=,21112a q a q +=,公比q 为整数,解得
1a ,q ,可得n a ,n S ,进而判断出结论.
【详解】
∵1418a a +=,23
12a a +=且公比q 为整数,
∴31118a a q +=,2
1112a q a q +=,
∴12a =,2q
或1
2
q =
(舍去)故A 正确, ()12122212
n n n S +-=
=--,∴8510S =,故C 正确;
∴1
22n n S ++=,故数列{}2n S +是等比数列,故B 正确;
而lg lg 2lg 2n
n a n ==,故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列,故D 错误.
故选:ABC . 【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用,属于中档题. 32.AC 【分析】
直接利用题目中“保等比数列函数”的性质,代入四个选项一一验证即可. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q .
对于A ,则
2
2
211
12()()n n n n n n f a a a q f a a a +++??=== ???
,故A 是“保等比数列函数”; 对于B ,则
1
11()22()2
n n n n a a a n a n f a f a ++-+==≠ 常数,故B 不是“保等比数列函数”; 对于C
,则
1()
()
n n f a f a +==
=,故C 是“保等比数列函数”;
对于D ,则
11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n n n n n n
a a q a q
q f a f a a a a a ++?+====+≠ 常数,故D 不是“保等比数列函数”. 故选:AC.