大学物理A第六章习题选解汇总
第六章 真空中的静电场
习题选解
6-1 三个电量为q -的点电荷各放在边长为r 的等边三角形的三个顶点上，电荷(0)Q Q >放在三角形的重心上。为使每个负电荷受力为零，Q 之值应为多大？
解：以三角形上顶点所置的电荷(q -)为例，其余两个负电荷对其作用力的合力为1f ，方向如图所示，其大小为
题6-1图 2
2
2
2
1004330cos 42r q r q f πεπε=??=
中心处Q 对上顶点电荷的作用力为2f ，方向与1f 相反，如图所示，其大小为
2
233200434r Qq
r Qq f πεπε==???
? ??
由12f f =，得
Q =。
6-2 在某一时刻，从238U 的放射性衰变中跑出来的α粒子的中心离残核234
Th 的中心为159.010r m -=?。试问：（1）作用在α粒子上的力为多大？（2）α粒子的加速度为多大？
解：（1）由反应
238
234492
902U Th+He →
，可知
α粒子带两个单位正电荷，即 1912 3.210Q e C -==?
Th 离子带90个单位正电荷，即
1929014410Q e C -==?
它们距离为159.010r m -=?
由库仑定律可得它们之间的相互作用力为：
19199
122152
0 3.21014410(9.010)5124(9.010)
Q Q F N r πε---???==??=? （2）α粒子的质量为：
2727272()2(1.6710 1.6710) 6.6810p n m m m Kg α---=+=??+?=?
由牛顿第二定律得：
28227512
7.66106.6810
F a m s m α--=
==??? 6-3 如图所示，有四个电量均为C q 610-=的点电荷，分别放置在如图所示的1，2，3，4点上，点1与点4距离等于点1与点2的距离，长m 1，第3个电荷位于2、4两电荷连线中点。求作用在第3个点电荷上的力。
解：由图可知，第3个电荷与其它各
电荷等距，均为2
2
r m =
。各电荷之间均为斥力，且第2、4两电荷对第三电荷的作用力大小相等，方向相反，两力平衡。由库仑定律，作用于电荷3的力为
题6-3 图
题6-3 图
N r q q F 22
133
10108.141
-?==
πε 力的方向沿第1电荷指向第3电荷，与x 轴成45o 角。
6-4 在直角三角形ABC 的A 点放置点电荷C q 91108.1-?=，B 点放置点电荷
C q 92108.4-?-=，已知0.04,0.03BC m AC m ==，试求直角顶点C 处的场强E 。
解：A 点电荷在C 点产生的场强为
1E ，方向向下
142
11
01108.141
-??==
m V r q E πε B 点电荷在C 点产生的场强为2E ，方向向右
142
22
02107.241
-??==
m V r q E πε
题6-4图
根据场强叠加原理，C 点场强
142
2211024.3-??=+=m V E E E
设E 与CB 夹角为θ，2
1
tan E E =
θ 122
arctan
arctan 33.73
E E θ===o 6-5 如图所示的电荷分布为电四极子，它由两个相同的电偶极子组成。证明在电四极子轴线的延长线上，离中心为r （e r r >>）的P 点处的电场强度为4
043r Q
E πε=
，式中
22e qr Q =，称为这种电荷分布的电四极矩。
题6-5图
解：由于各电荷在P 点产生的电场方向都在x 轴上，根据场强叠加原理
222
00024()44()P e e q q q
E r r r r r πεπεπε--=
+++-
222
2222
062[]4()e e e r r r q
r r r πε-+=- 由于e r r >>，式中2e r 可略去
4
02
62204664r qr r r r q
E e e P πεπε-=
-= 又电四极矩 22e qr Q =
故 4
043r Q
E P πε=
题6-5图
6-6 如图所示，一根很长的绝缘棒，均匀 带电，单位长度上的电荷量为λ，试求距棒的一端垂直距离为d 的P 点处的电场强度。
解：建立如图所示坐标，在棒上任取一线 元dx 在P 点产生的场强为dE
题6-6图
)(4)
(44220222020d x dx
d x dx r dq dE +=+==
πελπελπε 场强dE 可分解成沿x 轴、y 轴的分量
2
2
sin d x x dE
dE dE x +-=-=θ
22
cos d
x d dE
dE dE y +==θ
题6-6图
??
∞
+-==0
2
3222
0)(24d x dx dE E x x πελ
12
22
2()
8d x d λπε∞
-=
+?
001()44d d
λλπεπε=
-=- 31
2222220002
444()()
y y d dx d x
E dE d
x d d x d λλλ
πεπεπε∞
∞
====
++??
P 点场强 d
E E E y x
02242πελ
=+= 方向与Y 轴夹角为? arctan 45x
y
E E ?==o
6-7 一根带电细棒长为l 2，沿x 轴放置，其一端在原点，电荷线密度Ax =λ（A 为正的常数）。求x 轴上，l b x 2+=处的电场强度。
解：在坐标为x 处取线元dx ，带电量为Axdx dq =，该线元在P 点的场强为dE ，方向沿x 轴正方向
2
0)2(4x l b dq
dE -+=πε
整个带电细棒在P 点产生的电场为
??
-+==l
x l b Axdx
dE E 20
2
0)
2(4πε
题6-7图
()()()()x l b d x l b l b x l b A
l
-+-++--+=
?22224202
0πε
])
2()
2()2()2(2)2([420
202220
?
?-+-++--+-+=
l
l x l b x l b d l b x l b x l b d A πε 222
000
(2)1ln(2)84(2)l
l
A A b l b l x b l x πεπε+=
+-++-
)22(ln
40
b
l
l b b A ++=πε 场强E 方向沿x 轴正方向
6-8 如图所示，一根绝缘细胶棒弯成半径 为R 的半圆形。其上一半均匀带电荷q +，另一 半均匀带电荷q -。求圆心O 处的场强。
解：以圆心为原点建立如图所示Oxy 坐标，
题6-8图
在胶棒带正电部分任取一线元dl ，与OA 夹角为θ，线元带电荷量dl R
q
dq π2=
，在O 点产生电场强度
θ
επεππεd R q
dl R q R dq dE 2
023********===
把场强dE 分解成沿x 轴和y 轴的分量
θsin dE dE x = θcos dE dE y -=
2
22
22
00sin 22x x q q E dE d R R π
θθπεπε===??
2
2
2
22
00cos 22y y q q
E dE d R
R
π
θθπεπε==-=-
??
题6-8图
同理，胶棒带负电部分在O 点的场强E '沿x 轴方向的分量'
x E 与x E 大小相等，方
向相同；沿y 轴方向的分量'
y E 与y E 大小相等，方向相反，互相抵消，故点场强为
2
02
2R
q
E E x επ=
= 方向沿x 轴正向。
6-9 一无限大均匀带电平面，电荷面密度为σ，在平面上开一个半径为R 的圆洞，求在这个圆洞轴线上距洞心r 处一点P 的场强。
解：开了一个圆洞的无限大均匀带电 平面，相当于一个无限大均匀带电平面又 加了一块带异号电荷，面密度σ相同的圆 盘。距洞心r 处P 点的场强
p +-=+E E E
式中+E 为无限大均匀带电平面在P 点产生的场强 题6-9图
2εσ=
+E 方向垂直于平面向外
-E 为半径为R 的均匀带负电圆盘在其轴线上距中心为r 处的P 产生的场强。在圆
盘上取半径为r '，宽为r d '的细圆环，在P 点产生场强
2
32
2
02
32
2
0)
(42)
(4r r r d r r r r rdq dE +'''=
+'=
-πεσππε
R
R r r r r d r r r r dE E 0
2
1220023220])(1
[2)(42+'-='+''=
=??-εσπεπσ 220(12R r
σε=
+ 方向垂直圆盘向里
故 2
12
2
0)
(2r R r
E E E P +=
-=-+εσ 方向垂直平面向外
6-10 如图所示，一条长为l 2的均匀带电直线，所带电量为q ，求带电直线延长线上
任一点P 的场强。
解：在坐标为r处取线元，带电量
dr
l
q
dr
dq
2
=
=λ
该线元在带电直线延长线上距原点为x的
P点产生的场强为
题6-10图
题6-10图
2
)
(
4r
x
dq
dE
-
=
πε
整个带电直线在P点的场强
???
