飞机横航向稳定性分析

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毕业设计题目飞机横航向稳定性分析

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二〇一六年六月

本科毕业设计（论文）诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的毕业设计（论文）（题目：）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。尽本人所知，除了毕业设计（论文）中特别加以标注引用的内容外，本毕业设计（论文）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。

作者签名：年月日

（学号）：

飞机横航向稳定性分析

摘要

飞机的稳定性是保证飞行安全的最基本要求，本文主要目的是对常规布局飞机的横航向稳定性进行分析，并利用Matlab编写程序来实现飞行器横航向稳定性分析；我们首先建立飞行器的运动学方程和动力学方程，得到飞行器正常飞行的力学模型，利用模型充分研究影响飞行器横航向稳定性的因素后，为了利用矩阵工具对方程进行求解，我们采用合理方法使飞行器运动方程线性化；线性化后我们发现飞机的横、纵向方程并不耦合，我们把飞机横向线性方程分离出来，并将其整理成矩阵形式，然后求出矩阵的特征值和特征向量，利用特征值与飞行模态的对应关系就可以确定飞机的稳定性

关键词：稳定性，运动方程，建模，线性化

Aircraft lateral and directional stability Analysis

System

Abstract

The stability of the aircraft is the most basic requirements to ensure flight safety, the main purpose of this article is lateral and directional stability of the general layout of the aircraft for analysis and programming using Matlab to achieve the aircraft lateral and directional stability analysis; we first establish the kinematics of the aircraft equation and dynamic equation, the mechanical model of aircraft normal flight, the full study using the model aircraft after the impact factors of stability cross course, in order to take advantage of tools matrix equation is solved, we have adopted a reasonable approach enables linear equations of motion of the aircraft; linearization we found that the aircraft's horizontal and vertical coupling equation does not, we separated the plane transverse linear equations, and organized into a matrix, and then find the eigenvalues and eigenvectors using the eigenvalues and the corresponding flight modes relations can determine the stability of the aircraft

Key Words：Stability; Equations of motion; Modeling; Linearization

目录

摘要 (i)

Abstract ........................................................................................................................................ i i 目录............................................................................................................................................. i ii 第一章引言. (1)

1.1 飞行器的稳定性的提出及定义 (1)

1.1.1 飞行器的平衡和配平 (1)

1.1.2 稳定性的提出 (1)

1.1.3 稳定性的定义 (1)

1.1.4 稳定性的影响因素 (2)

1.2 飞行器的横航向稳定性定义及影响因素 (3)

1.2.1 横航向稳定性的定义 (3)

1.2.2 飞行器横向稳定性的影响因素 (4)

1.3 论文的结构与主要内容 (4)

1.3.1 稳定性研究的目的与意义 (4)

1.3.2 论文的主要结构 (5)

第二章刚性飞行器运动方程 (7)

2.1常用坐标系及其转换 (7)

2.1.1常用的坐标轴系 (7)

2.1.3坐标转换矩阵 (7)

2.1.2常用坐标系之间的关系 (10)

2.2刚性飞行器动力学方程 (12)

2.2.1飞行器质量中心移动的动力学方程 (12)

2.2.2飞行器绕质量中心转动动力学方程 (16)

2.3 刚性飞行器运动学方程 (20)

2.3.1 飞行器质量中心运动学方程 (20)

2.3.2 飞行器绕质量中心转动运动学方程 (20)

2.4 方程组中的几何关系 (21)

第三章运动方程线性化 (23)

3.1 小扰动法 (23)

3.1.1 基本概念 (23)

3.1.2 基本假设 (23)

3.2运动方程组线性化 (24)

3.2.1线性化方法 (24)

3.2.2 外力合外力矩的线性化 (25)

3.2.3运动方程的线性化 (26)

第四章横航向运动稳定性判断 (30)

4.1横航向小扰动运动方程组 (30)

4.1.1 横航向小扰动运动方程组矩阵化 (30)

4.1.2 方程模态特性分析方法 (33)

第五章飞机横航向稳定性分析实例 (35)

5.1 某型飞机的稳定性判断 (35)

