(易错题精选)初中数学函数基础知识难题汇编及答案
(易错题精选)初中数学函数基础知识难题汇编及答案
一、选择题
1.在平面直角坐标系中有三个点的坐标:()()0,2,2,01
(),3A B C ---,,从、、A B C 三个点中依次取两个点,求两点都落在抛物线2y x x 2=--上的概率是( )
A .13
B .16
C .12
D .23
【答案】A
【解析】
【分析】
先画树状图展示所有6种等可能的结果数,再找出两点都落在抛物线2y x x 2=--上的结果数,然后根据概率公式求解.
【详解】
解:在()()0,2,2,01
(),3A B C ---,三点中,其中AB 两点在2y x x 2=--上, 根据题意画图如下:
共有6种等可能的结果数,其中两点都落在抛物线2y x x 2=--上的结果数为2, 所以两点都落在抛物线2y x x 2=--上的概率是
2163
=; 故选:A .
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法和函数图像上点的特征.通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ,再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ,然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率.也考查了二次函数图象上点的坐标特征.
2.如图,在ABC ?中,90C =o ∠,30B ∠=o ,10AB cm =,P Q 、两点同时从点A 分别出发,点P 以2/cm s 的速度,沿A B C →→运动,点Q 以1/cm s 的速度,沿A C B →→运动,相遇后停止,这一过程中,若P Q 、两点之间的距离PQ y =,则y 与时间t 的关系大致图像是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意分当05t ≤≤、5t >时两种情况,分别表示出PQ 的长y 与t 的关系式,进而得出答案.
【详解】
解:在ABC ?中,90C =o ∠,30B ∠=o ,AB=10,
∴AC=5, 12
AC AB =, I. 当05t ≤≤时,P 在AB 上,Q 在AC 上,由题意可得:2AP t =,AQ t =, 依题意得:
12
AQ AP =, 又∵A A ∠=∠
∴APQ ABC V :V , ∴90AQP C ∠=∠=? 则3PQ t =,
II.当5t >,P 、Q 在BC 上,由题意可得:P 走过的路程是2t ,Q 走过的路程是t , ∴1533PQ t =+,
故选:A .
【点睛】
此题主要考查了动点问题的函数图象,正确理解PQ 长与时间是一次函数关系,并得出函数关系式是解题关键.
3.如图,线段AB 6cm =,动点P 以2cm /s 的速度从A B A --在线段AB 上运动,到达点A 后,停止运动;动点Q 以1cm/s 的速度从B A -在线段AB 上运动,到达点A 后,停止运动.若动点P,Q 同时出发,设点Q 的运动时间是t (单位:s )时,两个动点之间的距离为S(单位:cm ),则能表示s 与t 的函数关系的是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可以得到点P 运动的快,点Q 运动的慢,可以算出动点P 和Q 相遇时用的时间和点Q 到达终点时的时间,从而可以解答本题.
【详解】
:设点Q 的运动时间是t (单位:s )时,两个动点之间的距离为s (单位:cm ), 6=2t+t ,解得:t=2,即t=2时,P 、Q 相遇,即S=0,.
P 到达B 点的时间为:6÷2=3s ,此时,点Q 距离B 点为:3,即S=3
P 点全程用时为12÷2=6s ,Q 点全程用时为6÷1=6s ,即P 、Q 同时到达A 点
由上可得,刚开始P 和Q 两点间的距离在越来越小直到相遇时,它们之间的距离变为0,此时用的时间为2s ;
相遇后,在第3s 时点P 到达B 点,从相遇到点P 到达B 点它们的距离在变大,1s 后P 点从B 点返回,点P 继续运动,两个动点之间的距离逐渐变小,同时达到A 点.
故选D .
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象,解题的关键是明确各个时间段内它们对应的函数图象.
4.如图所示,菱形ABCD 中,直线l ⊥边AB ,并从点A 出发向右平移,设直线l 在菱形ABCD 内部截得的线段EF 的长为y ,平移距离x =AF ,y 与x 之间的函数关系的图象如图2所示,则菱形ABCD 的面积为( )
A .3
B 3
C .3
D .3【答案】C
【解析】
【分析】 将图1和图2结合起来分析,分别得出直线l 过点D ,B 和C 时对应的x 值和y 值,从而得出菱形的边长和高,从而得其面积.
