相似及对应线段成比例
线段的比（一）
基础知识：
1．两条线段的比就是两条线段 的比.
线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，两线段a,b 的比为 2. 在地图或工程图纸上， 与 的比通常称为比例尺
A 、
B 两地的实际距离AB=250m ，画在图上的距离A′B′=5cm，求图上的距离与实际距离的比
为
3．四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即
d
c
b a ,那么这四条线段a ,b ,
c ,d
叫做成比例线段，简称
已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？ （1）a=16 cm b=8 cm c=5 cm d=10 cm （2）a=8 cm b=5 cm c=6 cm d=10 cm
课堂学习：
1.两条线段的比的概念
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD =m ∶n ，或写成CD AB =n
m
，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项 和后项. 如果把
n m 表示成比值k ，则CD
AB =k 或AB =k ·CD . 【 例1 】在比例尺为1∶8000的某校地图上矩形运动场的图上尺寸是1cm ×2cm ，那么矩形运动场的实际尺寸是多少？
巩固练习：
在比例尺是1∶8000000的《中国行政》地图上，量得福州到上海之间的距离为7.5厘米，求福州与上海两地的实际距离是多少千米?
归纳与小结：
1、（1）度量两条线段的必须统一
（2）线段的长度的比与所选择的度量线段的长度单位无关 （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是 2. 比例线段的概念
四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即
d
c
b a =,那么这四条线段a ,b ,
c ,
d 叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）.
如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，那么
d
c
b a =或a ∶b =
c ∶
d ,这时组成比例的四个数a ,b ,c ,d 叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a 、
d 为外项，c 、b 为内项.
【 例2】 （杭州市）已知：1、 、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例
式 ．
分析：这是一道多种答案的开放性创新题 巩固练习
1.线段a=4 , b=9 , a 、b 的比例中项c=_____;a 、b 、c 的第四比例d=______．
2.已知三个数1、2、3，请你再添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数是多少？
归纳与小结：
（1）四条线段成比例时，要将这四条线段按 列出 . （2）线段 又叫做a ，b ，c 的第四比例项
（3）如果比例内项是两条相同的线段，即c b b a =
或a ∶b ＝b ∶c ，那么b 叫做线段a ，c 的
比例中项. 小结：
1.两条线段的比的概念
2.比例线段的概念 练习：
1．如果一张地图的比例尺是1∶150000 , 在地图上量得甲乙两地的距离是4cm , 则甲、乙两地的实际距离是 _________．
2．某地的海岸线长250千米 , 在地图上测得这条海岸线长6．25cm , 则这地图的比例尺是 _________．
3．某建筑物在地面上的影长为40m , 同时高为1．2m的测竿的影长为2m , 那么该建筑物的高是_________．
4. 若a=2,b=3,c=33,则a、b、c的第四比例项d为________．
5. 下列各组线段长度成比例的是（）
A、1㎝，2㎝，3㎝，4㎝
B、１㎝，3㎝, ５㎝，５㎝
C、１㎝，２㎝，３㎝，４㎝
D、１㎝，２㎝，２㎝，４㎝
作业：
1、在YC市的1：40000最新旅游地图上，景点A与景点B的距离是15㎝，则它们的实际
距离是（）
A、60000米
B、6000米
C、600米
D、60千米
2、延长线段AB到C，使BC=2AB，那么AC∶AB=（）
A、2∶1
B、3∶2
C、1∶2
D、3∶1
3、等边三角形的边与高的比是 _________．
4、一条线段和一个角在放大10倍的放大镜下看是10㎝和60°，则这条线段的实际长
是，角的实际是
5、在同一时刻 , 量得长2米的测杆影长3．5米 , 一电线杆的影长为17．5米 , 则这电
线杆高等于 _________．
6、已知线段a、b、c、d是成比例线段，且 a = 2㎝，b = 0.6㎝，c=4㎝，那么d= ㎝.
7、如果a∶b=3∶2 , 且b是a和c的比例中项 , 那么b：c为 _________．
8、已知线段a=6cm , b=8cm , c=15cm
(1)求它们的第四比例项d；(2)求a , b的比例中项X；(3)求a , c的比例中项Y
9、某学校如图所示,比例尺是1∶2000,请你根据图中尺寸(单位:㎝),其中AB⊥AD,求出学
校的周长及面积.
9、如图，在△ABC 中，AB=6㎝，AD=4㎝，AC=5㎝，，且AD AE
AB AC
=，①求AE 的长；②等式
AD AE
BD EC
= 成立吗？
10、已知x 是a 、b 的比例中项，且a=（52+11），b=（52-11），若x ＜0，则x=__________
11、如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB=acm ，宽BC=bcm ，E ，F 分别是AB ，CD 的中
点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于（ ） (A)2:1 (B)1: 2 (C)3:1 (D)1: 3
线段的比（二）
基础 1、若
x x y -＝2，则x
y
= ； 2、已知0235a b c ==≠，则b c a b ++的值是
课堂学习：
1. 比例的基本性质
两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a ,b ,c ,d 四个数满足d
c
b a =,那么ad =b
c 吗？反过来，如果a
d =bc ,那么d
c
b a =吗？与同伴交流. 【 例1 】（1）如图，已知
d c b a ==3,求
b b a +和d
d
c +; （2）如果d
c b a ==k （k 为常数），那么
d d
c b b a +=
+成立吗？为什么？ （3）如果
d
c b a =,那么
d d
c b b a -=
-成立吗？为什么？
巩固练习:
1、 已知),0,0(32≠≠=y x y x 求：⑴
y
x
；⑵x y x -；⑶x y x +.
2、如果线段a 、b 、c 、d 满足ad=bc ，则下列各式中不成立的是（ ） A 、a c b d = B 、1111a c b d ++=++ C 、a b c d b d ±±= D 、a c a
b d b
±=±
归纳与小结：可以用比例的基本性质，也可用合比性质
【 例2】 （1）如果
f e d c b a ==,那么b
a
f d b e c a =++++成立吗？为什么？ （2）如果d c b a ==…=n
m （b +d +…+n ≠0）,那么b a n d b m c a =++++++ 成立吗？为什么.?
