离散数学习题1

离散数学集合论综合练习作业辅导

（10秋）

离散数学作为信息科学和计算机科学的数学基础，是教育部指定的计算机科学与技术学科核心课程，也是电大计算机科学与技术专业的统设必修学位课程，因此它也是该专业的一门很重要的基础课程，也是该专业的许多专业课程（包括数据结构、操作系统、网络编程技术、数据库应用技术等）的先修课程．本课程4学分，课内72学时，第二学期开设，主要是介绍离散量的结构及其相互关系，其包含的理论与方法在各学科领域都有着广泛的应用．本课程的主要内容包括：集合论、图论、数理逻辑三个部分．

本课程的学习目标：通过本课程的学习，使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法．同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力，为学生以后学习计算机基础理论与专业课程打下良好的基础．

本次教学活动是本学期的第一次综合作业辅导活动，主要是针对集合论单元的重点学习内容进行辅导，方式是通过讲解一些典型的综合练习题目，帮助大家进一步理解和掌握集合论的基本概念和方法，也使大家尽早地了解本课程期末考试的题型．

下面是本学期第2，3次形考作业中的部分题目．

一、单项选择题

单项选择题主要是第2次形考作业的部分题目。

第2次作业由10个单项选择题组成，每小题10分，满分100分。在每次作业关闭之前，允许大家反复多次练习，系统将保留您的最好成绩，希望大家要多练几次，争取好成绩。需要提醒大家的是每次练习的作业题目可能不一样，请大家一定要认真阅读题目。

1．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．

A．{a，{a}}∈A B．{1，2}?A C．{a}?A D．?∈A 正确答案：C

2．若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．

A．A?B，且A∈B B．B?A，且A∈B

C．A?B，且A?B D．A?B，且A∈B

正确答案：A

注意：这两个题是重点，大家一定要掌握，还有灵活运用，譬如，将集合中的元素作一些调整，大家也应该会做．

例如，2010年1月份考试的试卷的第1题

若集合A＝{ a，{a}}，则下列表述正确的是( )．

A．{a}?A B．{{{a}}}?A

C．{a，{a}}∈A D．?∈A

答案：A

3．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．

A．{{1}, {a}} B．{?,{1}, {a}}

C．{?,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}

正确答案：C

注意：若A是n元集，则幂集P(A )有2 n个元素．当n=10时，A的幂集的元素有多少个？（应该是1024个）

4．集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={|x=y且x, y∈A}，则R的性质为（）．

A．不是自反的B．不是对称的

C．传递的D．反自反的

正确答案：C

因为写出二元关系R的集合表达式为

R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<3 , 3>，<4 , 4>}

显然，R是一个恒等关系，因此它是自反的、对称的、传递的，不是反自反的．要求大家能熟练地写出二元关系R的集合表达式，并能判别R具有的性质．5．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．

A．0 B．2 C．1 D．3

正确答案：B

教材第40页第三行指出，若R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2也是A上的自反关系．

6．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系

R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，

S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，

则S是R的（）闭包．

A．自反B．传递C．对称D．以上都不对正确答案：C

利用教材第42页定义2.3.4可以判定S是R的对称闭包．

由42页定义2.3.4知道，关系R的对称闭包s (R)是包含R并具有对称性的最小的关系，由此也可以判定S是R的对称闭包．

7．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系

的哈斯图如右图所示，若A的子集B = {3 , 4 , 5}，则元素3为B的（）．

A．下界B．最大下界

C．最小上界D．以上答案都不对

5

2

正确答案：C

由教材第4页的定义2.5.11知道，集合B的最大元一定是B的上界，而且是B的最小上界．因此可以判定选项C 正确．

8．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为( )．

A．8、2、8、2 B．8、1、6、1

C．6、2、6、2 D．无、2、无、2

正确答案：D Array集合A上的整除关系R的哈斯图如右图所示．

由哈斯图可知，集合B的无最大元和上界，

最小元和下界都是2，因此，选项D正确

9．设A={a, b}，B={1, 2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={, }，R2={, , }，R3={, }，则（）不是从A到B的函数．

A．R1B．R2C．R3D．R1和R3

正确答案：B

由教材第55页的定义2.6.1知道，函数是单值性，也就是说，定义域A中任

意一个a与值域B中唯一的b有关系，而R2中的a有两个值2，1与它有关系，

所以而R2不是函数．

10．设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为（）．A．2 B．3 C．6 D．8

正确答案：D

因为：f1= {，，}，f2= {，，}，f3={，，}，f4= {，，}，

f5={，，}，f6= {，，}，

f7={，，}，f8=，，}．

下面的内容主要是第3次形考作业的部分题目。

二、填空题

1．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，

y

∈

x

∈

R?

且

=且

<

>

∈

B

{B

,

,

x

}

A

A

y

y

x

则R的有序对集合为．

应该填写：R = {<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<3 , 3>}

因为A∩B={2, 3 }，所以从集合A，B中只能分别去2，3组成关系R．

2．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系

R＝}

x∈

y

∈

<

y

>

=

,

,

2

,

x

{B

x

A

y

3

那么R－1＝

应该填写：{<6，3>，<8，4>}

因为R＝{<3，6>，<4，8>}，所以R－1＝{<6，3>，<8，4>}

3．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={, , , }，则二元关系R具有的性质是．

应该填写：反自反的

根据教材第38页的定义2.3.1，若对任意a∈A，a与a都没有关系，即?R，则称R为A上反自反的关系．

4．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={, , , }，若在R中再增加两个元素，则新得到的关系就具有对称性．应该填写：,

