梅加强版 数学分析 5.8课后习题答案
梅加强版数学分析5.8节习题答案
数学分析试题及答案解析
2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到 的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相 等，则（ ）
A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；
数学分析课本(华师大三)习题及答案第二十章
第十章 曲线积分 一、证明题 1.证明:若函数f 在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t)(β≤≤αt )上连续，则存在点()L y ,x 00∈，使得，()?L ds y ,x f =()L y ,x f 00? 其中L ?为L 的长。 二、计算题 1.计算下列第一型曲线积分: (1) ()?+L ds y x ,其中L 是以0(0,0),A(1,0)B(0,1)为顶点的三角形; (2) ()?+L 2122ds y x ,其中L 是以原点为中心,R 为半径的右半圆周; (3) ?L xyds ,其中L 为椭圆22a x +22 b y =1在第一象限中的部分; (4) ?L ds y ,其中L 为单位圆22y x +=1; (5) () ?++L 222ds z y x ,其中L 为螺旋线x=acost,y=asinr, z=bt(π≤≤2t 0)的一段; (6) ?L xyzds ,其中L 是曲线x=t,y=3t 232,z=2t 2 1 ()1t 0≤≤的一段; (7) ?+L 22ds z y 2,其中L 是222z y x ++=2a 与x=y 相交的圆周. 2.求曲线x=a,y=at,z=2at 21(0a ,1t 0>≤≤)的质量,设其线密度为a z 2=ρ, 3.求摆线x=a(t －sint),y=a(1－cost)(π≤≤t 0)的重心,设其质量分布是均匀的. 4.若曲线以极坐()θρ=ρ()21θ≤θ≤θ表示,试给出计算 ()?L ds y ,x f 的公式.并用此公式计算下列曲线积分.
(1)? +L y x ds e 22,其中L 为曲线ρ=a ??? ??π≤θ≤40的一段; (2)?L xds ,其中L 为对数螺线θ=ρx ae (x>0)在圆r=a 内的部分. 5.设有一质量分布不均匀的半圆弧,x=rcos θ,y=rsin θ(π≤θ≤0),其线密度θ=ρa (a 为常数),求它对原点(θ,0)处质量为m 的质点的引力. 6.计算第二型曲线积分: (1) ?-L ydx xdy ,其中L 为本节例2的三种情形; (2) ()?+-L dy dx y a 2,其中L 为摞线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(π≤≤2t 0)沿t 增加方向的 一段; (3) ?++-L 22y x ydy xdx ,其中L 为圆周222a y x =+,依逆时针方向; (4)?+L xdy sin ydx ,其中L 为y=sinx(π≤≤x 0) 与x 轴所围的闭曲线,依顺时针方向; (5)?++L zdz ydy xdx ,其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 7.质点受力的作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的距离成正比,若质点由(a,0)沿椭圆移动到(0,b),求力所作的功. 8.设质点受力的作用,力的方向指向原点,大小与质点到xy 平面的距离成反比,若质点沿直线x=at,y=bt,z=ct(0c ≠) 从M(a,b,c)到N(2a,2b,2c),求力所作的功. 9.计算沿空间曲线的第二型曲线积分: (1) ?L xyzddz ,其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆,其方向按曲线依次经过1,2,7,8卦限; (2) ()()() ?-+-+-L 222222dz y x dy x z dx z y ,其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线,其方向按曲线依次经过xy 平面部分,yz 平面部分和zx 平面部分 .
1992-2016年南京大学627数学分析考研真题及答案解析-汇编
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(完整word版)微积分(数学分析)练习题及答案doc
统计专业和数学专业数学分练习题 计算题 1. 试求极限 .4 2lim )0,0(),(xy xy y x +-→ 2. 试求极限.)() cos(1lim 222222) 0,0(),(y x y x e y x y x ++-→ 3. 试求极限.1 sin 1sin )(lim )0,0(),(y x y x y x +→ 4. 试讨论.lim 4 22 )0,0(),(y x xy y x +→ 5. 试求极限 .1 1lim 2 2 22) 0,0(),(-+++→y x y x y x 6. ),(xy y x f u +=,f 有连续的偏导数，求 .,y u x u ???? 7. ,arctan xy z =,x e y = 求 .dx dz 8. 求抛物面 2 22y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程与法线方程. 9. 求5362),(2 2+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式. 10. 求函数)2(),(2 2y y x e y x f x ++=的极值. 11. 叙述隐函数的定义. 12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 13. 叙述隐函数可微性定理的内容. 14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数. 15. 讨论笛卡儿叶形线 0333=-+axy y x 所确定的隐函数)(x f y =的一阶与二阶导数. 16. 讨论方程 0),,(323=-++=z y x xyz z y x F 在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数. 17. 设函数23 (,,)f x y z xy z =, 方程 2223x y z xyz ++=. (1)验证在点0(1,1,1)P 附近由上面的方程能确定可微的隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =; (2)试求(,(,),)x f x y x z z 和(,,(,))x f x y z x y ,以及它们在点)(x f y =处的值. 18. 讨论方程组
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 7 第七章拾遗 (7.2.1) 有限覆盖定理
一元微积分与数学分析—有限覆盖定理 梅加强 南京大学数学系
在研究函数的时候,我们希望能将其局部性质转化为整体性质.从局部过渡到整体往往要用到所谓的有限覆盖定理.