巩固练习:已知a ：b ：c=2：3：4,且a-2b+3c=20,则a+2b+3c= 归纳与小结：连比时，可设比例系数为 k
拓展提高：已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 求①222
x y z xy xz yz
+-++ ② ()x y +：(y+z)
③(x+y-3z)：(2x-3y+z) 小结：
1.熟记成比例线段的定义.
2.掌握比例的基本性质，并能灵活运用. 当堂检测： 1、已知
2925a b a b +=-，则a ：b= ； 2、如果y y x + = 47，那么y
x
的值是
3、若3x －4y = 0，则
y
y x +的值是 ；4、若753z y x ==,则z y x z
y x -++-=________．
作业：1、如果
5
3=-b b a ,那么b a
=________．
2、已知（a －b ）∶（a ＋b ）= 3∶7，那么a ∶b 的值是 .
3、若
8
75c
b a ==,且3a －2b +
c =3,则2a +4b －3c 的值是_________． 4、如图4—1—2，等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC=2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是（ ）cm ． A ．72．8
B ．51
C ．36．4
D ．28
5、已知
d
c
b c =,则下列式子中正确的是（ ） A ．a ∶b =c 2∶d 2 B ．a ∶d =c ∶b
C ．a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）
D ．a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）
6、已知xy = mn ，则把它改写成比例式后，错误的是 （ ）
A 、n x =y m
B 、m y =x n
C 、m x =n y
D 、m x =y
n
7、若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10，2
3
==BQ ΑQ BP AP ， 求线段PQ 的长． 8、若6
5
432+=
=+c b a ,且2a －b+3c=21．试求a ∶b ∶c ．
9、已知：a ∶b ∶c=2∶3∶5，且a 、b 、c 三数之和为100，及b=ma-10，那么m 等于（ ）
A ．2
B ．
23 C ．3 D ．3
5 10．如果a ：b=4：3，且c ：d=9：14，那么
ac
bd bd
ac 743--的值应等于（ ）
A ．211-
B ．1411-
C ．45-
D ．3
2- 4.4 相似多边形
基础
1．各角 ，各边 的两个多边形叫做相似多边形。 2．若四边形ABCD ∽四边形EFGH ，则对应角有 ； 对应线段 3．相似多边形 叫做相似比。
课堂学习
【 例1 】如图所示，有三个矩形，其中是相似形的是（ ） A ．甲和乙 B ．甲和丙 C ．乙和丙 D ．甲、乙和丙
丙
乙
甲
1.5
11.5
2.532
归纳小结：各角 ，各边 的两个多边形叫做相似多边形。 巩固练习：
1．下列图形是相似多边形的是（ ）
A ．所有的平行四边形；
B ．所有的矩形
C ．所有的菱形；
D ．所有的正方形
2．在四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′中，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′，?∠D=∠D ′，且
2
''''''''3
AB BC CD DA A B B C C D D A ====，则四边形________∽四边形________，且它们的相似比是________． 3．下列命题正确的是（ ）
A ．有一个角对应相等的平行四边形相似
B ．对应边成比例的两个平行四边形相似
C ．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似；
D ．有一个角对应相等的两个菱形相 4．下列说法中正确的是（ ）
A ．相似形一定是全等形
B ．不全等的图形不是相似形
C ．全等形一定是相似形
D ．不相似的图形可能是全等
【 例2 】如图1与2,等腰梯形ABCD 与等腰梯形A ′B ′C ′D ′相似,∠A ′=65°,A ′B ′=6 cm, AB =8 cm, AD =5 cm,试求梯形ABCD 的各角的度数与A ′D ′、B ′C ′的长.
归纳小结：相似多边形的对应边 ，对应角 。 巩固练习：
图2
图
1
1．如图3，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB=1.求矩形ABCD的面积.
【例3 】相片框（如图所示）中，内外两个矩形是否相似？（阴影部分宽度相等）
小结
1．各角，各边的两个多边形叫做相似多边形。2．相似多边形叫做相似比。
3．相似多边形的对应边，对应角。
练习:
1．两个多边形相似的条件是（）
A．对应角相等 B．对应边相等
C．对应角相等，对应边相等 D．对应角相等，对应边成比例
2．已知如图所示的两个梯形相似，求出未知的x，y，z的长和∠α，∠β的度数．
作业：
1．以下五个命题：①所有的正方形都相似②所有的矩形都相似③所有的三角形都相似④所有的等腰直角三角形都相似⑤所有的正五边形都相似.其中正确的命题有___ ____. 2．下列图形中一定相似的是( )
A.有一个角相等的两个平行四边形
B.有一个角相等的两个等腰梯形
C.有一个角相等的两个菱形
D.有一组邻边对应成比例的两平行四边形
3. 五边形ABCDE ∽五边形A ′B ′C ′D ′E ′，若对应边AB 与A ′B ′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A ′B ′C ′D ′E ′与五边形ABCDE 的相似比是( )
A.5∶4
B.4∶5
C.5∶25
D.25∶5
4. 如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是( )
A.2∶1
B.4∶1
C.2∶1
D.1∶2
5．两个相似多边形的对应边的比是3
2
，则这两个多边形的相似比是
________. 6. 如图，
EF AD ∽
ABCD ，则∠A 的对应角是________，
∠B 的对应角是________，
AB
AF )
() ( . 7．在菱形ABCD 和菱形A ′B ′C ′D ′中，∠A =∠A ′=60°，若AB ∶A ′B ′=1∶3， 则BD ∶A ′C ′=________.
8. 如图4—4—3，有一个半径为50米的圆形草坪，现在沿草坪的四周开辟了宽10米的环形跑道，那么：①草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆相似吗？ ②这两个圆的半径之比和周长之比分别是多少？它们有什么关系吗？
相似三角形
基础
1.三角对应，三边对应的两个三角形叫做相似三角形（similar triangles）.如△ABC与△DEF相似，记作 . 其中要写在对应位置，如A与，B 与，C与相对应, 等于相似比.
2. 一个三角形形状的草坪，其中一边长20米，在小朋友的画板上，这条边画了5厘米，其他两边都是14米，小朋友在画板上应画多长？
课堂学习
【例 1 】如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？
解：
注意：要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！
归纳与小结：满足三边对应，三角对应的三角形相似
巩固练习：已知：三角形ABC与三角形DEF，它们相似吗？
【例2 】（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？
（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？
（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？
解：
归纳与小结：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.
