培优专题6分式的概念分式的基本性质含答案
6、分式的概念、分式的基本性质
【知识精读】
分式的概念要注意以下几点:
(1)分式是两个整式相除的商,其中分母是除式,分子是被除式,而分数线则可以理解为除号,还含有括号的作用;
(2)分式的分子可以含字母,也可以不含字母,但分母必须含有字母;
(3)分式有意义的条件是分母不能为0。
分式的基本性质类似于分数的基本性质,是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。在运用分式的基本性质时,要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解,并注意法则中M “不为零”的条件。
下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。
【分类解析】
例1. 已知a b ,为有理数,要使分式
a b 的值为非负数,a b ,应满足的条件是( ) A. a b ≥≠00,
B. a b ≤<00,
C. a b ≥>00,
D. a b ≥>00,,或a b ≤<00,
分析:首先考虑分母b ≠0,但a 可以等于0,由a b
≥0,得a b ≥>00,,或a b ≤<00,,故选择D 。
例2. 当x 为何值时,分式||x x -+55
的值为零? 分析:分式的值为零必须满足两个条件:(1)分子为零;(2)分母不为零。 解:由题意得,得||x x -==±505,,而当x =-5时,分母x +5的值为零。 ∴当x =5时,分式
55||+-x x 的值为零。
例3. 已知
113a b -=,求2322a ab b a ab b ----的值( ) A. 12 B. 23 C. 95
D. 4
分析:
113113a b b a
-=∴-=-,,将分式的分母和分子都除以ab ,得 23222231122333295a ab b a ab b b a b a ----=----=?----=(),故选择C 。
例4. 已知x y -=20,求x xy y x xy y
22
22323-++-的值。 分析:根据已知条件,先消元,再化简求值。
解: x y x y -=∴=202
∴原式=-?+?+-()()2322223222
222y y y y y y
=-=-y y
22717
例5. 已知:x x 210--=,求x x 44
1+的值。 解一:由x x 210--=得x ≠0,等式两边同除以x 得: x x --
=110,即x x
-=11 x x x x 44441122+=+-+
=-+=-++=-+++=--++=+=()[()()]()()()[()]x x x x x x
x x x x x x x x
222222221211211221142527
解二:由已知得:x x -
=11,两边平方得:x x 2213+= 两边平方得:x x 44
17+
=
中考点拨:
1.若代数式()()||x x x -+-211
的值为零,则x 的取值范围应为( ) A. x =2或x =-1
B. x =-1
C. x =±2
D. x =2 解:由已知得:()()||x x x -+=-≠?????210
10
解得:x =2 故选D
简析:在求解分式值为零的题目时,考虑到分子为零,但不要忽略了分母不为零这一条件。
2. 已知:x y z 346
0++≠,求x y z x y z +--+的值。 解:设
x y z k 3460++=≠,则x k y k z k ===346,, ∴
+--+=+--+=x y z x y z k k k k k k 34634615
题型展示:
1. x 为何值时,
||x x x x -+-=+123132成立? 解: ||||()()
x x x x x x -+-=-+-1231312 当x ≠1且x ≠-3时,分式x x x -+-1232与13
x +都有意义。 当||x x -=-11时,由分式的基本性质知: ||()()()()x x x x x x x -+-=-+-=+13113113
解不等式组:x x x -≥≠≠-???????1013
得:x >1
∴当x >1时,x x x x -+-=+12313
2 说明:利用分式的基本性质解决恒等变形问题是基本性质的灵活运用,注意分式的基本性质所适用的条件是分式有意义,做题时应考虑分母不为零的条件。
2. 把分式1882483222a b ab a b
++++化为一个整式和一个分子为常数的分式的和,并且求出这个整式与分式的乘积等于多少?
