[整理]一阶微分方程解的存在定理.
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第三章 一阶微分方程解的存在定理
[教学目标]
1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。
2. 了解解的延拓定理及延拓条件。
3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时
[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标]
1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法
微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程
dy
dx
=过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2
y x =或更一般地，函数
2
0 0() c<1x c
y x c x ≤≤?=?-≤?
都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性
和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。
1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程
),(y x f dx
dy
= （3.1）
这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）
上连续。
定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，2(,)x y 均有不等式
1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=，在区间0||x x h -≤上
连续，而且满足初始条件
00()x y ?= （3.3）
其中,min(,
),max (,)x y R b
h a M f x y M
∈==,L 称为Lipschitz 常数.
思路：
1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程 0
0(,)x
x y y f x y dx =+?
的连续解。
2） 构造近似解函数列{()}n x ?
任取一个连续函数0()x ?，使得00|()|x y b ?-≤，替代上述积分方程右端的
y ，得到
100()(,())x
x x y f x x dx ??=+
?
如果10()()x x ??≡，那么0()x ?是积分方程的解，否则，又用1()x ?替代积分方程右端的y ，得到 0
201()(,())x
x x y f x x dx ??=+
?
如果21()()x x ??≡，那么1()x ?是积分方程的解，否则，继续进行，得到 0
01()(,())x
n n x x y f x x dx ??-=+?
（3.4） 于是得到函数序列{()}n x ?.
3） 函数序列{()}n x ?在区间00[,]x h x h -+上一致收敛于()x ?，即 lim ()()
n n x x ??→∞
=
存在，对(3.4)取极限,得到
00
010lim ()lim (,()) =(,())
x
n n x n n x
x x y f x x dx
y f x x dx ???-→∞
→∞=++??
即0
0()(,())x
x x y f x x dx ??=+?
.
4) ()x φ是积分方程0
0(,)x
x y y f x y dx =+
?
在00[,]x h x h -+上的连续解.
这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理. 为了讨论方便,只考虑区间00x x x h ≤≤+,对于区间00x h x x -≤≤的讨论完全类似. 命题1 设()y x ?=是方程(3.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上,满足初始条件
00()x y ?= （3.3） 的解,则()y x ?=是积分方程 0
0(,)x
x y y f x y dx =+
?
00x x x h ≤≤+ (3.5)
的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然.
证明 因为()y x ?=是方程(3.1)满足00()x y ?=的解,于是有
()
(,())d x f x x dx
??= 两边取0x 到x 的积分得到 0
0()()(,())x
x x x f x x dx ???-=?
00x x x h ≤≤+
即有0
0()(,())x
x x y f x x dx ??=+
?
00x x x h ≤≤+
所以()y x ?=是积分方程0
0(,)x
x y y f x y dx =+
?
定义在区间00x x x h ≤≤+上的连续解.
反之,如果()y x ?=是积分方程(3.5)上的连续解,则
00()(,())x
x x y f x x dx ??=+? 00x x x h ≤≤+ （3.6）
由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())f x x ?连续,两边对x 求导,可得
()
(,())d x f x x dx
??= 而且 00()x y ?=,
故()y x ?=是方程(3.1)定义在区间00x x x h ≤≤+上,且满足初始条件00()x y ?=的解. 构造Picard 的逐次逼近函数序列{()}n x ?.
0000100()()(,()) x n
n x x y x y f d x x x h ??ξ?ξξ-=??
?=+≤≤+???(1,2,)n = （3.7）
命题2 对于所有的n ，（3.6）中的函数()n x ?在00x x x h ≤≤+上有定义，连续且满足不等式 0|()|n x y b ?-≤ （3.8） 证明 用数学归纳法证明 当1n =时，0
100()(,)x
x x y f y d ?ξξ=+?
，显然1()x ?在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且有
10000|()||(,)||(,)|()x
x
x x x y f y d f y d M x x Mh b ?ξξξξ-=≤≤-≤≤??
即命题成立.
假设n k =命题2成立，也就是在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且满足不等式 0|()|k x y b ?-≤ 当1n k =+时，
10()(,())x
k k x x y f dx ?ξ?ξ+=+
?
由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())k f x x ?在00x x x h ≤≤+上连续，于是得知1()k x ?+在00x x x h ≤≤+上有定义、连续,而且有
100|()||(,())|()x
k k x x y f d M x x Mh b ?ξ?ξξ+-≤
≤-≤≤?
即命题2对1n k =+时也成立.由数学归纳法知对所有的n 均成立.