两个一定相似.两个一定相似.两个一定相似.两个和两个不一定相似.
巩固练习：判断：
1.所有的矩形都相似
2.所有的菱形都相似
3.有一个角是60度的菱形都相似
4.所有的正三角形都相似
5.所有的正六边形都相似
6.边数相同的正多边形都相似
【 例3】如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m ，在这个草坪的图纸
上，这条边长5 cm ，其他两边的长都是3.5 cm ，求该草坪其他两边的实际长度. 解：
【 例4】如图,已知△ABC ∽△ADE,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,∠BAC=45,
∠ACB=40°，求（1）∠AED 和∠ADE 的度数； （2）DE 的长. 解：
思考：在例4条件下，哪些线段成比例？ 解：
归纳与小结：
1. 平行于三角形一边的直线和其它 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
如图:如果DE ∥BC,∠ADE =∠B ∠AED=∠C;AD:AB=DE :BC=AE:AC
2、平行于三角形的一边，且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的三边 ． 小结：1.
2.相似三角形的判定方法 .
3. 平行于三角形一边的直线和其它两边的相交，所构成的三角形与原三角形 ，所截得的三角形与原三角形的三边 ． 练习：
1.△DEF ∽△MNH ，∠D =50°,∠E =105°,则∠H =_____；
2.如图，△ADB ∽△ABC ,若∠A =75°,∠D =45°,则∠CBD =_____.
3.△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为
32，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，相似比为4
5
，则△ABC ∽△A 2B 2C 2，其相似比为____________.
4.在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，则 X= ，y= ，m= ，n= .
5.等腰直角三角形ABC 与等腰直角三角形A ′B ′C ′相似，相似比为3∶1，已知斜边AB =5 cm ，求△A ′B ′C ′斜边A ′B ′上的高.
作业
1. 1.△ABC ∽△A ′B ′C ′，如果∠A =55°，∠B =100°，则∠C ′的度数等于( )
A.55°
B.100°
C.25°
D.30°
2.如图，△ADE ∽△ACB ，∠AED =∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.BC DE AB AE AC AD == B.BC DE
AC AE AB AD == C.
BC DE AB AC AE AD == D.BC
DE
EC AE AB AD == 3.下列命题错误的是（ ）
A.两个全等的三角形一定相似
B.两个直角三角形一定相似
C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D.相似的两个三角形不一定全等
4.如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，BC =3，B ′C ′=1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为( ) A.5∶3
B.3∶2
C.2∶3
D.3∶5
5.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB =2，BC =3，A ′B ′=1，则B ′C ′等于( )
A.1.5
B.3
C.2
D.1
6.若△ABC ∽△DEF ,它们的周长分别为6 cm 和8 cm ，那么下式中一定成立的是（ ） A.3AB =4DE B.4AC =3DE C.3∠A =4∠D D.4（AB +BC +AC ）=3（DE +EF +DF ）
7.△ABC 的三边长分别为2、10、2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和5，如果△
ABC ∽△A ′B ′C ′，那么△A ′B ′C ′的第三边的长应等于( )
A.
2
2
B.2
C.2
D.22
8.若△ABC 的三条边长的比为3∶5∶6,与其相似的另一个△A ′B ′C ′的最小边长为12 cm ，那么△A ′B ′C ′的最大边长是________.
9. 如果△ABC 和△A ′B ′C ′的相似比等于1，则这两个三角形________.
10.如果Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′，∠C =∠C ′=90°，AB =3，BC =2，A ′B ′=12，则A ′C ′=________.
11.已知△ABC 中，AB =15 cm ，BC =20 cm ，AC =30 cm ，另一个与它相似的△A ′B ′C ′的最长边为40 cm ，求△A ′B ′C ′的其余两边的长.
12.已知：△ABC 三边的比为1∶2∶3，△A ′B ′C ′∽△ABC ，且△A ′B ′C ′的最大边长为15 cm ，求△A ′B ′C ′的周长.
基础
1、判定两个三角形全等的方法有 、 、 、 ，另外，直角三角形还可以用 。
2、判定两个三角形相似的方法有：（1）定义法：三角 、三边 的两个三角形是相似三角形。（2）定理判别： 的两个三角形是相似三角形。
课堂学习
三角形相似的判定条件一：利用两角对应相等判定两三角形相似
两角 的两个三角形相似(AA)
△ABC ∽△A ′C ′B ′
【例1】（1）已知：△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =40°，∠B =70°，∠A ′=40°，∠C ′
=70°。△ABC 与△A ′C ′B ′.是否相似？为什么？
（2）已知：△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠B =25°，∠C =50°,∠B ′=105°,∠C ′=25°。这两个三角形相似吗？
归纳与小结：利用 判定两三角形相似。
【例2】如图，4531===∠=∠∠=∠BC DE AB D B ，，， （1）ABC ?∽ADE ?吗？说明理由。 （2）求AD 的长。
巩固练习：如图，在等边ABC △中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且
2
6013
APD BP CD ∠===
，，，求ABC △的边长；
【例3】如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，
A
B
C
C /
B /
A /
C
A
B
D E B
Ｐ
Ｃ
Ｄ60
A
B
E
F （1） 图中有哪些相等的角；（2）找出图中相似的三角形，并说明理由； （3）写出三组成比例的线段；
变式1：若点D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 延长线上的点，且DE ∥BC ，画出图形，图中是否仍有相似三角形？若有，请写出来。
变式2:如图，点E 、F 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且EF 不平行于BC ，要使△ABC ∽△AFE ，除公共角∠A 外，还需补充的条件是
变式3: 点E 、F 分别在△ABC 的边AB 、AC 的延长线上，且EF 不平行于BC ，画出图形，要使△ABC ∽△AFE ，除对顶角外，还需补充的条件是 。
归纳与小结：下列图形中，具备什么条件就可以用两角来判断相似？
巩固练习
：1.如图，点E C 、分别在AB AD 、上，BC 与DE 相交于一点
O ，若B D ∠=
∠，则图中相似三角形有几对？分别写出来，并对其中一
对进行证明．
2. 如图，AF ∥CD ,∠1=∠2,∠B =∠D ,你能找出图中几对相似三角形？并说明相似的理由
“A”型 “共角”
“X”型
“蝴蝶”型
Ａ
Ｃ Ｏ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
小结
本节课主要探索了相似三角形的判定方法1，即 对应相等的两个三角形相似，并且利用这个判定方法进行有关证明和计算.