解:原式=++++291248
3222()a ab b a b =+++=+++2328
322328
322()()a b a b a b a b
∴+?+=2328
3216()a b a b
说明:利用因式分解、分式的基本性质可以化简分式。
【实战模拟】
1. 在下列有理式2
21
1
21
a x x m n x y
x y y a b ,,,,++-+-()()中,分式的个数是(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 如果分式a a a 2
24
26---的值为零,则a 的值为( )
A. 2
B. -2
C. a =2且a =-2
D. 0
3. 填空题:
(1)x y x y x y x y x y -+=-+=-+=--+()(
)
()
()
(2)当a =_______时,分式a a a -+1
32的值等于零;
当a =_______时,分式a a a -+1
32无意义。
4. 化简分式:x x x x x x 32325396512
++-++-
5. 已知:x y y y +=--=22402,,求y x y -
的值。
6. 已知:a b c ++=0,求a b c b c a c a b
()()()1111113+++
+++的值。
【试题答案】
1. 简析:判断一个有理式是否为分式,关键在于看分母中是含有字母,故选D 。
2. B
说明:分式值为0的条件:分子为分母不为00
????? 3. (1)x y x y y x x y y x x y x y x y -+=--+=--+=---+()()()()
(2)当a =1时,
a a a
-+132的值为0。 当a =0或a =-1时,a a a -+132无意义。 4. 解:原式=-+-+--+-+-()()()()()()
x x x x x x x x x x 3223226699771212 =-++-++=-+-++=++()()()()
()()()()()x x x x x x x x x x x x x 16917121313434222
说明:利用因式分解把分子、分母恒等变形,再约分。
5. 解: x y x y +=∴=-22, 2402
2022y y y y --=∴--=, ∴-=-=--=+-y x y y x y y y y y y y
22222() =-
-+=y y y y 2223232
说明:变形已知条件,先消元,再化简求值。
6. 解: a b c ++=0
∴+=-+=-+=-a b c b c a c a b ,,
∴原式=++++++a b a c b a b c c a c b
3
=
++++++=-+-+-+=---+=b c a a c b a b c a a b b c c 3311130
分式的化简与求值培优题
分式的化简与求值 1 已知2 310a a -+=,则代数式3 61 a a +的值为 . (“希望杯”邀请赛试题) 2 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =,75832a =, 356 124234567 a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为( ) A .648 B .832 C .1168 D .1944 (五城市联赛试题) 3 3(0)x y z a a ++=≠.求 222 ()()()()()() ()()() x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-. (宣州竞赛试题) 4 已知 1,2,3,xy yz zx x y y z z x ===+++求x 的值. (上海市竞赛试题) 5若 a b c d b c d a ===,则a b c d a b c d -+-+-+的值是 . (“希望杯”邀请赛试题) 6 若222 1998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =,则111 c a b ab bc ac a b c ++--- 的值为 .
(“缙云杯”竞赛试题) 7 已知232325 x xy y x xy y +-=--,则11 x y -= . 8 如果111,1a b b c + =+=,那么1 c a +=( ) . A .1 B .2 C .12 D .1 4 (“新世纪杯”竞赛试题) 9 设有理数,,a b c 都不为0,且0a b c ++=,则 222222222 111 b c a c a b a b c +++-+-+-的 值为( ). A .正数 B .负数 C .零 D .不能确定 10.已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠,则222 222 23657x y z x y z ++++的值为( ). A .0 B .1 C .2 D .不能确定 11.已知211 x x mx =-+,则36 33 1x x m x -+的值为( ) A .1 B . 313m + C .2132m - D .2131 m + 12.设0a b c ++=,求222 222222a b c a bc b ac c ab +++++的值. 13.已知1ax by cz ===,求 444444 111111 111111a b c x y z +++++++++++的值. (“华杯赛”试题)
培优专题7_分式的运算(含问题详解)
10、分式的运算 【知识精读】 1. 分式的乘除法法则 ; 当分子、分母是多项式时,先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法 (1)通分的根据是分式的基本性质,且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键,它的法则是: ①取各分母系数的最小公倍数; ②凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取; ③相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最高的。 (2)同分母的分式加减法法则 (3)异分母的分式加减法法则是先通分,变为同分母的分式,然后再加减。 3. 分式乘方的法则 (n为正整数) 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一,在分式方程,求代数式的值,函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题: (1)注意运算顺序及解题步骤,把好符号关; (2)整式与分式的运算,根据题目特点,可将整式化为分母为“1”的分式; (3)运算中及时约分、化简; (4)注意运算律的正确使用; (5)结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算。 【分类解析】