5.1.1 程序的结构与框架 (35)

5.1.2 某型飞机的计算实例 (35)

第六章总结与展望 (39)

参考文献 (40)

致谢 (41)

第一章引言

1.1 飞行器的稳定性的提出及定义

1.1.1 飞行器的平衡和配平

飞行器在正常飞行时，飞行器的平衡状态是所有作用在飞行器上的外力、外力矩之和全为零的状态。最一般的情况，如果飞行器做等速直线运动我们可称其处于平衡状态。

我们可以把飞行器的平衡分成三个模块的平衡：横方向平衡、纵方向平衡和航向平衡，这是按照书本上的机体坐标轴系定义来说的。航向平衡是飞行器作速度不变的直线飞行，而且不做绕立轴转动（偏航）的飞行状态。纵方向平衡是飞行器在垂直平面内作速度不变的直线飞行，并且不做绕横轴转动（俯仰）的飞行状态；横方向平衡是飞行器在水平面内作速度不变的直线飞行，并且不绕纵轴转动（滚转）的飞行状态。

飞行器在正常飞行过程中，一般来说，它的平衡状态常常会因为各种各样因素（像收放起落架、燃油慢慢消耗、收放襟翼、发动机推力改变或投掷炸弹等等）的影响而遭到破坏，于是飞行器自身本来的运动平衡状态被打破。这个时候飞行器驾驶员必须要通过偏转相应的操纵面来使飞行器的平衡能继续保持，这个把飞行器从不平衡调整为平衡的过程我们称之为配平。

1.1.2 稳定性的提出

在飞行器的配平过程中，如果是由于飞机自身一些不可抗拒作用的因素（如单台发动机停车）造成的不平衡的力矩，驾驶员通过操纵面适当的偏舵就可以消除。但不仅仅是这些，飞行器在正常的飞行过程中，还常常会碰到例如垂直突风的扰动或者驾驶员偶尔不留神碰到驾驶杆或脚蹬等一些偶然的、突发的因素，这些无一例外也会使飞行器原本的平衡状态遭到破坏。并且由于在这种情况下飞行器运动参数会发生比较剧烈的变化，驾驶员难以完全控制，必然会影响到预定任务的完成和飞行的安全。因此为了飞行品质的考量，便对飞行器本身提出了稳定性的要求。

1.1.3 稳定性的定义

稳定性是指飞行器正常飞行中偶然受外力（突风、侧风）干扰后不需要驾驶员对舵面进行调整，飞机靠自身特性保持原来正常飞行状态的能力。

飞行器的稳定性问题，和上述圆球在圆弧曲线上能否保持稳定的情况在实质上是相同的。如果在飞行过程中飞行器由于外界瞬时微小扰动而偏离了平衡状态，这时若在飞行器上能够产生稳定力矩，那么飞行器将具有自动恢复到原来平衡状态的能力，同时阻尼力矩在飞行器摆动过程将起到阻碍作用，使飞行器摆动幅度逐渐减小，那么飞行器将能像图 1.1(a)所示的圆球一样，不需要依靠驾驶员的额外介入就能依靠自身的阻尼作用自动地恢复到初始的平衡状态，因而它是稳定的，或者说飞行器具有稳定性；相反的，如果在飞行器受到外界扰动后偏离平衡状态后自身系统产生的力矩是不稳定力矩，那么飞行器将发散震荡、或者长时间震荡，受到震荡后越来越偏离自己原来处于的平衡位置，因而我们说它是没有稳定性。由上文可知，现代飞机设计中为了保证飞行安全和便于驾驶员方便操纵，现代设计的飞行器必须有严格的稳定性要求。

