实变函数论与泛函分析曹广福1到5章课后答案

第一章习题参考解答

3．等式)()(C B A C B A --=?-成立的的充要条件是什么？

解： 若)()(C B A C B A --=?-，则 A C B A C B A C ?--=?-?)()(. 即，A C ?.

反过来, 假设A C ?, 因为B C B ?-. 所以, )(C B A B A --?-. 故,

C B A ?-)(?)(C B A --.

最后证，C B A C B A ?-?--)()(

事实上，)(C B A x --∈?, 则A x ∈且C B x -?。若C x ∈，则C B A x ?-∈)(；若C x ?，则B x ?，故C B A B A x ?-?-∈)(. 从而,C B A C B A ?-?--)()(.

A A C

B A

C B A C =?-?--=?-?)()(. 即 A C ?.

反过来，若A C ?，则 因为B C B ?-所以)(C B A B A --?- 又因为A C ?，所以)(C B A C --?故 )()(C B A C B A --??-

另一方面，A x C B A x ∈?--∈?)(且C B x -?，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ?因为C B x -?，所以B x ?故B A x -∈. 则 C B A x ?-∈)(. 从而

C B A C B A ?-?--)()(

于是，)()(C B A C B A --=?-

4．对于集合A ，定义A 的特征函数为????∈=A

x A

x x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是

一集列 ，证明：

（i ）)(inf

lim )(inf lim x x n

n

A n

n

A χχ=

（ii ）)(sup lim )(sup lim x x n n

A n

n

A χχ=

证明：（i ）)(inf lim n n

m N n n n

A A x ≥∈??=∈?，N ∈?0n ，0n m ≥?时，m A x ∈.

所以1)(=x m A χ，所以1)(inf

=≥x m

A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m

n

A n

m N b A n

χχ

N n A x n n

∈????inf lim ，有n k A x n n n

m ≥????≥

有0)(inf

0=?=??≥x A x m

n

k m A n

m A k χχ，

故0)(inf sup =≥∈x m

A n

m N b χ ，即)(inf lim x n

A n

χ=0 ，从而)(inf

lim )(inf lim x x n

n

A n

n

A χχ=

5．设}{n A 为集列，11A B =，)1(1

1

>?-=-=i A A B j i j i i 证明

（i ）}{n B 互相正交

（ii ）i n

i i n

i B A N n 1

1

,===∈?

证明：（i ）m n N m n ≠∈?,,；不妨设n>m ，因为m n i n i n n A A A A B -?-=-=1

1

，又因

为m m A B ?，所以m n m n n B A A A B -?-?，故 ?=m n B B ，从而 {

∞

=1}n n B 相互正交.

（ii ）因为)1(n i i ≤≤?，有i i A B ?，所以i n i i n i A B 1

1

==???，现在来证：i n

i i n i B A 1

1

==???

当n=1时，11B A =；

当1≥n 时，有：i n

i i n

i B A 1

1

===

则)()()()()(1

11

1

111

11

11

i n

i n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==

事实上，i n

i A x 1

=?∈?，则)1(n i i ≤≤?使得i A x ∈，令}{n

i A x i i i ≤≤∈=1|m in 0且

则 i n

i i i i i i B B A A x 1

11

000=-=?=-∈ ，其中，当10=i 时，?=-=i i i A 11

0 ，从而， i n

i i n i B A 1

1===

6．设)(x f 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明： （i ）})(|{a x f x E >=}1

)({1n

a x f n +≥∞

=

(ii)

})(|{a x f x E ≥=}1

)({1n

a x f n ->∞

=

证明：（i ）})(|{a x f x E x >∈?E x ∈?且a x f >)(

}1)(|{1)(,n

a x f x E x E x a n a x f N n +≥∈?∈>+

≥∈??且使得 ∈?x ?>?+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1

)(|{1n

a x f x E n +≥∞=

反过来，{N n n a x f x x E x n ∈?+≥∈?∞=},1)(|{1 ，使}1

)(|{n a x f x E x +≥∈

即E x a n

a x f ∈>+

≥且1

)( 故})(|{a x f x E x >∈ 所以 })(|{}1

)(|{1a x f x E n

a x f x E n >?+≥?∞= 故

}

1)(|{})(|{1n a x f x E a x f x E n +≥>∞

=

7．设)}({x f n 是E 上的实函数列，具有极限)(x f ，证明对任意常数a 都有：

}

1

)(|{inf lim }1)(|{inf lim })(|{11k a x f x E k a x f x E a x f x E n n k n n k +<=+≤=≤∞=∞

