初中圆专题

圆

一、知识点梳理

知识点1：圆的定义：

1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .

2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；

圆又是对称图形，是它的对称中心.

知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的

概念

1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做

2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 .

3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 .

例1 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______．

例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是（）

A．S1＜S2 B．S1＞S2 C．S1=S2 D．不确定

例3如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影

部分）的面积为（）

A．πa2-a2 B．2πa2-a2 C．πa2-a2 D．a2-πa2

例4车轮半径为0.3m的自行车沿着一条直路行驶，车轮绕着轴心转动的转速为100转/分，则自行车的行驶速度（）

A．3.6π千米/时 B．1.8π千米/时 C．30千米/时 D．15千米/时

例5 如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条

知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 .

知识点4：垂径定理

垂直于弦的直径平分，并且平分；

平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分 .

例1、如图（1）和图（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM．

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说

明理由．

例2在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（）

A．6分米 B．8分米 C．10分米 D．12分米

例 3 小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一

块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（

）

A ．2

B ．

C ．2

D ．3

例4如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB 的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB 的长为20米，则圆环的面积为（）

A ．10平方米

B ．10π平方米

C ．100平方米

D ．100π平方米

例5为了测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：cm ），则该铁球的直径为（）

A ．8.8cm

B ．8cm

C ．9cm

D ．10cm

例6 如图，BE ⌒

是半径为6的圆D 的圆周，C 点是弧BE 上的任意一点，△ABD 是等边

三角形，则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是（

）

A ．12＜P ≤18

B ．18＜P ≤24

C ．18＜P ≤18+6 D

．12＜P ≤12+6

知识点5：确定圆的条件及内切圆

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的、这个三角形是圆的 .

切线的判定与性质

判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有

的直线是圆的切线。

②到圆心的距离等于的直线是圆的切线。

③经过半径的外端点并且

于这条半径的直线是圆的

切线。

切线的五个性质：①切线与圆只有

公共点；

②切线到圆心的距离等于圆的

；③切线垂直于经过切点的；

④经过圆心垂直于切线的直线必过；⑤经过切点垂直于切线的直线必过

。

三角形内切圆

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的，三角形内切圆的圆心叫三角形

的 .

切线长定理

经过圆外一点作圆的切线，这点与之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.

过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的 .

例1如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，CD=3，AB=4，则⊙O的直径等于（）

A． B．3 C．5 D．7

例2如图，在坐标平面上，Rt△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，AB垂直x轴，M为Rt △ABC的外心．若A点坐标为（3，4），M点坐标为（-1，1），则B点坐标为何（）A．（3，-1） B．（3，-2） C．（3，-3） D．（3，-4）

例3如图所示，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若AD=3，AC=2，则cosD的值为（）

A． B． C ． D．

知识点6：点与圆的位置关系

(1)点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外.

其中r为圆的半径，d为点到圆心的距离，

位置关系点在圆内点在圆上点在圆外

数量(d与r)的大小关系 d r d r d r

例1如图，在中，直角边，，点，分别是，的中点，以点为圆心，的长为半径画圆，则点在圆A的_________，点在圆A的_________．

例2在直角坐标平面内，圆的半径为5，圆心的坐标为．试判断点

与圆的位置关系．

例3如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（）

A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．24秒

例4矩形ABCD中，AB=8，BC=3，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P

为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）

A．点B、C均在圆P外 B．点B在圆P外、点C在圆P内

C．点B在圆P内、点C在圆P外 D．点B、C均在圆P内

例5一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为（）

A．16cm或6cm B．3cm或8cm C．3cm D．8cm

知识点7：直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．

设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：

位置关系相离相切相交

公共点个数0 1 2

数量关系 d r d r d r

例1、在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？

例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=?∠A．

（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．

（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．

例3如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y=x-与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能

例4 如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）

A．30° B．45° C．60° D．90°

知识点8：圆和圆的位置关系

设两圆半径分别为R和r。圆心距为d。(R＞r)

1. 两圆外离 _____________；

2. 两圆外切_____________；

3. 两圆相交______________；

4. 两圆内切_____________；

5. 两圆内含______________.

例1．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．

（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；

（2）若⊙B过M（－2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．

例2已知两圆半径r1、r2分别是方程x2-7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（）

A．相交 B．内切 C．外切 D．外离

例3如图，⊙O1，⊙O，⊙O2的半径均为2cm，⊙O3，⊙O4的半径均为1cm，⊙O与其他4个圆均相外切，图形既关于O1O2所在直线对称，又关于O3O4所在直线对称，则四边形O1O4O2O3的面积为（）

A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．48cm2

例4定圆O的半径是4cm，动圆P的半径是2cm，动圆在直线l上移动，当两圆相切时，OP的值是（）

A．2cm或6cm B．2cm C．4cm D．6cm

课堂小结：

一、这章有三条常用辅助线：一是圆心距，第二是直径圆周角，第三条是切线径，

就是连接圆心和切点的，或者是连接圆周角的距离。

二、有几个分析题目的思路，在圆中有一个非常重要，就是弧、弦与圆周角互相转

换，那么怎么去应用，就根据题目条件而定。

作业

一、选择题

1．（北京市西城区）如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝，PB＝1，那么∠APC等于（）

（A）（B）（C）（D）

2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的，

那么这个圆柱的侧面积是（）

（A）100π平方厘米（B）200π平方厘米

（C）500π平方厘米（D）200平方厘米

3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆

材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述

是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（）

（A）寸（B）13寸（C）25寸（D）26寸

4．（北京市朝阳）已知：如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，PA＝4，那么PC 的长等于（）

（A）6 （B）2 C）2（D）2

5．（北京市朝阳）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半

径的长等于（）

（A）2厘米（B）2厘米（C）4厘米（D）8厘米

二、填空题

1．（北京市东城区）如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，

D是优弧上的一点，已知∠BAC＝，那么∠BDC＝__________度．

2．（北京市东城区）在Rt△ABC中，∠C＝，AＢ＝3，BC＝1，以AC所在直线为轴旋转一周，所

得圆锥的侧面展开图的面积是__________．

3．（北京市海淀区）如果圆锥母线长为6厘米，那么这个圆锥的侧面积是_______平方厘米

4．（北京市海淀区）一种圆状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为“20厘米×60米”，

经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别为 3.2厘米、4.0厘米，则该种保鲜

膜的厚度约为_________厘米（π取 3.14，结果保留两位有效数字）．

三、解答题：

1．（苏州市）已知：如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA

的延长线于点E，∠EBC＝2∠C．

①求证：AB＝AC；

②若tan∠ABE＝，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求当AC＝2时，AE的长．

2．（广州市）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，⊙O的割线PBC过点O与⊙O分别交于B、C，PA ＝8cm，PB＝4cm，求⊙O的半径．

3．（河北省）已知：如图，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD︰DB＝2︰3，AC＝10，求sin B的值．

4．（北京市海淀区）如图，PC为⊙O的切线，C为切点，PAB是过O的割线，CD⊥AB于点D，若tan B ＝，PC＝10cm，求三角形BCD的面积．

5．（宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切，D为切点，且MN∥AB，MN＝a，ON、CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．

6．（四川省）已知，如图，以△ABC的边AB作直径的⊙O，分别并AC、BC于点D、E，弦FG∥AB，S △CDE︰S△ABC＝1︰4，DE＝5cm，FG＝8cm，求梯形AFGB的面积．

7．（贵阳市）如图所示：PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，

PA＝10，PB＝5，求：

（1）⊙O的面积（注：用含π的式子表示）；

（2）cos∠BAP的值．