1.2 飞行器的横航向稳定性定义及影响因素

1.2.1 横航向稳定性的定义

飞行器要正常飞行，不只要能产生足够的升力去平衡自身重力、发动机有足够的推力克服阻力以及良好的飞行性能，而且稳定性和操纵性必须比较好，这样才能在空中安全飞行。不然，飞行器的驾驶就会变得很困难，因为飞行器总是会偏离驾驶员预定的航向；或者当飞行器稍微受到比如突风、侧风、武器的发射等外界扰动，飞行器的平衡状态随即消失而又不能自动恢复，这种情况需要驾驶员花费很大的时间和精力去操纵机构改出不稳定状态。所以飞行器的稳定性系统分析，在现代飞行器设计阶段占愈来愈重要的作用。在飞行中，航向平衡状态由于飞行器受到微小扰动而使改变，在外界扰动消失时刻，不经驾驶员操纵飞行器，飞行器自身就有自动地把原来航向平衡状态恢复的趋势，则我们认为飞行器航向具有静稳定性。飞行器航向静稳定性的性质和风标对风的性质类似，所以我们也称航向静稳定性为风标静稳定性。垂直尾翼就是主要来保证飞行器的方向静稳定性的。

我们所说的飞机稳定性一般包括飞机静稳定性和动稳定性两个方面。静稳定性对于飞机的安全飞行并无多大作用，所以我们这里讨论的飞机稳定性就是指飞机飞行中的动稳定性。飞行器作速度不变的直线飞行，并且飞机自身不滚转也不绕纵轴转动的飞行，称为横向平衡状态。飞行器正常飞行中由于偶然受外力（突风、侧风）干扰而使横向平衡状态遭到破坏，而且在扰动作用后消失的瞬间，飞行器不需要驾驶员对舵面进行调整操纵，飞机靠自身特性就具有保持原来正常飞行状态（恢复到原来横向平衡状态）的能力，我们则称该飞行器具有

横向稳定性；反之，如果没有这种自动恢复能力，那么飞机就没有横向静稳定性。

1.2.2 飞行器横向稳定性的影响因素

机翼的上反角、后掠角和垂直尾翼等是保证飞行器横向稳定性的主要部件。后掠角越大，其所起的横向静稳定作用越强。如果后掠角很大（如—些超音速大后掠翼战斗机），就可能导致过分的横向静稳定性，一般用上反角替代使用；当飞行器向某一方向滚转时，向下方向的机翼更接近水平，产生额外升力；向上一侧的机翼更偏离水平，升力下降，升力差导致其产生稳定力矩。恢复水平位置。这相当于让机翼在水平投影上的面积改变了，机翼的气动效率等于与其在水平投影面积相同的机翼，同时也改变了机翼迎角，使其存在上下气流分量；当飞行器(不论何种原因)出现侧滑角β时，在垂直尾翼上就会产生侧力ΔY，它不但能为航向提供恢复力矩，而且由于垂直尾翼一般都装在机身的上面，所以还有滚转力矩ΔMx，它是一个横向稳定力矩，所以垂尾也有增大航向稳定性的作用；机翼位置也对横向稳定型有影响。例如上单翼有利于提高横向稳定型。

1.3论文的结构与主要内容

1.3.1 稳定性研究的目的与意义

每架飞行器的稳定性是其复杂飞行性能评价中不可分割的一部分。飞行器的稳定性直接决定飞行器在空中的飞行安全。因此，我们最大的关注是在飞行器设计的早期阶段的稳定性的分析。保证飞行器飞行安全中极其重要的一个步骤就是分析关于飞行器的运动稳定性，国内和国外以前都发生过多起因为飞行器自身飞行运动不稳定或者飞行器进入受到扰动不稳定进而失速而导致失控的机毁人亡的事故。自从二十世纪飞行器问世以来，飞行器的飞行安全就一直是飞行器设计师们的最高准则，安全、稳定这项最高目标是飞行器的各项设计目标都必须要服从的指标，飞行器的横航向机动中的稳定性一直是飞行器飞行安全和战斗机安全高效完成任务的重要的影响因素。随着现代飞行器飞行速度越来越高，当飞行速度较高时，飞行器的气动力特性已表现出特别明显的非线性，难预料，留给驾驶员的反应时间越来越少，飞机操控难度显著提升，于是正常机动飞行过程中极易出现失速失控、自激震荡等等失去稳定性、不能控制的现象，从而引发严重的飞行事故。因此对飞行器的横向稳定性进行深入的研究是很有必要的。

