傅里叶级数

第十五章 傅里叶级数

§1 傅里叶级数

教学目标 掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理． 教学要求

(1) 基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数．

(2) 较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍引入傅里叶级数的意义 (包括物理意义和数学意义)． 教学建议

(1) 向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)． (2) 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展

开的方法与步骤． 教学程序

一、 Fourier 级数的定义

背景：

⑴ 波的分析：频谱分析 . 基频

T

1

( ωπ2=T ) . 倍频.

⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 .

⑶ n R 中用Descartes 坐标系建立坐标表示向量思想的推广:

调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier 建立了Fourier 分析理论的基础.

（一） 定义 设()f x 是(,)-∞+∞上以2π为周期的函数，且()f x 在[,]ππ-上绝对可积，称形如

01

(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞

=++∑ 的函数项级数为()f x 的 Fourier 级数或三角级数(()f x 的 Fourier 展开式)，其

中

01

()a f x dx π

π

π-

=

?，1

()cos ,1,2,n a f x nxdx n π

ππ

-

==?L ，

1

()sin ,1,2,n b f x nxdx n πππ

-

=

=?L

称为()f x 的 Fourier 系数，记为0

1

()~

(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 定理15.1 若级数∑∞

=++1

0) |||| (2||n n n b a a 收敛 , 则级数 01

(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞

=++∑ 在R 内绝对且一致收敛 . 证明： 用M 判别法. （二）说明

1）在未讨论收敛性，证明01

(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞

=++∑一致收敛到()f x 之前，

不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示

01

(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞

=++∑是()f x 的 Fourier 级数，或者说()f x 的 Fourier 级数是01

(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞

=++∑. 2) 要求[,]ππ-上()f x 的 Fourier 级数,只

须求出Fourier 系数.

例1 设()f x 是以2π为周期的函数，其在[,]ππ-上可表示为

1,0()0,0x f x x π

π≤≤?=?

-<

, 求()f x 的 Fourier 展开式.

3) 计算()f x 的 Fourier 系数的积分也可以沿别的长度为2π的去件来积.如

200

1

()a f x dx π

π

=

?

，20

1

()cos ,1,2,n a f x nxdx n π

π

==?

L ，

20

1

()sin ,1,2,n b f x nxdx n π

π=

=?

L

例 2 设()f x 是以2π为周期的函数,其在[0,2)π上等于x ,求()f x 的 Fourier 级数.

4) 如果()f x 仅定义在长为2π的区间上,例如定义在[0,2)π上, 此时()f x 不是周期函数, 从而不能按上述方法展开为Fourier 级数.但可对()f x 在[0,2)π外补充定义,使其以2π为周期, 如定义

~

()(2)f x f x n π=-, (2,2(1))x n n ππ∈+

它有下述性质: a) [0,2)x π∈时,~

()()f x f x =； b) ~

()f x 以2π为周期.

例3 (),()x f x e x ππ=-≤<,求()f x 的 Fourier 级数. 内积和正交: 由R 3中的内积与正交概念引入.

设函数f 和g 在区间] , [b a 上 ( R )可积 . 定义内积为 ?=>

a dx x g x f g f )()( , .

当>< , g f =0时 , 称函数)(x f 和)(x g 在区间] , [b a 上正交

函数的正交性与区间有关 . 例如函数)(x f =x -和2)(x x g =在区间] 1 , 0 [上并不正交 ( 因为>< , g f =4

1

-

) , 但在区间] 1 , 1 [-却是正交的 . 正交函数系统 : 标准正交系 ( 幺正系 ) , 完全系 二、 以π2为周期函数的Fourier 级数 定理15.2 若在整个数轴上

)(x f =

∑∞

=++1

, sin cos 2n n n nx b nx a a 且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式 π1

=n a ?-

π

πnxdx x f cos )(， Λ, 2 , 1 , 0=n

π

1

=

n b ?-

π

πnxdx x f sin )( ， Λ, 2 , 1=n

三、 收敛定理:

（一） 按段光滑函数: .