【详解】
解:由图2可知,当直线l 过点D 时,x =AF =a ,菱形ABCD 的高等于线段EF 的长,此时y =EF 3;
直线l 向右平移直到点F 过点B 时,y 3;
当直线l 过点C 时,x =a +2,y =0
∴菱形的边长为a +2﹣a =2
∴当点E 与点D 重合时,由勾股定理得a 2+23)=4
∴a =1 3∴菱形的面积为3
故选:C .
【点睛】
本题是动点函数图象问题,将图形的运动与函数图象结合起来分析,是解决此类问题的关键,
5.如图,在Rt ABC ?中,点D 为AC 边中点,动点P 从点D 出发,沿着D A B →→的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B 点,在此过程中线段CP 的长度y 随着运动时间x 的函数关系如图2所示,则BC 的长为( )
A .1323
B .43
C .45511
D .1453
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象和图形的对应关系即可求出CD 的长,从而求出AD 和AC ,然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出CP ⊥AB 时AP 的长,然后证出△APC ∽△ACB ,列出比例式即可求出AB ,最后用勾股定理即可求出BC .
【详解】
解:∵动点P 从点D 出发,线段CP 的长度为y ,运动时间为x 的,根据图象可知,当x =0时,y=2
∴CD=2 ∵点D 为AC 边中点, ∴AD=CD=2,CA=2CD=4
由图象可知,当运动时间x=()211s +时,y 最小,即CP 最小
根据垂线段最短
∴此时CP ⊥AB ,如下图所示,此时点P 运动的路程DA +AP=()()
1211211?+=+
所以此时AP=(21111AD -=∵∠A=∠A ,∠APC=∠ACB=90°
∴△APC ∽△ACB
∴
AP AC AC AB = 114AB
= 解得:AB=1111
在Rt △ABC 中,22455AB AC -=
【点睛】
此题考查的是根据函数图象解决问题,掌握图象和图形的对应关系、相似三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键.
6.函数2x y x =
-中自变量x 的取值范围是( ) A .x≠2
B .x≥2
C .x≤2
D .x >2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式的意义,进行求解即可.
【详解】
解:根据分式的意义得2-x≠0,解得x≠2
故选:A
【点睛】
本题考查了求自变量的取值范围,函数自变量的范围一般从几个方面考虑:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.
7.小明和小华是同班同学,也是邻居,某日早晨,小明7:40先出发去学校,走了一段后,在途中停下吃了早餐,后来发现上学时间快到了,就跑步到学校;小华离家后直接乘公共汽车到了学校.如图是他们从家到学校已走的路程s (米)和所用时间t (分钟)的关系图.则下列说法中正确的是( ).①小明家和学校距离1200米;②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分;③小华乘坐公共汽车后7:50与小明相遇;④小华的出发时间不变,当小华由乘公共汽车变为跑步,且跑步的速度是100米/分时,他们可以同时到达学校.
A .①③④
B .①②③
C .①②④
D .①②③④
【答案】D
【解析】
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确,本题得以解决.
【详解】
解:由图象可得,
小明家和学校距离为1200米,故①正确,
小华乘坐公共汽车的速度是1200÷(13﹣8)=240米/分,故②正确,
480÷240=2(分),8+2=10(分),则小华乘坐公共汽车后7:50与小明相遇,故③正确,
小华的出发时间不变,当小华由乘公共汽车变为跑步,且跑步的速度是100米/分时,小华从家到学校的所用时间为:1200÷100=12(分),则小华到校时间为8:00,小明到校时间为8:00,故④正确,
故选:D.
【点睛】
本题考查函数图象,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
8.如图,在Rt△PMN中,∠P=90°,PM=PN,MN=6cm,矩形ABCD中AB=2cm,
BC=10cm,点C和点M重合,点B、C(M)、N在同一直线上,令Rt△PMN不动,矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动,至点C与点N重合为止,设移动x秒后,矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y,则y与x的大致图象是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
分析:在Rt△PMN中解题,要充分运用好垂直关系和45度角,因为此题也是点的移动问题,可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止,和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况,(1)0≤x≤2;(2)2<x≤4;(3)4<x≤6;根据重叠图形确定面积的求法,作出判断即可.