1.3.2 论文的主要结构

这篇论文首先从飞行器的力学模型入手，在前面定义的四个坐标系中得到飞行器的动力

学（转动、移动）方程和运动学方程，利用得到的方程关系研究飞行器的稳定性问题，但要首先研究飞行器运动方程线性化，线性化后的方程更便于仔细分析；然后研究飞行器横航向稳定性分析方法，从而对飞行器横航向运动建模。最后设计飞行器横航向稳定性分析系统。

论文第一章从飞行器的平衡与配平开始，由圆弧轨道上的小球介绍了稳定性的由来以及稳定性分析在现代飞行器设计中的重要性，并对常规布局飞行器中对飞行稳定性影响比较大的部件进行总体阐述。

本论文第二章一开始介绍了研究飞行器运动关系所必须需要的四种坐标系，并根据坐标系之间的定义关系推导出了各个坐标系之间的转换矩阵，这些准备工作完成后，本章先从飞行器的动力学方程开始，利用各种学习过的力学，物理知识推导出了飞行器质量中心移动，飞行器质量中心转动的相关动力学方程；然后接下来研究了飞行器的运动学方程，并根据力学知识推导出了飞行器质量中心运动学的方程、飞行器质量中心转动的运动学方程；以这些为基础，我们发现飞行器的质量中心运动是在航迹轴系上投影研究的，但绕质量中心转动的运动在机体轴系上投影研究得到相关方程的，故我们把得到的方程组称为航迹-机体体系运动方程组。

论文的第三章则是着手为飞机飞行的模型简化做准备，由于我们在第二章中得到的飞行器运动学和动力学方程组是变系数，非线性化的，它的解析解是比较难得到的，只能自己用数值法按部就班求解。这样，就不容易找出带有普遍意义的一般规律。我们采用“小扰动法”对飞机的运动方程组进行合理的简化，推力、侧力、阻力、几何关系等等，都得到了合理的简化

论文的第四章则是在第三章利用小扰动理论简化到的方程组的基础上，利用已经学习过的矩阵工具将方程组矩阵化，将飞行器稳定性问题分析转化为特征矩阵的求解分析，并对方程组的基本求解理论进行验证，并利用matlab软件中的数值分析工具进行了辅助工作。最后利用已经编写好的程序对某型号已经知道其气动数据的飞机稳定性进行分析了，得到了该程序应该的到的结果。

第二章刚性飞行器运动方程

2.1常用坐标系及其转换

在建立飞行器运动、转动方程时，为了方便的确定飞行器速度、相对位置、加速度和外力矢量的分量，我们选择在多种坐标轴系中建立方程，本文采用下面四种。

2.1.1常用的坐标轴系

1、地面坐标系

地面坐标系是定义为固定在地球表面上的一种坐标系。原点可以选择为地面上任意选定的某个固定的点（例如飞行器起飞点、导弹发射点）；轴指向地平面某任意方向O轴铅垂向下；轴垂直平面，按右手定则确定。

2、机体坐标系

机体坐标系是定义为固联于飞行器机身并和飞行器一起运动的一种动坐标系。该坐标系原点O位于飞行器的质量中心；轴位于飞行器对称平面内，和机身轴线，或者机翼的平均气动弦线平行，指向前；轴和一样，也在对称平面内，并且垂直于轴，指向下；轴垂直与对称面，指向右。

机体坐标系的三根坐标轴上定义了气动力矩沿三个轴的具体分量，有偏航力矩N、滚转力矩L和俯仰力矩M。

3、气流坐标系

气流坐标系又称为风轴系（）。该坐标系的原点O位于飞行器的质量中心；轴始终沿飞行器的空速方向；轴位于对称面内，垂直轴，指向下；轴垂直于平面，指向右。

气动力的三个分量，即升力L、阻力D和侧力C是在气流坐标系中定义的。

4、航迹坐标系

航迹坐标系又称弹道固连坐标系。它的原点O 位于飞行器质量中心；轴定义为始终沿飞行器的地速方向；对于轴则位于包含它自身的铅垂平面内，和轴垂直并指向下；轴则垂直于平面，方向向右。