在研究函数的时候,我们希望能将其局部性质转化为整体性质.从局部过渡到整体往往要用到所谓的有限覆盖定理. 集合族:设Γ为集合.如果Γ中的每一个元素α都对应一个集合Aα,则称{Aα}α∈Γ为集合族(一族集合),Γ为这一族集合的指标集.当指标集给定时,集合族也简记为{Aα}.例如,{[a n,b n]}是以N为指标集的一族集合.
在研究函数的时候,我们希望能将其局部性质转化为整体性质.从局部过渡到整体往往要用到所谓的有限覆盖定理. 集合族:设Γ为集合.如果Γ中的每一个元素α都对应一个集合Aα,则称{Aα}α∈Γ为集合族(一族集合),Γ为这一族集合的指标集.当指标集给定时,集合族也简记为{Aα}.例如,{[a n,b n]}是以N为指标集的一族集合. 集合之间的运算可以对集合族来定义.例如,交集运算可定义为 Aα={x|任给α∈Γ,均有x∈Aα}, α∈Γ
在研究函数的时候,我们希望能将其局部性质转化为整体性质.从局部过渡到整体往往要用到所谓的有限覆盖定理. 集合族:设Γ为集合.如果Γ中的每一个元素α都对应一个集合Aα,则称{Aα}α∈Γ为集合族(一族集合),Γ为这一族集合的指标集.当指标集给定时,集合族也简记为{Aα}.例如,{[a n,b n]}是以N为指标集的一族集合. 集合之间的运算可以对集合族来定义.例如,交集运算可定义为 Aα={x|任给α∈Γ,均有x∈Aα}, α∈Γ 并集运算可定义为 Aα={x|存在α∈Γ,使得x∈Aα}. α∈Γ
数学分析试题及答案解析
2014 —--201５学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分,共２１分)（正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?( ） ． ２．若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[] ????= dx x g dx x f dx x g x f （ )． 3． 若()? +∞a dx x f 绝对收敛，()? +∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必然条件收敛（ )。 ４． 若()? +∞1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ) 5． 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间Ｉ上内闭一致收敛（ ）。 ６。 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发 散于正无穷大( ). 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ). 二. 单项选择题（每小题3分，共15分) 1．若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上( ) A.不连续 Ｂ． 连续 C ．可微 D 。不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不
相等,则（ ） Ａ． ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C 。 ()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D 。 ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 Ｂ．绝对收敛 C.条件收敛 D ． 不确定 4。设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是( ） A ．若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B 。 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ,则级数∑n u 一定收敛; C ． 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D 。 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当,则级数∑n u 一定发散; 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是( ) A 。 ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B ． ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的; C ． ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；
数学分析课后习题答案(华东师范大学版)
习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0 数学分析复习题及答案 一.单项选择题 1．已知x e x x f +=3)(，则)0(f '=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．设3)21(lim -∞ →=+e x kx x ，则=k （ ） A. 6- B. 23 C. 32- D. 23- 3．? =dx xe x （ ） A. C e x + B. C e xe x x +- C. C e x x +- D. C e x ++1 4．下列函数在),(∞-∞内单调增加的是（ ） A. x y = B. x y -= C. 3x y = D. x y sin = 二、填空题 1．设函数==+dz e z y x 则全微分,2 2．.______________23sin lim 0 =→x x x 3．??? ????>+=<=0)1ln()(00 sin )(x x x k x k x x x x f 为常数在0=x 处连续，则_________=a 三、判断题 1．