详解:∵∠P=90°,PM=PN,
∴∠PMN=∠PNM=45°,
由题意得:CM=x,
分三种情况:
①当0≤x≤2时,如图1,
边CD与PM交于点E,
∵∠PMN=45°,
∴△MEC是等腰直角三角形,
此时矩形ABCD与△PMN重叠部分是△EMC,
∴y=S△EMC=1
2
CM?CE=2
1
2
x;
故选项B和D不正确;
②如图2,
当D在边PN上时,过P作PF⊥MN于F,交AD于G,∵∠N=45°,CD=2,
∴CN=CD=2,
∴CM=6﹣2=4,
即此时x=4,
当2<x≤4时,如图3,
矩形ABCD与△PMN重叠部分是四边形EMCD,
过E作EF⊥MN于F,
∴EF=MF=2,
∴ED=CF=x﹣2,
∴y=S梯形EMCD=1
2
CD?(DE+CM)=
1
2(2)
2
x x
??-+=2x﹣2;
③当4<x≤6时,如图4,
矩形ABCD与△PMN重叠部分是五边形EMCGF,过E作EH⊥MN于H,
∴EH=MH=2,DE=CH=x ﹣2,
∵MN=6,CM=x ,
∴CG=CN=6﹣x ,
∴DF=DG=2﹣(6﹣x )=x ﹣4,
∴y=S 梯形EMCD ﹣S △FDG =1()2CD DE CM +﹣212DG =12
×2×(x ﹣2+x )﹣21(4)2x -=﹣212
x +10x ﹣18, 故选项A 正确;
故选:A .
点睛:此题是动点问题的函数图象,有难度,主要考查等腰直角三角形的性质和矩形的性质的应用、动点运动问题的路程表示,注意运用数形结合和分类讨论思想的应用.
9.如图,在矩形ABCD 中,AB 4=,BC 6=,当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时,直角边MP 始终经过点A ,设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q.BP x =,CQ y =,那么y 与x 之间的函数图象大致是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】D
【解析】
试题解析:设BP =x ,CQ =y ,则AP 2=42+x 2,PQ 2=(6-x )2+y 2,AQ 2=(4-y )2+62; ∵△APQ 为直角三角形,
∴AP 2+PQ 2=AQ 2,即42+x 2+(6-x )2+y 2=(4-y )2+62,化简得:y =?
14x 2+32x 整理得:y=?14
(x ?3)2+94
根据函数关系式可看出D中的函数图象与之对应.
故选D.
【点睛】本题考查的是动点变化时,两线段对应的变化关系,重点是找出等量关系,即直角三角形中的勾股定理.
10.弹簧挂上物体后会伸长,现测得一弹簧的长度y(厘米)与所挂物体的质量x(千克)之间有如下关系:
物体质量x/千克0 1 2 3 4 5 …
弹簧长度y/厘米10 10.5 11 11.5 12 12.5 …
下列说法不正确的是()
A.x与y都是变量,其中x是自变量,y是因变量
B.弹簧不挂重物时的长度为0厘米
C.在弹性范围内,所挂物体质量为7千克时,弹簧长度为13.5厘米
D.在弹性范围内,所挂物体质量每增加1千克弹簧长度增加0.5厘米
【答案】B
【解析】
试题分析:根据图表数据可得,弹簧的长度随所挂重物的质量的变化而变化,并且质量每增加1千克,弹簧的长度增加0.5cm,然后对各选项分析判断后利用排除法.
解:A、x与y都是变量,且x是自变量,y是因变量,正确,不符合题意;
B、弹簧不挂重物时的长度为10cm,错误,符合题意;
C、在弹性范围内,所挂物体质量为7千克时,弹簧长度为10+0.5×7=13.5,正确,不符合题意;
D、在弹性范围内,所挂物体质量每增加1千克弹簧长度增加0.5厘米,正确,不符合题意.
故选B.
点评:本题考查了函数关系的确认,常量与变量的确定,读懂图表数据,并从表格数据得出正确结论是解题的关键,是基础题,难度不大.
11.如图,在△ABC中,AC=BC,有一动点P从点A出发,沿A→C→B→A匀速运动.则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是()
A.B.
C .
D .
【答案】D
【解析】
试题分析:
如图,过点C 作CD ⊥AB 于点D .
∵在△ABC 中,AC=BC ,∴AD=BD .
①点P 在边AC 上时,s 随t 的增大而减小.故A 、B 错误;
②当点P 在边BC 上时,s 随t 的增大而增大;
③当点P 在线段BD 上时,s 随t 的增大而减小,点P 与点D 重合时,s 最小,但是不等于零.故C 错误;
④当点P 在线段AD 上时,s 随t 的增大而增大.故D 正确.故答案选D .
考点:等腰三角形的性质,函数的图象;分段函数.
12.如图,在矩形ABCD 中,2AB =,3BC =,动点P 沿折线BCD 从点B 开始运动到点D .设运动的路程为x ,ADP ?的面积为y ,那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意当03x ≤≤时,3y =,当35x <<时,()131535222y x x =
??-=-+,由此即可判断.