--
-
-
-
-
=
-
-
-
=
-
?
=
=l
l
l
l
l
l
r
x
l
q
r
x
r
x
d
l
q
r
x
l
qdr
dE
E)
1
(
8
)
(
)
(
8
)
(
2
4
2
2
πε
πε
πε
2222
000
112
()
88()4()
q ql q
l x l x l l x l x l
πεπεπε
=-==
-+--
6-11 用场强叠加原理，求证无限大均匀带平面外任一点的场强大小为
2ε
σ
=
E
（提示：把无限大平面分成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分）。
解：（1）建如图()a xyz坐标，以板上任一点O为圆心，取半径为r，宽度为dr的
环形面积元，带电量为：
rdr
dqπ
σ2
=。
由圆环电荷在其轴线上任一点)
(x
OP
P=的场强公式
2
3
2
2
)
(
4
2
r
x
xrdr
dE
+
=
πε
πσ
方向沿x轴正方向。
P点总场强
3
0222
2()
x rdr
E dE
r x
σ
ε
∞
==
+
??
1
222
00
1
22
()
x
r x
σσ
εε
∞
-
==
+
题6-11()a 图
（0σ>，E 的方向沿x 轴正方向） （2）建如图()b 所示的三维坐标，在与z 轴相距为y 处取一细长线元，沿y 轴方向单位长度带电荷为dy σ，由长直带电直线场强公式，线元在x 轴距原点O 为a 的点P 的场强
2
20
21a y dy
dE +=
σπε
题6-11()b 图
由于对称性，dE 的y 轴分量总和为零 所以 ??==θcos dE dE E x
22
22
0arctan 22y
a y a y a σπεπε∞
+∞
-∞
-∞
==
++?
00
22σσ
ππεε=
= 因为0σ>，所以E 的方向沿x 轴正方向。
6-12 如图所示，半径为R 的带电细圆环，线电荷密度θλλcos 0=，0λ为常数，
θ为半径R 与x 轴夹角，求圆环中心O 处的电场强度。
解：在带电圆环上任取一线元θRd dl =，带电量为θθλλRd dl dq cos 0==，线元与原点O 的连线与x 轴夹角为θ，在O 点的场强d E 大小为
题6-12图
θθπελθθπελπεd R d R R R dq dE cos 4cos 44002
0020===
d E 沿x 轴和y 轴的分量
θθπελθd R
dE dE x 200
cos 4cos -
=-= θθθπελθd R
dE dE y sin cos 4sin 00
-
=-= 整个带电圆环在O 点的场强E 沿x 轴和y 轴的分量
??
-=+-=-==π
π
ελ
θθπελθθπελ20
0020
002004)2sin 412(4cos 4R R d R dE E x x ??
=-=-==π
π
θ
πελθθπελ20
20
200000)2sin (4sin sin 4R d R dE E y y 故 0
04x E R
λε==-
E i i E 的方向沿x 轴负方向。
6-13 如图所示，两条平行的无限长均匀带电直线，相距为d ，线电荷密度分别为λ+和λ-，求：
（1）两线构成的平面的中垂面上的场强分布； （2）两直线单位长度的相互作用力。
解：（1）在两线构成平面的中垂直面上任取一点P 距两线构成平面为y ，到两线22()2d y +P 点的场强为
2
12
201)4
(2d y E +
=
πελ
21
22
02)
4
(2d y E +=
πελ
题6-13图
由于对称性，两线在P 点的场强沿y 轴方向的分量，方向相反，大小相等，相互抵消
1212cos cos x x E E E E E θθ=+=+
1122
22220
222()()44d d d y y λπε????=????++????
x
y
o
E 1
E 2
E
d/2
-d/2
λλ+-θ
θ
+-P
题6-13图
2
202(
)4
d
d
y λπε=
+ 方向沿x 轴正方向
（2）两直线相距为d ，带正电直线在带负电直线处的场强为d
E 02πελ
=
+。由qE F =，
带负电直线单位长度的电荷受电场力d
E F 02
2πελλ==+-，方向指向带正电直线。
同理，带正电直线单位长度受电场力d
F 02
2πελ=+，方向指向带负电直线。
故有+-=-F F ，两带电直线相互吸引。
6-14 如图所示，长为l 、线电荷密度为λ的两根相同的均匀带电细塑料棒，沿同一直线放置，两棒近端相距为l ，求两棒间的静电相互作用力。
题6-14图
解：（1）建立如图所示x 坐标，在左棒中坐标为x 处取线元dx ，带电量dx dq λ=，
线元dx 在坐标r 处的场强
2
0)(4x r dx
dE -=
πελ
左棒在坐标r 处点的场强
题6-14图
??
?
---=-==l
l
x r x r d x r dx
dE E 0
0202
0)
()
(4)(4πελπελ 1
0000111
()()()444l
l
d r x r x r l r
λ
λλπεπεπε-=
-==---? （2）在右棒中坐标为r 处取线元dr ，带电量dr dq λ=，该线元受电场力
)1
1(402r
l r dr Edq dF --==πελ
右棒受总电场力为
??????
?
???---=--==l
l l l l l r dr l r l r d dr r l r dF F 3232320202)(4)11(4πελπελ 222
332200034ln()ln ln 2ln ln 44243
l l l l r l r λλλπεπεπε??
??=--=-=?????? F 的方向沿x 轴正方向。两棒间的静电力大小相等，方向相反，互为斥力。 6-15 用细的不导电的塑料棒弯成半径为cm 50的圆弧，棒两端点间的空隙为
cm 2，棒上均匀分布着C 91012.3-?的正电荷，求圆心处场强的大小和方向。
解：有微小间隙的带正电圆弧棒，等效于一个相同半径的带正电圆环加个弧长等于间隙的带负电小圆弧棒。由场强叠加原理，圆心O 场强
?
0AB
=+圆棒E E E 对于均匀带正电的圆环，由于对称性在圆心O 的电场强度为零，0=圆环E 。 上一带负电小圆弧棒相对于圆心O 可近似
题6-15图
看成一个点电荷，电量为：
dl R
q
q π2-
=' ?22
001442AB
q q
E dl R R
R
πεπεπ'-==
? 13
02714.08-?-=-
=m V R qdl επ
圆心处场强?1
00.714AB
E E V m -==-?，方向指向空隙。 6-16 如图所示，一点电荷q 处于边长为的正方形平面中垂线上，q 与平面中心
O 点相距/2a ，求通过正方形平面的电场强度通量e ψ。
解：以点电荷所在处为中心，以图中正方形为一面作一边长为a 的正方体，由高斯定理知：通过正方体表面的电通量为
q
d ε?=
??E S
题6-16图
则通过该正方形平面的电通量为
6εq
。 6-17 设匀强电场的场强为E ，E 与半径为R 的半球面的轴线平行。试计算通过此半球面的电场强度通量。
解：方法一：在半球面上取宽为dl 的环状面积元，
θθππd R rdl dS sin 222==
通过面元dS 的电场强度通量
dS E d e θψcos =
θθπθd R E sin 2cos 2=
通过整个半球面的电场强度通量
??==π
θθθπψψ202cos sin 2d E R d e e
E
R E R 220
22sin 2
1
2πθ
ππ=?=
题6-17图
方法二：通过半球面的电场强度通量与垂直通过大圆面S 的电场强度通量相等。
o ．
．q
通过S 面的电场强度通量：
E R ES e 2πψ==
故通过半球面的电场强度通量亦为E R 2π。
6-18 在量子模型中，中性氢原子具有如下的电荷分布：一个大小为e +的电荷被密度为()02a /r Ce r --=ρ的负电荷所包围，0α是“玻尔半径”，1000.5310m α-=?，C 是为了使电荷总量等于e -所需要的常量。试问在半径为0α的球内净电荷是多少？距核
0α远处的电场强度多大？
解：由()02a /r Ce r --=ρ，可得
()??∞
-∞
-=π-=πρ0
220
2
440e dr r Ce dr r
r a /r
由
??
