二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解
一、本节知识点
（1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展:
（4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型
（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系.
（4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解.
知识点 一元二次不等式的概念
我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.
元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.
注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点 三个二次的关系
一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.
一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:
（1）当ac b 42-=?≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;
①当0>?时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;
②当0=?时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数
()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.
（2）当042<-=?ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数
()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.
具体关系见下页表（1）所示.
一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:
（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数
()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变
量的取值范围;
（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数
()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变
量的取值范围.
由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点 一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的一般步骤是:
（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=?的值,并判断?的符号; （3）当?≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;
（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.
注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.
其中,①当0>?时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;
②当0=?时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为???
?
??-≠a b x x 2;一元
二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为?;
③当0>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式
()002><++a c bx ax 的解集为?.
表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:
一元二次不等式在R 上恒成立的问题
（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:???<-=?>0402
ac b a 或???>==00
c b a ; （2）02
<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:???<-=?<0402
ac b a 或?
??<==00
c b a ;
（3）一元二次不等式c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则有:???≤-=?>040
2
ac b a ; （4）一元二次不等式c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则有:???≤-=?<0
40
2
ac b a . 补充概念 二次函数的零点
我们把使一元二次方程02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数c bx ax y ++=2的零点. 对零点的理解
（1）二次函数的零点即相应一元二次方程02=++c bx ax 的实数根;
（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;
（3）并非所有的二次函数都有零点.当ac b 42-=?≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.
知识点 分式不等式的解法 分式不等式的概念
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.
利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①