练习：
1、下列说法错误的是（ ）
A 、有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；
B 、顶角相等的两个等腰三角形相似；
C 、有一个角是100 °的两个等腰三角形相似；
D 、有一个角相等的两个等腰三角形相似。 2.平行四边形ABCD 中，M 为对角线AC 上一点，BM 交AD 于N ，交CD 延长线于
E 。试问图中有多少对不同的相似三角形？请尽可能多地写出来。
作业
1.如图，∠1＝∠2，请补充条件： （写出一个即可），使△ABC∽△ADE．
2．如图，DE//BC ，ＢＥ、ＣＤ交于点Ｏ，则△ADE ∽________;△ODE ∽______．
3．如图，在平行四边形ABCD 中，AF 交DC 于E ，交BC 的延长线于F ，图中的相似三角形有 对；分别为 ； 4.已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为
5.点P 是△ABC 中AB 边上的一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有 条，分别在图形中画出来。
6.如图，已知AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，（1）求证：△ABD ∽△CBA ∽△CAD ；（2）若BD=1，CD=4，求AD 的长
F
E
D C
B A
O
E
D
C B
A
7.如图，梯形ABCD 中，AB DC ∥，90B =∠，E 为BC 上一点，且AE ED ⊥． 若
12BC =，7DC =，BE ∶EC =1∶2，求AB 的长．
8．如图，AC BD ⊥，垂足为C ，过D 点作DF AB ⊥，垂足为
F ，交AC 于E 点．请找出图中所有的相似三角形,并对其中的一对进行
证明．
9.如图，已知△ABC 、△DEF 均为正三角形，D 、E 分别在AB 、BC 上。请找一个与△DBE 相似的三角形并证明。
10.将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，回答下列问题： （1）图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；
（2）图中有相似三角形吗？如果有，把它们一一写出来，并选择其中一对进行证明。
三角形相似的条件（二）
基础：
1.两边对应成比例且 的两个三角形相似（类似SAS ）
右图能不能判断两三角形相似，为什么？
ＢＣ
2.三边 的两个三角形相似（类似SSS ）右面每组的两个三角形是否相似？为什么
课堂学习
思考：到目前为止，共学习了几种判定三角形相似的办法（除定义外）？分别写出来。
例1.如图，在ABC △中，点D E 、分别在边AC AB 、上，且2
3AE AD AC AB ==，（1）ABC △与△ADE 相似吗？（2）若4DE =cm ，求BC 的长
归纳与小结：两边对应成比例且夹角相等的三角形相似；
巩固练习：1.如图，4cm 9cm 5cm 12cm AO DO AB BC O ====，，，，为BC 的中点，求CDO △的周长．
2.如图，D 为ABC △的边BC 上的一点，连接AD ，要使ABD CBA △∽△，应具备下
列条件中的（ ） Ａ．AC AB
CD BD = Ｂ．BC BD AB ?=2
Ｃ．
AB BC
CD AD
=
Ｄ．CB CD AC ?=2
例2.如图，AB:AD=AC:AE=BC:DE,∠1=∠2吗？为什么？
巩固练习： 1.如图，△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？ 你有哪些判断方法？
2.已知：ΔABC 中，AB=1.5cm, AC=2cm, BC=3cm;ΔDEF 中,DE=3cm,DF=4cm,EF=6cm,判定Δ
ABC 与ΔDEF 是否相似?为什么?
Ａ Ｅ
ＢＣ
Ｄ
Ａ Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｏ
Ｄ
Ｃ
例3.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B 、C ，且AB=4，DC=3，BC=13，BC 上是否存在点P 使△ABP 与△DCP 相似？若有，有几个？并求出此时BP 的长，若没有，
请说明理由。
巩固练习：．如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形． (1)当AC ，CD ，DB
满足怎样的关系时，ΔACP ∽ΔPDB ； (2)当ΔPDB ∽ΔACP 时，试求∠APB 的度数．
小结
1.判定三角形相似的方法除定义外有 种，分别为 、 、 ；
2.已知有一角相等时，可考虑判定方法 ，已知有两边对应成比例时，可考虑判定方法 。
练习
1.在ABC △和A B C '''△中，326cm 10cm 32A AB A B A '''∠===∠=，，，，
3cm AC =，5cm A C ''=，则ABC △与A B C '''△是否相似？ （填“是”或“不
是”）．
2、不能使 △ABC 与△DEF 相似的条件是（ ）
A 、∠B=∠F ， ∠C=∠E ；
B 、∠A=∠D=70°,∠B =60°，∠E=50°；
C 、∠A=∠D=65°,AB=DF=6cm ，AC=4cm ，DE=9cm ；
D 、∠B=∠
E ，AB ∶AC=DE ∶E
F ，
3.如右图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）
B
C
B
A
P
4．要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？你选的木料唯一吗？
三角形相似的条件（二）练习
1．已知△ABC 如右图，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是（ ）
2.如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ， 下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是
（ ）
A. ∠B=∠C
B. ∠ADC=∠AEB
C. BE=CD ，AB=AC
D. AD ∶AC=AE ∶AB 3.在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=90°，
则一定有
（ ）
A ΔADE ∽ΔAEF
B ΔECF ∽ΔAEF
C ΔADE ∽ΔECF
D ΔAEF ∽ΔABF
4．如图5，AB=BC=CD=DE ，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（ ）．
A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．90°
5.在△ABC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上，且AD=2，若要在AB 上找一点E ， 使△ADE 与原三角形相似，那么AE= 。
6.如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB ，那么可添
加的条件是 。
7.如图，DE 与BC 不平行，当 （填有关边的条件）时，ΔABC 与ΔADE 相似。 8.如图，在ABC ?中，C ABC ∠=∠2，BD 平分ABC ∠，
A
B
C
D
2019届九年级数学上册第四章图形的相似4.1成比例线段第2课时知能演练提升新版北师大版
4.1 成比例线段 第二课时 知能演练提升 ZHINENG YANLIAN TISHENG 能力提升 1.已知,则下列式子正确的是() A.B. C.D. 2.已知,则a+b+c的值为() A.B.C.12 D.6 3.若,设A=,B=,C=,则A,B,C的大小顺序为() A.A>B>C B.A 8.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足,a+b+c=12. (1)试求a,b,c的值; (2)判断△ABC的形状. 创新应用9.已知a,b,c,d是非零实数,满足,且x=,求x的值. 答案： 能力提升 1.C 2.D 3.B 4.D 5. 6. 7.解当a+b+c≠0时,由=k, 得a+b=ck,a+c=bk,b+c=ak, 即2(a+b+c)=(a+b+c)k,此时k=2; 当a+b+c=0时,有a+b=-c,则=-1, 此时k=-1.综上可知,k的值是2或-1. 8.解 (1)∵,∴,即. 又a+b+c=12,∴,即=3,解得a=5. 由=3,解得b=3,c=4. (2)∵32+42=52,即b2+c2=a2,∴△ABC是直角三角形.创新应用 9.解∵, ∴-1=-1=-1=-1,∴. 分两种情况: ①当a+b+c+d=0时, x= ==1; ②当a+b+c+d≠0时, 设=k, 则k= ==3, ∴a+b+c=3d,a+b+d=3c,a+c+d=3b,b+c+d=3a, ∴x= ==81. 综上可知,k的值为1或81. 欢迎您的下载，资料仅供参考！ 图形的相似和比例线段--知识讲解（基础） 【学习目标】 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比 是a:b=m:n，或写成a m b n ． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d，则ad=bc； （2）若a:b=b:c，则2b=ac（b称为a、c的比例中项）． 