注意：第3，4题是重点，我们不仅要熟练掌握，尤其是A和R的元素都减少的情况，而且如果新得到的关系具有自反性，那么应该增加哪两个元素呢？

5．设A={1, 2}上的二元关系为R={|x∈A，y∈A, x+y =10}，则R的自反闭包为．

应该填写：I A

因为满足条件x∈A，y∈A, x+y =10的关系只有空关系，空关系的闭包是I A．6．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含等元素．

应该填写：<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>

因为等价关系一定是自反的、对称的、传递的，由二元关系R是自反的，所以它至少包含<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>等元素．

7．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是

．

应该填写：{<1, a >, <2, b >}，{<1, b >, <2, a >}

想一想：集合A到B的不同函数的个数有几个？

三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1∪R2、R1∩R2是自反的”是否成立？并说明理由．

解：正确．

因为R1和R2是A上的自反关系，即I A?R1，I A?R2．

由逆关系定义和I A?R1，得I A? R1-1；

由I A?R1，I A?R2，得I A? R1∪R2，I A? R1?R2．所以，R1-1、R1∪R2、R1?R2是自反的．

2．若偏序集的哈斯图如右图所示，

则集合A的最大元为a，最小元不存在．

解：错误．

集合A的最大元不存在，a是极大元．

ο

οοο

a

b c

d ο

ο

ο

g e f

h ο

4

5

结论不成立．

因为a 与g 、h 没有关系，由关于最大元、最小元、极大元和极小元的定义

2.5.9知道，A 的最大元应该大于等于A 中其它各元素，而A 的极大元应该大于等于A 中的一些元素，可以与A 中另一些元素无关系．所以集合A 的最大元不存在，a 应该是极大元．

3．设集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={2, 4, 6, 8}，判断下列关系f ：A →B 是否构成函数，并说明理由．

(1) f ={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}； (2) f ={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}；

(3) f ={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．

解：(1) f 不能构成函数．

因为A 中的元素3在f 中没有出现．

(2) f 不能构成函数．

因为A 中的元素4在f 中没有出现．

(3) f 可以构成函数．

因为f 的定义域就是A ，且A 中的每一个元素都有B 中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件．

四、计算题

1．设集合A ={{1}, {2}, 1, 2}，B ={1, 2, {1, 2}}，试计算

（1）A -B ； （2）A ∩B ； （3）A ×B ．

解：（1）A -B ={{1}, {2}, 1, 2}- {1, 2, {1, 2}}={{1}, {2}}

（2）A ∩B ={{1}, {2}, 1, 2}∩{1, 2, {1, 2}}={1, 2}

（3）A ? B ={{1}, {2}, 1, 2}?{1, 2, {1, 2}}={<{1}, 1>, <{1}, 2>, <{1}, {1, 2 }>,

<{2}, 1>, <{2}, 2>, <{2}, {1, 2 }>, <1, 1>, <1, 2>, <1, {1, 2 }>, < 2, 1>, < 2, 2>, < 2, {1, 2 }}

2．设A ={1，2，3，4，5}，R ={|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤4}，S ={|x ∈A ，

y ∈A 且x +y <0}，试求R ，S ，R ?S ，S ?R ，R -1，S -1，r (S )，s (R )．

解：R ={<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <3, 1>}, S = ?，

R ?S =?， S ?R =?， R -1= R ， S -1= ?， r (S )=I A ．

s (R ) ={<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <3, 1>}

3．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}．

（1）写出关系R 的表示式； （2）画出关系R 的哈斯图；

（3）求出集合B 的最大元、最小元．

解：（1）R =I ?{<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <1, 5>,

<1, 6>, <1, 7>, <1, 8>, <2, 4>,

<2, 6>, <2, 8>, <3, 6>, <4, 8>}

（2）关系R 的哈斯图如下图所示

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（3）集合B没有最大元，最小元是：2．

五、证明题

1．试证明集合等式：A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)．

证：若x∈A? (B?C)，则x∈A或x∈B?C，

即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．

即x∈A?B且x∈A?C，

即x∈T=(A?B) ? (A?C)，

所以A? (B?C)? (A?B) ? (A?C)．

反之，若x∈(A?B) ? (A?C)，则x∈A?B且x∈A?C，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，

即x∈A或x∈B?C，

即x∈A? (B?C)，

所以(A?B) ? (A?C)? A? (B?C)．

因此．A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)．

注意：第1题也是重点，我们要熟练掌握．

想一想：等式A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)如何证明？

2．对任意三个集合A, B和C，试证明：若A?B = A?C，且A

则B = C．

证明：设x∈A，y∈B，则∈A?B，

因为A?B = A?C，故∈ A?C，则有y∈C，

所以B? C．

设x∈A，z∈C，则∈ A?C，

因为A?B = A?C，故∈A?B，则有z∈B，所以C?B．

故得A=B．

注意：这个题09秋学期的教学辅导活动重点强调了，但2010年1月份考卷中的证明题：设A，B是任意集合，试证明：若A?A=B?B，则A=B．许多同学不会做，是不应该的．我们看一看

证明：设x∈A，则∈A?A，

因为A?A=B?B，故∈B?B，则有x∈B，所以A?B．

设x∈B，则∈B?B，

因为A?A=B?B，故∈A?A，则有x∈A，所以B?A．

故得A=B．

大家可以看到，这两个题的证明方法是不仅类似，而且1月份考题更容易．

6

3．试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．

证明：设?x∈A，因为R自反，所以xRx，即< x, x>∈R；

又因为S自反，所以xSx，即< x, x >∈S．

即< x, x>∈R∩S

故R∩S自反．

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