命题3 函数序列{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的.
记lim ()()n n x x ??→∞
=,00x x x h ≤≤+
证明 构造函数项级数 01
1
()[()()]k
k k x x x ???
∞
-=+-∑ 00x x x h ≤≤+ (3.9)
它的部分和为
01
1
()()[()()]()n
n k
k n k S x x x x x ???
?-==+
-=∑
于是{()}n x ?的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价. 为此，对级数(3.9)的通项进行估计.
1000|()()||(,())|()x
x x x f d M x x ??ξ?ξξ-≤≤-? (3.10)
2110|()()||(,())(,())|x
x x x f f d ??ξ?ξξ?ξξ
-≤-?
由Lipschitz 条件得知
2110020|()()||()()|ξ
() ()2!
x
x x
x x x L d L M x d ML
x x ???ξ?ξξξ-≤-≤-≤
-??
设对于正整数n ,有不等式
1
10|()()|() !
n n n n ML x x x x n ??---≤- 成立,则由Lipschitz 条件得知,当00x x x h ≤≤+时,有
011101
0|()()||(,())(,())| |()()|ξ
() !
()(+1)!
x
n n n n x x
n n x n x n
x n
n x x f f d L d ML x d n ML x x n ??ξ?ξξ?ξξ
?ξ?ξξξ+--+-≤-≤-≤-≤-???
于是由数学归纳法可知, 对所有正整数k ,有
1110|()()|() !!
k k k
k k k ML ML x x x x h k k ??----≤-≤ 00x x x h ≤≤+ (3.11)
由正项级数
1
1
!
k
K k h ML
k ∞
-=∑ 的收敛性,利用Weierstrass 判别法,级数(3.9)在00x x x h ≤≤+上一致收敛.因而序列{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上一致收敛. 设lim ()()n n x x ??→∞
=,则()x ?也在00x x x h ≤≤+上连续,且
0|()|x y b ?-≤
命题4 ()x ?是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.
证明 由Lipschitz 条件
|(,())(,())||()()|n n f x x f x x L x x ????-≤-
以及{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上一致收敛于()x ?,可知(,())n f x x ?在00x x x h ≤≤+上一致收敛于
(,())f x x ?.因此
000101lim ()lim (,())
=lim (,())
x
n n x n n x
n x n x y f d y f d ?ξ?ξξξ?ξξ-→∞
→∞-→∞
=++??
即 0
0()(,()) x
n x x y f d ?ξ?ξξ=+
?
故()x ?是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.
命题 5 设()x ψ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的一个连续解,则
()()x x ?ψ≡,00x x x h ≤≤+.
证明 设()|()()|g x x x ?ψ=-,则()g x 是定义在00x x x h ≤≤+的非负连续函数,由于 0
0()(,()) x
x x y f d ?ξ?ξξ=+
?
0()(,()) x
x x y f d ψξψξξ=+?
而且(,)f x y 满足Lipschitz 条件,可得
()|()()||[(,())(,())]|
|(,())(,())| |()()|()x
x x
x x
x
x x g x x x f f d f f d L d L g d ?ψξ?ξξψξξξ?ξξψξξ
?ξψξξξξ
=-=-≤
-≤-=??
??
令0
()()x
x u x L
g d ξξ=?
,则()u x 是00x x x h ≤≤+的连续可微函数,且0()0u x =,
0()()g x u x ≤≤,()()u x Lg x '=,()()u x Lu x '≤,(()())0Lx u x Lu x e -'-≤,
即(())0Lx
u x e
-'≤,于是在00x x x h ≤≤+上, 00()()0Lx Lx u x e u x e --≤=
故()()0g x u x ≤≤,即()0g x ≡,00x x x h ≤≤+,命题得证.
对定理说明几点:
(1)存在唯一性定理中min(,
)b
h a M
=的几何意义
.
在矩形域R 中(,)f x y M ≤,故方程过00(,)x y 的积分曲线()y x ?=的斜率必介于M -与M 之间,过点00(,)x y 分别作斜率为M -与M 的直线. 当b M a ≤时，即b a M ≤,（如图(a)所示），解()y x ?=在00x a x x a -≤≤+上有定义；当b M a
≥时,即
b
a M
≤,（如图(b)所示）
，不能保证解在00x a x x a -≤≤+上有定义，它有可能在区间内就跑到矩形R 外去，只有当00b b
x x x M M -≤≤+
才能保证解()y x ?=在R 内，故要求解的存在范围是 0||x x h -≤.