要点二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： (1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等； 要点三、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 【典型例题】 类型一、比例线段 1.（2014?甘肃模拟）若==（abc≠0），求的值． 【答案与解析】解：设===k， 则a=2k，b=3k，c=5k， 所以===． 相似形与比例线段 【放缩与相似形】 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 【比例线段】 线段的比：在同一单位长度下，两条线段的倍数关系叫做这两条线段的比。即两条线段的长度的比。 如：线段a 与b 的比，记作b a （或a ： b ），若b a ＝3 1，则说明a 是b 的3 1，b 是a 的3倍。 比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段的长度的比相等，即d c b a =（或a ：b=c ：d ），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也 称这四条线段成比例。在ab=cd 中，a 叫做第一比例项，b 叫做第二比例项，c 叫做第三比例项，d 叫做第四比例项。 如果a ∶b =c ∶d ，那么ad=cb 。特别地，若a ∶b=b ∶d ，即c=b ，则b 叫a ，d 的比例中项，b 2=ad 。常用这种变形方式转化字母间的关系： ①d c b a =，②d b c a =，③a c b d =，④a b c d =，⑤b a d c =，⑥c a d b =，⑦b d a c =，⑧c d a b =。 合比定理：d d c b b a d c b a ±=±?= 等比定理：)0.(≠+++=++++++?==n d b b a n d b m c a n m d c b a 比例尺：比例尺＝实际距离 图上距离，即图上距离＝实际距离×比例尺。 黄金分割如果点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC 2=BC ·AB ，那 么称线段AB 被点C 黄金分割。其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，其准确值为2 15-，近似值为0.618。 【三角形一边的平行线】 三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例。 三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则 …………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a = 《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题 知识点１ 有关相似形得概念 (1)形状相同得图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单得就是相似三角形、 (２)如果两个边数相同得多边形得对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形、相似多边形对应边长度得比叫做相似比(相似系数)、 知识点2 比例线段得相关概念、比例得性质 (1)定义: 在四条线段中,如果得比等于得比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段、 注:①比例线段就是有顺序得,如果说就是得第四比例项,那么应得比例式为:、 ② 核心内容: (2)黄金分割:把线段分成两条线段,且使就是得比例中项,即,叫做把线段黄金分割,点叫做线段得黄金分割点,其中≈0、618、即 简记为: 注:①黄金三角形:顶角就是３６０ 得等腰三角形 ②黄金矩形:宽与长得比等于黄金数得矩形 (３)合、分比性质:。 注:实际上,比例得合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比得前项,后项之间 发生同样与差变化比例仍成立、如:等等、 （4）等比性质:如果, 那么、 知识点3 比例线段得有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 已知A Ｄ∥BE ∥C Ｆ, 可得 AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等。 特别在三角形中: 由ＤE ∥B Ｃ可得: 知识点４ 相似三角形得概念 (1)定义:对应角相等,对应边成比例得三角形,叫做相似三角形、相似用符号“∽”表示,读作“相似于” 。相似三角形对应边得比叫做相似比(或相似系数)、相似三角形对应角相等,对应边成比例、 注:①对应性:即把表示对应顶点得字母写在对应位置上 ②顺序性:相似三角形得相似比就是有顺序得。 ③两个三角形形状一样,但大小不一定一样、 ④全等三角形就是相似比为１得相似三角形、 (2)三角形相似得判定方法 B 初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习2（附答案详解） 1．已知线段2a cm =，8b cm =，它们的比例中项c 是（ ） A ．4cm B ．4cm ± C ．16cm D ．16cm ± 2．下列各组线段（单位：cm ）中，成比例线段的是（ ） A ．1、2、2、3 B ．1、2、3、4 C ．1、2、2、4 D ．3、5、9、13 3．如果a ：b ＝3：2，且b 是a 、c 的比例中项，那么b ：c 等于（ ） A ．4：3 B ．3：4 C ．2：3 D ．3：2 4．下列四条线段能成比例线段的是（ ） A ．1，1，2，3 B ．1，2，3，4 C ．2，2，3，3 D ．2，3，4，5 5．点 P 是长度为 1 的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（ ） A 51- B ．5 C 35- D 56．已知线段a=2，b=8，线段c 是线段a 、b 的比例中项，则c=（ ） A ．2 B ．±4 C ．4 D ．8 7．若23 a b =，则32a b a b -+的值是（ ） A ．75 B ．23 C ．125 D ．0 8．以下四组线段，成比例的是（ ） A ．2,3,4,6cm cm cm cm B ．2,4,6,8cm cm cm cm C ．3,4,5,6cm cm cm cm D ．4,6,6,8cm cm cm cm 9．有以下命题： ①如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有a c b d =； ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB ．BC 的比例中项； ③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项； ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＞BC ，且AB=2，则5． 其中正确的判断有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10．如图,线段1AB =,点1P 是线段AB 的黄金分割点(11AP BP <),点2P 是线段1AP 的黄金分割点(212AP PP <),点3P 是线段2AP 的黄金分割点(323AP P P <),..,依此类推,则线段 相似三角形知识点 一、☆内容提要 1、比例的有关性质： ()b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++===ΛΛΛΛ等比性质：0 的比例中项是c a b c a b c b b a ,2??=?= 应用变形: 已知 d c c b a a d c b a +=+=:,求证，d kd c b kb a ±= ±。 证明:（1）∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴d c c b a a += + （2）d c b a =Θ k d c k b a ±=±∴ d kd c b kb a ±= ±∴ 2、黄金分割的定义： 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 AC BC AB AC = （整段大线段 大线段 小线段=）,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中 2 1 5-＝AB AC ≈0.618. A B C 推导黄金比：设AB=1，AC=x ，则BC=1-x ，所以 x x x -= 11，即x x -=12，用配方法解得x=215-≈0.618 特别提示：1、一条线段有2个黄金分割点，它们关于原点对称。 2、黄金比并不为黄金分割所专有，只要任两条线段的比值满足这一常数，就称这两条线段的比为黄金比。黄金比没有单位。 例：若矩形的两邻边长度的比值约为0.618，这个矩形称为黄金矩形；若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形仍是黄金矩形。 3、必须满足位置和数量两个条件，才能判断一个点是一条线段的黄金分割点。 