例1:计算的结果是() A. B. C. D. 分析:原式 故选C 说明:先将分子、分母分解因式,再约分。 例2:已知,求的值。 分析:若先通分,计算就复杂了,我们可以用替换待求式中的“1”,将三个分式化成同分母,运算就简单了。 解:原式 例3:已知:,求下式的值: 分析:本题先化简,然后代入求值。化简时在每个括号内通分,除号改乘号,除式的分子、分母颠倒过来,再约分、整理。最后将条件等式变形,用一个字母的代数式来表示另一个字母,带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解:
初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题 附答案详解)
初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题附答案详解) 1.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车,随着汽车的普及,其价格也在不断下降,今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元,如果卖出相同数量的A款汽车,去年销售额为90万元,今年销售额只有80万元. (1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元? (2)为了增加收入,汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车,已知B款汽车每辆进价为7.5万元,每辆售价为10.5万元,A款汽车每辆进价为6万元,若卖出这两款汽车15辆后获利不低于38万元,问B款汽车至少卖出多少辆? 2.小明和小刚相约周末到净月潭国家森林公园去徒步,小明和小刚的家分别距离公园1600米和2800米,两人分别从家中同时出发,小明骑自行车,小刚乘公交车,已知公交车的平均速度是骑自行车速度的3.5倍,结果小刚比小明提前4min到达公园,求小刚乘公交车的平均速度. 3.兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫,由于深受顾客喜爱,很快售完,老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫,所购数量与第一批相同,但每件进价比第一批多了9元. (1)第一批该款式T恤衫每件进价是多少元? (2)老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫,当第二批T恤衫售出4 5 时,出现了 滞销,于是决定降价促销,若要使第二批的销售利润不低于650元,剩余的T恤衫每件售价至少要多少元?(利润=售价﹣进价) 4.近年来,泰州多条动车路线的开通进一步加强了与其他城市的沟通,同时也为市民的出行带来了方便.已知某市到泰州的路程约为900km,一列动车的平均速度比特快列车快50%,所需时间比特快列车少2h,求该列动车的平均速度. 5.一项工程,甲,乙两公司合做,12天可以完成,共需付施工费102000元;如果甲,乙两公司单独完成此项工程,乙公司所用时间是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元. (1)甲,乙两公司单独完成此项工程,各需多少天? (2)若让一个公司单独完成这项工程,哪个公司的施工费较少? 6.甲、乙两人做某种机械零件,已知甲每小时比乙多做5个,甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等,问甲、乙两人每小时各做多少个零件?(用列方程的方法解答)
八年级数学分式培优练习题完整复习资料
分式培优练习题 分式 (一) 一 选择 1 下列运算正确的是( ) A -40=1 B (-3)-1=3 1 C (-2)2=4 D ()-111 2 分式2 8,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是( ) A 722 B 108 C 72 D 962 3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是( ) A 0.00036 B -0.0036 C -0.00036 D -36000 4 若分式652 2+--x x x 的值为0,则x 的值为( ) A 2 B -2 C 2或-2 D 2或3 5计算?? ? ??-+÷??? ?? -+1111112x x 的结果是( ) A 1 B 1 C x x 1+ D 1 1-x 6 工地调来72人参加挖土和运土,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走,怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走,解决此问题,可设派x 人挖土,其它的人运土,列方程 ①3172=-x x ②723x ③372 ④372=-x x 上述所列方程,正确的有( )个 A 1 B 2 C 3 D 4 7 在m a y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中,分式的个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 5 8 若分式方程x a x a x +-=+-321有增根,则a 的值是( ) A -1 B 0 C 1 D 2 9 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是( ) A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知 k b a c c a b c b a =+=+=+,则直线2k 一定经过( ) A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限 二 填空 1 一组按规律排列的式子:()0,,,,4 11 38252≠--ab a b a b a b a b ,其中第7个式子是
分式经典培优竞赛题[1]
1. 若,试判断是否有意义。 2. 计算: 3、解方程: 4. 已知与互为相反数,求代数式 的值。 5. 一列火车从车站开出,预计行程450千米,当它开出3小时后,因特殊任务多停一站,耽误30分钟,后来把速度提高了0.2倍,结果准时到达目的地,求这列火车的速度。 6. 已知,试用含x的代数式表示y,并证明。 6、中考原题: 例1.已知,则M=__________。 例2.已知,那么代数式的值是_________。 1. 当x取何值时,分式有意义?