(2)、 由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数),(y x f 在矩形域R 上关于y 的偏导数),('
y x f y 存在并有界，即'(,)y f x y L ≤，则李普希兹条件条件成立. 事实上
212121212(,())
|(,)(,)||
|||
||
f x y y y f x y f x y y y y L y y θ?+--=-?≤-
这里12(,),(,),01x y x y R θ∈<<. 如果),('
y x f y 在R 上连续，它在R 上当然满足李普希兹条件.但是,
满足李普希兹条件的函数),(y x f 不一定有偏导数存在.例如函数(,)||f x y y =在任何区域都满足李普希兹条件,但它在0y =处没有导数. (3)、设方程(3.1)是线性的,即方程为
()()dy
P x y Q x dx
=+ 易知,当(),()P x Q x 在区间[,]αβ上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值000(,),[,]x y x αβ∈所确定的解在整个区间[,]αβ上有定义、连续.
实际上,对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在0||x x h -≤上,是因为在构造逐步
逼近函数序列{()}n x ?时,要求它不越出矩形域R ,此时,右端函数对y 没有任何限制,只要取
0[,]
max |()()|x M P x y Q x αβ∈=+.
(4)、Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 例如 试证方程
0 =0
ln || 0 y dy y y dx y ≠?=?
?
经过xoy 平面上任一点的解都是唯一的.
证明 0y ≠时, (,)ln ||f x y y y =,在0y ≠上连续, (,)1ln ||y f x y y '=+也在0y ≠上连续,因此对x 轴外的任一点00(,)x y ,方程满足00()y x y =的解都是唯一存在的.又由 ln ||dy
y y dx
= 可得方程的通解为
x
ce y e
=±,其中
x
ce y e
=为上半平面的通解,
x
ce y e
=-为下半平面的通
解,它们不可能与0y =相交.注意到0y =是方程的解,因此对x 轴上的任一点0(,0)x ,只有0y =通过,从而保证xoy 平面上任一点的解都是唯一的. 但是
|(,)(,0)||ln ||||ln |||||f x y f x y y y y -== 因为0
lim |ln |||y y →=+∞,故不可能存在0L >,使得
|(,)(,0)|||f x y f x L y -≤
所以方程右端函数在0y =的任何邻域并不满足Lipschitz 条件.
此题说明Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 2)考虑一阶隐方程
(,,)0F x y y '= (3.12)
由隐函数存在定理,若在000
(,,)x y y '的某一邻域内F 连续且000(,,)0F x y y '=,而0F
y ?≠'
?,则必可把y 唯一地表为,x y 的函数
(,)y f x y '= (3.13)
并且(,)f x y 于00(,)x y 的某一邻域连续,且满足0
00(,)y f x y '= 如果F 关于所有变元存在连续的偏导数,则(,)f x y 对,x y 也存在连续的偏导数,并且
/f F F y y y ???=-'
??? (3.14) 显然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)满足初始条件的0()0y x =解存在且唯一.从而得到下面的定理.
定理2 如果在点000
(,,)x y y '的某一邻域中:
ⅰ) (,,)F x y y '关于所有变元(,,)x y y '连续,且存在连续的偏导数；
ⅱ）000
(,,)0F x y y '= ⅲ）
000
(,,)0F x y y y '?≠'
?
则方程（3.12）存在唯一的解
0() || y y x x x h =-≤（h 为足够小的正数） 满足初始条件
0000(), ()y x y y x y ''== （3.15）
1、
2、 近似计算和误差估计
求方程近似解的方法——Picard 的逐次逼近法
0000100()()(,()) x n
n x x y x y f d x x x h ??ξ?ξξ-=??
?=+≤≤+???
对方程的第n 次近似解()n x ?和真正解()x ?在0||x x h -≤内的误差估计式
1
|()()|(1)!
n n n ML x x h n ??+-≤+ （3.16）
此式可用数学归纳法证明.
00|()()||(,())|()x
x x x f d M x x Mh ??ξ?ξξ-≤≤-≤?
设有不等式
1110|()()|() !!
n n n
n n ML ML x x x x h n n ??----≤-≤
成立,则
01101
10|()()||(,())(,())| |()()|ξ
()
! ()(+1)!(+1)!
x
n n x x
n x n x n
x n n n n x x f f d L d ML x d n ML ML x x h
n n ??ξ?ξξ?ξξ
?ξ?ξξξ--++-≤-≤-≤-≤-≤???
例1 讨论初值问题
22dy
x y dx
=+, (0)0y =
解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中,
:11,11R x y -≤≤-≤≤.