定义：若)(x f 的导函数)(x f '在区间] , [b a 上连续 , 则称函数)(x f 在区间

] , [b a 上光滑. 若函数)(x f 在区间] , [b a 上至多有有限个第一类间断点, 且)(x f '仅在区间] , [b a 上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称)(x f 是区

间] , [b a 上的按段光滑函数.

按段光滑函数的性质: 设函数)(x f 在区间] , [b a 上按段光滑, 则 ⑴ )(x f 在区间] , [b a 上可积;

⑵ 对∈?x ] , [b a , )0(±x f 都存在 , 且有

)0()

0()(lim 0+'=+-++

→x f t

x f t x f t ,

)0()

0()(lim 0-'=----+→x f t x f t x f t . ( 用Lagrange 中值定理证明 )

⑶ )(x f '在区间] , [b a 上可积 . （二）收敛定理:

定理15.3 设函数)(x f 是以π2为周期的周期函数且在区间] , [ππ-上按段光滑 , 则在?∈x ] , [ππ-, )(x f 的Fourier 级数

∑∞

=++1

sin cos 2n n n nx b nx a a 收敛于)(x f 在点x 的左、右极限的算术平均值 , 即 =

-++2

)0()0(x f x f ∑∞

=++10 sin cos 2n n n nx b nx a a 其中n a 和n b 为函数)(x f 的Fourier 系数. ( 证明放到以后进行 )

推论 若)(x f 是以π2为周期的连续函数 , 在] , [ππ-上按段光滑,且

则)(x f 的Fourier 级数在) , (∞+∞-内收敛于)(x f .

四、 正弦级数和余弦级数 （一）定义 形如

1

sin n

n b

nx ∞

=∑的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如

1

cos 2n n a a nx ∞

=+∑的三角级数(函数项级数称为余弦级数. （二） 如果()f x 是以2π为周期的函数,在[,]ππ-上绝对可积, 若()f x 是奇函数,

则有1()~sin n n f x b nx ∞

=∑；若()f x 是偶函数,则有01

()~cos 2n n a f x a nx ∞

=+∑. （三）设()f x 仅在[0,]π上有定义, 如果按奇函数的要求,补充定义

()(),[,0)f x f x x π=--∈-,然后再作2π周期延拓,必得奇函数, 所得Fourier 级

数必为正弦级数. 对应地, 补充定义()(),[,0)f x f x x π=-∈-后,再作2π周期延拓,必得偶函数, 所得Fourier 级数必为余弦级数.

例4 1,0()0,x h

f x h x π≤

五、 一般周期函数的Fourier 级数

设()f x 是周期为T 的函数,且在[0,]T 上绝对可积, 则有

0122()~(cos sin )2n n n a n n f x a x b x T T ππ∞

=++∑,其中00

2()T

a f x dx T =?，

022()cos ,1,2,T n n a f x xdx n T T π==?L 022()sin ,1,2,T n n b f x xdx n T T π

==?L

例5: 求(),11f x x x =-≤≤的Fourier 展开式. 六、 Fourier 级数的复数表示形式

设0

1

()~

(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞

=++∑, 则其复数表示形式为 ()~inx n f x C e +∞-∞

∑,

其中, 复的Fourier 系数20

1

()22inx n n n n a ib C f x e dx C π

π

---=

==?

.

作业 教材P70：1，2，3，4，5，6，7，8.

§2 以l 2为周期的函数的展开式

教学目的 掌握以l 2为周期的函数的展开式，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展

开，正弦级数，余弦级数． 教学要求

(1)掌握以l 2为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法．

(2)掌握通过对函数做奇延拓或偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本 方法． 教学建议

三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置少量习题使学生了解展开 的方法与步骤． 教学程序

一、 以l 2为周期的函数的Fourier 级数

设函数)(x f 以l 2为周期 , 在区间] , [l l -上 (R )可积 . 作代换πt

l x =

,

则函数

)

()(πlt

f t F =以π2为周期. 由

πt

l x =

是线性函数, )(t F 在区间]

, [ππ-上(R )可积 .