?
∞-∞
-∞
-=?==???
? ?????? ??=
03
03020
3002
020
3
022*******
00a a dx x e a a r d a r e a dr r e x a /r a /r
原式成为 e a
C -=?-4
43
0π
所以 3
0a e C π=
要求半径为0a 的球内的静电荷。应先求半径0a 的球内的负电荷q '
()0002/22
300
0440.323a a r a e q r r dr e r dr e a ρπππ-??'==-≈- ???
?? 球内净电荷为 19
0.677 1.0810
q e q e C -'=+==?∑
由高斯定律
20
4q d a
E πε?==
∑??òE S
()
.1046.31053.01008.110
941112
1019
9
2
00---??=???==
∑m V a q
E πε
6-19 在半径分别为1R ,2R 的两个同心球面上，分别均匀带电为1Q 和2Q ，求空间的场强分布，并作出r E -关系曲线。
解：电荷在球面上对称分布，两球面电荷产生的电场也是球对称分布，场强方向沿径
向向外。
（1）以球心O 为圆心，r 为半径（10R r >>）作一同心球面，由高斯定理，球面包围电荷量为零，即
I
0s
d ?=??E S
因而 I 0E =
（2）以O 为圆心，半径为r （21R r R >>）作一同心球面，由高斯定理
1
II 0
s
Q d ε?=
??E S
21
II 04Q E r πε?=
2
014r
Q E πε=
I I
题6-19图
（3）以O 为圆心，半径为r （2R r <）作一同心的球面，由高斯定理
12
III 0
s
Q Q d ε+?=
??E S
212
III 0
4Q Q E r πε+?=
所以 12
III 2
04Q Q E r πε+=
r E -曲线如图6-19所示。
6-20 设均匀带电球壳内、外半径分别为1R 和2R ，带电量为Q 。分别利用高斯定理与用均匀带电球面的电场叠加求场强分布，并画出r E -图。
解：由于电荷分布具有球对称性，空间电场分布也具有球对称性。 （1）在1r R <的区域，电量为零。
由高斯定理0s
d ?=??E S ，因而各点场强为零。
（2）在12R r R ≤≤区域，以r 为半径作同心球面。
由高斯定理
s
q
d ε?=
??E S
由 331332144
()443333
Q
q V r R R R ρππππ==
--
)
()
(43
13203132
R R R r Q r E --=?επ 因此 3
1
323
13204R R R r r Q
E --=πε （3）在2r R >区域，以r 为半径作同心球面， 由高斯定理
0s
q
Q
d εε?=
=??E S
024επQ
r E =
?
2
04r Q
E πε=
r E -曲线如图6-20所示。
题6-20图
6-21 无限长共轴圆柱面，半径分别为1R 和2R (21R R >)，均匀带电，单位长度上的电量分别为1λ和2λ。求距轴为r 处的场强(1)1r R <；(2)12R r R <<；(3)2r R >。
解：（1）在半径为1R 的圆柱面内作半径为r (1r R <)，高为l 的同轴圆柱面，作为高斯面。通过此高斯面的通量
0s s
s
s
q d d d d ε?=
?+?+?=
=∑??
??蜒蜒侧上底下底E S E S E S E S
各点E 垂直于轴线，上下底面电通量为零
02=侧rlE π
因而 0=E (1r R <)
（2）在半径为1R 、2R 的两圆柱面间作半径为r (21R r R >>)，高为l 的同轴圆柱面作为高斯面，由高斯定理
1
00
s
q l d λεε?=
=∑??E S
1
s
l d λε?=
?
侧E S
12ελπl
rlE =
可见 r
E 01
2πελ=
（3）同理在2r R >的区域 r
E 02
12πελλ+=
6-22 一半径为R 的无限长带电圆柱， 其体电荷密度为r 0ρρ=(R r ≤)，0ρ为常数。 求场强分布。
解：（1）在圆柱体内r 处（R r ≤），取一 点P ，过P 以底面半径为r ，高为l 作闭合同 轴圆柱面。圆柱面包围的电荷量
00
(2)r r
q dq dV r rl dr ρρπ===∑???
题6-22图
33000
2
233
r
dr l lr πρπρ==?
通过圆柱侧面的电通量为rlE π2，通过两底面的电通量为零，由高斯定理
s
q d ε?=
∑??E S
30
223r l r lE πρπε=
可得 0
23ερr E = E 的方向沿矢径r 的方向
（2）在圆柱体外r 处（R r ≥）取一点P ，过P 点以底面半径为r ，高为l 作闭合同轴圆柱面。圆柱面包围电荷量
??
??
∑=====R
R R
R l dr l dr rl r dV dq q 0
3
03003
232)2(πρπρπρρ 由高斯定理 0
s
q d ε?=∑??E S
3
00
223lR rlE πρπε=
得 r
R E 03
03ερ= E 的方向沿矢径r 的方向
6-23 如图所示，一电量为C 7102-?的电荷从坐标原点O 运动到点)4,4(。设电场强度为411
2()10N C --=-+??E i j 。
（1）试计算经下述路径时，电场力做的功
)4,4()0,4()0,0.(→→A )4,4()0,0.(→B )4,4()4,0()0,0.(→→C
（2）点)4,4(相对坐标原点O 的电势差。
解：（1）电荷在电场中运动时，电场力做功
()x y z A q d q E dx E dy E dz =?=++??E l （a ）路径为)4,4()0,4()0,0(→→
0)
4,4()
0,4()
0,4()
0,0(=?+?=+=?
?
y qE x qE dy E q dx E q A y x y x
（b ）路径为)4,4()0,0(→
0)()
4,4()
0,0(=+=?
dy E dx E q A y x
题6-23图
（c ）路径为 )4,4()4,0()0,0(→→
0)
4,4()
4,0()
4,0()
0,0(=+=?
?
dx E q dy E q A x y
（2）点(4,4)相对于坐标原点的电势，即它们之间的电势差U ，等于单位正电荷从点(4,4)移到O 时，电场力所做的功。
(0,0)
(4,4)(0,0)(4,4)
U V V d =-=?=?
E l 6-24 如图所示，半径为R 的均匀带电球面，带电量为Q ，沿半径方向有一均匀带电细线，线电荷密度为λ，长度为l ，细线近端离球心的距离为l 。设球和细线上的电荷分布固定。求细线在电场中的电势能。
题6-24图
解：以带电球面圆心O 为原点，通过带电直线作x 坐标如图。带电球面在轴线x 处场强为
2
04x Q E πε=
方向沿x 轴正方向
该点的电势为 2
0044x x
x
Q
Q V Edl dx x x
πεπε∞
∞===
??
在带电细线上x 处取线元dx ，带电量为dx dq λ=，线元dx 的电势能为
dx x Q dq V dW x 04πελ
==
细线在电场中的电势能 ??
====l l
l
l
Q x Q x dx Q dW W 202002ln 4ln 44πελ
πελπελ
6-25 如图所示，试计算线性电四极子 在很远处（e r r >>）的电势。
解：在距电四极子很远处取一点P ， 距q 2-为r ，夹角为θ，由点电荷电场的 电势
题6-25图
∑
=-+
+
=
=3
102
01
0042444i i
i P r
q
r q r q r q V πεπεπεπε r r r r r r r r r q
212
112024-+=
πε
由于e r r >> 故 r r r ≈≈21
θcos 212e r r r ≈- θcos 2e r r r -≈- θcos 1e r r r ≈-
故
321120)
()(4r r r r r r r q V P -+-=
πε
3
120)(cos 4r
r r r q
e -=θπε
题6-25图
θπεθπε23
023220cos 2cos 24r
qr r r q
e e == 6-26 如图所示，点电荷C q 910-=，与它在同一直线上的C B A 、、三点分别距
q 为cm cm cm 302010、、
，若选B 为电势零点，求C A 、两点的电势C A V V 、。
题6-26图
解：以点电荷q 为原点，沿C B A q ,,,的连线建x 坐标，在x 坐标轴上，各点场强方向都沿x 轴正方向。
题6-26图
2
04x q E πε=
对于A 、B 两点，电势差
?
