图像重建与可视化

第七章医学图像重建与可视化

数字图像处理在绝大多数情况下，是对已获得的图像进行处理和转化，即把处理技术作为系统，其输入和输出均为数字图像。因此在医学领域的应用中，数字图像处理也习惯性的称作后处理。但在某些情况下，图像处理过程也涉及将数据进行计算并最终转化为图像的过程，如图像重建，这种情况更多的出现在医学领域中，如CT、MR、超声成像和核医学成像。这些医学成像系统往往通过获得尽可能多的目标的检测数据，并将数据进行计算处理，最终生成图像，这就是图像重建(image reconstruction)，基本过程如图7-1所示。这种情况发生在图像后处理之前。

图7-1图像重建过程

此外，上述的医学成像系统，往往获得连续的人体断层数据和断层图像。如果将这些数据或图像进行整合处理，仅通过图像处理技术获得新的切层位置和方向的断层图像；或将断层图像合成为体数据并显示成三维图像，以加强人们对器官解剖结构和病灶三维形态的观察和理解，这种处理我们称为图像的三维可视化(three-dimensional visualization)或三维重建(three-dimensional reconstruction)，其处理过程如图7-2所示。

图7-2图像三维可视化过程

图像重建与图像可视化都是较为复杂的计算与处理过程，本章仅对医学图像的重建与可视化的基本理论与方法进行讨论。

第一节医学图像重建概述

一、医学断层成像

在医学断层成像出现前，传统的医学成像技术或手段是将成像区域内的三维

人体组织，投射于二维的成像范围内，记录在胶片或显示屏上，最终形成二维医学影像。这种方式势必造成人体组织信息在影像上的重叠和遮挡，使病灶缺失某一维度（如深度）的信息，虽然可以通过多体位摄影进行适当补偿，但并不能根本解决问题。如：在胸部影像的实际诊断过程中，某些肺部病灶由于肋骨影像的重叠而无法确定位置，或者被肋骨或纵隔影像模糊。

这种影像重叠是三维影像在一维路径上产生了叠加，用积分形式可以表示为：

()()[]

?-=dz z y x I y x I d ,,exp ,0μ （7.1） ()y x I d ,为影像记录装置上记录的X 线强度分布，()z y x ,,μ为组织吸收X 线系数的分布函数，0I 为入射X 线强度。

为解决这一问题，曾出现了体层摄影术（X -ray tomography ），光源和影像记录装置（胶片或成像板）沿相反方向运动，但保持与成像区域的垂直距离不变，如图7-3所示。这样成像区域中的某层组织处于聚焦面上，被记录于影像记录装置从而成像，其余层面组织影像由于受到光源和影像记录装置的运动而模糊，无法清晰显示。

图7-3 直线运动体层摄影

体层摄影根据光源的运动形式分为直线运动成像、圆运动成像和摆线运动成像。这些运动方式要求光源和记录装置精确计算运动速度，以保证计算准确。同时严格限制运动时间，保证在被检者可接受的屏气时间内完成，以限制呼吸伪影。

体层摄影成像的计算如下：探测器接受强度为

()()??

? ??+++**??? ??=m k y m k x m k L I M y M x t y x I d d d d d d d ,,,0μ （7.2） 直线运动形式的体层摄影射线源移动路径为：

()()()()???

? ??==y X x rect vt d z y x g y x f δ,,, （7.3） 代入（7.1）式得最终的像强度为：

()()()()d d d d d d d y m k X x rect m k X I M y M x t y x I δ??

????++**??? ??=0,, （7.4） 其中，V 是射线源在X 方向上走过的速度，X 是射线源走过的距离，m 为放大率，k 为底片运动的换算因子，k +m 代表总放大率。

体层摄影曾一度作为一项重要的成像功能出现在X 线成像设备中。但体层成像存在一些无法解决的问题，如辐射面积广、剂量大，要成一层组织的影像，则比成像区域大的多的组织体积均要接受X 线照射，大大增加了被检者受照射量，增加了辐射损伤。另外，体层摄影的图像质量，尤其是对比度分辨率，相对X 线平片并无明显提高。影像信息中还掺杂了模糊区域的半影，相当于影像中增加了更多的散射线，削弱了组织对比。体层摄影还需要被检者的屏气与制动配合，不适于床旁摄影和屏气困难的被检者。

真正的断层成像出现在1971年，始于世界上第一台可应用于临床的CT ，安装于Atkinson -Morley 医院。这种技术也叫CAT （computed aided tomography 或computed axial tomography ），其图像重建的数学理论最早适于奥地利数学家Radon 于1917年提出的，即三维的物体可以以它的投影的无线集合唯一的重建出来。此后经过了很多数学及物理学家的实践和发展，最终由英国EMI 公司的Hounsfield 实现和完成。

计算机（辅助或轴向）断层成像截然不同于体层摄影，其射线束中心面与断层成像的平面成平行重叠关系，而非体层摄影的垂直关系，因此射线范围仅覆盖成像层面，影像信息不包含非成像层面。另外成像区域在轴向上压缩的尽量薄，使成像区为一薄层区域，可近似认为二维吸收系数分布。这样组织重叠问题简化为部分容积效应，因此对组织的观察效果大大提高，给人一种人体“切开”观察的效果。

二、断层成像的数理原理

CT 的发展过程中，采用过很多种图像重建算法，其数学原理各不相同。经过近40年的发展，先后出现了方程联立、迭代、二维傅立叶变换、反投影(Back

projection)等重建算法。鉴于Radon的数学理论被广泛借鉴于二维傅立叶变换算法和滤波反投影算法，并应用于教学。因此本教材中，我们将Radon的中心切片理论作为计算机断层成像的基本数学原理。

