线性代数选择填空试题及答案
一. 填空题(每小题3分,共15分)
1. 设
4512312
1231
22,x x x D x x x
x
=
=
则的系数
2. 设1
243 2 0
201
3,,,A R(A)=B ??
???=??????
是矩阵且A 的秩而 =R(AB)则 2
3. 321 2, -1, 5,,A B A A =-已知三阶矩阵的特征值为 B
则= 288
4. 齐次线性方程组1231231
230
0 , 0
,x x x x x x x x x λλλ++=??++=??++=?只有零解则满足 λ=0或2
5. 当n 元二次型正定时, 二次型的秩为 n
二. 选择题(每小题3分,共15分)
1. 设
0,A n A =为阶方阵则的必要条件是( B )
(a) A 的两行(或列)元素对应成比例 (b) A 中必有一行为其余行的线性组合 (c) A 中有一行元素全为零 (d) 任一行为其余行的线性组合 2. 设n 维行向量1122
00 2 (,,
,,),,,T T
A E
B E α
αααα==-=+矩阵 ,E n AB =其中为阶单位矩阵则( B )
(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+T
αα
3. 设 0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有( C )
(a) 00A B ==或 (b) 0A B +=
(c)
00A B ==或 (d) 0A B +=
4.s 维向量组12,,
,n ααα(3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是( C )
(a) 存在一组不全为零的数12,,,n k k k , 使得11220n n k k k ααα+++≠
(b) 12,,,n ααα中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) 12,,,n ααα中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d) 12,,
,n ααα中任意两个向量都线性无关
5. 设A 为n 阶方阵, 且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解,
则
0Ax =的通解为( AB )
(a) 1k α (b) 2k α (c) 12()k αα- (d) 12()k αα+
1.下列矩阵中,( )不是初等矩阵。
(A )001010100?????????
? (B)100000010?????????? (C) 100020001??????????(D) 100012001????-?????? 2.设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )。
(A )122331,,αααααα--- (B )1231,,αααα+
(C )
1212,,23αααα- (D )2323,,2αααα+
3.设A 为n 阶方阵,且250A A E +-=。则
1(2)A E -+=( )
(A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1
()
3A E +
4.设
A 为n m ?矩阵,则有( )。
(A )若n m <,则b Ax =有无穷多解;
(B )若n m <,则0=Ax 有非零解,且基础解系含有m n -个线性无关解向量;
(C )若A 有n 阶子式不为零,则b Ax =有唯一解; (D )若A 有n 阶子式不为零,则0=Ax 仅有零解。
5.若n 阶矩阵A ,B 有共同的特征值,且各有n 个线性无关的特征向量,则( ) (A )A 与B 相似 (B )A B ≠,但|A-B |=0
(C )A=B (D )A 与B 不一定相似,但|A|=|B|
三、填空题(每小题4分,共20分)
1
0n - 2.
A 为3阶矩阵,且满足
=
A 3,则
1
-A =______,
*3A =
。
3.向量组1111α?? ?= ? ???,2025α?? ?= ? ???,3247α?? ?= ? ???,
4120α?? ?= ?
???是线性 (填相关或无关)的,它的一个极大线性无关组是 。
4. 已知123,,ηηη是四元方程组Ax b =的三个解,其中A 的秩()R A =3,11234η?? ? ?= ? ? ???,
234444ηη??
? ?
+= ? ? ???,则方程组Ax b =的通解为 。
5.设
23111503A a -??
??=??
????,且秩(A )=2,则a = 。
1.选B 。初等矩阵一定是可逆的。
2.选B 。A 中的三个向量之和为零,显然A 线性相关; B 中的向量组与1α,2α
,3α
等价, 其秩为3,B 向量组线性无关;C 、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合,C 、D 中的向量组线性相关。
3.选C 。由052=-+E A A ?()2
232()3A A E E A E A E E
+-=?+-=,
()1
12()
3A E A E -?+=-)。
4.选D 。A 错误,因为n m <,不能保证()(|)R A R A b =;B 错误,0=Ax 的基础解系含有
()A R n -个解向量;C 错误,因为有可能
()(|)1R A n R A b n =<=+,b Ax =无解;D 正确,因为()R A n =。
5.选A 。A 正确,因为它们可对角化,存在可逆矩阵,P Q ,使得
1
112(,,,)n PAP diag QBQ λλλ--==,
因此
,A B 都相似于同一个对角矩阵。
三、1.