?
?
=
=
?=
-B
A
B A dx x q Edx x d V V 2
.01
.02
02
.01
.04πε?
?E
?
==-==
2
.01
.002
.01.002
4545)1(44V q x q x
dx q πεπεπε 由0=B V ， 故 V V A 45= 对于B 、C 两点，电势差为：
??
=-=
==-3.02
.03
.02
.003
.02
.02
015)1
(44V x q
dx x q Edx V V C B πεπε 由0=B V ， 故 V V C 15-=
6-27 真空中一均匀带电细圆环，线电荷密度为λ，求其圆心处电势。 解：在细圆环上取长为dl 的线元，带电量为dl dq λ= 在圆心处产生的电势
R
dl
R
dq dV 0044πελπε=
=
整个带电圆环在圆心O 的电势
??
=?===R R R R dl dV V πελππελπελ20
002244
题6-27图
6-28 半径为mm 2的球形水滴具有电势V 300。求：（1）水滴上所带的电荷量。（2）如果两个相同的上述水滴结合成一个较大的水滴，其电势值为多少（假定结合时电荷没有漏失）？
解：（1）设水滴所带电荷均匀分布在水滴表面。水滴内任一点场强为零，电势与水滴表面电势相等。对于水滴外任一点x R >，电场强度
2
04x
Q E πε=
水滴的电势 ??
∞
∞
==R
R
dx x Q Edx V 2
04πε
题6-28图
001()44R
Q
Q
d x R
πεπε∞
=-=?
故 pC C RV Q 7.66107.664120=?==-πε
（2）两水滴合成一较大水滴，电量Q Q 2='，半径R R R 26.123≈='，水滴外任一点x （ 1.26x R >）的电场强度
2
042x Q
E πε=
电场强度经典习题难题 改过
a b c 电场强度习题综合题 1、下列说法正确的是：（ ） A 、 根据E ＝F/q 可知，电场中某点的场强与电场力成正比 B 、 根据E ＝kQ/r 2 ，可知电场中某点的场强与形成电场的点电荷的电荷量成正比 C 、 根据场强的叠加原理，可知合电场的场强一定大于分电场的场强 D 、电场线就是点电荷在电场中的运动轨迹 2、一带电量为q 的检验电荷在电场中某点受到的电场力大小为F ，该点场强大小为E ，则下面能正确反映这三者关系的是 （ ） 3．电场中有一点P ，下列哪种说法是正确的( ) A ．若放在P 点电荷的电荷量减半，则P 点的电场强度减半 B ．若P 点没有试探电荷，则P 点电场强度为零 C ．P 点电场强度越大，则同一电荷在P 点所受电场力越大 D ．P 点的电场强度方向为试探电荷在该点的受力方向 4、在x 轴上有两个点电荷，一个带正电荷Q1，另一个带负电荷Q2，且Q1 ＝2Q2，用E1、E2分别表示这两个点电荷所产生的场强的大小，则在x 轴上，E1＝E2点共有 处，这几处的合场强分别为 。 5、如图所示，在x 轴坐标为＋1的点上固定一电量为4Q 的点电荷，在坐标原点0处固定一个电量为－Q 的点电荷．那么在x 轴上，电场强度方向为x 轴负方向的点所在区域是__________． 6．如图所示，A 、B 、C 三点为一直角三角形的三个顶点，∠B ＝30°，现在A 、B 两点放置 两点电荷qA 、qB ，测得C 点场强的方向与AB 平行向左，则qA 带_____电，qA ∶qB ＝____. 7、如图所示为在一个电场中的a 、b 、c 、d 四点分别引入试探电荷，测得试探电荷的电量跟它 所受电场力的函数关系图象，这个电场 （填“是”或“不是”）匀强电场，若不是， 则场强的大小关系为 。 8、如图所示，一电子沿等量异种电荷的中垂线由A →O →B 匀速运动，电子重力不计，则 电子除受电场力外，所受的另一个力的大小和方向变化情况是( ) A ．先变大后变小，方向水平向左 B ．先变大后变小，方向水平向右 C ．先变小后变大，方向水平向左 D ．先变小后变大，方向水平向右 9、如图所示，在a 、b 两点固定着两个带等量异种性质电的点电荷，c 、d 两点将a 、b 两点的连线三等分，则：（ ） A 、c 、d 两点处的场强大小相等 B 、c 、d 两点处的场强大小不相等 C 、从c 点到d 点场强先变大后变小 D 、从c 点到d 点场强先变小后变大 10、两个固定的等量异种电荷，在他们连线的垂直平分线上有a 、b 、c 三点，如图所示，下列说法正确的是 ( ) A ．a 点电势比b 点电势高 B ．a 、b 两点场强方向相同，a 点场强比b 点大 C ．a 、b 、c 三点与无穷远电势相等 D ．一带电粒子(不计重力)，在a 点无初速释放，则它将在a 、b 线上运动 11、如图所示,P 、Q 是两个电荷量相等的异种电荷,在其电场中有a 、b 、c 三点在一条直线上,平行于P 、Q 的连线,b 在P 、Q 连线的中垂线上,ab=bc,下列说法正确的（ ） A.?a>?b>?c B. ?a>?c>?b C.Ea>Eb>Ec D.Eb>Ea>Ec 12、如图所示，在等量异种电荷连线的中垂线上取A 、B 、C 、D 四点， B 、D 两点关于O 点对称，则关于各点场强的关系，下列说法中正确的 是：（ ） A 、E A >E B ，E B ＝E D B 、E A 第九章 简谐振动 填空题（每空3分） 质点作简谐振动，当位移等于振幅一半时，动能与势能的比值为 ，位移等于 时，动能与势能相等。（3:1,2A ） 9-2两个谐振动方程为()120.03cos (),0.04cos 2()x t m x t m ωωπ==+则它们的合振幅为 。（0.05m ） 9-3两个同方向同频率的简谐振动的表达式分别为X 1=×10-2cos(T π2t+4 π ) (SI) , X 2=×10-2cos(T π2t -43π) (SI) ,则其合振动的表达式为______(SI).( X=×10-2cos(T π2t+4 π ) (SI)) 9-4一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由平衡位置运动到2 A 处所需要的最短时间为_________。（ 12 T ） 9-5 有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )4 cos(1π ω+ =t A x m 、 )4 3 cos(32πω+=t A x m ，则合振动的振幅为 。(2 A) 9-6 已知一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由正向最大位移处运动到2 A 处所需要的最短时间为_________。 ( 6 T ) 9-7有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )75.010cos(03.01π+=t x m 、)25.010cos(04.02π-=t x m ，则合振动的振幅为 。 （0.01m ） 质量0.10m kg =的物体，以振幅21.010m -?作简谐振动，其最大加速度为2 4.0m s -?，通过平衡 位置时的动能为 ；振动周期是 。(-3 2.010,10s J π?) 9-9一物体作简谐振动，当它处于正向位移一半处，且向平衡位置运动，则在该位置时的相位为 ；在该位置，势能和动能的比值为 。（3π） 9-10质量为0.1kg 的物体，以振幅21.010m -?作谐振动，其最大加速度为14.0m s -?，则通过最大位移处的势能为 。（3210J -?） 9-11一质点做谐振动，其振动方程为6cos(4)x t ππ=+（SI ），则其周期为 。 电场强度电场线典型例题 【例1】把一个电量q=－10-6C的试验电荷，依次放在带正电的点电荷Q周围的A、B两处图，受到的电场力大小分别是F A= 5×10-3N，F B=3×10-3N． （1）画出试验电荷在A、B两处的受力方向． （2）求出A、 B两处的电场强度． （3）如在A、B两处分别放上另一个电量为q'=10-5C的电荷，受到的电场力多大？ [分析] 试验电荷所受到的电场力就是库仑力，由电荷间相互作用规律确定受力方向，由电场强度定义算出电场强度大小，并根据正试验电荷的受力方向确定场强方向． [解答] （1）试验电荷在A、B两处的受力方向沿它们与点电荷连线向内，如图中F A、F B所示． （2）A 、B两处的场强大小分别为； 电场强度的方向决定于正试验电荷的受力方向，因此沿A、B两点与点电荷连线向外． （3）当在A、B两点放上电荷q'时，受到的电场力分别为 F A' =E A q' ＝5×103×10-5N＝5×10-2N； F B'＝E B q' ＝3×103×10-5N＝3×10-2N． 其方向与场强方向相同． [说明] 通过本题可进一步认识场强与电场力的不同．场强是由场本身决定的，与场中所放置的电荷无关．知道场强后，由F=Eq即可算出电荷受到的力． [ ] A．这个定义式只适用于点电荷产生的电场 B．上式中，F是放入电场中的电荷所受的力，q是放入电场中的电荷的电量 C．上式中，F是放入电场中的电荷所受的力，q是产生电场的电荷的电量 是点电荷q1产生的电场在点电荷q2处的场强大小 何电场． 式中F是放置在场中试验电荷所受到的电场力，q是试验电荷的电量，不是产生电场的电荷的电量． 电荷间的相互作用是通过电场来实现的．两个点电荷q1、q2之间的相互作用可表示为 可见，电荷间的库仑力就是电场力，库仑定律可表示为 静电场典型题分类精选 一、电荷守恒定律 库仑定律典型例题 例1 两个半径相同的金属小球，带电量之比为1∶7，相距为r ，两者相互接触后再放回原来的位置上，则 相互作用力可能为原来的多少倍？ 练习.