3. 计算: 4. 解方程: 5. 要在规定的日期内加工一批机器零件,如果甲单独做,刚好在规定日期内完成,乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后,再由乙单独做,正好按期完成。问规定日期是多少天? 6. 已知 ,求的值。 9、(6分)已知02 =-a a ,求1112421222-÷+--?+-a a a a a a 的值. 21、(6分)设23111 x A B x x ==+--,,当x 为何值时,A 与B 的值相等? 3、计算(1)?? ? ??--++-y x x y x y x x 2121 (2)4214121111x x x x ++++++- 6、若25452310 A B x x x x x -+=-+--,试求A 、B 的值. 16、已知c b a -=+,求?? ? ??++??? ??++??? ??+b a c c a b c b a 111111的值 17、已知12 --x x =0,则5412x x x ++= 18、设1=abc ,则=++++++++1 11c ca c b bc b a ab a 19、已知20032=+x a ,20042=+x b ,20052=+x c ,且6012=abc ,求 c b a ab c ac b bc a 111---++的值 20、已知31=+b a ab ,41=+c b bc ,51=+c a ac ,求ac bc ab abc ++的值
分式方程培优讲义
分式方程培优讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
分式方程拔高讲练 一、含有参数方程 1.若关于x的分式方程的解为非负数,则a的取值范围是 2.分式方程=1﹣的根为 3.若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数,且使关于y的不等式组 的解集为y<﹣2,则符合条件的所有整数a的和为 二、方程无解 1.若关于x的方程﹣=﹣1无解,则m的值是 2.若=0无解,则m的值是 3.若关于x的分式方程﹣=无解,求a=.
三、有增根 1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根,那么m的值为 2、关于x的分式方程有增根,则增根为. 3、若关于x的方程有增根,则m的值是. 4、解关于x的方程+=产生增根,则常数a= 四、整体代入解方程 1.已知在方程x2+2x+=3中,如果设y=x2+2x,那么原方程可化为关于y 的整式方程是. 2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y=. 3.如果实数x满足(x+)2﹣(x+)﹣2=0,那么x+的值是. 四、实际问题 1.某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件,很快售完;该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫,所进件数比第一批多40%,每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元,求第一批购进多少件衬衫设第一批购进x件衬衫,则所列方程为() A.﹣10= B.+10= C.﹣10= D.+10=
2.一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h,它以最大航速沿江顺流航行 120km所用时间,与以最大航速逆流航行90km所用时间相等.设江水的流速为v km/h,则可列方程为() A.= B.=C.= D.= 3.甲、乙二人做某种机械零件,甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等.设甲每小时做x个零件,下面所列方程正确的是() A. B. C. D. 4.2017年,在创建文明城市的进程中,乌鲁木齐市为美化城市环境,计划种植树木30万棵,由于志愿者的加入,实际每天植树比原计划多20%,结果提前5 天完成任务,设原计划每天植树x万棵,可列方程是() A.﹣=5 B.﹣=5 C.+5= D.﹣=5 5.西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时!某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾,调用甲车3小时只清理了一半垃圾,为了加快进度,再调用乙车,两车合作小时清理完另一半垃圾.设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时,根据题意可列出方程为() A.+=1 B.+= C.+= D.+=1 【同步训练】 1.如果关于x的不等式组的解集为x>1,且关于x的分式方程 +=3有非负整数解,则符合条件的m的所有值的和是()A.﹣2 B.﹣4 C.﹣7 D.﹣8 2.从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中,随机抽取一个数记为m,若数m使关于x的不等式组无解,且使关于x的分式方程+=﹣1有 非负整数解,那么这一个数中所有满足条件的m的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4