若函数f 在区间),(b a 上连续，则f 在),(b a 上一致连续。（ ） 2．实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点。（ ） 3．设f 为定义在)(0x U ?上的单调有界函数，则右极限)(lim 0 x f x x +→存在。（ ） 四、名词解释 1．用δε-的语言叙述函数极限的定义 2．用N -ε的语言叙述数列极限的定义 五、计算题 1．根据第四题第1小题证明04 )1(lim 2=--+∞→n n n n 2．根据第四题第2小题证明5311lim 22=++→x x x 3．设n n n x x x x x x x ++=++ ==+11,,11110010 ，，求证n n x ∞→lim 存在，并求其值。 4．证明：2)(x x f =在[]b a ,上一致连续，但在()+∞∞-,上不一致连续。 5．证明：若)(0x f '存在，则=??--?+→?x x x f x x f x )()(lim 000)(20x f ' 6．证明：若函数)(x f 在0x 连续，则)(x f 与)(2x f 也在0x 连续，问：若在)(x f 或) (2x f 在I 上连续，那么)(x f 在I 上是否必连续。 一、1.D 2.C 3. B 4.C 二、1. dy e dx e y x y x +++222 2.2 3 3. 1 三、1.× 2.√ 3.√ 四、 1. 函数极限定义：设函数f 在点0x 的某个空心邻域);(0δ'?x U 内有定义，A 为定数。 0>?ε，0>?δ，当δ<-<00x x 时，ε<-A x f )(，则A x f x x =→)(lim 0 。 2.数列极限定义：设为数列}{n a ，a 为定数，0>?ε，0>?N ，当N n >时，有ε<-a a n ，则称数列}{n a 收敛于a 。 五、1.证明：ε<-<-?++=-+<--+2 12121414)1(22n n n n n n n n n )2(>n 0>?∴ε，21+?? ????=?εN ，当N n >时，ε<--+4)1(2n n n ；得证。 2. 证明：)13()2() 1(5)13)(2(531122+-<++-=-++x x x x x x x 令1)2(<-x ，则31< （二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。 习 题 12.5 偏导数在几何中的应用 1． 求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程： （1）?????+==.1,2x x z x y 在??? ??21,1,1点； （2）??? ? ??? =-=-=.2sin 4,cos 1, sin t z t y t t x 在2π=t 的点； （3）???=++=++.6, 0222z y x z y x 在)1,2,1(-点； （4）???=+=+. ,2 22222R z x R y x 在??? ??2,2,2R R R 点。 解 （1）曲线的切向量函数为2 1(1,2, )(1)x x +，在?? ? ??21,1,1点的切向量为1(1,2,)4。于是曲线在?? ? ??21,1,1点的切线方程为 )12(41)1(2-=-=-z y x ， 法平面方程为 252168=++z y x 。 （2）曲线的切向量函数为(1cos ,sin ,2cos )2 t t t -，在2 π =t 对应点的切向 量为(1,1。于是曲线在2 π = t 对应点的切线方程为 22 2 112 -= -=+- z y x π ， 法平面方程为 (1)(1)2 x y z π - ++-+- =402 x y π ++- -=。 （3）曲线的切向量函数为2(,,)y z z x x y ---，在)1,2,1(-点的切向量为 (6,0,6)-。于是曲线在)1,2,1(-点的切线方程为 ?? ?-==+2 2 y z x ， 法平面方程为 z x =。 （4）曲线的切向量函数为4(,,)yz xz xy --，在?? ? ??2, 2 , 2 R R R 点的切向量为22(1,1,1)R --。于是曲线在?? ? ??2, 2,2R R R 点的切线方程为 2 22R z R y R x +-=+-=-， 法平面方程为 02 2 =+ --R z y x 。 2.在曲线32,,t z t y t x ===上求一点，使曲线在这一点的切线与平面102=++z y x 平行。 解 曲线的切向量为2(1,2,3)t t ，平面的法向量为(1,2,1)，由题设， 22(1,2,3)(1,2,1)1430t t t t ?=++=， 由此解出1t =-或13 -，于是 )1,1,1(-- 和 )27 1 ,91,31(-- 为满足题目要求的点。 3. 求曲线t z t t y t x 22cos ,cos sin ,sin ===在2 π =t 所对应的点处的切线的 方向余弦。 解曲线的切向量函数为(sin 2,cos 2,sin 2)t t t -，将2 t π =代入得)0,1,0(-，它是单位向量，所以是方向余弦。 4. 求下列曲面在指定点的切平面与法线方程： （1）3432y x z +=，在点)35,1,2(； （2）4e e =+z y z x ，在点)1,2ln ,2(ln ； （3）3322,,v u z v u y v u x +=+=+=，在点1,0==v u 所对应的点。 解（1）曲面的法向量函数为32(8,9,1)x y -，以(,,)(2,1,35)x y z =代入，得 （十四） 《数学分析Ⅱ》考试题 一 填空（共15分，每题5分）： 1 设=∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ; 2 设 =--='→5 ) 5()(lim ,2)5(5 x f x f f x 则54； 3 设?? ?>++≤=0 , )1ln(,0, sin )(x b x x ax x f 在==a x 处可导，则0 1 ， =b 0 。 二 计算下列极限：（共20分，每题5分） 1 n n n 1 )1 31211(lim ++++ ∞→ ; 解: 由于，n n n n 1 1)131211(1≤++++≤ 又，1lim =∞→n n n 故 。