2020-2021北京高三一轮01三角函数定义.学生版

三角函数的定义考纲

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知识梳理

一．角的概念

（1）正角：逆时针旋转

负角：顺时针旋转

零角：没有旋转

【注】：1.画角时,不能只标上弧线表示角,由于角分正、负,所以要在图上标出代表角的终边旋转方向的箭头；

2.当角的始边相同时,若角相等,则终边相同;但若终边相同,角则不一定相等；○3按逆时针方向

旋转的角为正角,而钟表的时针、分针以及秒针是按顺时针方向旋转的,因此转过的角应是

负角，注意关键词”顺时针”和“逆时针”。

（2）终边相同的角

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合：

s={β|β=a+k?360°,k∈Z}。

（3）象限角：

通常使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几

象限就是第几象限角。

【注】：注意区分锐角与第一象限角，钝角和第二象限角。

●给出一个角，判断该角所在象限的方法是：先将此角化为k·360°+a(0°≤a<360°,k∈Z)的形式，

即找出与此角终边相同的角a(0°≤a<360°),再由角a终边所在的象限来判断此角是第几象限角

●已知θ所在的象限，求θ

或nθ(n∈N+)所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式(含有k(k∈Z))

n

表示，然后两边同除以n或乘以n,再对k进行讨论，得到θ

或nθ(n∈N+)所在的象限。

n

例题：

【例1】下列说法中，正确的是()

A．第二象限角是钝角

B．第三象限角必大于第二象限角

C．831

-?是第二象限角

D．9520

?'是终边相同的角

-?'，98440

?'，26440

【例2】（2017秋?海淀区校级期末）下列各角中，与50?的角终边相同的角是() A．40?B．140?C．130

-?D．310

-?【例3】角2

α=，则α所在象限角为()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

二．弧度制

角度与弧度的互化

(1)360°=2π rad:

(2)180°= π rada

(3)1°=（π

180

）°

弧长公式：l=|a|r

扇形面积公式:S=1

2lr=1

2

|a|r2

(其中l为扇形弧长，a为圆心角，r式圆弧半径)

例题：

【例1】（2018秋?东城区期末）单位圆中，200?的圆心角所对的弧长为()

A．10πB．9πC．9

10πD．

10

9

π

【例2】（2017秋?东城区校级期末）扇形周长为6cm，面积为2

2cm，则其中心角的弧度数是() A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5

三． 三角函数的定义

设a 是一个任意角，a 的终边上任意一点P （与原点不重合）的坐标为（x,y ），它到原点的距离是r=√x 2+y 2

5.三角函数在各象限的符号

sin a cos a tana

记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦

三角函数定义的应用类型及解题方法

(1)已知角a 终边上一点P 的坐标求三角函数值,先求出点P 到原点的距离r,然后利用三角函数定义求解； (2)已知角a 的终边所在的直线方程求三角函数值,先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数定义求解相关问题,同时注意分类讨论；

(3)判断三角函数值的符号问题,先判断角所在的象限,再根据各象限的符号规律判断。

例题：

【例1】（2019?东城区一模）在平面直角坐标系XOY 中，角α以OX 为始边，终边经过点(1P -，

++ +

++

+++

-

- -

- -

-

A ．sin cos αα+

B ．sin cos αα-

C ．sin cos αα

D ．

sin tan α

α

【例2】（2018秋?西城区校级期中）在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角α的终边经过点(cos 8M π

-，sin )8

π

，且02απ<<，则(α= ) A ．8

π B ．

38

π C ．

58

π

D ．

78

π

四． 同角三角函数关系式

1. 巧用“1”的变换：sin 2a+cos 2a=1

2. 弦切互化法：tan=sina

cosa （a ≠π

2+kπ,k ∈z ） 3. 和积转换法：(sina ±cosa)2=1±2sinacosa

【例1】若tan 3θ=，则222sin sin cos cos θθθθ--= ．

五． 诱导公式

(1)诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限。

(2)“奇”“偶”指的是诱导公式k·π2

+a 中的整数k 是奇数还是偶数。“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若k 是奇数,则正、余弦互变；若k 为偶数则函数名称不变 。 (3)“符号看象限”指的是在k·π

2+a 中,将a 看成锐角时k·π

2

+a 所在的象限。

1.利用诱导公式求值的原则及步骤 (1)原则:负化正、大化小、化到锐角为终了

(2)步骤:利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0~π

4之间角的三角函数然后求值。

2.利用诱导公式化简三角函数的思路和要求

(1)思路方法:①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化成单角三角函数;③整理得最简形式。 (2)化简要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值。 例题：

【例1】（2019秋?东城区校级月考）对于锐角α，若1sin()63πα-=，则cos()(3

π

α-= )

A B ．

38

C ．

38

D

【例2】（2017?北京模拟）2017cos 3

π

等于( )