（江苏物理）1．两个分别带有电荷量Q -和+3Q 的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r 的两处，它们间库仑力的大小为F 。两小球相互接触后将其固定距离变为2 r ，则两球间库仑力的大小为 A ． 112F B ．34F C ．4 3 F D ．12F 二、三自由点电荷共线平衡．． 问题 例1．（改编）已知真空中的两个自由点电荷A 和B, 94 A Q Q =, B Q Q =-,相距L 如图1所示。若在直线AB 上放一自由电荷C,让A 、B 、C 都处于平衡状态，则对C 的放置位置、电性、电量有什么要求？ 练习 1．（原创）下列各组共线的三个自由电荷,可以平衡的是（ ） A 、4Q 4Q 4Q B 、4Q －5Q 3Q C 、9Q －4Q 36Q D 、－4Q 2Q －3Q 2.如图1所示，三个点电荷q 1、q 2、q 3固定在一直线上，q 2与q 3的距离为q 1与q 2距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电量之比q 1∶q 2∶q 3为（ ） A ．－9∶4∶－36 B ．9∶4∶36 C ．－3∶2∶－6 D ．3∶2∶6 三、三自由点电荷共线不平衡．．． （具有共同的加速度）问题 例1．质量均为m 的三个小球A 、B 、C 放置在光滑的绝缘水平面的同一直线上，彼此相隔L 。A 球带电量 10A Q q =，B Q q =，若在小球C 上外加一个水平向右的恒力F ，如图4所示，要使三球间距始终保持L 运动， 则外力F 应为多大？C 球的带电量C Q 有多大？ 图1 图4 专题: 带电粒子在匀强电场中的运动典型题 注意：带电粒子是否考虑重力要依据情况而定 （1）基本粒子：如电子、质子、 粒子、离子等，除有说明或明确的暗示外，一般都不考虑重力（但不能忽略质量）。 （2）带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或明确的暗示外，一般都不能忽略重力。 一、带电粒子在匀强电场中的加速运动 【例1】如图所示，在真空中有一对平行金属板，两板间加以电压U 。在板间靠近正极板附近有一带正电荷q 的带电粒子，它在电场力作用下由静止开始从正极板向负极板运动，到达负极板的速度为多大？ 【例2】如图所示，两个极板的正中央各有一小孔，两板间加以电压U ，一带正电荷q 的带电粒子以初速度v 0从左边的小孔射入，并从右边的小孔射出，则射出时速度为多少？ 二、带电粒子在电场中的偏转（垂直于场射入） ⑴运动状态分析：粒子受恒定的电场力，在场中作匀变速曲线运动． ⑵处理方法：采用类平抛运动的方法来分析处理——（运动的分解）． 02102v t at t ì?????í?????? 垂直于电场方向匀速运动：x=沿着电场方向作初速为的匀加速：y=两个分运动联系的桥梁：时间相等 设粒子带电量为q ，质量为m ，如图6－4－3两平行金属板间的电压为Ｕ，板长为L ，板间距离为d ． 则场强U E d ＝， 加速度qE qU a m md = = ， 通过偏转极板的时间：0 L t v = 侧移量：y =22 220 1242L U qUL at dU mdv == 偏加 偏转角：0tan at v q = =20 2LU qUL dU mdv =偏加 （U 偏、Ｕ加分别表示加速电场电压和偏转电场电压） 带电粒子从极板的中线射入匀强电场，其出射时速度方向的反向延长线交于入射线的中点．所以侧移距离也可表示为： tan 2 L y q =.粒子可看作是从两板间的中点沿直线射出的 q U M N q U v 0 v 图6－4－3 同步导学第1章静电场第03节 电场强度 [知能准备] 1．物质存在的两种形式：与． 2．电场强度 （1）电场明显的特征之一是对场中其他电荷具有． （2）放入电场中某点的电荷所受的静电力F 跟它的电荷量q 的 ．叫做该点的电场强 度．物理学中规定电场中某点的电场强度的方向跟电荷在该点所受的静电力的方向相同． （3）电场强度单位，符号．另一单位，符号 ． （4）如果1 C 的电荷在电场中的某点受到的静电力是1 N ，这点的电场强度就是． 3．电场强度的叠加：电场中某点的电场强度为各个场源点电荷在该点产生的电场强 度的． 4．电场线 (1)电场线是画在电场中的一条条有方向的曲线（或直线）．曲线上每点的切线方向表 示该点的电场强度方向． (2)电场线的特点： ①电场线从正电荷（或无限远处）出发，终止于无限远或负电荷． ②电场线在电场中不相交，这是因为在电场中任意一点的电场强度不可能有两个方向． ③在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较，电场强度较小的地方电场线较，因此 可以用电场线的来表示电场强度的相对大小． 5．匀强电场：如果电场中各点电场强度的大小．方向，这个电场就叫做匀强电场． [同步导学] 1． 电场和电场的基本性质 场是物质存在的又一种形态．区别于分子、原子组成的实物，电场有其特殊的性质，如： 几个电场可以同时“处于”某一空间，电场对处于其间的电荷有力的作用，电场具有能量等． 本章研究静止电荷产生的电场 ，称为静电场．学习有关静电场的知识时应该明确以下 两点： （1）电荷的周围存在着电场，静止的电荷周围存在着静电场． （2）电场的基本性质是：对放入其中的电荷（不管是静止的还是运动的）有力的作用， 电场具有能量． 2． 电场强度 （1）试探电荷q 是我们为了研究电场的力学性质，引入的一个特别电荷． 试探电荷的特点：①电荷量很小，试探电荷不影响原电场的分布；②体积很小，便于研 究不同点的电场． （2）对于q F E ，等号右边的物理量与被定义的物理量之间不存在正比或反比的函数关系，只是用右边两个物理量之比来反映被定义的物理量的属性．在电场中某点，比值 q F 是与q 的有无、电荷量多少，电荷种类和F 的大小、方向都无关的恒量，电场中各点都有一 个唯一确定的E.因为场强E 完全是由电场自身的条件（产生电场的场源电荷和电场中的位 置）决定的，所以它反映电场本身力的属性． 清华大学《大学物理》习题库试题及答案热学习题 一、选择题 1．4251：一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为T ，气体分子的质量为m 。根据 理想气体的分子模型和统计假设，分子速度在x 方向的分量平方的平均值 (A) m kT x 32=v (B) m kT x 3312=v (C) m kT x /32=v (D) m kT x /2=v ［ ］ 2．4252：一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为T ，气体分子的质量为m 。根据 理想气体分子模型和统计假设，分子速度在x 方向的分量的平均值 (A) m kT π8=x v (B) m kT π831=x v (C) m kT π38=x v (D) =x v 0 ［ ］ 3．4014：温度、压强相同的氦气和氧气，它们分子的平均动能ε和平均平动动能w 有如下关系： (A) ε和w 都相等 (B) ε相等，而w 不相等 (C) w 相等，而ε不相等 (D) ε和w 都不相等 ［ ］ 4．4022：在标准状态下，若氧气(视为刚性双原子分子的理想气体)和氦气的体积比V 1 / V 2=1 / 2 ，则其内能之比E 1 / E 2为： (A) 3 / 10 (B) 1 / 2 (C) 5 / 6 (D) 5 / 3 ［ ］ 5．4023：水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几(不计振动自由度和 化学能)？ (A) 66.7％ (B) 50％ (C) 25％ (D) 0 ［ ］ 6．4058：两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同，但体积不同，则单位 体积内的气体分子数n ，单位体积内的气体分子的总平动动能(E K /V )，单位体积内的气体质 量ρ，分别有如下关系： (A) n 不同，(E K /V )不同，ρ不同 (B) n 不同，(E K /V )不同，ρ相同 (C) n 相同，(E K /V )相同，ρ不同 (D) n 相同，(E K /V )相同，ρ相同 ［ ］ 7．4013：一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平 衡状态，则它们 (A) 温度相同、压强相同 (B) 温度、压强都不相同 (C) 温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强 (D) 温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强 ［ ］ 8．4012：关于温度的意义，有下列几种说法：(1) 气体的温度是分子平均平动动能的 量度；(2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义；(3) 温度的高低 反映物质内部分子运动剧烈程度的不同；(4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的 冷热程度。这些说法中正确的是 (A) (1)、(2)、(4)；(B) (1)、(2)、(3)；(C) (2)、(3)、(4)；(D) (1)、(3) 、(4)； ［ ］ 9．4039：设声波通过理想气体的速率正比于气体分子的热运动平均速率，则声波通过 具有相同温度的氧气和氢气的速率之比22 H O /v v 为 (A) 1 (B) 1/2 (C) 1/3 (D) 1/4 ［ ］ 10．