0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()( () (x g x f ≤0. 分式不等式的解法 解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解. 解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式. 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）0)()(>x g x f 与不等式组???>>0)(0)(x g x f 或? ??<<0)(0 )(x g x f 同解,与不等式0)()(>?x g x f 同 解; （2） )()(x g x f ≥0与不等式组???≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 同解; （3）0)()( )(0 )(x g x f 同解,与不等式0)()( （4）)()(x g x f ≤0与不等式组? ??≠≤?0)(0)()(x g x g x f . 由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解. 知识点 高次不等式的解法 解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下: （1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正; （2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根; （3）标根: 把各个实数根在数轴上标出; （4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过; （5）写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围. 四、例题讲解 例1. 解不等式0452>-+-x x . 分析 先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写 成区间或集合的形式. 解: 原不等式可化为:0452 <+-x x . 对于方程0452=+-x x ,∵()0941452 >=??--=? ∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:4,121==x x . ∴不等式0452>-+-x x 的解集为{}41< 点评 在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）. 例2. 已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为??? ???<<-213 1x x ,求不等式 022>-+-a x cx 的解集. 分析 先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的 关系定理,求出c a ,的值. 注意 一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根. 解: 由题意可知:0 ∵关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为? ?????<<-2131 x x ∴21 ,3121=-=x x 是方程022=++c x ax 的两个实数根 由根与系数的关系定理可得: ?????? ?? -=+-=-2 1312 1 312a c a ,解之得:???=-=212c a . ∴022>-+-a x cx 即012222>++-x x ∴062<--x x ,解之得:32<<-x . ∴不等式022>-+-a x cx 的解集为{}32<<-x x . 例3. 一元二次不等式()()052>-+x x 的解集为 【 】 （A ）{}52>- 分析 本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项 的系数化为正数. 解: 原不等式可化为:()()052<-+x x . ∵方程()()052=-+x x 的根为5,221=-=x x . ∴不等式()()052<-+x x 的解集为{}52<<-x x ,即原不等式的解集. ∴选择答案【 C 】. 例4. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）{}44≤≤-a a （B ）{}44<<-a a （C ）{}44≥-≤a a a 或 （D ）{}44>- 分析 本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以 转化为一元二次不等式恒成立的问题. 不等式042<++ax x 的解集为空集,即相应的二次函数42++=ax x y 的图象位于x 轴上及其上方,或者不等式42++ax x ≥0在R 上恒成立. 解: ∵不等式042 <++ax x 的解集为空集 ∴162-=?a ≤0,解之得:4-≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是{}44≤≤-a a . ∴选择答案【 A 】. 例5. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为? ?????<<21x m x ,则实数m 的取 值范围是 【 】 （A ）{}0>m m （B ）{}20< （C ）??? ? ??>21m m （D ）{}0 分析 本题由题意可知:0 ∴()02122>++-x m mx . ∵其解集为? ?????<<21x m x ∴0 ∴实数m 的取值范围是{}0>m m . ∴选择答案【 D 】. 例6. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则实数a 的值为_________, 实数b 的值为_________. 解: ∵函数182++= bx ax y 的定义域为[]6,3- ∴一元二次不等式182++bx ax ≥0的解集为[]6,3-. 由根与系数的关系定理可得: ?????? ??-=+-=-6 31863a a b ,解之得:???=-=31b a . ∴实数a 的值为1-,实数b 的值为3. 例7. 已知函数m x x y +-=2. （1）当2-=m 时,求不等式0>y 的解集; （2）若0,0<>y m 的解集为{}b x a x <<,,求 b a 4 1+的最小值. 解:（1）2-=m 时,22 --=x x y . ∵0>y ,∴()()02122>-+=--x x x x 解之得:1- ∴不等式0>y 的解集为{}21>- （2）∵02<+-=m x x y 的解集为{}21>- 1 10< ()a b b a b a b a b a ++=? ? ? ??++=+454141≥9425=?+a b b a . 当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时,等号成立.此时4 1 923231<=?=m ,符合题意. ∴ b a 4 1+的最小值为9. 例8. 