=

证明：N ∈?≤∈?k a x f x E x },)(|{，即k a a x f 1

)(+

≤≤，且E x ∈ 因为N n x f x f n n ∈?=∞→，)()(lim ，使n m ≥?，有k

a x f n 1

)(+≤，故

，

)}(1)(|{n m k a x f x E x m ≥?+≤∈ 所以∈x }1

)(|{k

a x f x E m n m +≤≥ }1)(|{k a x f x E x m n m N n +≤∈≥∈ =}1

)(|{inf lim k

a x f x E m n +≤，由k 的任意性：

}1)(|{inf lim 1k a x f x E x n n k +≤∈∞= ，反过来，对于}1)(|{inf lim 1k

a x f x E x n n k +≤∈?∞= ，

N k ∈?，有 }1)(|{inf lim k a x f x E x m n +≤∈=}1

)(|{k

a x f x E m n m N n +≤≥∈ ，即

n m N n ≥?∈?，时，有：k a x f m 1)(+≤且E x ∈，所以，k

a x f x f m m 1

)()(lim +≤≤且

E x ∈.∞→k 又令，故 E x a x f ∈≤且)( 从而})(|{a x f x E x ≤∈

故 })(|{a x f x E ≤=}1

)(|{inf lim 1

k

a x f x E n n k +≤∞

=

8． 设)}({x f n 是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即

≤≤≤≤)()()(21x f x f x f n

若)(x f n 有极限函数)(x f ，证明：R a ∈?，})({})({1a x f E a x f E n n >?=>∞

=

证明： })({a x f E x >∈?，即：E x ∈且a x f >)(，因为)()(lim x f x f n n =∞

→

所以00,n n N n ≥?∈?，恒有：E )(∈>x a x f n 且，从而，})({0a x f E x n >∈

})({1

a x f E n n >?∞

=

反过来，N n a x f E x n n ∈?>∈?∞

=01

},)({ ，使})({0a x f E x n >∈，故0n n ≥?，因此，

a x f x f x f n n n >≥=∞

→)()()(lim 0且E x ∈,即，})({a x f E x >∈，

从而，})({})({1

a x f E a x f E n n >=>∞

=

10．证明：3R 中坐标为有理数的点是不可数的。 证明： 设Q 为有理数集，由定理6：Q 是不可数的。

现在证：z y x z y x Q Q Q ,,|),,{(=??}都是有理数可数Q x ∈?，因为

Q Q ?)}({Q

x Q x ?=∈ 是可数个有理数集的并，故可数，

又因为)}({Q Q Q Q

x Q Q x ??=??∈ 并且Q Q Q Q x Q x ???∈?~}{，，所以

Q Q x ??}{可数

故Q Q Q ??可数

14．证明：可数集的有限子集的全体仍是可数

证明： 设Q 为可数集，不妨记为：},,,,,{321 n r r r r Q =

N n ∈?,令}},,,,{|{321n n r r r r a a A ?=则 n A 为有限集（n 2n =A ）

，则 n A =∈N

n A 为正交可数集，即0n C ≤A

又因为}{

A Q x x Q ?∈|}{~，所以A Q C ≤=0 ，故0C A =

A 是Q 上一切有限子集的全体。

15．设是两两不相交的集所组成的集列，证明：

?==∞

→∞

→n n n n E E lim lim

证明： 因为{ ,,21E E }两两不相交，所以，?=∈?∞

=m n

m E N n ,，故

?=?=∈=∞

=∞=∞=∞

→1

1

)(lim n m n

m n n n E E

另一方面，若?≠=∞

=∞

=∞

→)(lim 1m n

m n n n E E ，我们取n n E x ∞

→∈lim 0

则k n N k k ≥?∈?,，使得k n E x ∈.特别的，当 N k ∈=1时，n E x n ∈≥?有,11，当

11+=n k 时：211221,E x n n k n N n ∈>+=≥∈?，有（)21n n < 从而，21n n E E x ∈

这与?=21n n E E 矛盾，故?=∞

→n n E lim

从而?==∞

→∞

→n n n n E E lim lim

16．若集A 中每个元素由相互独立的可列个指标所决定，即A=}{21 x x a ，而每个指标i x 在一个势为C 的集中变化，则集A 的势为C 。

证明：设i x 在势为C 的集合中变化，即A=∏∞

=∈1

21}),,(|{21i i

x x B x x a

因R B R B i i i i

'→':,~?? 是既单又满的映射， 定义 ∏∏∞

=∞

∞

=∈=?→1

211),,(;:

i i i i

B x x x R B

?,)),(),((),,()(2121 x x x x x ????==

故∞

∞

=∏R

B i i

到是

1

?得既单又满的映射,从而，∞∞

=∏R B

A i i

~~

1

从而 C R A ==∞

17．设n n A ∞

=1 的势是C ，证明至少有一个n A 的势也是C 。

证明：因为n n n A A N n ∞=?∈?1

, ，所以C A A n n n =≤∞

=1

如果C A N n n ≠∈?,，则C A N n n <∈?,，即，n A 正交可数，从而，n n A ∞

=1

正交可数.