4041：设图示的两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线； 高中物理静电场练习题 1、如图所示，中央有正对小孔的水平放置的平行板电容器与电源连接，电源电压为U 。将一带电小球从两小孔的正上方P 点处由静止释放，小球恰好能够达到B 板的小孔b 点处，然后又按原路返回。那 么，为了使小球能从B 板 的小孔b 处出射，下列可行的办法是（ ） A.将A 板上移一段距离 B.将A 板下移一段距离 C.将B 板上移一段距离 D.将B 板下移一段距离 2、如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为匀强电场中一个正六边形的六个顶点，已知A 、B 、C 三点的电势 分别为1V 、6V 和9V 。则D 、E 、F 三 点的电势分别为（ ） A 、+7V 、+2V 和+1V B 、+7V 、+2V 和1V ￥ C 、-7V 、-2V 和+1V D 、+7V 、-2V 和1V 3、质量为m 、带电量为-q 的粒子（不计重力），在匀强电场中的A 点以初速度υ0沿垂直与场强E 的方向射入到电场中，已知粒子到达B 点时的速度大小为2υ0，A 、B 间距为d ，如图所示。 则（1）A 、B 两点间的电势差为（ ） A 、q m U AB 232υ-= B 、q m U AB 232 υ= C 、q m U AB 22υ-= D 、q m U AB 22 υ= （2）匀强电场的场强大小和方向（ ） A 、qd m E 2 21υ= 方向水平向左 B 、qd m E 2 21υ= 方向水平向右 C 、qd m E 2212 υ= 方向水平向左 D 、qd m E 2212 υ= 方向水平向右 4、一个点电荷从竟电场中的A 点移到电场中的B 点，其电势能变化为零，则（ ） A 、A 、B 两点处的场强一定相等 B 、该电荷一定能够沿着某一等势面移动 C 、A 、B 两点的电势一定相等 D 、作用于该电荷上的电场力始终与其运动方向垂直 5、在静电场中（ ） A.电场强度处处为零的区域内，电势也一定处处为零 . B.电场强度处处相等的区域内，电势也一定处处相等 C.电场强度的方向总是跟等势面垂直 D.沿着电场线的方向电势是不断降低的 6、一个初动能为E K 的带电粒子，沿着与电场线垂直的方向射入两平行金属板间的匀强电场中，飞出时该粒子的动能为2E K ，如果粒子射入时的初速度变为原来的2倍，那么当它飞出电场时动能为（ ） A B a P · m 、q 。 >U + - ~ A E B 。 一、选择题： 1．3001：把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度 θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单 摆振动的初相为 (A) π (B) π/2 (C) 0 (D) θ 2．3002：两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为： (A) )π21cos(2++=αωt A x (B) ) π21 cos(2-+=αωt A x (C) ) π23 cos(2-+=αωt A x (D) )cos(2π++=αωt A x 3．3007：一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是 (A) 2 ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2 (B) 4．3396：一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为 (A) π/6 (B) 5π/6 (C) -5π/6 (D) -π/6 (E) -2π/3 5．3552：一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '。则有 (A) 11T T >'且22T T >' (B) 11T T <'且22T T <' (C) 11T T ='且22T T =' (D) 11T T ='且22T T >' 6．5178：一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 ) 31 2cos(1042π+π?=-t x (SI)。从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 (A) s 81 (B) s 61 (C) s 41 (D) s 31 (E) s 21 7．5179：一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时。则其振动方程为： (A) )21/(cos π+=t m k A x (B) ) 21/cos(π-=t m k A x (C) ) π21/(cos +=t k m A x (D) )21/cos(π-=t k m A x (E) t m /k A x cos = 8．5312：一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取 v 2 1 电场强度习题 安徽泗县二中倪怀轮 1、下列说法正确的是：（） A、根据E＝F/q可知，电场中某点的场强与电场力成正比 B、根据E＝kQ/r2 ，可知电场中某点的场强与形成电场的点电荷的电荷量成正 比 C、根据场强的叠加原理，可知合电场的场强一定大于分电场的场强 D、电场线就是点电荷在电场中的运动轨迹 2、一带电量为q的检验电荷在电场中某点受到的电场力大小为F，该点场强大小为E，则下面能正确反映这三者关系的是（） 3．电场中有一点P，下列哪种说法是正确的( ) A．若放在P点电荷的电荷量减半，则P点的电场强度减半 B．若P点没有试探电荷，则P点电场强度为零 C．P点电场强度越大，则同一电荷在P点所受电场力越大 D．P点的电场强度方向为试探电荷在该点的受力方向 4、在x轴上有两个点电荷，一个带正电荷Q1，另一个带负电荷Q2，且Q1 ＝2Q2，用E1、E2分别表示这两个点电荷所产生的场强的大小，则在x轴上，E1＝E2点共 a b c 有 处，这几处的合场强分别为 。 5、如图所示，在x 轴坐标为＋1的点上固定一电量为4Q 的点电荷，在坐标原点0处固定一个电量为－Q 的点电荷．那么在x 轴上，电场强度方向为x 轴负方向的点所在区域是__________． 6．如图所示，A 、B 、C 三点为一直角三角形的三个顶点，∠B ＝30°，现在A 、B 两点放置两点电荷qA 、qB ，测得C 点场强的方向与AB 平行向左，则qA 带_____电，qA ∶qB ＝____. 7、如图所示为在一个电场中的a 、b 、c 、d 四点分别引入试探电荷， 测得试探电荷的电量跟它所受电场力的函数关系图象，这个电场 （填“是”或“不是”）匀强电场，若不是，则场强的大小关系 为 。 8、如图所示，一电子沿等量异种电荷的中垂线由A →O →B 匀速 运动，电子重力不计，则电子除受电场力外，所受的另一个力的 大小和方向变化情况是( ) A ．先变大后变小，方向水平向左 B ．先变大后变小，方向 水平向右 C ．先变小后变大，方向水平向左 D ．先变小后变大，方向水平向右 9、如图所示，在a 、b 两点固定着两个带等量异种性质电的点电 荷，c 、d 两点将a 、b 两点的连线三等分，则：（ ） A 、c 、d 两点处的场强大小相等 B 、c 、d 两点处的场强大小不相等 C 、从c 点到d 点场强先变大后变小 D 、从c 点到d 点场强先变小后变大 10、两个固定的等量异种电荷，在他们连线的垂直平分线上有a 、b 、c 三点，如图所示，下列说法正确的是 ( ) A ．a 点电势比b 点电势高 B ．a 、b 两点场强方向相同，a 点场强比b 点大 C ．a 、b 、c 三点与无穷远电势相等 D ．一带电粒子(不计重力)，在a 点无初速释放，则它将在a 、b 线上运动 11、如图所示,P 、Q 是两个电荷量相等的异种电荷,在其电场中有 一、选择题 1．0148：几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和 为零，则此刚体 (A) 必然不会转动 (B) 转速必然不变 (C) 转速必然改变 (D) 转速可能不变，也可能改变 ［ ］ 2．0153：一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度ω按图示方向转动。 若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度ω (A) 必然增大 (B) 必然减少 (C) 不会改变 (D) 如何变化，不能确定 ［ ］ 3．0165：均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所 示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一 种是正确的？ (A) 角速度从小到大，角加速度从大到小 (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大 (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小 (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大 ［ ］ 4．