CT图像重建是通过其扫描过程获得数据，并将数据进行分析处理，推导出其拟成像层面内的吸收系数分布。前面提到，CT成像将成像的薄层区域近似为二维吸收系数分布，即认为成像的容积内对应的体素矩阵为M×N个，每个体素厚度均为L，如图7-4。假定每个体素吸收系数是均匀的，则对应图像的吸收μ，求出层面内吸收系数分布，并将吸收系数对应成灰度值，即系数分布为()y

x,

可重建出图像。

图7-4 CT成像的体素矩阵

CT系统通过对组织扫描获得数据，扫描的方式根据系统分为平行线束扫描、扇形束扫描、宽扇形束扫描等。我们以最基本的平行线束为例：扫描装置包括一个X线管和一个检测器组成。X线束被准直成单线束形式，X线管和检测器围绕受检体作同步平移-旋转扫描运动，如图7-5。

图7-5单束扫描方式

这种情况下，在一个固定角度上，探测器所得到的值是成像区域在该角度上的衰减后X射线强度值I，通过取对数，我们得到：

dy dx y x I I P ??=-=),()ln(0

μ （7.5） 我们称P 为该角度下的投影（Projection ）。如果探测器进行360度的扫描，每次间隔1度。则可获得360个投影。利用这些投影求解出()y x ,μ，即可得到图像。为方便不同扫描角度的表达，我们将投影由直角坐标系()y x , 变换到极坐标系()θ,R 表示，则扫描路径可以用直线方程表示

R y x =+θθsin cos （7.6）

R 表示射线路径距离体层中心的距离，θ表示扫描角度。在θ角的投影表示为

dy dx y x R P ??=),(),(μθ （7.7）

使用单位脉冲函数的筛选性质表示某一θ角的投影值为

dy dx R y x y x R P ??-+=)sin cos (),(),(θθδμθθ （7.8）

在断层图像重建中，一个具有指导意义的数学理论，即中心切片理论指出，吸收系数函数()y x ,μ在某一方向上的投影P θ（R ）的一维傅立叶变换函数G θ（ρ），是原吸收系数函数μ(x ，y )的二维傅立叶变换函数F (ρ，θ)在(ρ，θ)平面上的沿同一方向上过频域空间原点的直线上的值，如图7-6所示。

图7-6 中心切片理论

即对吸收系数μ(x ，y )分布进行二维傅立叶变换并进行(ρ， θ)域表示，并对其在频域空间的形式过原点“切一刀”，则切出的切面函数，等于所切相同角度下的投影函数进行(ρ， θ)表示并进行一维傅立叶变换的值。或者说，在角度θ得到的投影值的一维傅立叶变换，等于物体的二维傅立叶变换过频域中心同样

角度的值，但要投影值和物体吸收系数均在(ρ，θ)坐标系中表示。

中心切片理论的公式描述如下：

()[]),(,θρμF y x F = （7.9）

)]([)(ρρθθG F F = （7.10）

如使用直角坐标系，则中心切片理论可描述为：

()[]()??=+-==o u vy ux j u y x dxdy e y x g y x g F 20,),(, （7.11）

此公式即为零频率准则在二维情况下的等价。

基于这个理论，我们只要采集尽可能多的投影数据，将投影进行一维傅立叶变换，在频率域中，将这些变换值按投影角度排布，并进行适当的高频区域插值。当360个或180个投影值的傅立叶变换填充完频率域后，将频率域数据进行二维反傅立叶变换，即得到原始的吸收系数分布，求解得图像。

对于中心切片理论，我们可以通过一个特殊角度的投影重建，简单验证一下。设对某一组织进行平行于y 轴的扫描，如图7-7，

图7-7 特殊角度投影

则投影值为

()()?∞∞-=

dy y x f x P ,0, （7.12）

取其傅立叶变换为 ()()()??∞

∞-∞∞---==dy dx e y x f dx e x p u P ux j ux j ππ22,0, （7.13）

原组织的吸收系数的二维傅立叶变换在同角度下的取值为

()()()()????∞∞--∞∞-∞

∞-=+-∞∞-===dxdy e y x f dxdy e y x f v u F ux v vy ux v ππ2020,,, （7.14）

则证明射线束平行y 轴时，中心切片理论成立。

对于中心切片理论的数学来源和详细推导，这里并不做更多的叙述。对于实际的计算机断层成像来说，中心切片理论指出了重建图像的数学方法。

第二节 医学图像重建算法

一、方程联立法

X 线束具有一定的能量和穿透能力，当X 线束遇到物体时，物体对射入的X 线有着衰减作用，即物体对X 线的吸收。普通X 线成像正是利用不同组织对X 线衰减不同，将穿过人体后X 线自然形成的对比度转化为图像对比度的，其成像过程不需要进行数学计算。而CT 成像时，需要获得入射和出射X 线的强度值来进行重建运算。

若X 线穿过非均匀物体，将沿着X 线束通过的物体分割成许多小体素，令每个体素的厚度相等，记为d 。设d 足够小，使得每个体素可认为是均匀的，其吸收系数为常值，如图7-8所示。

图7-8 X 线透射多个小单元组织

当入射X 线强度为I 0时，透过第一个体素的X 线强度I 1为：

d e I I 101μ-= （7.15）

1μ是第一个体素的吸收系数。对于第二个体素来说，I 1就是入射的X 线强

度。设第二个体素的吸收系数为2μ，X 线经第二个体素透射出的强度I 2为：

d e I I 212μ-=

将I 1的表达式代入上式，有：