A ．1

2

-

B ．

12

C ． D

A 组

【题1】（2018秋?丰台区期末）已知点P 在圆O 上按顺时针方向每秒转

6

π

弧度，2秒钟后，OP 转过的角等于( ) A ．3

π

- B ．6

π

-

C ．

6

π D ．

3

π

【题2】如果21α=-?，那么与α终边相同的角可以表示为( ) A ．{|36021k ββ=?+?，}k Z ∈ B ．{|36021k ββ=?-?，}k Z ∈

C ．{|18021k ββ=?+?，}k Z ∈

D ．{|18021k ββ=?-?，}k Z ∈

【题3】（2017秋?昌平区校级期末）已知集合{|224

2

k k π

π

απαπ++

，}k Z ∈，则角α的终边落

在阴影处（包括边界）的区域是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【题4】若角α与角β的终边关于y 轴对称，则( ) A ．()k k Z αβππ+=+∈ B ．2()k k Z αβππ+=+∈

C ．()2

k k Z π

αβπ+=+∈

D ．2()2

k k Z π

αβπ+=

+∈

【题5】角90?化为弧度等于( ) A ．3

π B ．

2

π C ．

4

π D ．

6

π

【题6】（2019秋?海淀区期中）如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin()2

π

α+的值为( )

A ．35-

B ．35

C ．45

-

D ．

45

【题7】（2019秋?海淀区校级月考）α是第四象限角，12

cos 13

α=，则sin (α= ) A ．513

B ．513

-

C ．

512

D ．512

-

【题8】已知1tan 3α=，求2

1

2cos sin cos ααα

+的值．( ) A ．2

3

B ．

103 C ．53

D ．

310

【题9】（2018秋?西城区期末）设[0α∈，2)π，则使1

sin 2

α>

成立的α的取值范围是( ) A ．2(,)33

ππ

B ．5(,)66ππ

C ．4(,)33

ππ

D ．711(

,)66

ππ

【题10】（2018秋?东城区期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边在射线

2(0)y x x =上，则cos α的值是( )

A B ． C D ．

【题11】（2019?北京学业考试）已知4sin 5α=，(0,)2

π

α∈，那么cos()πα-等于( ) A ．45

-

B ．35

-

C ．3

5

D ．

45

【题12】（2019春?通州区期末）R α?∈，下列各式中与sin α相等的是( ) A ．sin()α- B ．cos()2

π

α+

C ．sin()πα+

D ．sin()πα-

【题13】（2017秋?海淀区期末）2sin()(3

π

-= )

A ．

B ．12

-

C D ．

12

【题14】（2017?平谷区模拟）17cos 6

π

等于( )

A ．12

-

B ．

12

C ． D

【题15】（2017秋?通州区期末）sin 330(?= )

A ．1-

B ．

1 C ． D

【题16】（2017秋?东城区期末）函数cos(),[,]2

y x x π

ππ=+∈-是( )

A ．增函数

B ．减函数

C ．偶函数

D ．奇函

【题17】（2019?海淀区一模）若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是( )

A ．sin()2

πα+

B ．()2

cos π

α+

C ．sin()πα+

D ．cos()πα+

【题18】（2019?石景山区一模）在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称．若1

sin 3

α=，则sin β= ．

【题19】某蒸汽机上的飞轮直径为20cm ，每分钟按顺时针方向旋转180转，则飞轮每秒钟转过的弧度数是 ；轮周上的一点每秒钟经过的弧长为 ．

【分析】（1）首先求出每1秒转的圈数，进而根据一圈旋转2π-弧度，进而可得转过的弧度数；

（2）根据（1）中弧度数，结合已知中的半径，然后利用弧长公式即可得出答案．

【解答】解：（1）因为飞轮转速180转/分180

60

=

转/秒3=转/秒，而且飞轮作顺时针旋转， 所以它每秒转过的弧度数为3(2)6ππ?-=-．

（2）轮上一点每秒所转过的弧长为||61060L r cm αππ==?=． 故答案为：6π-，60cm π．

1. 如果tan 3α=，那么sin cos αα= ．

【题20】（2019春?通州区期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以的Ox 为始边，它们的

终边关于y 轴对称．若sin αcos2β等于 ．

【题21】（2018秋?西城区校级期中）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有点(1,)A a ，且2

cos23

α=，则||a = ．

【题22】（2017秋?通州区期末）设sin()10

a π

=-，2cos

3

b π

=，则两个数的大小关系是a b （填“>”或“<” )

【题23】（2018?通州区三模）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第一象限，且

与单位圆交于点1(,)2y ，则sin()3

π

α+= ．

【题24】（2019秋?东城区校级月考）化简

cos()

2sin()cos(2)5sin()

2π

ααππαπ

α---+的结果为____________.