0289：关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （A ）只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关 （B ）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关 （C ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置 （D ）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关 ［ ］ 5．0292：一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮的转动惯量为J ，绳下端挂一物体。 物体所受重力为P ，滑轮的角加速度为α。若将物体去掉而以与P 相等的力直接向下拉绳 子，滑轮的角加速度α将 (A) 不变 (B) 变小 (C) 变大 (D) 如何变化无法判断 ［ ］ 6．0126：花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J 0， 角速度为0ω。然后她将两臂收回，使转动惯量减少为31 J 0。这时她转动的角速度变为： (A) 031ω (B) () 03/1ω (C) 03ω (D) 03ω ［ ］ 7．0132：光滑的水平桌面上，有一长为2L 、质量为m 的匀质细杆，可绕过其中点且垂 直于杆的竖直光滑固定轴O 自由转动，其转动惯量为31 mL 2，起初杆静止。桌面上有两个质 量均为m v 相向运动，如图所示。当两小球同时与杆的两个端点发生完全非 弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速 度应为： (A) L 32v (B) L 54v (C) L 76v (D) L 98v (E) L 712v ［ ］ 8．0133：如图所示，一静止的均匀细棒，长为L 、质量为M ，可绕通过棒的端点且垂 O v 俯视图 《静电场》经典例题分析 1、已知π＋介子、π－介子都是由一个夸克(夸克u或夸克d)和一个反夸克(反夸克u或反夸克d)组成的，它们的带电荷量如下表所示，表中e为元电荷. π＋π－u d u d 带电荷量＋e－e＋2 3 e－ 1 3 e－ 2 3 e＋ 1 3 e 下列说法正确的是( ) A．π＋由u和d组成B．π＋由d和u组成 C．π－由u和d组成 D．π－由d和u组成 思维建模——库仑力作用下的平衡问题 2、如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电荷量＋Q，B带电荷量－9Q.现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷都处于平衡状态，问：C应带什么性质的电？应放于何处？所带电荷量为多少？ 3题图 3、如图所示，大小可以忽略不计的带有同种电荷的小球A和B相互排斥，静止时绝缘细线与竖直方向的夹角分别为α和β，且α＜β，两小球在同一水平线上，由此可知( ) A．B球受到的库仑力较大，电荷量较大 B．B球的质量较大 C．B球受到的拉力较大 D．两球接触后，再处于静止状态时，悬线的偏角α′、β′仍满足α′＜β′ 4、如图所示，完全相同的两个金属小球A和B带有等量电荷，系在一个轻质绝缘弹簧两端，放在光滑绝缘水平面上，由于电荷间的相互作用，弹簧比原来缩短了x0.现将与A、B 完全相同的不带电的金属球C先与A球接触一下，再与B球接触一下，然后拿走，重新平衡后弹簧的压缩量变为( ) A.1 4 x0 B. 1 8 x0 C．大于 1 8 x0 D．小于 1 8 x0 5、AB和CD为圆上两条相互垂直的直径，圆心为O.将电荷量分别为＋q和－q的两点电荷放在圆周上，其位置关于AB对称且距离等于圆的半径，如图所示．要使圆心处的电场强度为零，可在圆周上再放一个适当的点电荷Q，则该点电荷Q( ) A．应放在A点，Q＝2q B．应放在B点，Q＝－2q C．应放在C点，Q＝－q D．应放在D点，Q＝q 6、(2014·华南师大附中高二检测) 精品 振动波动 一、例题 （一）振动 1.证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率。 2. 一质点沿x 轴作简谐运动，振幅为12cm ，周期为2s 。当t = 0时, 位移为6cm ，且向x 轴正方向运动。 求: (1) 振动表达式； (2) t = 0.5s 时，质点的位置、速度和加速度； (3)如果在某时刻质点位于x =-0.6cm ，且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 3. 已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为： x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI)x t π=+ 求：(1)合振动的初相及振幅. (2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0.07cos (10 t +? 3 ), 则当? 3为多少时 x 1 + x 3 的振幅最大?又? 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小? （二）波动 1. 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s 。在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动， 求：(1)波动方程 (2)x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。 2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。求：（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+。 S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。求：两波在P 点引起的合振动振幅。 电场强度典型例题 例1关于电场线，下述说法中正确的是： A．电场线是客观存在的 B．电场线与电荷运动的轨迹是一致的． C．电场线上某点的切线方向与与电荷在该点受力方向可以不同． D．沿电场线方向，场强一定越来越大． 解析：电场线不是客观存在的，是为了形象描述电场的假想线，A选项是错的．B选项也是错的，静止开始运动的电荷所受电场力方向应是该点切线方向，下一时刻位置应沿切线方向上，可能在电场线上，也可能不在电场线上，轨迹可能与电场线不一致．何况电荷可以有初速度，运动轨迹与初速度大小方向有关，可能轨迹很多，而电场线是一定的．正电荷在电场中受的电场力方向与该点切线方向相同，而负电荷所受电场力与该点切线方向相反，选项C是正确的．场强大小与场强的方向无关，与电场线方向无关，D选项是错的． 本题答案应是：C． 例2正电荷q在电场力作用下由向Q做加速运动，而且加速度越来越大，那么可以断定，它所在的电场是下图中的哪一个：( ) 解析：带电体在电场中做加速运动，其电场力方向与加速度方向相同，加速度越来越大电荷所受电场力应越来越大，电量不变，电场力，应是E越来越大．电场线描述电场强度分布的方法是，电场线密度越大，表示场强越大，沿PQ方向．电场线密度增大的情况才符合题的条件，应选D． 例3用细线将一质量为m，电荷量为q的小球悬挂在天花板的下面，没空气中存在有沿水平方向的匀强电场，当小球静止时把细线烧断，小球将做（）A．自由落体运动 B．曲线运动 C．沿悬线的延长线的匀加速运动 D．变加速直线运动 【解析】烧断细线前，小球受竖直向下的重力G，水平方向的电场力F和悬线的拉力T，并处于平衡状态，现烧断细线，拉力T消失，而重力G和电场力F 都没有变化，G和F的合力为恒力，方向沿悬线的延长线方向，所以小球做初速为零的匀加速直线运动． 带电小球的匀强电场中所受的电场力在运动过程中保持不变，初速为零的物体开始运动的方向必沿合外力方向． 正确选项为C． 例4质量为m，电荷量为+q的小球，用一根绝缘细线悬于O点．开始时，它在A、B之间来回摆动，OA、OB与竖直方向OC的夹角均为，如图所示． （1）如果当它摆动到B点时突然施加一竖直向上的，大小为E=mg/q的匀强电场，则此时线中拉力T1=_________． （2）如果这一电场是在小球从A点摆到最低点C时突然加上去的，则当小球运动到B点时线中的拉力T2=________． 【解析】（1）因为匀强电场的方向竖直向上，所以电场力 ，电场力和重力相平衡，小球到B点时速度为零，因此突然加上电场后使小球在B点保持静止，悬线中的张力T1=0． （2）小球经C点时具有一定的运动速度，突然加上电场，小球所受的合力即为细线对它的拉力，小球以O为圆心做匀速圆周运动，小球到达C时的速率可由机械能守恒定律得到． 一、选择题： 1．3001：把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) π (B) π/2 (C) 0 (D) θ ［ ］ 2．3002：两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为： (A) )π21cos(2++=αωt A x (B) ) π2 1cos(2- +=αωt A x (C) ) π23cos(2- +=αωt A x (D) )cos(2π++=αωt A x ［ ］ 3．