【详解】
由题意当03x ≤≤时,3y =,
当35x <<时,()131535222
y x x =
??-=-+, 故选D .
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论是扇形思考问题.
13.甲、乙两车同时从A 地出发,各自都以自己的速度匀速向B 地行驶,甲车先到B 地,停车1小时后按原速匀速返回,直到两车相遇.已知,乙车的速度是60千米/时,如图是两车之间的距离y (千米)与乙车行驶的时间x (小时)之间的函数图象,则下列说法不正确的是( )
A .A 、
B 两地之间的距离是450千米
B .乙车从出发到与甲车返回时相遇所用的时间是6.6小时
C .甲车的速度是80千米/时
D .点M 的坐标是(6,90)
【答案】C
【解析】
【分析】
A.仔细观察图象可知:两车行驶5小时后,两车相距150千米,据此可得两车的速度差,
进而得出甲车的速度,从而得出A、B两地之间的距离;
B.根据路程,时间与速度的关系解答即可;
C.由A的解答过程可得结论;
D.根据题意列式计算即可得出点M的纵坐标..
【详解】
∵根据题意,观察图象可知5小时后两车相距150千米,故甲车比乙车每小时多走30千米,∴甲车的速度为90千米/时;
∴A、B两地之间的距离为:90×5=450千米.
故选项A不合题意;
设乙车从出发到与甲车返回时相遇所用的时间是x小时,根据题意得:
60x+90(x﹣6)=450,解得x=6.6,
∴乙车从出发到与甲车返回时相遇所用的时间是6.6小时.
故选项B不合题意;
∵甲车的速度为90千米/时.
故选项C符合题意;
点M的纵坐标为:90×5﹣60×6=90,故选项D不合题意.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查根据函数图象的信息,解决实际问题,理解x,y的实际意义,根据函数图象上点的坐标的实际意义,求出甲,乙车的速度和A,B两地之间的距离是解题的关键.
14.如图,两块完全重合的正方形纸片,如果上面的一块绕正方形的中心O逆时针0°~90°的旋转,那么旋转时露出的△ABC的面积(S)随着旋转角度(n)的变化而变化,下面表示S与n关系的图象大致是()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
注意分析y随x的变化而变化的趋势,而不一定要通过求解析式来解决.
【详解】
旋转时露出的△ABC的面积(S)随着旋转角度(n)的变化由小到大再变小.
故选B.
【点睛】
考查动点问题的函数图象问题,关键要仔细观察.
15.如图所示,边长分别为1和2的两个正方形靠在一起,其中一边在同一水平线上.大正方形保持不动,小正方形沿该水平线自左向右匀速运动,设运动时间为t,大正方形内去掉小正方形重叠部分后的面积为s,那么s与t的大致图象应为( )
A.A B.B C.C D.D
【答案】D
【解析】
根据题意,设小正方形运动的速度为v,分三个阶段;
①小正方形向右未完全穿入大正方形,S=2×2-vt×1=4-vt,
②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形,S=2×2-1×1=3,
③小正方形穿出大正方形,S=Vt×1,
分析选项可得,D符合,
故选D.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,解决此类问题,注意将过程分成几个阶段,依次分析各个阶段得变化情况,进而综合可得整体得变化情况.
16.一辆货车早晨7∶00出发,从甲地驶往乙地送货.如图是货车行驶路程y(km)与行驶时间x(h)的完整的函数图像(其中点B、C、D在同一条直线上),小明研究图像得到了以下结论:
①甲乙两地之间的路程是100km;
②前半个小时,货车的平均速度是40km/h;
③8∶00时,货车已行驶的路程是60km;
④最后40 km货车行驶的平均速度是100km/h;
⑤货车到达乙地的时间是8∶24,
其中,正确的结论是()
A .①②③④
B .①③⑤
C .①③④
D .①③④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】 根据折线图,把货车从甲地驶往乙地分为三段,再根据图象的时间和路程进行计算判断.
【详解】
①甲乙两地之间的路程是100 km ,①正确;
②前半个小时,货车的平均速度是:400.580?km/h ÷=,②错误;
③8∶00时,货车已行驶了一个小时,路程是60 km ,③正确;
④最后40 km 货车行驶的平均速度就是求BC 段的速度,时间为1.3-1=0.3小时,路程为90-60=30km ,平均速度是300.3100?km /h ÷=,④正确;
⑤货车走完BD 段所用时间为:401000.4÷=小时,即0.46024?=分钟
∴货车走完全程所花时间为:1小时24分钟,
∴货车到达乙地的时间是8∶24,⑤正确;
综上:①③④⑤正确;
故选:D
【点睛】
本题考查了一次函数的应用,能够正确理解函数图象的横、纵坐标表示的意义,理解问题的过程,并能通过图象得到自变量和函数值之间的数量关系是解题的关键.