解 (,)1
max |(,|2,1,1,min{,
}2
x y R
b M f x y a b h a M ∈======,由于|||2|2f y L y ?=≤=?,根据误
差估计式(3.16)
11
|()()|0.05(1)!(1)!
n n n ML x x h n n ??+-≤
=<++
可知3n =.于是
0()0x ?=
3
2
2
10
0()[()]3
x
x x x x dx ??=+=?
37
2
2
21
0()[()]363
x
x x x x x dx ??=+=+?
371115
2
2
32
0()[()]363207959535
x
x x x x x x x dx ??=+=+++?
3()x ?就是所求的近似解,在区间11
22
x -≤≤上,这个解与真正解得误差不超过0.05.
各种类型的微分方程及其相应解法教程文件
各种类型的微分方程及其相应解法 专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。 一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程 dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。 例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=- 两端积分??-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2 112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 2.齐次方程 （1）)(x y f dx dy = （2） )(c by ax f dx dy ++=（a ，b 均不等于0） 例2求解微分方程.2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222?? ? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得?? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1)2ln(23)1ln(C x u u u +=----
常微分方程试题库
常微分方程试题库 二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'； 选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解， （2分） 当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ， （2分） 积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分） （分） （22 3. 解方程： 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t
一阶常微分方程的奇解
摘要.................................................... 错误!未定义书签。 1.何谓奇解.............................................. 错误!未定义书签。 2.奇解的产生............................................ 错误!未定义书签。 3.包络跟奇解的关系...................................... 错误!未定义书签。 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法................. 错误!未定义书签。 克莱罗微分方程 ..................................... 错误!未定义书签。 5.奇解的基本性质........................................ 错误!未定义书签。 定理１ ............................................. 错误!未定义书签。 定理２ ............................................. 错误!未定义书签。 定理３ ............................................. 错误!未定义书签。 6.小结.................................................. 错误!未定义书签。参考文献：.............................................. 错误!未定义书签。
常微分方程练习题及答案复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
偏微分方程理论的归纳与总结
偏微分方程基本理论的归纳与总结 偏微分方程是储存自然信息的载体,自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来.最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性.微分方程是一个庞大的体系,它的基本问题就是解的存在性和唯一性.该学科的主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法和理论.这是与常微分方程有显著差异的地方.这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面.从数学的角度,方程的类型一般总是对应于一些普遍的理论和工具.换句话讲,如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来.而从自然现象的角度,我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类.当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们是相互关联的,这就造成方程的概念有许多重叠现象. 根据数学的特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们是： （1）线性与拟微分方程,研究这类方程的主要工具是Fourier分析方法； （2）椭圆型方程,它的方法是先验估计+泛函分析手段； （3）抛物型方程,主要是Galerkin方法,算子半群,及正则性估计； （4）双曲型方程,对应于Galerkin方法； （5）一阶偏微分方程,主要工具是数学分析方法. 从自然界的运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类： （1）稳态方程（非时间演化方程）； （2）耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然运动.相变与混沌是它们的主要内容； （3）保守系统,如具有势能的波方程.该系统控制的运动是与外界隔离的,及无能量输入,也无能量损耗.行波现象与周期运动是它们的主要特征； （4）守恒律系统,这类方程是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似的性质,可视为物质流的守恒.激波行为是由守恒律系统来控制. 下面具体来介绍三类经典方程： 三类典型方程：椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解问题的解法以及三类典型方程的基本理论. 关于三类典型方程定解问题的解题方法,它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和Green 函数方法. 关于三类典型方程的基本理论——极值原理和能量估计,并由此给出了解的唯一性和稳定性的相关结论. 具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它的古典解和弱解.前者主要介绍了基本解、调和函数的基本性质、Green 函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理；而后者的研究则需要知道Sobolev空间的相关知识再加以研究；关于二阶线性抛物型方程,主要研究它的Fourier 变换、特殊的求解方法、基本解、方程式和方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项的方程式的最大值原理及能量方法；关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性. 椭圆、抛物和双曲这三类线性偏微分方程解的适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程作为代表.具体地说,对于某些规则的求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程和定解条件的具体解,这就决定了存在性问题；再利用方程本身所具有的特殊性质,将证明所求解是唯一的,也就解决了唯一性问题；关于连续依赖性问题,需要在不同函数空
各类微分方程的解法大全
各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x 两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－ ∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］ 即y=Ce－∫P(x)dx +e－ ∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1 y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2 依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2 ③y”=f(y,y’) 型的微分方程
令y’=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C1) 即dy/dx=φ(y,C1),即dy/φ(y,C1)=dx,所以∫dy/φ(y,C1)=x+C2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y”+py’+qy=f(x) 先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解 求y”+py’+qy=f(x)特解的方法: ①f(x)=P m(x)eλx型 令y*=x k Q m(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m(x)的m+1个系数 ②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型 令y*=x k eλx［Q m(x)cosωx+R m(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m(x)和R m(x)的m+1个系数
常微分方程试题
常微分方程试题
一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.