1)131211(lim 1 =++++∞→n n n 2 3 )(21lim n n n ++∞→； 解: 由stolz 定理, 3 )(21lim n n n ++∞→33)1()(lim --=∞→n n n n ) 1)1()(1(lim -+-+ -- =∞ →n n n n n n n n ) 1)1(2))(1(() 1(lim --+---+=∞→n n n n n n n n n .3 2)1)11(21 11lim 2=-- +- + =∞ →n n n n 3 a x a x a x --→sin sin lim ； 解: a x a x a x --→sin sin lim a x a x a x a x --+=→2sin 2cos 2lim .cos 2 2sin 2 cos lim a a x a x a x a x =--+=→ 4 x x x 10 ) 21(lim + →。 解: x x x 10 )21(lim +→.)21(lim 2 2 210e x x x =?? ??? ?+=→ 三 计算导数（共15分，每题5分）： 1 );(),1ln(1)(22x f x x x x f '++-+= 求 解: 。 1 11 11 1 1221122)(2 2 2 22 2+-= +- +=++++ - +='x x x x x x x x x x x x f 2 解: 3 设。 求)100(2 ,2sin )23(y x x y -= 解: 由Leibniz 公式 )23()2(sin )23()2(sin )23()2(sin 2)98(2 1002)99(11002)100(0100)100(' '-+'-+-=x x C x x C x x C y 6)2sin(26)2sin(2100)23)(2sin(22 98982991002999922100100?+++?+-+=?πππx x x x x x x x x x 2sin 2297002cos 26002sin )23(298992100?-?--= 。 ]2cos 12002sin )22970812[(2298x x x x --= 四 （12分）设0>a ，}{n x 满足： ,00>x ,2,1,0),(211 =+= +n x a x x n n n ;sin cos 33 表示的函数的二阶导数求由方程???==t a y t a x , tan sin cos 3cos sin 3)cos ()sin (22 33t t t a t t a t a t a dx dy -=-=''=。t t a t t a t dx y d sin cos 3sec )cos (sec 223222='-= 一、选择题 1.若0 () lim 1sin x x x φ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。 A.sin ||x B.ln(1)x - C. 1 1.【答案】D 。 2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0() lim 1tan sin x f x x x →=-则'''f (0)=（ ） A.5 B.3 C.1 D.0 2. 【 答 案 】 B. 解 析 由 洛 必达 法 则 可 得 300 02() '() ''() lim lim lim 1 tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x x x x -→→→==-+-42200''()''() lim lim 16cos sin 2cos cos 21 x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3x B.3 4 x C.3 2 x D.x 3.【答案】A.解析 .1 2 2 33 31233 2000311(1)1133lim lim (1)3313 x x x x x x x ---→→→-+?==+=选A 。 4.函数2sin f ()lim 1(2)n n x x x π→∞=+的间断点有（ ）个 A.4 B.3 C.2 D.1 4.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故 20.5sin 12lim 1(2(0.5))2n x π →-- =- +?-， 20.5sin 12lim 1(20.5)2n x π →= +?，故，有两个跳跃间断点，选C 。 5.已知()bx x f x a e =-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ） 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院班级学号（后两位）姓名 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A.()x f 在[]b a ,上一定不可积； B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113 2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八. 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B 卷?答案 学院班级学号（后两位）姓名 一、 二.三. 而n 分 2.解：令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分 （二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(222b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x 5、22),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原 点不连续，但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[) 1(11 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2 R D ?