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 c d a b = d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±= ± ?=?=bc ad d c b a （比例基本定理） 学生做题前请先回答以下问题 问题1：若四条线段a，b，c，d是成比例线段，则___________． 问题2：比例的性质： ①基本性质：若_______________，则__________________； 若ad=bc（a，b，c，d都不等于0），则_________________． ②等比性质：若______________，则_______________，其中_______________________．问题3：平行线分线段成比例： 三条平行线截两条直线，所得的_______________的比相等． 推论：_____________________________________________． 问题4：黄金分割： 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果_____________，那么称线段AB被点C_________， =________≈_______，称为黄金比．一条线段有______个黄金分割点． 问题5：形状相同的图形称为相似图形．利用“∽”来表述两个图形间的相似关系时，要把表示____________的字母写在对应的位置上． 问题6：相似多边形： _________________、_________________的两个多边形叫做相似多边形． 相似多边形对应边的比叫做相似比，周长比等于________． 问题7：相似三角形： _________________、_________________的两个三角形叫做相似三角形． 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于______；对应面积的比等于_____________． 相似图形及成比例线段 一、单选题(共15道，每道6分) 1.已知a，b，c，d是成比例线段，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，则线段a的长是( ) A.1cm B.4cm C.5cm D.9cm 答案：A 解题思路： 教学过程 一、课堂导入 1、举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。 2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？ 二、复习预习 1、什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？ 2、比与比例有什么区别？ 3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？ 答案：1、2：（—3）=—2 3；—4：6=—4 6=— 2 3； 2 —3= —4 6，2，—3，—4，6四个数 成比例。注意四个数字的书写顺序。 2、比是一个值；比例是一个等式。 3、a:b=c:d 即a b= c d，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。 三、知识讲解 考点 1 比例线段 一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如d c b a ＝ 是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例。 a c a k b c k d b d b d ++=?=考点2 比例的性质 1、比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式。 bc ad d c b a =?= 2、合比性质：分子加（减）分母,分母不变。 (k=1、2、3…) 3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变。 若)0(≠+???+++=???===n f d b n m f e d c b a 则 b a n f d b m e c a =+???++++???+++。 4、比例中项：若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项。 第一讲 相似三角形——相似与比例线段 第一课时 一．放缩与相似 1. 相似形的概念 一般地，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。我们把形状相同的两个图形叫做相似形。 2. 相似形的特征 (1) 相似三角形的特征 ∠A' =∠A ; ∠B'=∠B ; ∠C' =∠C BC C B AC C A AB B A 1 11111===K (2) 相似多边形的特征 推论：如果两个多边形相似，他们必定同为n 边形，而且各角对应相等，各边对应成比例。 【典型例题】 1. 如果一张地图的比例尺为1:3000000，在地图上量得大连到长春的距离为25cm ，那么长春到大连的实际距离为 千米。 【同类变式】 2. 在地图上，都标有比例尺。现在一张比例尺为1:5000的图纸上，量得?ABC 的三边：AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,求这个图纸所反映的实际?A'B'C'的周长是多少米？ 3. 某两地在比例尺为1:5000000的地图上的距离是30cm ，两地的实际距离是多少？如果在该地图上A 地（正方形场地）面积是3cm 2,问该地实际面积是_________ 4. 下列说法正确的有（ ）个 （1）有一个角是100o 的等腰三角形相似 （2）有一个角是80o 的等腰三角形相似 （3）所有的等腰直角三角形相似 （4）所有的正六边形都相似 （5）所有的矩形都相似 （6）所有的正方形都相似 A ．2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形，求原长方形的长与宽之比。 【同类变式】 6. E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB=1。求矩形ABCD 的面积。 7. 在相同时刻的物高和影长成正比例，如果在某时，旗杆在地面上的影长为10m 此时身高是1.8米，小明的影长是1.5米，求旗杆的高度。 8. 把一个矩形截去一个正方形后，所剩的矩形与原矩形是否相似？若相似说明理由；若不相似，问矩形的短边与长边之比为多少时一定能相似？ 二．比例线段 (1) 线段的比：我们把两条线段的长度叫做线段的比。记作a:b 或 b a 。 (2) 比例线段：在四条线段a b c d 中，其中两条线段a, b 的比等于两条线段c,d 的比, 即 d c b a =，那个这四条线段叫做比例线段。其中，a b c d 叫做成比例的项。 (3) 比例外项，比例内项，第四比例项 (4) 比例中项：如果比例内项的两条线段是相等的，即a:b =b:c ,那么线段b 叫做线段的比例中项。 ★比例的性质 (1) 比例的基本性质 d c b a = ad =b c (运用等式的基本性质) 特别地，a:b =b:c ，那么b 2=ac ,反之亦然 (2) 合比,分比性质 27.2.1相似三角形--平行线分线段成比例定理 一.基础题 1.如下左图⊿ABC 中,MN ∥BC,则BM:CN=AM: ;AB:AM= :AN; MN: =AN:AC. 2.如下中图已知DE ∥BC ，EF ∥AB;AD:DB=2:3,BC=20cm 则BF= . 3.如上右图平行四边行 ABCD ，E 为BC 上一点，BE ：EC=2：3，AE 交B 于F 点，则____=AD BE ，____=FD BF . 4、如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 中点，F 是BE 中点，AE 与DF 交于H ，则AF:HE ＝________。 5、如图，AB∥BE∥CF，BC ＝3，，则AC ＝________。 6、如图，DE 是△ABC 的中位线，且DE ＋BC ＝6，则BC 长为________。 7、如图，△ABC 中，点P 在BC 上，四边形ADPE 为平行四边形，则＝________。 8、如图，△ABC 中，X 是AB 上一点，且AX ＝2XB ，XY∥BC，XZ∥BY，则AZ:ZC ＝________。 二.选择题 9.如下左图⊿ABC 中，DE ∥BC ，则下列等式中不成立的是（ ） A. AD ：AB=AE ：AC B. AD ：DB=AE ：EC C. AD ：DB=DE ：BC D. AD ：AB=DE ：BC 10.如下中图DE ∥BC ，EF ∥AB ，现得到下列结论：FC BF EC AE =，BC AB BF AD =，BC DE AB EF =，BF EA CF CE =，其中正确的比例式的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 11.如下右图AB 是斜靠在墙上的长梯，梯角B 距墙1.6m ，梯上点D 距墙1.4m ，BD 长0.55m ，则梯子的长为（ ） B M A N C E F B C D A A E D B C F 课后作业 一、选择题 1.已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b 的值为（ ） (A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶4 2.