函数)(t F 的Fourier 系数为 ?-

=π

ππ

ntdt t F a n cos )(1

, Λ, 2 , 1 , 0=n

?-

=

π

ππ

ntdt t F b n sin )(1

, Λ, 2 , 1 =n

)(t F ～ ∑∞

=++10

. sin cos 2n n n nt b nt a a

还原为自变量x , 注意到

l x

t x f t l f t F , )() ()(ππ=

==, 就有 )()(t F x f =～∑∞

=++10

. sin cos 2n n n l x n b l x n a a ππ

其中

?-=

π

ππntdt t F a n cos )(1

?-=

====l l l x

t dx l x n x f l ππcos )(1, Λ, 2 , 1 , 0=n

=n b ?-l l dx l x

n x f l πsin )(1, Λ, 2 , 1 =n

当函数)(x f 在区间] , [l l -上按段光滑时, )(x f 可展开为Fourie r 级数. 註明三角函数系 } , sin , cos

, , sin

, cos

, 1 {ΛΛl x

n l x n l

x

l

x

ππππ是区间]

, [l l -上的正交函数系统 .

例１把函数

??

?<≤<<-=50 , 3 , 05

, 0 )(x x x f 展开成Fourier 级数. 二、 偶函数和奇函数的Fourier 级数

（一）区间[ , ]l l -上偶函数和奇函数的Fourier 级数

设f 是以2l 为周期的偶函数，或是定义在[],l l -上的偶函数，则

()()()01cos 2cos ,0,1,2.,sin 0,1,2,.l

n l l l n l n x

a f x dx

l l

n x f x dx n l l n x b f x dx n l πππ--?

=??

??==????

===?????L L (6) 于是

()01cos

2n n a n x

f x a l π∞=+∑: （7） 其中n a 如(6)所示，（7）的右边为余弦级数。

同理，若f 是以2l 为周期的奇函数，或是定义在[],l l -上的奇函数，则

()()01cos 0,0,1,2,,2sin 0,1,2,.l

n l l

n n x

a f x dx n l l

n x b f x dx n l l ππ-?

===????

===????L

L (8) 于是

()1

sin

,

n n n x

f x a l π∞

=∑:

（9）

其中n b 如(8)所示，（9）的右边为正弦级数。

（二）奇展开和偶展开:

在实际应用中，有时需把定义在[ 0 , ]π（或一般地[]0,l ）上函数展开成余弦或正弦级数。则需对函数作相应的偶式或奇式延拓。

例２ 设|sin |)(x x f =, ππ≤≤-x . 求f 的Fourier 级数展开式. 例３ 把定义在] , 0 [π上的函数

????

???≤<=<<=.

, 0 ,

, 21 , 0 , 1 )(πx h h x h x x f ( 其中之一) 0π<

展开成正弦级数.

例４ 把函数x x f =)(在) 2 , 0 (内展开成: ⅰ> 正弦级数; ⅱ> 余弦级数

作业 教材P77 1,2,3,5,5,6.

§3 二元函数的极限

教学目的 掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系． 教学要求

(1) 基本要求：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．

(2) 较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题． 教学建议

(1) 要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法．

(2) 对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法． 教学程序

一、二重极限与累次极限:

定义l 设二元函数f 为定义在D 2R ?上的二元函数，P 0为D 的一个聚点，A 是一个确定的实数．若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当P ∈∪0(Po ；δ)∩ D 时，都有

|f(P)-A|＜ε,

则称f 在D 上当P →P 0时，以A 为极限，记作

A P f p

p D

p =→∈)(lim

. (1)

在对于P ∈D 不致产生误解时，也可简单地写作

A P f p p =→)(lim 0

.

当P ，P 0分别用坐标(x ，y)，(x 0，y 0)表示时，(1)式也常写作

A y x f y x y x =→),(lim )(),(00.

例1 依定义验证 7)(2

2lim )1,2(),(=++→y xy x y x .