17.如图1,点F 从菱形ABCD 的项点A 出发,沿A -D -B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B .图2是点F 运动时,△FBC 的面积y (m 2)随时间x (s)变化的关系图象,则a 的值为( )
A .5
B .2
C .52
D .25
【答案】C
【解析】
【分析】 过点D 作DE BC ⊥于点E 由图象可知,点F 由点A 到点D 用时为as ,FBC ?的面积为2acm .求出DE=2,再由图像得5BD =,进而求出BE=1,再在DEC Rt △根据勾股定理构造方程,即可求解.
【详解】
解:过点D 作DE BC ⊥于点E
由图象可知,点F 由点A 到点D 用时为as ,FBC ?的面积为2acm .
AD BC a ∴==
∴1
2
DE AD a =g 2DE ∴=
由图像得,当点F 从D 到B 时,用5s
5BD ∴=
Rt DBE V 中,
2222(5)21BE BD DE =-=-=
∵四边形ABCD 是菱形,
1EC a ∴=-,DC a =
DEC Rt △中,
2222(1)a a =+-
解得52
a =
故选:C .
【点睛】
本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质,要注意函数图象变化与动点位置之间的关系,解答此题关键根据图像关键点确定菱形的相关数据.
18.下列图象中,表示y 是x 的函数的是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】C
【解析】
【分析】
函数就是在一个变化过程中有两个变量x ,y ,当给x 一个值时,y 有唯一的值与其对应,就说y 是x 的函数,x 是自变量.注意“y 有唯一的值与其对应”对图象的影响.
【详解】
解:根据函数的定义可知,每给定自变量x 一个值都有唯一的函数值y 相对应, 所以A. B. D 错误.
故选C .
【点睛】
本题考查了函数的概念,牢牢掌握函数的概念是解答本题的关键.
19.如图,数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围,则这个函数解析式为( )
A .y=x+2
B .y=x 2+2
C .2x +
D .y=12
x + 【答案】C
【解析】
试题分析:A .2y x =+,x 为任意实数,故错误;
B .22y x =+,x 为任意实数,故错误;
C .2y x =+20x +≥,即2x ≥-,故正确;
D .12
y x =
+,20x +≠,即2x ≠-,故错误; 故选C . 考点:1.函数自变量的取值范围;2.在数轴上表示不等式的解集.
20.已知:在ABC ?中, 10,BC BC =边上的高5h =,点E 在边AB 上,过点E 作
//
EF BC交AC边于点F.点D为BC上一点,连接DE DF
、.设点E到BC的距离为x,则DEF
?的面积S关于x的函数图象大致为()
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
判断出△AEF和△ABC相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出EF,再根据三角形的面积列式表示出S与x的关系式,然后得到大致图象选择即可.
【详解】
解:∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴
5
5
EF x BC
-
=,
∴EF=5
5
x
-
?10=10-2x,
∴S=1
2
(10-2x)?x=-x2+5x=-(x-
5
2
)2+
25
4
,
∴S与x的关系式为S=-(x-5
2
)2+
25
4
(0<x<5),
纵观各选项,只有D选项图象符合.故选:D.
【点睛】
此题考查动点问题函数图象,相似三角形的性质,求出S与x的函数关系式是解题的关键.
初中数学易错题型大全共20页文档
初中数学易错题 一、选择题 1、A、B是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是() A、互为相反数 B、绝对值相等 C、是符号不同的数 D、都是负数 2、有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是() A、2a B、2b b C、2a-2b D、2a+b 3、轮船顺流航行时m千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度() A、2千米/小时 B、3千米/小时 C、6千米/小时 D、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有() A、1个 B、3个 C、4个 D、无数个 5、下列说法错误的是() A、两点确定一条直线 B、线段是直线的一部分 C、一条直线不是平角 D、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m2-1)x2-(3m-1)x+2的图象与x轴的交点情况是 ( ) A、当m≠3时,有一个交点 B、1 m时,有两个交点 ≠ ± C、当1 m时,有一个交点 D、不论m为何值,均无交点 = ± 7、如果两圆的半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且(d-r)2=R2,则