4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,
其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).
A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,
一阶常微分方程解法总结
页脚内容1 第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、xy dx dy = 解：当0≠y 时，有xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(11212 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(1212 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M ) ()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x
页脚内容2 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如)(x y g dx dy = 解法：令x y u = ，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、02211 =b a b a ，转化为)(by ax G dx dy +=，下同①； 02、0221 1 ≠b a b a ，???=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u
分数阶微分方程-课件
分数阶微分方程 第三讲分数阶微分方程基本理论 一、分数阶微分方程的出现背景及研究现状 1、出现背景 分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。 整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有较完善的理论。但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到以下问题： （1）需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件； （2）因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型； （3）这些非线性模型无论是理论求解还是数值求解都非常繁琐。 基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。 2、研究现状 在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，似乎它只对数学家们有用。然而在近几十年来，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。分数阶微积分理论也受到越来越多的国内外学者的广泛关注，特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点。随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现，无论对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切。然而由于分数阶微分是拟微分算子，它的保记忆性（非局部性）对现实问题进行了优美刻画的同时，也给我们的分析和计算造成很大困难。 在理论研究方面，几乎所有结果全都假定了满足李氏条件，而且证明方法也和经典微积分方程一样，换句话说，这些工作基本上可以说只是经典微积分方程理论的一个延拓。对分数阶微分方程的定性分析很少有系统性的结果，大多只是给出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都是具有局限性的。 在数值求解方面，现有分数阶方程数值算法还很不成熟，主要表现为： （1）在数值计算中一些挑战性难题仍未得到彻底解决，如长时间历程的计算和大空间域的计算等； （2）成熟的数值算法比较少，现在研究较多的算法主要集中在有限差分方法与有限单元法； （3）未形成成熟的数值计算软件，严重滞后于应用的需要。
各类微分方程的解法大全
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐 式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］ =dx/x两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－ ∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程 解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］ 即y=Ce－∫P(x)dx +e－ ∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1
y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2 依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2 ③y”=f(y,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C1) 即dy/dx=φ(y,C1),即dy/φ(y,C1)=dx,所以∫dy/φ(y,C1)=x+C2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y”+py’+qy=f(x) 先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解 求y”+py’+qy=f(x)特解的方法: ①f(x)=P m(x)eλx型 令y*=x k Q m(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m(x)的m+1个系数 ②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型
一阶常微分方程解法总结
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到
各种类型的微分方程及其相应解法
各种类型的微分方程及其相应解法 专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。 一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程 dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。 例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=- 两端积分??-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2 112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 2.齐次方程 （1）)(x y f dx dy = （2） )(c by ax f dx dy ++=（a ，b 均不等于0） 例2求解微分方程.2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222?? ? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得?? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1)2ln(23)1ln(C x u u u +=----
常微分方程试题库.