3007：一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是 (A) 2 ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2 ［ ］ 4．3396：一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律 用余弦函数描述，则其初相应为 (A) π/6 (B) 5π/6 (C) -5π/6 (D) -π/6 (E) -2π/3 ［ ］ 5．3552：一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '。则有 (A) 11T T >'且22T T >' (B) 11T T <'且22T T <' (C) 11T T ='且22T T =' (D) 11T T ='且22T T >' ［ ］ 6．5178：一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 ) 31 2cos(10 42 π+ π?=-t x (SI)。 从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 (A) s 8 1 (B) s 6 1 (C) s 4 1 (D) s 3 1 (E) s 2 1 ［ ］ 7．5179：一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时。则其振动方程为： (A) )21/(cos π+=t m k A x (B) )21 /cos(π-=t m k A x (C) )π21/(cos + =t k m A x (D) )21/cos(π- =t k m A x (E) t m /k A x cos = ［ ］ 8．5312：一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取作坐标原点。若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为 v v 2 1 电场典例精析 1.场强公式的使用条件 【例1】下列说法中，正确的是( ) A.在一个以点电荷为中心，r 为半径的球面上各处的电场强度都相同 B.E ＝2r kQ 仅适用于真空中点电荷形成的电场 C.电场强度的方向就是放入电场中的电荷受到的电场力的方向 D.电场中某点场强的方向与试探电荷的正负无关 2.理解场强的表达式 【例1】在真空中O 点放一个点电荷Q ＝＋1.0×10－9 C ，直线MN 通过O 点，OM 的距离r ＝30 cm ，M 点放一个点电荷q ＝－1.0×10－10 C ，如图所示，求： (1)q 在M 点受到的作用力；(2)M 点的场强；(3)拿走q 后M 点的场强； (4)M 、N 两点的场强哪点大；(5)如果把Q 换成－1.0×10－9 C 的点电荷，情况如何. 【拓展1】有质量的物体周围存在着引力场.万有引力和库仑力有类似的规律，因此我们可 以用定义静电场强度的方法来定义引力场的场强.由此可得，与质量为M 的质点相距r 处的 引力场场强的表达式为E G ＝ (万有引力常量用G 表示). 3.理解场强的矢量性，唯一性和叠加性 【例2】如图所示，分别在A 、B 两点放置点电荷Q 1＝＋2×10－14 C 和Q 2＝－2×10－14 C.在 AB 的垂直平分线上有一点C ，且AB ＝AC ＝BC ＝6×10－2 m.求： (1)C 点的场强； (2)如果有一个电子静止在C 点，它所受的库仑力的大小和方向如何. 4.与电场力有关的力学问题 【例3】如图所示，带等量异种电荷的平行金属板，其间距为d ，两板间电势差为U ，极板 与水平方向成37°角放置，有一质量为m 的带电微粒，恰好沿水平方向穿过板间匀强电场 区域.求： (1)微粒带何种电荷？ (2)微粒的加速度多大？ (3)微粒所带电荷量是多少？ 5.电场力做功与电势能改变的关系 【例1】有一带电荷量q ＝－3×10－6 C 的点电荷，从电场中的A 点移到B 点时，克服电场力 做功6×10－4 J.从B 点移到C 点时，电场力做功9×10－4 J.问： (1)AB 、BC 、CA 间电势差各为多少？ (2)如以B 点电势为零，则A 、C 两点的电势各为多少？电荷在A 、C 两点的电势能各为 多少？ 【拓展1】一带电油滴在匀强电场E 中的运动轨迹如图中虚线所示，电场方向竖直向下.若 不计空气阻力，则此带电油滴从a 运动到b 的过程中，能量变化情况为( ) A.动能减小 B.电势能增加 C.动能和电势能之和减小 D.重力势能和电势能之和增加 热学部分 一、选择题 1．4251：一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为T ，气体分子的质量为m 。根据理想气体的分子模型和统计假设，分子速度在x 方向的分量平方的平均值 (A) (B) (C) (D) ［ ］ 2．4252：一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为T ，气体分子的质量为m 。根据理想气体分子模型和统计假设，分子速度在x 方向的分量的平均值 (A) (B) (C) (D) 0 ［ ］ 3．4014：温度、压强相同的氦气和氧气，它们分子的平均动能和平均平动动能 有如下关系：(A) 和都相等 (B) 相等，而不相等 (C) 相等，而不相等 (D) 和都不相等 ［ ］ 4．4022：在标准状态下，若氧气(视为刚性双原子分子的理想气体)和氦气的体积比V 1 / V 2=1 / 2 ，则其内能之比E 1 / E 2为： (A) 3 / 10 (B) 1 / 2 (C) 5 / 6 (D) 5 / 3 ［ ］ 5．4023：水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几(不计振动自由度和化学能)？ (A) 66.7％ (B) 50％ (C) 25％ (D) 0 ［ ］ 6．4058：两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同，但体积不同，则单位体积内的气体分子数n ，单位体积内的气体分子的总平动动能(EK /V )，单位体积内的气体质量，分别有如下关系：(A) n 不同，(EK /V )不同，不同 (B) n 不同，(EK /V )不同，相同 (C) n 相同，(EK /V )相同，不同 (D) n 相同，(EK /V )相同，相同 ［ ］ 7．4013：一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们 (A) 温度相同、压强相同 (B) 温度、压强都不相同 (C) 温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强 (D) 温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强 ［ ］ 8．4012：关于温度的意义，有下列几种说法：(1) 气体的温度是分子平均平动动能的量度；(2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义；(3) 温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同；(4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度。这些说法中正确的是 (A) (1)、(2)、(4)；(B) (1)、(2)、(3)；(C) (2)、(3)、(4)；(D) (1)、(3) 、(4)； ［ ］ 9．4039：设声波通过理想气体的速率正比于气体分子的热运动平均速率，则声波通过具有相同 温度的氧气和氢气的速率之比为 (A) 1 (B) 1/2 (C) 1/3 (D) 1/4 ［ ］ 10．4041：设图示的两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线；令 和分别表示氧气和氢气的最概然速率，则： (A) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线； /=4 (B) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线； /＝1/4 (C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线； /＝1/4 (D) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线； /＝ 4 ［ ］ m kT x 32= v m kT x 3312 =v m kT x /32=v m kT x /2 =v m kT π8= x v m kT π831=x v m kT π38= x v =x v εw εw εw w εεw ρρρρρ2 2H O /v v ()2 O p v ()2 H p v ()2 O p v ()2 H p v ()2O p v ()2H p v ()2 O p v ()2 H p v ()2 O p v ()2 H p v大学物理A第九章 简谐振动
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