内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足 Lipschitz 条件：''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,(' ''∈为常数证 明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。 第四章 函数的连续性 一、填空题 1．设??? ? ???>+=<=0 11sin 0 0 sin 1 )(x x x x k x x x x f ，若函数)(x f 在定义域内连续，则 =k ； 2．函数?? ?≤>-=0 sin 0 1)(x x x x x f 的间断点是 ； 3．函数x x f =)(的连续区间是 ； 4．函数3 21 )(2--= x x x f 的连续区间是 ； 5．函数) 3(9 )(2--=x x x x f 的间断点是 ； 6．函数) 4)(1(2 )(+++= x x x x f 的间断点是 ； 7．函数) 2)(1(1 )(-+= x x x f 的连续区间是 ； 8．设?????=≠-=-0 0 )(x k x x e e x f x x 在0=x 点连续，则 =k ； 9．函数?? ? ??≤≤+-<≤+-<≤-+=3x 1 31x 0 101 1)(x x x x x f 的间断点是 ； 10．函数0b a 0 )(0 )(2 ≠+?? ?<++≥+=x x x b a x b ax x f .则)(x f 处处连续的充要条件是 =b ； 11．函数?????=≠=-0 0 )(2 1x a x e x f x ，则=→)(lim 0 x f x ，若)(x f 无间断点，则=a ； 12．如果?????-=-≠+-=1 1 11)(2x a x x x x f ，当=a 时，函数)(x f 连续 二、选择填空 1．设)(x f 和)(x ?在()+∞∞-,内有定义，)(x f 为连续函数，且0)(≠x f ，)(x ?有间断点，则( ) A.[])(x f ?必有间断点。 B.[]2 )(x ?必有间断点 C.[])(x f ?必有间断点 D. ) () (x f x ?必有间断点 2．设函数bx e a x x f += )(，在()∞∞-,内连续，且)(lim x f x -∞→0=，则常数b a ,满足( ) A.0,0<>b a C.0,0>≤b a D.0,0<≥b a 3．设x x e e x f 11 11)(-+=，当,1)(;0-=≠x f x 当0=x ，则 A 有可去间断点。 B 。有跳跃间断点。 C 有无穷间断点 D 连续 4．函数n n x x x f 211lim )(++=∞→ A 不存在间断点。 B 存在间断点1-=x C 存在间断点0=x D 存在间断点1=x 5．设????? =≠=???=≠=0 10 1sin )(;0 00 1)(x x x x x g x x x f ，则在点0=x 处有间断点的函数是 A )}(),(max{x g x f B )}(),(min{x g x f C )()(x g x f - D )()(x g x f + 6．下述命题正确的是 A 设)(x f 与)(x g 均在0x 处不连续，则)(x f )(x g 在0x 处必不连续。 B 设)(x g 在0x 处连续，0)(0=x f ，则0 lim x x →)(x f )(x g =0。 C 设在0x 的去心左邻域内)(x f <)(x g ，且-→0 lim x x )(x f =a , -→0 lim x x )(x g =b ,则必有a 第一讲 习题解答 习题1-1 1 计算下列极限 ① ()1lim 11,0p n n p n →∞ ?? ??+->?? ??????? 解：原式=()1111110lim lim 110 p p p n n n n n n →∞→∞???? +-+-+ ? ?????=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()() 01p x x p ='=+= ② () sin sin lim sin x a x a x a →-- 解：原式=()()()()sin sin sin sin lim lim sin x a x a x a x a x a x a x a x a →→---?=---=()sin cos x a x a ='= ③ 1x →，,m n 为自然数 解：原式 = 1 1 x x n m →=' == ④ ( ) lim 21,0n n a →∞ > 解：原式( ) () 10 ln 21lim ln 21 1lim ln 1 lim n x n x a e a n n x n e e e →∞ →?? ??- ? ??-→∞ === =()( ) ()()0ln 21ln 21 ln 21lim 2ln 20 x a a x x a a x x e e e a ---→' -==== ⑤ lim ,0x a x a a x a x a →->- 解：原式=lim x a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a a x a x a a a x a x a x a →→--=---()()x a x a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0x a a x x a x a a a a a x →->- 习题 16.2 Fourier 级数的收敛判别法 1．设)(x ψ在[,)0+∞上连续且单调，0)(lim =+∞ →x x ψ，证明 0sin )(lim =? ∞ ++∞→dx px x p ψ. 证 因为0)(lim =+∞ →x x ψ，所以存在0>N ，使得当N x ≥时，1|)(|数学分析复习题及答案
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