()!11
n n +-(按第一列展开)
2.
31;53(*A 3=23
3A )
3. 相关(因为向量个数大于向量维数)。
124,,ααα。因为3122ααα=+,124| |0A ααα=≠。
4.
()()
T
T
k 42024321--+。因为
()3=A R ,原方程组的导出组的基础解系中只含
有一个解向量,取为
1322ηηη-+,由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。
5.6=a
(())02=?=A A R
×××大学线性代数期末考试题
一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分)
1. 若
02
2
1
501
31
=---x ,则=χ__________。
2.若齐次线性方程组???
??=++=++=++0
00321
321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。
3.已知矩阵
n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。
4.矩阵???
?
?
??=3231
2221
1211
a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分)
1. 设
A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )
。 ① n
2 ② 1
2
-n
③ 1
2
+n ④ 4
2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。
① s ααα,,
, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,
, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,
, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
④ s ααα,,
, 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设
A ,
B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。
① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若
A ,
B 均可逆,则 A B 可逆
③ 若B A +可逆,则 B A -可逆
④ 若B A +可逆,则 A ,B 均可
逆
5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的
( )
① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解
④ A 的行向量
四、计算题 ( 每小题9分,共63分)
1. 计算行列式
x a
b c d a x b c d a b x c d a
b
c
x d
++++。
一、填空题 1. 5 2. 1≠λ
3. n n s s ??,
4. 相关
5. E A 3-
三、单项选择题 1. ③ 2. ③
3. ③
4. ②
5. ①
四、计算题 1.
3)(0
000000
001)
(1
111
)
(x d c b a x x
x x d
c b
d c b a x d
x c
b
d c x b d c b x d c b d c b a x d x c
b
d c b a x d c x b d c b a x d c b x d c b a x d c b d c b a x d x c
b
a
d c x b a d c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=
++++
一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分)
1. 若
02
2
1
501
31
=---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组???
??=++=++=++0
00321
321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。
3.已知矩阵
n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。
4.矩阵???
?
?
??=3231
2221
1211
a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵
A 满足032=--E A A ,则=-1A 。
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分)
1. 设
A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )
。 ① n
2 ② 1
2
-n
③ 1
2
+n ④ 4
2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。
① s ααα,,
, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,
, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示
③ s ααα,,
, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,,
, 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设
A ,
B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。
① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若
A ,
B 均可逆,则 A B 可逆
③ 若B A +可逆,则 B A -可逆
④ 若B A +可逆,则 A ,B 均可
逆
5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的
( )
① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解
④ A 的行向量
一、1. 5 2. 1≠λ
3. n n s s ??,
4. 相关
5.
E A 3-
1. ③
2. ③
3. ③
4. ②
5. ①
一.填空题(本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分)请将合适的答案填在每题的空中
1.已知
1
1
1
11321
--x 是关于x 的一次多项式,该式中x 的系数为____________.
应填:1.
2.已知矩阵?
?
???
????
???=k k k k 111
111111
111A ,且A 的秩()3=A r ,则=k ___________. 应填:3-. 3.已知线性方程组
??
?
??=+=+-=+a y x y x y x 25320 有解,则=a
___________.
应填:1-
4.设A 是n 阶矩阵,0≠A ,*A 是A 的伴随矩阵.若A 有特征值λ,则()
1
*2-A 必有一个特征
值是_________________. 应填:
A
2λ.
5.若二次型()32212
3222132122,
,
x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型,则a 的取值范围
是
______________.应填:22<<-a
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内) 1.设
????? ??=3332
31
232221
131211
a a a a a a a a a A , ????
?
??+++=133312
3211
31131211
23
2221
a a a a a a a a a a a a B , ????? ??=1000010101P , ????
?
??=1010100012P ,
则必有【 】.
()A . B P AP =21 ; ()B . B P AP =12 ; ()C . B A P P =21 ; ()D . B A P P =12.
2.设A 是4阶矩阵,且A 的行列式0=A ,则A 中【 】
. ()A . 必有一列元素全为0; ()B . 必有两列元素成比例;
()C . 必有一列向量是其余列向量的线性组合;
()D . 任意列向量是其余列向量的线性组合.
3.设A 是65?矩阵,而且A 的行向量线性无关,则【 】.
()A . A 的列向量线性无关;