证 因为

|x 2+xy+y 2-7|

= |(x 2-4)+xy-2+(y 2-1)|

=|(x+2)( x-2)+( x-2)y+2(y-1)+(y+1)(y-1)|

≤|x-2||x+y+2|+|y-1||y+3|.

先限制在点（2，1）的δ=1的方邻域

{（x ，y ）||x-2|＜1，|y-1|＜1} 内讨论，于是有

|y+3|=|y-1+4|≤|y-1|+4＜5 |x+y+2|=|(x-2)+(y-1)+5|

≤|x-2|+|y-1|+5＜7．

所以

|x 2+xy+y 2-7|≤7|x-2|+5|y-1|

＜7(|x-2|+|y-1|).

设ε为任给的正数，取δ=min(1，14

ε)，则当|x 一2|＜δ,| y-1 |＜δ,

(x ，y)≠（2，1）时，就有

|x 2+xy+y 2-7|＜7·2δ=14δ＜ε.

例2 设

f(x,y)=)

0,0(),(0

)0,0(),(2

2

22=≠???+-y x y x y x y x xy

证明 lim )0,0(),(→y x f(x,y)=0．

证 对自变量作极坐标变换x=rcos ?,y=rsin ?．这时(x ，y)→(0，0)等价于对任何?,都有r →0．由于 |f(x,y)-0|=2

22

2y x y x xy +-

=224

1|4sin |41r r ≤? 因此，对任何ε＞0，只须取δ=2ε，当0＜

δ<时，不管?取什值都有|f(x,y)-0|<ε,即0),(lim )(),(00=→y x f y x y x

下述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归原则(而且证明方法也相似)．读者可通过它们进一步认识定义1中“0P P →”所包含的意义．

定理16.5 0lim ()P P P D

f P A →∈=的充要条件是：对于D 的任一子集E ，只要

P o 是E 的聚点，就有

0lim ()P P P E

f P A →∈=.

推论1 设E 1?D ，P 0是E l 的聚点.若01

lim

()p p

p E f P →∈不存在，则)(lim 0

P f p

p D

p →∈也不存在．

推论2 设E 1，E 2?D ，P 0是它们的聚点，若存在极限

1lim )(01

A P f p p E p =→∈, 2lim

)(0

2

A P f p p E p =→∈ 但A 1≠A 2，则

)(lim

0P f p

p D

p →∈不存在·

推论3 极限

)(lim

0P f p

p D

p →∈存在的充要条件是：对于D 中任一满足条件P n ≠P 。

且0lim P P n n =∞→的点列{P n }，它所对应的函数列{f(P n )}都收敛． 下面两个例子是它们的应用． 例3 讨论f(x ，y)=

2

2y

x xy

+当(x ，y)→(O ，0)时是否存在极限． 解 当动点(x ，y)沿着直线y=mx 而趋于定点(0，0)时，由于此时 f(x ，y)=f(x ，mx)=2

1m

m

+，因而有

2

lim

0lim 1),(),()0,0(),((m

m

mx x f y x f x y x mx

y +=

=→→=, 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在．

例4二元函数

21,0,,

(,)0,.

y x x f x y ?<<-∞<<+∞=??当时其余部分

如左图所示，当(x ，y)沿任何直线趋于原点时，相应的f(x ，y)都趋于零，但这并不表明此函数在(x ，y)→(0，0)时极限存在．因为当点 (x ，y)沿抛物线y=k χ2(0

f(x ，y)将趋于1．所以极限lim )0,0(),(→y x f(χ，

y)不存在． 下面我们再给出当P(x ，y)一P 0(x 0，y 0)时， f(x ，y)趋于+∞(非正常极限)的定义．

定义2 设D 为二元函数，的定义域，P 0(x 0，y 0)是D 的一个聚点．若对任给正数M ，总存在点P 0的一个δ邻域，使得当P(x ，y)∈∪0(Po ；δ)∩D 时，都有f(P)＞M ，则称f 在D 上当P →Po 时，存在非正常极限+∞，记作

+∞=→),(lim

y x f p p ,

仿此可类似地定义：

-∞=→)(lim 0p f p p 与 ∞=→)(lim

0p f p p

例5 设f(x ，y)=.321

2

2y x + 证明

lim )0,0(),(→y x f(x ，y)=+∞.