常微分方程 一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则 方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是 血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o 8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗 斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件 是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是 答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^= 《常微分方程》课程大纲 一、课程简介 课程名称：常微分方程学时/学分：3/54 先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。 面向对象：本科二年级或以上学生 教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。 二、教学内容和要求 常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数) 第一章基本概念（2，0） （一）本章教学目的与要求： 要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方 向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。 （二）教学内容： 1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。 2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。 3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。 4．常微分方程所讨论的基本问题。 第二章初等积分法（4，2） （一）本章教学目的与要求： 要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。 本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。 （二）教学内容： １. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法 ３. 一阶线性微分方程（常数变易法） ４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程） 常微分方程试题库试 卷库 常微分方程期终考试试卷(1) 一、 填空题（30%） 1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。有只含y 的积分因子的充要条件是______________。 ２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。 ３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。 ４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。 ５、形如___________________的方程称为欧拉方程。 ６、若()t φ和()t ψ都是' ()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是 _____________________________。 ７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％） 1、 3 ()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=- ３、若 2114A ?? =?? -??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????并求expAt ４、32( )480 dy dy xy y dx dx -+= ５、求方程2 dy x y dx =+经过（0，0）的第三次近似解 6.求1,5 dx dy x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题（１０％） １、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。 试卷答案 一填空题 １、()M N y x x N ???-??= ()M N y x y M ???-??=- 摘要 (2) 1.何谓奇解 (2) 2.奇解的产生 (3) 3.包络跟奇解的关系 (4) 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (5) 4.1 克莱罗微分方程 (9) 5.奇解的基本性质 (12) 5.1 定理１ (12) 5.2 定理２ (14) 5.3 定理３ (14) 6.小结 (14) 参考文献： (15) 一阶常微分方程的奇解 摘要 在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。 关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式 1.何谓奇解 设一阶隐式方程),,(,y y x F =0有一特解 )(:x y ψ=Γ，j x ∈ 如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解 定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解 2.奇解的产生 先看一个例子，求方程 033=-?? ? ??y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dx dy = 的解。 经分离变量后，可得（1）的通解 3)(27 1c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。由图我们看到，在解y=0上的每一 点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0 称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇 解，这就是奇解的产生。 我们现在给出曲线族包络的定义 某些微分方程，存在一些特殊的积分 曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并 不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。 各种类型的微分方程及其相应解法 各种类型的微分方程及其相应解法 专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。 一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程 dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。 例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=- 两端积分??-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2 112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 2.齐次方程 （1） )(x y f dx dy = （2） )(c by ax f dx dy ++=（a ，b 均不等于0） 例2求解微分方程.2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222?? ? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得??? ???-+--??? ??--1122 121 21 u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 21 )2ln(23 )1ln(C x u u u +=---- 整理得 .)2(1 2/3Cx u u u =-- 所求微分方程的解为 .)2()(32x y Cy x y -=- 3.一阶线性微分方程 ?+??==+-])([),()()()(C dx e x Q e y x Q y x p dx dy dx x p dx x p 其通解为 例3. x y dx dy x sin 2=+， ππ1 )(=y ； 解 将方程改写为 x x y x dx dy sin 2=+， 这里x x p 2)(=，x x x q sin )(=，故由求解公式得 )sin (1 sin 22 2 ??+=??? ????+?=-xdx x C x dx e x x C e y dx x dx x 22sin cos x x x x x C +-=. 由初值条件ππ1 )(=y ，得0=C . 所以初值问题的解为 2cos sin x x x x y -= 例4.设非负函数()f x 具有一阶导数，且满足1 200()()()x f x f t dt t f t dt =+??，求 函数()f x ． 解：设120()A t f t dt =?，则0()()x f x f t dt A =+?，两边对x 求导，得 ()()()x f x f x f x Ce '=?=，由已知(0)()x f A C A f x Ae =?=?= 又 11222004 ()()1t A t f t dt t Ae dt A e ==?=+??，则 24 ()1x f x e e =+ 常微分方程试题模拟试题（一） 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1 ．方程d d y x =满足初值解的存在且惟一性的区域是 ． 2．方程0d )1(d )1(=+++y x x y 所有常数解是 ． 3．线性方程0y y ''+=的基本解组是 ． 4．(,)y f x y '有界是保证方程d (,)d y f x y x =初值解惟一的 条件． 5．向量函数组在区间I 上的朗斯基行列式()0W x =是它们线性相关的 条件． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．积分方程11()1()d x y x y s s s =+?的解是（ ） ． （A ）1y = （B ）e x y = （C ）0y = （D ）y x = 7. 一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ ）． （A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 8．方程 ?????≠==0 ,ln 00d d y y y y x y 当当， 在xoy 平面上任一点的解（ ）． （A ）都不是惟一的 （B ）都是惟一的 （C ）都与x 轴相交 （D ）都与x 轴相切 9．平面系统???????+=+=y x t y y x t x 43d d 2d d 的奇点类型是（ ）． （A ）不稳定结点 （B ）稳定焦点 （C ）不稳定焦点 （D ）鞍点 10．方程0y y ''+=的任一非零解在(,)x y 平面的x 轴上任意有限区间内（ ）零点． （A ）无 （B ）只有一个 （C ）至多只有有限个 （D ）有无限个 三、计算题（每小题8分，共40分） 求下列方程的通解或通积分： 11. 2211d d x y x y --= 12. ()d ()d 0x y x x y y +--= 13. 2y xy y ''=+ 14．012)(2=+'-'y x y 15．032 22=-'-''y x y y y 四、计算题（本题15分）《常微分方程》课程大纲
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