下列线段能成比例线段的是（ ） (A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm 3.如果线段a =4，b =16，c =8，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为（ ） (A)8 (B)16 (C)24 (D)32 4.已知32=b a ，则b b a +的值为（ ） (A)23 (B)34 (C)35 (D)5 3 5.已知x ∶y ∶z =1∶2∶3，且2x+y -3z = -15，则x 的值为（ ） (A)-2 (B)2 (C)3 (D)-3 6.在比例尺为1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm ，它的实际长度约为（ ） (A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km 7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ） (A)12米 (B)11米 (C)10米 (D)9米 8.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm ，则AC 的长为（ ） (A)(2 5 –2)cm (B)(6-2 5 )cm (C)( 5 –1)cm (D)(3- 5 )cm 9.若D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，且AD AB =AE AC ，那么下列各式中正确的是（ ） (A)AD DB =DE BC (B)AB AD =AE AC (C)DB EC =AB AC (D)AD DB =AE AC 10.若b a c a c b c b a k 222-=-=-=，且a +b +c ≠0，则k 的值为（ ） (A)-1 (B)2 1 (C)1 (D)- 12 二、填空题 1.若4x=5y,则x ∶y ＝ . 2.若 3x ＝4y ＝5z ，则y z y x +-∶x x z y -+＝ . 3.已知13y x -＝7y ，则y y x +的值为 . 4.已知b a ＝43，那么b b a +＝ . 5.若b a ＝d c ＝f e ＝3，且b+d+ f ＝4，则a+c+e ＝ . 6.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ . 7.若b a b +＝53，那么b a ＝ . 8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 . 9.已知△ABC 和△A ′B ′C ′，''B A AB ＝''C B BC ＝''A C CA ＝2 3，且A ′B ′+B ′C ′+C ′A ′＝16cm. 则AB+BC+AC ＝ . 27.2.1 相似三角形及平行线分线段成比例 一、教学目标： 知识目标 理解并掌握相似三角形及平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 能力目标 通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 情感态度与价值观 （1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。 （2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。 二、重、难点 重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。 难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。 三、教学过程 1、复习设疑，引入新课 内容：教师提问： （1）什么是成比例线段？ （2）什么是相似多边形？ （3）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2: 3？ 目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。 效果：学生对不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3，这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法。 2、小组活动，探究定理 探究活动一： 内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b∥ c ,分别交直线于 A1， A 2，A 3 ，B 1 ，B 2 ，B 3 。 （）计算 1212 2323 , A A B B A A B B 你有什么发现？ （）将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别 为A 2 ， B 2 。你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？ (图2） （３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 归纳：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 目的：让学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动， 达到对平行线分线段成比例定理的意会、感悟。 效果：学生在以前的学习中，尤其是本章前两节的探究也是通过表格 中的多边形来完成的。所以学生有种熟悉感，并不感到困难。 2.议一议： 内容：教师提问： 1.如何理解“对应线段”？ 2.平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？ 相似图形及成比例线段（习题） ?例题示范 例1：一木匠要用一根长6米的木材做一个矩形窗框，要想给人带来的视觉最美，则窗框的长和宽分别是________________（精确到0.01米）．解：设矩形长为x m， 由题意，宽应为 1 ) 2 x m． 2()6 x x= 解得：x = 1) 1.85 2 ≈ 3-1.85=1.15 m ∴窗框的长为1.85 m，宽为1.15 m． ?巩固练习 1.在比例尺为1:6 000 000的海南地图上，量得海口与三亚的距离约为3.7厘 米，则海口与三亚的实际距离约为_______千米． 2.若 273 562 x y z +++ ==，且x+y+z=14，则 y z x z - + =______． 3.已知b c a c a b k a b c +++ ===，求k的值． 4.如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E， B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 c b a n m F E D C B A 5. D A E 6. 如图，AD ∥BE ∥CF ，直线m ，n 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点 D ， E ， F ，已知AB =EF ，AC =6，DE =1，则EF 的长为__________． n m F E D C B A 7. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，EF ∥AB ，若AD =2BD ，则CF BF =________． F E D C B A 8. 如图，在正五角星中，C ，D 两点都是AB 的黄金分割点，已知AB =1，求CD 的长． 线段的比（一） 基础知识： 1．两条线段的比就是两条线段 的比. 线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，两线段a,b 的比为 2. 在地图或工程图纸上， 与 的比通常称为比例尺 A 、 B 两地的实际距离AB=250m ，画在图上的距离A′B′=5cm，求图上的距离与实际距离的比 为 3．四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a ,那么这四条线段a ,b , c ,d 叫做成比例线段，简称 已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？ （1）a=16 cm b=8 cm c=5 cm d=10 cm （2）a=8 cm b=5 cm c=6 cm d=10 cm 课堂学习： 1.两条线段的比的概念 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD =m ∶n ，或写成CD AB =n m ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项 和后项. 如果把 n m 表示成比值k ，则CD AB =k 或AB =k ·CD . 【 例1 】在比例尺为1∶8000的某校地图上矩形运动场的图上尺寸是1cm ×2cm ，那么矩形运动场的实际尺寸是多少？ 巩固练习： 在比例尺是1∶8000000的《中国行政》地图上，量得福州到上海之间的距离为7.5厘米，求福州与上海两地的实际距离是多少千米? 