证 因为2x 2+3y 2<4(x 2+y 2)，对任给正数M ，取 δ=

,21M

就有

,21322M

y x <

+

由此推得

2 x 2+3y 2

1, 即

M y

x >+2

2321

. 这就证得结果(该函数在原点附近的图象参见下图:

二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法则相仿，特别f(x ，y)看作点函数f(P)时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再列出． 二、 累次极限

在上一段所研究的极限lim )0,0(),(→y x f(x ，y)中，两个自变量x ，y 同时以任何方式趋于x 0，y 0．这种极限也称为重极限．在这一段里，我们要考察x 与y 依一定的先后顺序相继趋于x 0与y 0时f 的极限，这种极限称为累次极限．

定义3 设E χ，Ey ?R ，x 0是E χ的聚点，y o 是E y 的聚点，二元函数f 在集合D=E χ×E y ①上有定义。若对每一个y ∈E y ,y ≠y 0,存在极限旦影 ),,(lim 0y x f x x x

E x →∈由于此

极限一般与y 有关，因此记作

=)(y ?),,(lim 0y x f x x x

E x →∈

而且进一步存在极限

L=),,(lim 0y x f x x Ey

x →∈

则称此极限为二元函数f 先对x(→x 0)后对y(→y 0)的累次极限，并记作

L=),(lim

lim 0

y x f x x y y x

E x y

E y →→∈∈

或简记作

L=).,(lim

lim 00y x f y y y y →→

类似地可以定义先对y 后对z 的累次极限

K=).,(lim

lim 00y x f y y x y →→

累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系． 下面三个例子将说明这一点．

例6设 f(x ，y)=

.2

2y

x xy

+．由例3已经知道(x ，y)→(0，0)时f 的重极限不存在．但当y ≠0时有

.02

2lim 0

=+→y

x xy

x 从而有 .02

2lim lim 0

=+→→y x xy

x x

同理可得

.02

2lim lim 0

0=+→→y

x xy

y x 即f 的两个累次极限都存在而且相等．

例7 设f(x ，y)=.2

2y

x y x y x +++-它关于原点的两个累次极限分别为

1)1(lim

02lim 022lim lim 0

0-=-=-=+++-→→→→y y y y y x y x y x y y y x ,

与

1)1(lim

02lim 022lim

lim 0

0=+=+=+++-→→→→x x x x y

x y x y x y x y x .

当沿斜率不同的直线y=xm ，(x ，y)→(0，0)时，容易验证所得极限也不同．因此该函数的重极限不存在(下面的定理16．6将告诉我们，这是一个必然的结果)． 例8 设f(χ，y)= xsin

y 1+ysin x

1

,它关于原点的两个累次极限都不存在．这是因为对任何y ≠0，当x →0时f 的第二项不存在极限．同理，对任x ≠0，当y →0时f 的第一项也不存在极限．但是由于 x

y y x 1

sin 1sin

+≤|x|+|y|， 故按定义1知道f 的二重极限存在，且.0),(lim

lim 0

=→→y x f y x

下述定理告诉我们：二重极限与累次极限在一定条件下也是有联系的． 定理16.6 若f(x ，y)在点(x o ，y o )存在二重极限

),(lim

lim ),(),(00y x f y x y x →

与累次极限 ),(lim

lim 00y x f y y x x →→

则它们必相等． 证设

A y x f y x y x =→),(lim

)

,(),(00

则对任给的正数ε，总存在正数δ，使得当P(x ，y)∈∪0(P o ；δ)时，有

|f(x,y)-A|＜ε

另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式 0＜|x-x 0|＜δ的x ，存在极限

lim 0

y y →(x ，y)=?(x)．

回到不等式(2)，让其中y →y o ，由(4)可得

|?(x)-A|≤ε．

故由(3)，(5)证得lim 0x x →?(χ)=A ，即

lim 0x x →lim

y y →(χ，y)=lim )(),(0y y y x →→ (x ，y)=A.