解关于x 的不等式02>-x ax （0≠a ）. 分析 本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时, 要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）. 解: ∵02 >-x ax ,∴()01>-ax x ∴01>??? ? ?-a x ax . ∵0≠a ,∴分为两种情况: ①当0>a 时,原不等式的解集为??????<>01 x a x x 或; ②当0 ?????<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为??????<>01 x a x x 或,当0 的解集为? ?????<<01x a x . 另解: 解方程02 =-x ax （0≠a ）得:a x x 1 ,121= =. 分为两种情况: ①当0>a 时,原不等式的解集为??????<>01x a x x 或; ②当0 ?????<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为??????<>01 x a x x 或,当0 的解集为? ?????<<01 x a x . 点评 不等式02 >-x ax （0≠a ）可化为01>?? ? ? ? - a x ax .当0>a 时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式01>??? ? ?-a x x ;当0 式01 ? ?-a x x . 例9. 若对于0>?x , 1 32 ++x x x ≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）??????≥31a a （B ）???? ??>31a a （C ）???? ??>51a a （D ）???? ??≥51a a . 解: ∵ 1 32 ++x x x ≤a 恒成立 ∴只需a ≥max 213??? ??++x x x 即可. ∵0>?x ∴ 3111 32 ++=++x x x x x ≤ 51 3 121=+?x x . 当且仅当x x 1 = ,即1=x 时,等号成立. ∴5 113max 2=? ?? ??++x x x . ∴a ≥51 ,即实数a 的取值范围是???? ??≥51a a . ∴选择答案【 D 】. 例10.（1）若关于x 的不等式0232>+-x ax （∈a R ）的解集为{}b x x x ><或1（∈b R ）,求b a ,的值; （2）解关于x 的不等式ax x ax ->+-5232（∈a R ）. 解:（1）由题意可知:0>a . 一元二次方程0232=+-x ax 的根为b x x ==21,1. 由根与系数的关系定理可得:????????=+=b a b a 1213,解之得:???==21b a . ∴a 的值为1,b 的值为2; （2）∵ax x ax ->+-5232（∈a R ） ∴()0332>--+x a ax . 当0=a 时,原不等式为523>+-x ,解之得:1- 当0≠a 时,原不等式可化为()031>??? ??-+a x x a . ①若0>a ,则原不等式的解集为? ?????-<>13x a x x 或; ②若03<<-a 时,原不等式同解于()031 ?????-<<13 x a x ; ③若3-=a ,原不等式为()0132 <+x ,其解集为?; ④若3- 13 ->a ,则原不等式的解集为? ?? ???<<-a x x 31. 综上所述,当0=a 时, 原不等式的解集为{}1- 当0>a 时,原不等式的解集为??????-<>13x a x x 或; 当03<<-a 时,原不等式的解集为? ?????-<<13x a x ; 当3-=a 时,原不等式的解集为?; 当3- ?????<<-a x x 31. 例11.已知关于x 的不等式08 3 22<- +kx kx . （1）若不等式的解集为? ?????<<-123x x ,求实数k 的值; （2）若不等式08 3 22<- +kx kx 恒成立,求实数k 的取值范围. 解:（1）由题意可知:0>k . 一元二次方程08322=-+kx kx 的根是1,2 3 21=-=x x . 由根与系数的关系定理: 12 3283 ?-=- k ,解之得:81=k . ∴实数k 的值为81 ; （2）当0=k 时,083 <-恒成立,符合题意; 当0≠k 时,由题意可知: ????? ? ??-??-=?<08324022k k k ,解之得:03<<-k . 综上所述,实数k 的取值范围为{}03≤<-k k . 例12. 若?1≤x ≤4,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围. 分析 本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为 相应二次函数在闭区间上的最值问题. 解: ∵()422 ++-x a x ≥1--a ∴()1-x a ≤522+-x x . ∵1≤x ≤4 ∴当1=x 时,显然0?a ≤4521=+-成立,∴∈a R ; 当x <1≤4时,01>-x ∴a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min 2 152??? ??-+-x x x 即可. ∵()1 411411522 2-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()414 12=-? -x x . 当且仅当1 4 1-= -x x ,即3=x 时,等号成立.此时3=x []4,1∈,符合题意. ∴a ≤4. 综上所述,实数a 的取值范围是(]4,∞-. 例13. 已知不等式012<--mx mx . （1）当∈x R 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）当∈x {}31≤≤x x 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围. 解:（1）当0=m 时,01<-恒成立,符合题意; 当0≠m 时,则有???<+=?<040 2 m m m ,解之得:04<<-m . 综上,实数m 的取值范围是(]0,4-; （2）当0=m 时,显然∈x {}31≤≤x x 时,01<-恒成立,符合题意; 当0≠m 时,()11<-x mx . 若1=x ,显然10<恒成立,此时∈m R ; 若x <1≤3,则()01>-x x ∴()11-< x x m 恒成立,只需()min 11??? ???- ()4121111122-??? ? ?-=-=-x x x x x ≥6 14121312 =-? ?? ??- ∴()6111min =??????- ? ?