归纳与小结： 1、（1）度量两条线段的必须统一 （2）线段的长度的比与所选择的度量线段的长度单位无关 （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是 2. 比例线段的概念 四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =,那么这四条线段a ,b , c , d 叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）. 如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，那么 d c b a =或a ∶b = c ∶ d ,这时组成比例的四个数a ,b ,c ,d 叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a 、 d 为外项，c 、b 为内项. 【 例2】 （杭州市）已知：1、 、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例 式 ． 分析：这是一道多种答案的开放性创新题 巩固练习 1.线段a=4 , b=9 , a 、b 的比例中项c=_____;a 、b 、c 的第四比例d=______． 2.已知三个数1、2、3，请你再添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数是多少？ 归纳与小结： （1）四条线段成比例时，要将这四条线段按 列出 . （2）线段 又叫做a ，b ，c 的第四比例项 （3）如果比例内项是两条相同的线段，即c b b a = 或a ∶b ＝b ∶c ，那么b 叫做线段a ，c 的 比例中项. 小结： 1.两条线段的比的概念 2.比例线段的概念 练习： 图形的相似和比例线段--知识讲解（提高） 【学习目标】 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n， 或写成a m b n ． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d，则ad=bc； （2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）． 要点二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是 全等； 要点三、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 【典型例题】 类型一、比例线段 1. 求证：如果，那么. 【思路点拨】这是比例的合比性质，利用等式的性质得到证明. 【答案与解析】∵， 在等式两边同加上1， ∴， ∴． 一、课堂导入 1、举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。 2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？ 二、复习预习 1、什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？ 2、比与比例有什么区别？ 3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？ 答案：1、2：（—3）=—2 3 ；—4：6=— 4 6 =— 2 3 ； 2 —3 = —4 6 ，2，—3，—4，6四个数 成比例。注意四个数字的书写顺序。 2、比是一个值；比例是一个等式。 3、a:b=c:d 即a b = c d ，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。 三、知识讲解 考点 1 比例线段 一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如 d c b a ＝是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例。 a c a k b c k d b d b d ++=?=比例的性质 1、比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式。 bc ad d c b a =?= 2、合比性质：分子加（减）分母,分母不变。 (k=1、2、3…) 3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变。 若)0(≠+???+++=???===n f d b n m f e d c b a 则b a n f d b m e c a =+???++++???+++。 4、比例中项：若c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项。 教师： 学生：_______ 时间:2013年 月 日 时间 相似三角形知识点整理 重点、难点分析： 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点． 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 ☆内容提要☆ 一、本章的两套定理 第一套（比例的有关性质）： 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： (1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 类型 斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SAS SSS AAS （ASA ） HL 相似三角形 的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边 成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 龙文教育个性化辅导授课案 c d a b = d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc a d d c b a （比例基本定理） b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++=== :)0(等比性质 初三数学相似三角形典型例题(含答案) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 第一讲相似三角形一一相似与比例线段 第一课时 一.放缩与相似 1.相似形的概念 一般地，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。我们把形状相同的两个图形叫做相似形。 2.相似形的特征 (1)相似三角形的特征 .■1川凸弋丿萨“弋’* ZA' = ZA ; ZB'= ZB; ZC' = ZC AB AG AB AC BQ =K BC (2)相似多边形的特征 推论：如果两个多边形相似，他们必定同为n边形，而且各角对应相等，各边对应成比例。【典型例题】 1.如果一张地图的比例尺为1:3000000，在地图上量得大连到长春的距离为25cm，那么长春到大连的实际距离为 __________ 千米。 【同类变式】 2.在地图上，都标有比例尺。现在一张比例尺为1:5000的图纸上，量得？ABC的三边：AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm, 求这个图纸所反映的实际？A'B'C'的周长是多少米？ 3.某两地在比例尺为1:5000000 的地图上的距离是30cm，两地的实际距离是多少？如果 5. 一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形，求原长方形的长与宽之比。 【同类变式】 6. E 、F 分别为矩形 ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB=1 。 求矩形 ABCD 的面积。 7. 在相同时刻的物高和影长成正比例， 如果在某时， 旗杆在地面上的影长为 10m 此时身高 是1.8 米，小明的影长是 1.5 米，求旗杆的高度。 8. 把一个矩形截去一个正方形后，所剩的矩形与原矩形是否相似？若相似说明理由；若不 相似，问矩形的短边与长边之比为多少时一定能相似？ 在该地图上 A 地（正方形场地）面积是 4. 下列说法正确的有（ ）个 （1 ）有一个角是 100o 的等腰三角形相似 （3 ）所有的等腰直角三角形相似 （5 ）所有的矩形都相似 A ．2 个 B. 3 个 3cm 2 ,问该地实际面积是 __________ （2）有一个角是 80o 的等腰三角形相似 （4）所有的正六边形都相似 （ 6 ）所有的正方形都相似 C. 4 个 D. 5 个图形的相似和比例线段--知识讲解(基础)
相似形和比例线段(一)
初三数学《相似三角形》知识点归纳
相似三角形知识点归纳(全)
初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习2(附答案详解)
相似三角形及黄金分割
相似图形及成比例线段(含答案)
相似三角形——比例线段
第一讲：相似三角形——比例线段
对应线段成比例
相似三角形之比例线段
【教案】 相似三角形及平行线分线段成比例(2)
相似图形及成比例线段(习题)
相似及对应线段成比例
图形的相似和比例线段--知识讲解(提高)
相似三角形-比例线段
相似三角形比例线段及判定
初三数学相似三角形典型例题(含标准答案)
第一讲：相似三角形——比例线段