【题25】（2018秋?石景山区期末）化简

sin(

)2cos()

π

απα+=- ．

B 组

【题1】如果点(sin ,cos )P θθ位于第四象限，那么角θ所在的象限是( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【题2】（2017秋?昌平区期末）已知α，β都是锐角，若sin cos αβ>，则下列结论正确的是( ) A ．2

π

αβ+> B ．2

π

αβ+<

C ．2

π

αβ->

D ．αβ-与

2

π

大小关系不确定

【题3】（2018春?海淀区期中）在ABC ?中，A B C <<，则下列结论中不正确的是( )

【题4】（2019秋?海淀区校级月考）已知(sin )cos3f x x =，则(cos10)f ?的值为( )

A ．12

±

B ．

12

C ． D

【题5】（2018?北京）在平面直角坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是

( )

A ．AB

B ．CD

C ．EF

D ．GH

【题6】圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( )

A ．3

π

B ．

23

π C D ．2

【题7】设圆O 的半径为2，点P 为圆周上给定一点，如图所示，放置边长为2的正方形ABCD （实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合，点B 在圆周上）．现将正方形ABCD 沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点A 首次回到点P 的位置时，点A 所走过的路径的长度为( )

A．4πB．(3πC．(1π

+

+D．(2π

【题8】（2018秋?海淀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆

fα．则下O相交于点P．过点P的圆O的切线交x轴于点T，点T的横坐标关于角α的函数记为() fα的说法正确的是()

列关于函数()

A ．()f α的定义域是{|2,}2

k k Z π

ααπ≠+

∈ B ．()f α的图象的对称中心是(,0),2

k k Z π

π+

∈

C ．()f α的单调递增区间是[2k π，2]k ππ+，k Z ∈

D ．()f α对定义域内的α均满足()()f f παα-=

【题9】（2018?大兴区一模）5π，sin 5

π

，5ln π三个数中最大的数是 ．

【题10】（2018?4月份模拟）如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC

?外的地方种草，ABC

?的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC a

=，ABCθ

∠=，设ABC

?的面积为

1

S，正方形PQRS的面积为

2

S，当a固定，θ变化时，则1

2

S

S

的最小值是．

【题11】（2019?大兴区一模）如图，单位圆Q的圆心初始位置在点(0,1)，圆上一点P的初始位置在原点，圆沿x轴正方向滚动．当点P第一次滚动到最高点时，点P的坐标为(,2)

π；当圆心Q位于点(3,1)时，点P的坐标为．

【题12】（2018秋?朝阳区期末）如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是 ．

练习

【练1】题解析著作权属菁优网所有，未经（2018秋?丰台区期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α与β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若4

sin 5

α=，则sin (β= ) A ．35

B ．

45 C ．35

-

D ．45

-

【练2】（2017春?西城区校级期中）若α，(2π

β∈-，)2

π

，且αβ<，则2αβ-的取值范围是( ) A ．3(2π-，3)2

π B ．3(2π-

，)2π

C ．(,)2

π

π-

D ．3(2

π

-

，)π

【练3】将300?化为弧度数为( ) A ．56

π B ．

116

π

C ．6

π

-

D ．

53

π

【练4】（2017秋?通州区期末）已知半径为2的圆上，有一条弧的长是2，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

【练5】（2019秋?海淀区校级月考）已知角α的终边过点(3,4)P -，则cos (α= ) A ．35

-

B ．34

-

C ．

45 D ．43

-

【练6】（2017秋?通州区期末）已知θ为第三象限角，则下列判断正确的是( ) A ．tan 0θ< B ．sin cos 0θθ< C ．cos tan 0θθ> D ．sin tan 0θθ<

【练7】（2017秋?海淀区期中）在平面直角坐标系xOy 中，点A 的纵坐标为2，点C 在x 轴的正半轴

上．在AOC ?中，若cos AOC ∠=，则点A 的横坐标为( )

A ．

B

C ．3-

D ．3

【练8】（2017秋?海淀区校级期末）计算：2sin (3

π

= )

A ．

B

C ．

2

D ．2

【练9】cos150?的值等于( ) A

B ．

12 C ．12

-

D

．

【练10】（2018?北京模拟）已知5

sin 13

α=，那么sin()πα-等于( ) A ．1213

- B ．513

-

C ．

513

D ．

1213

【练11】（2018秋?西城区期末）

sin(

)

2(cos()

π

αα-=- ) A ．tan α B ．tan α- C ．1 D ．1-

【练12】（2017秋?西城区期末）计算sin()sin()(παπα-++= ) A ．0 B ．1 C ．2sin α D ．2sin α-

【练13】已知sin 3cos 22cos sin αααα

+=-，则2

tan 3tan αα-等于( )

A ．2

B ．0

C ．89-

D ．23

-

【练14】（2018秋?朝阳区期中）已知(,0)2

π

α∈-，3sin 5α=-，则cos α= ；tan()πα+= ．

【练15】已知扇形的中心角的角度是120?，半径为2，则扇形的弧长是 ．

【练16】（2019?顺义区一模）已知α为锐角，且cos()πα+=，则tan α= ．