∞-61,. 例14. 解关于x 的不等式()m x m mx --+122≥0. 解: 当0=m 时,x -≥0,解之得:x ≤0. ∴原不等式的解集为{}0≤x x ; 当0≠m 时,原不等式可化为()()m x mx +-1≥0 ∴()[]m x m x m --??? ? ?-1≥0. 方程()m x m mx --+122的两个实数根分别为m x m x -== 21,1 . 当0>m 时,原不等式的解集为? ?????-≤≥m x m x x 或1; 当0 ?????-≤≤m m m x 1 . 综上所述,当0=m 时,原不等式的解集为{}0≤x x ; 当0>m 时,原不等式的解集为??????-≤≥m x m x x 或1 ; 当0 ?????-≤≤m m m x 1. 例15. 已知关于x 的不等式222->-x kx kx . （1）当2=k 时,解不等式; （2）当∈k R 时,解不等式. 解:（1）当2=k 时,2422 ->-x x x ∴02522>+-x x ∴()()0212>--x x . 解之得:2>x 或2 1 < x . ∴原不等式的解集为??? ? ??<>212x x x 或; （2）原不等式可化为()02122>++-x k kx . 当0=k 时,02>+-x ,解之得:2 当0≠k 时,原不等式可化为()()012>--kx x ∴()012>??? ? ?--k x x k . 方程222->-x kx kx 的根为k x x 1 ,221= =. 当0 ∴原不等式的解集为? ?????<<21 x k x ; 当0>k 时,原不等式同解于()012>??? ? ?--k x x . ①若21>k ,则21 ?? ???<>k x x x 12或; ②若21= k ,则21 =k ,∴原不等式的解集为{}2≠x x ; ③若210< ?????<>21x k x x 或. 综上所述,当0=k 时,原不等式的解集为{}2 当0 ?????<<21 x k x ; 当210< ?????<>21x k x x 或; 当2 1 =k 时,原不等式的解集为{}2≠x x ; 当21 > k 时,原不等式的解集为???? ??<>k x x x 12或. 例16. 已知关于x 的不等式0622<+-k x kx . （1）若不等式的解集为{}23->- 解:（1）由题意可知:0 一元二次方程0622=+-k x kx 的两个实数根分别为2,321-=-=x x . 由根与系数的关系定理可得: 232--=-- k ,解之得:5 2 -=k . ∴实数k 的值为52 -; （2）当0=k 时,原不等式的解集为{}0>x x ,不符合题意; 当0≠k 时,则有:???<-=?<0 2440 2 k k ,解之得:66- ?? ???-<66k k . 例17. 已知122++ax ax ≥0恒成立,解关于x 的不等式022<+--a a x x . 解:∵122 ++ax ax ≥0恒成立 ∴当0=a 时,1≥0恒成立,符合题意; 当0≠a 时,则有:???≤-=?>0440 2 a a a ,解之得:a <0≤1. 综上,实数a 的取值范围是[]1,0. 对于不等式022<+--a a x x 当0≤a ≤1时,原不等式可化为()()01<-+-a x a x ∴()()[]01<---a x a x ,方程022=+--a a x x 的根为a x a x -==1,21. ①若 a <2 1 ≤1,则a a ->1,∴原不等式的解集为{}a x a x <<-1; ②若21 =a ,则a a -=1,∴原不等式的解集为?; ③若21 0< 综上所述,对于不等式022<+--a a x x : 当a <2 1 ≤1时,不等式的解集为{}a x a x <<-1; 当2 1 =a 时,不等式的解集为?; 当0≤21 例18. 不等式 ()() x a c x b x -++≤0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,则=+ c b 【 】 （A ）5- （B ）2- （C ）1 （D ）3 解: 原不等式可化为 ()() a x c x b x -++≥0,同解于()()()? ??≠-≥++-00 a x c x b x a x . 方程 ()() 0=-++a x c x b x 的解为c x b x -=-=21,. ∵该不等式的解集为{}321≥<≤-x x x 或 ∴2=a ,???=--=-31c b 或? ??-=-=-13 c b ,∴???-==31c b 或???=-=13c b . ∴2-=+c b . ∴选择答案【 B 】. 例19. 已知函数b ax x y +=2 （b a ,为常数）,且方程012=+-x y 的两个根为 31=x ,42=x . （1）求b a ,的值; （2）设1>k ,解关于x 的不等式()x k x k y --+< 21. 解:（1）由题意可得: ???????=+-+=+-+0124416012339b a b a ,整理得:?????? ?-=+-=+1 42131b a b a ,解之得:???=-=21 b a . ∴a 的值为1-,b 的值为2; （2）由（1）可知:x x y -=22. ∵()x k x k y --+< 21,∴()x k x k x x --+<-2122. ∴ ()()()021212<---=-++-x k x x x k x k x . 原不等式同解于()()()021>---k x x x . ∵1>k ∴当21< >--x x ,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且; 当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21. 综上所述,当21< 例20. 已知集合()()[]{}0132<+--=a x x x A ,()? ?? ???<+--=012 a x a x x B . （1）当2=a 时,求B A ; （2）若A B ?,求实数a 的取值范围. 解:（1）当2=a 时 ∵()(){}{}72072<<=<--=x x x x x A ,{}52052 <<=? ?????<--=x x x x x B ∴{}52<<=x x B A ; （2）∵∈?a R ,恒有a a >+12,()()()[]{}01012 2 <+--=? ?????<+--=a x a x x a x a x x B ∴{}12+<<=a x a x B . 当213>+a ,即3 1 > a 时,{}132+<<=a x x A . ∵A B ?,∴???+≤+≥1312 2a a a ,解之得: 2≤a ≤3. ∴实数a 的取值范围是[]3,2; 当213=+a ,即31= a 时,(){}?=<-=022 x x A ,显然不符合题意; 当213<+a ,即31