由上面的定义可知，气流坐标系的轴与航迹坐标系的轴，当风速≠0时，两轴的方向是不重合的；只有当风速=0时，两者方向重合。

2.1.3坐标转换矩阵

建立运动方程时，还需要知道各坐标轴系之间的相互投影关系，即坐标转换矩阵。下面推出坐标转换的一般法则。

1、平面坐标系各轴间的转换

设两平面坐标系和，，当坐标系和顺时针转过角α后，将与新坐标系重合。设某矢量r 在坐标系中可分别表示为()和( )。如已知矢量的坐标()，则可用下式求得坐标( )，即

把上式写成矩阵形式

= 令

则

式中为从坐标系p到坐标系q的坐标转换矩阵

转换矩阵具有如下两条性质：

1.,=,即和互为转置矩阵

2.,=(), 即和互为逆矩阵

由此可得=()，=()，则和是正交矩阵

2、三维坐标轴系各轴间的转换

两个三维坐标轴系如果原点是重合的，那它们一定可以通过旋转重合在一起。若类似于平面坐标系仅仅通过绕其中一轴旋转两个坐标系即可重合，则坐标轴之间的关系类似于平面坐标系变换，变换矩阵与旋转转轴和对应的旋转角相关。转角按旋转方向的不同分为正负，当旋转角按右手法则确定的旋转方向和旋转轴的正方向一致时，定义为正，反之为负

图2.1三维坐标系的转换

绕轴转过正α角的两个坐标系之间相互转换关系可表示为：

转换矩阵为：

绕轴和轴转过正角的转换矩阵分别为：

()=

下，只需三个欧拉角，，就可以确定两个原点重合的坐标系和的相对位置。它们之间的相互转换关系，可由按顺序连续绕Oz 方向转动角，再绕当时的Oz方向转动角，最后绕当时的Ox 方向转动角，形成目标坐标系。利用绕单轴转换矩阵式( 1.20 )～式( 1.22 )，并根据其转动过程，两坐标轴之间的转换关系应有

=

该转换矩阵同样具有二维坐标系转换矩阵的特性。

2.1.2常用坐标系之间的关系

1、地面坐标系与机体坐标系

图2.2地面坐标轴系与机体坐标轴系之间的关系

偏航角：轴与机体轴在水平方向平面上的投影之间的夹角。我们规定飞行器向右偏行时形成的角度为正值。

俯仰角：机体轴与水平方向平面之间的夹角。我们规定当飞行器头部上仰时形成的角度

为正值。

滚转角与飞行器对称平面之间的夹角。我们规定飞行器向右边滚转运动时形成的角度为

正值。

转换矩阵：

2、机体坐标系与气流坐标系关系

因这两个坐标系中和轴一同在飞行器纵向对称平面内，所以气流坐标系与机体坐标系间的相互关系仅需两个角度即可确定其相应位置。

迎角：飞行空速矢量V在飞行器对称平面上的投影直线与机体轴之间形成的夹角。一般情况下，投影形成的直线在下方时定义为正。

侧滑角：飞行器对称平面和飞行空速矢量V之间形成的夹角。速度矢量V在对称平面右方时定义为正。

转换矩阵：

3、地面坐标轴系与航迹坐标轴系

图2.3地面坐标轴系与航迹坐标轴系的转换关系

地面坐标系相对航迹坐标系的方位，根据两个坐标轴系的定义，其中与O均位于铅垂平面内，所以可以用两个欧拉角来表示其中关系。

航迹偏航角：航迹偏航角又称为航向角，即是航迹轴在水平面上的投影与轴之间的夹角，也可以用表示。一般规定航迹向右偏转时为正。

航迹倾斜角：又称为航迹爬升角，即航迹轴在水平面之间的夹角，也可用表示。一般规定航迹向上倾斜时为正。

从图上可见，角度，决定了飞行器地速空间的方向。

由到的转换矩阵可通过坐标按顺序绕轴转过角，再绕当时的y轴（即图中轴）转过角，就可以与坐标系重合。所以从地面坐标系到航迹坐标系的转换矩阵为

2.2刚性飞行器动力学方程

由理论力学知识可知，飞行器质量中心运动的描述可以用动量定理来:

式中为飞行器飞行速度矢量，为飞行器质量，为作用于质量中心处合外力矢量。对于飞行高度、飞行器速度不很大的情况，我们可以忽略地球曲率和自转给运算带来的影响，平面地球坐标可近似作为惯性坐标系，并假设认为大气是静止的。

2.2.1飞行器质量中心移动的动力学方程

1、任意动系中的质量中心动力学方程

我们在具体研究飞行器质量中心运动规律时，由于用矢量形式表示的方程使用不太方便，故用在某坐标投影的标量形式来表示。工程习惯上，通常建立投影在一动坐标系的标量方程取一动坐标系原点位于飞行器质量中心，它相对惯性坐标系有一转动角速度。质量中心的绝对速为V。

在动坐标系上分别投影飞行速度和运动角速度，则有

式中为动坐标系中定义的单位矢量。因为的存在，其方向将随时间变化而变化。

速度的微分，也即质量中心的绝对加速度为

其中

上式为动坐标系角速度时的加速度，就相当于我们站在动坐标系中所看到的质量中心的加速度；为附带的加速度，它是由于存在角速度使相对于动坐标系方向发生变化而产生的；则为我们在地面坐标系中看飞机所得到的加速度，即质量中心的绝对加速度。

将式(2.13)代入式(2.11)，得到在动坐标系中表示的质量中心动力学矢量形式为

于是式(2.14)在动坐标系上投影的质量中心动力学标量形式如下：

式中（，）为动系相对惯性系的转动角速度在动系上的投影分量；（）为作用在飞行器上外力的合力矢量在动系上的投影分量。

2、质量中心动力学方程在航迹坐标系中的形式

我们在推导航迹坐标系中质量中心动力学方程时，将角速度、速度及合外力在航迹坐标系中的投影代入式( 1.35 )即可。由航迹轴系定义，轴取飞行器质量中心运动方向，所以有：

地面坐标系与航迹坐标系的相对位置的确定，我们可先将地面坐标系以确定角速度绕Oz 轴旋转，再以角速度绕轴转动而得到的。所以航迹坐标系相对于地面坐标系的角速度可写为：

通过在本章第一部分已经得到的转换矩阵，上面的式子投影在航迹轴系上可表达为：+

作用在飞行器质量中心上的外力中，发动机产生的推力T 一般位于飞行器的对称平面内，但有的时候会与机体轴构成安装角。为此先将T 投影在机体轴系上（见图1.32），可表示为：

图2.4 发动机推力矢量

随后把推力T通过转换矩阵运算后，得到推力T 在航迹坐标系上的投影分量：

空气动力A 我们一般定义在气流坐标系中，三个轴向分别是侧力C、阻力D和升力L，即

类似的，气动力在航迹坐标系上的分量也可通过转换矩阵得到

重力mg 的方向与地面坐标系中轴方向相同，把mg使用转换矩阵运算后可得在航迹坐标系上的投影

将飞机飞行速度、转动角速度和各方向外力的投影式均代入式( 2.16 )后，最终可以得到在航迹坐标系中标量形式的飞行器质量中心动力学方程组

3.机体轴系中的质量中心动力学方程

和质量中心动力学方程在航迹轴系上的投影类似，先找出飞机飞行速度、转动角速度和各方向外力矢量在上的投影，然后直接代入式(2.16)即成。速度V 的投影表示为:

角速度ω的投影表示为

合外力矢量F投影的平面中，发动机推力T与轴构成安装角而且位于飞行器对称平面内，故

类似的，气动力A 在机体轴的投影可通过转换矩阵得出

重力mg在的投影，可通过转换矩阵得出，即

将上述的投影表达式代入式(2.11)，最终得出的机体轴系中质量中心动力学方程组的标量形式为

在探讨飞行器大迎角、大机动运动特性时，常将方程组式( 2.18 )中速度矢量投影通过转换矩阵，用（V，来表示，即

相对地对时间的导数为

2.2.2飞行器绕质量中心转动动力学方程

根据所学知识，转动运动我们可以用动量矩定理来表示，描述飞行器绕质量中心的转动运动公式可表示为：

式中飞行器对坐标原点的动量矩用表示；表示作用在飞行器上的合外力相对于原点的合力矩。

按照动量矩的定义，飞行器上质量为的任意微元，对某个坐标系原点形成的动量矩（见图2.5）为：

图2.5对质心的动量矩

式中矢量为微元质量到坐标原点的矢径；为该微元质量的速度矢量，则

式中为坐标原点速度（如坐标原点取为飞行器质量中心，则为质量中心速度）；为坐标系转动角速度。

于是飞行器的总动量矩可积分得出

取坐标系原点为质量中心时，有

飞行器的动量矩简化为

上式表明，飞行器的动量矩只取决于转动产生的速度部分，而与质量中心运动速度无关。用投影分量在坐标系中表示矢径和角速度为

简单整理下将得到的上述关系代入式2.15得到的式子

式中，和分别为飞行器对轴，轴和轴的惯性矩，分别为

而，和则为对轴与轴、轴与轴和轴与轴的惯性积，分别为

1、绕质量中心转动动力学方程在固连于飞行器的任意动坐标系中的形式：

矢量形式方程式2.10在具体研究飞行器绕质量中心转动的规律时使用肯定不太方便，为了建成方程的标量形式这里我们将其投影在一动坐标系上。此时，由于动系在空中以转动，所以动量矩导数，可以表示为

将上式代入式2.21，得到飞行器绕质量中心转动动力学方程在动坐标系中表示的形式：其中动量矩导数为动系角速度时得到的，我们称其为动量矩相对导数，其投影形式为：

而称为动量矩的转换导数，它是由于存在动坐标系方向改变所引起的动量矩变化，可以表示为

合外力矩在动系中的投影表示式为

将上述的投影表示式代入式2.33，即得转动运动方程的标量形式为

再将上面得到的动量矩关系式2.29代入上式，经过适当整理将力矩量整理到左边，最后得飞行器绕质量中心转动的动力学方程为

2、绕质心转动动力学方程在机体轴系中的表示：

对于一般的飞行器，平面常为对称面。由式2.31可知，此时。角速度在机体轴上投影常为。外力矩在机体轴上投影表示为于是式2.27可简化为

对于轴对称的飞行器通常惯量矩也为零，将此结果代入到方程中得到转动动力学方程的最简形式为：

2.3 刚性飞行器运动学方程

2.3.1 飞行器质量中心运动学方程

若质量中心的动力学方程是在航迹轴系中建立的，则我们可以得出质量中心速度变化表示为[V,0,0 ]T，通过转换矩阵可获得质量中心速度在地面轴系上的投影[ Vx,Vy,Vz]g再对各分速分别进行积分，得到质量中心位置在空间的变化规律，即运动轨迹。

若我们建立了飞行器质量中心的运动学方程，则确定飞行器在空间的飞行轨迹也将很容易。首先将由式求得的飞行速度V 投影至地面坐标系

接下来我们综合地面坐标轴系速度分量分别是质量中心的空间坐标的微分这一内在条件，并利用转换矩阵式可得：

该方程组描述了质量中心空间位置随时间的变化规律。

2.3.2 飞行器绕质量中心转动运动学方程

一般意义上，我们可以通过飞机机体轴系相对于地面坐标轴系的三个欧拉角(φ,θ,ψ) 来标明飞行器在空间的姿态。飞行过程中飞机姿态肯定不是一成不变的，所以描述其空中姿态的欧拉角将随时间变化而变化。由飞行器运动形式我们了解到，欧拉角变化规律与飞行器自身各轴的旋转角速度( p,q, r) 具有密切关系。了解其中的关系后，我们可以通过找出飞机各轴旋转角速度之间的内在关系，代入以前建立的运动方程从而得出绕飞机质量中心转动的运动学方程，也即得到了可以描述飞行器姿态变化规律的方程。

我了解到有两种方法可以建立飞行器转动运动学方程。欧拉角表示法，是直接导出欧拉姿态角变化规律的方程；第二种是四元数表示法，它是为了防止方程出现奇异解利用间接方