这与C A n n =∞

=1

矛盾.

故，N ∈?n ,使C A n =.

18．证明：[0,1]上的实函数全体具有势C

2 证明：设]}1,0[|{?=A A ，则C

2= 记[0，1]上全体是函数所构成的集合为?

对于 ∈?x ，定义函数

??

??∈=A

x A

x x A .0,1)(χ ,即A χ是集合A 的特征函数。

}{???=]1,0[|A A ??≤= C 2

另一方面，?∈?f ，定义 ]}1,0[|))(,{(∈=x x f x B f 则 2R R R B f =??，}|{2

R R B B R ??=，则C R 22=

}|{~??∈f B f 2R ?，所以 C R 22=≤?，从而，C 2=?

20．证明：n R 中孤立点集市有限或可数集

证明：E x ∈?中，E 是n R 的一些孤立点所构成的集合 由定义，0>?x δ，使得}{),(x E x O x = δ.现在令 }|)2

,({E x x O x

∈=δξ，

则ξ中任意二领域是不相交的

事实上，若y x E y x ≠∈?,,，有?≠)2

,

()2

,

(y

x

y x O δδ

取)2

,

()2

,

(y

x

y x O z δδ?∈，并且不失一般性设：y x δδ≤，则

y y

x

y z z x y x δδδρρρ=+

<+≤2

2

),(),(),(.故 }{)2

,

()2

,

(y y x O x y

x

=∈δδ ，这推出

y x =，这与y x ≠矛盾.

E x ∈?，取一个有限点)2

,

(x

x x O r δ∈，则，当，y x r r y x =?≠,所以

}|{~E x r E x ∈，故ξ≥∈=}|{E x r E x .E 正交可数.

19．设|{0x E R E n

=?，

}的内点是E x 称为E 的点集，证明：0

E 是开集。 证明：0

E x ∈?，因为x 为E 的点，0>?ε使得：E x x ?+-),(εε，现在证：

),(E x x ?+-εε

事实上，),(εε+-∈?x x y ，取0|y -x |>-=εδ

则E x x y y ?+-?+-),(),(εεεε，故0

E y ∈，从而，0

),(E x x ?+-εε，即0

E 中每个点都是0

E 得点

因此，0E 为开集

21．假设f(x)是[a,b]上唯一有限实函数，证明：它的第一类间断点的全体是可数的。 证明：[a,b]中右极限存在的间断点是至多可数的. 令)0()(lim |),[{+=∈=+→'x f x f b a x S x

x 有限}，N ∈?n ，

作：}0|),[{>?∈=δb a x E n ,时，使得),[),(,b a x x x x δδ+-∈'''? 则：（1）),{)(1b a x f E n n 在是∞

= 上连续点的集合

事实上，0,1

0>??∈?∞

=εn n E x ，取)1

(1

εε<>

n

n 即 因n E x ∈0，故),[),(,,000b a x x x x ?+-∈'''?>?δδδ有ε<-|)()(|0x f x f 即，)(x f 在0x 点连续。

（2）n E S N n -∈?,，因)()(lim 0

+→'='+x f x f x

x 有限，故0>?x δ使得

),[),(b a x x x x ?+∈'?δ ，n

x f x f 21

|)()(|0<

-'+，故，),,(,x x x x x δ+∈'''?有n

x f x f 1

|)()(|<

''-'，从而，n x E x x ?+),(δ.现在证：}|),{(n x E S x x x A -∈+=δ 是两两不相交的开区间集

,,2121x x E S x x n ≠-∈?，不妨设 21x x <，如果

?≠++),(),(212211x x x x x x δδ ，取),(),(212211x x x x x x x δδ++∈*

则 1121x x x x x δ+<<<*

即，n x E x x x ?+∈),(2112δ，这与n E S x -∈2矛盾，故A 两两

不相交，从而n E S -可数

故)(11

n n n E S S -?=?-∞

=∞

=至多可数。

即，),[b a 中第一类间断点至多可数。 20．证明n

R 中孤立点集是至多可数集

证明：设F 是点集E 中一些孤立点所构成的集合

0,>?∈?x F x δ，有}{),(x E x O x = δ

现在先证：}|)2

,

({F x x O x

∈δ是两两不相交的