由这个定理可导出如下两个便于应用的推论． 推论1 若累次极限

),(lim

lim 0

0y x f y y x x →→，

),(lim lim 0

0y x f x x y y →→

和二重极限

lim

)

(),(0y y y x →→ f(x ，y)

都存在，则三者相等． 推论2 若累次极限

),(lim

lim 0

0y x f y y x x →→与

),(lim lim 0

0y x f x x y y →→

存在但不相等，则二重极限lim )(),(0y y y x →→ f(x ，y)必不存在．

注意: 定理16.6保证了在二重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等．(本节习题3则给出较定理16.6弱一些的充分条件．)但它们对另一个累次极限的存在性却得不出什么结论，对此只需考察本节习题2(5)．

推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件；推论2可被用来否定二重极限的存在性(如例7)．

总的来说二重极限与累次极限的关系如下:

（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序.

（２）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在.

（３）二重极限存在也不能保证累次极限存在.二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在.

（4）二重极限极限和累次极限(或另一次序)都存在 , 则必相等.

（5）累次极限与二重极限的关系

若累次极限和二重极限都存在，则它们必相等

作业教材P99:1,2,3,4,5.

§4 二元函数的连续性

教学目的 掌握二元函数的连续性的定义，以及多元函数的局部性质和它们在有界闭域上的整体性质． 教学要求

(1) 基本要求：掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质．

(2) 较高要求：掌握有界闭域上连续函数性质的证明要点． 教学建议

(1) 有界闭域上多元连续函数的性质基本上与一元函数的情况类似，教学中可通过复习一元连续函数的定理引出．

（2） 对较好学生，可布置一些与有界闭域上多元连续函数的性质有关的习题． 教学程序

一、二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入 . （一）、连续的定义:

定义. 设f 为定义在2

D R ?上的二元函数， 0P D ∈（为D 的一个聚点或孤

立点），若任给正数ε， 总存在δ， 使得当

()0

0;P U P D δ∈?时， 都有 ()()0,

f P f P ε-<

则称f 关于D 在点0P 连续。

函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 . 例1

??????

?=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(2222222y x m m y x y

x xy

y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .

例2 ??

?+∞<<∞-<<=. , 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f

证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿任何方向都连续 , 但并不全面连续. 函数的增量: 全增量、 偏增量 . 用增量定义连续性 .

函数在区域上的连续性 . （二）、连续函数性质：

（1）若f 在点a 连续，并且0)(>a f ，则存在a 的领域)(a O δ，当)(a O x δ∈时有0)(>x f ；

（2） 两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为０）都是连续函数； （3）（符合函数的连续性）：设D 是2R 中的开集，D y x ∈),(00。函数R D f →:，

Z y x →),( 在点D y x ∈),(00连续。又设)(),(t y y t x x ==，x 和y 的值域在D 内，并且当0t t =时0000)(,)(y t y x t x ==，而y x ,却在0t 连续。则复合函数在连续。

（４）（零点存在定理）：设D 是n R 中的一个区域，0P 和1P 是D 内任意两点，

f 是D 内的连续函数，如果0)(0>P f ，0)(1

0,P P 的折线上，至少存在一点s P ，使0)(=s P f 。 （三）、紧集上连续函数的性质

无似于闭区间上连续函数的性质，紧集（有界闭集）上的连续函数也具有类似性质：

(1)（有界性）紧集上的连续函数是有界的；

(2)（最大（小）值）紧集上的连续函数必有最大值和最小值； (3)（Cautor 定理）紧集上的连续函数必一致连续。 例 求函数)(22y x tg z +=的不连续点。（讨论函数的连续性） 二元初等函数 , 二元初等函数的连续性. 一致连续性: 定义.

二．有界闭区域上连续函数的性质: （一）、有界性与最值性. ( 证 ) （二）、一致连续性. ( 证 ) （三）、介值性与零点定理. ( 证 )

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