常见动态规划算法问题策略分析

常见动态规划算法问题

策略分析

目录

一、动态规划策略 (1)

1.动态规划介绍 (1)

2.求解动态规划问题步骤 (1)

二、几种动态规划算法的策略分析 (1)

1.装配线调度问题 (1)

2.矩阵链乘问题 (2)

3.最长公共子序列（LCS） (3)

4.最大字段和 (4)

5.0-1背包问题 (4)

三、两种解决策略 (5)

1.自底向上策略 (5)

2.自顶向上（备忘录）策略 (5)

3.优缺点分析 (5)

四、总结 (6)

一、动态规划策略

1.动态规划介绍

动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多

阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。

基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的

求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部

解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。

依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。

由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在

一个二维数组中。

与分治法最大的差别是：适合于用动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建

立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。

2.求解动态规划问题步骤

（1）确定最优解结构

（2）递归定义最优解的值

（3）自底向上计算最优解的值

（4）重构最优解

二、几种动态规划算法的策略分析

1.装配线调度问题

分析：首先确定最优解结构，分析问题可知大致分为两种情况：

从第一个站出站（j=1）和从第j 个站出站（j>=2）。

当j=1：货物上线后只经过一个站，f 1[j]=e

1+a 1,1 当j>=2，又可分为跳线和不跳线两种情况：

不跳线：f 1[j]=f 1[j-1]+a 1,j

跳线：当货物从f2跳到f1，有一个跳转时间t 2,j-1，则：f 1[j]=f 2[j-1]+t 2,j-1+a 1,j

由对称关系，f 2[j]可同理得出，最后：

??1,??={??1+??1,1 ??

=1min (??1,??-1+??1,??,??2,??-1

+??2,??-1+??1,?? ) ??≥2 ??2,??={??2+ ??2,1 ??=1min(??2,??-1+??2,??,??1,??-1+ ??1,??-1+??2,??

) ??≥2传输完后，加上自动下线时间x 1,x 2,总装配时间：

???=min {??1,??+??1,??2,??+??2}

最后采用自底向上的方法求解算法并递归的输出最优解的值。

2.矩阵链乘问题

分析：若只有一个矩阵，无最优解。若大于一个矩阵：对于A 1,A 2,…,A n ，我们得在A k 和A k+1之间加上一个括号使得分开的两个子矩阵链乘积最小，再分别对两个子问题找到最优的划分结果：设m[i,j] 为计算矩阵链A i..j 的乘积所需的最少标量乘法次数。

若：i=j ，不需任何计算，即m[i,j]=0

，否则：????,?? =????,??+ ????+1,??+????-1????????则最终公式为：

??1,??={0 ??=??

min(????,??+ ????+1,??+????-1????????

) ??

在计算时，采用了自底向上的方法来求解最优解，在求解过程中

用一个辅助的数组S[1….n-1,2….n]来记录最优值m[i，j]对应的分割点K，这样能够构造出最优解。最后，借助辅助数组递归

的输出最优解的值。

3.最长公共子序列（LCS）

分析：可分为最后一个元素相同和不相同两种情况：

最后一个元素相同：求X[1…m-1]和Y[1…n-1]两个子序列的最长公共子序列。

最后一个元素不同：求X[1…m-1]和Y[1…n]或者X[1…m-1]和Y[1…n]两个子序列的最长公共子序列。

令C[i,j]为????和????的LCS的长度，如果i=0或者j=0则LCS=0，则根据LCS的最优子结构特征我们可以构造出：

??[??,??]={

0 ??

=0 ???? ??

=0 ??[??-1,??-1]+ 1 ??,

??>0 ?????? ??

[??]=??[??] max(C[??-1,??],??[??,??-1]) ??,??>0 ?????? ??

[??]≠??[??]

根据递归式，我们能写出一个递归算法来计算最长公共子序列，

由于LCS的子问题过多，所以我们采用自底向上的计算。

在这个过程中，我们需要借组一个数组b[i,j]来记录最优解得构造过程，利用b[i,j]所记录的元素来输出最优解。

4.最大字段和

分析:求给定的n个整数（可能但不全为负）a1,a2,…,an, 的i 跟j，使 ai 到 aj 的和最大。我们定义b[j]=max(sum(i:j))，为从i到j子段的最大子段和。我们比较b[j-1]+a[j]和a[j]的大小,如果b[j-1]<0,显然b[j-1]不是最大子段，此时

b[j]=a[j]。反之，我们令b[j-1] + a[j] = b[j],找出最大的子段和。

则：b[j]=max( b[j-1]+a[j], a[j] ), 1<=j<=n

由上面的递归公式我们可以写出一个自底向上的递归算法，在算

法中我们借助一个变量sum来记录过程中的最大子段和，若此时的b[j]>sum，更新sum中的值，反之，继续求解。直到程序进行完毕，输入sum中的最大子段和。

5.0-1背包问题

分析：分数背包问题可以采用贪心策略解决，但我们在求解0-1

背包问题时，我们只能采用动态规划策略。

同样地：首先构造最优子结构。令c[i,j]表示利用前i个物品装容量为j的背包所能获得的最大价值，可分两种情况：

含物品n：去掉第n个物品，用W-w n容量的背包装物品

1,2，…,n-1：c[i,j]=c[i-1,j-w i]+v i

不含物品n：用W容量背包装物品1,2,…,n-1：c[i,j]=c[i-1,j]

当然，没有物品或没有容量，c[i,j]=0

则总的递归式：

??[??,??]={0 ??

=0 ???? ??

=0 ??[??-1,??]????>?? max(C[??-1,??- ????]+ ????,??[??-1,??]) ??>0 ?????? ????≤??

有上述递归方程，就可写出相应递归算法，但该递归算法复杂度

太高，可用V[0..n,0..W]来保存子问题(i,j)的最大值。

b[1..n,1..W]用来保存所做出的最优选择，以便构造最优解。在

计算最优解的时候，保存所做出的最优决策，便可得到最优解。

三、两种解决策略

1.自底向上策略

一般动态规划问题都是基于此策略。在用这种方法时一般需要恰

当的定义子问题的规模，使得任何子问题都只依赖于更小的子问

题的求解。我们可以将问题的规模按照由大到小排列依次求解。

每个子问题都只求解一次。

2.自顶向上（备忘录）策略

动态规划有一个性质为子问题重叠性质，就是对于子问题在递归

过程中不断求解，虽然问题规模很小，但是求解次数会非常多，

造成程序运行非常慢。在使用自顶向下的求解过程中，我们一般

要设计一个备忘录，在递归求解过程中对于已经求解过的问题保

存在备忘录中，当下次要使用时直接拿出来，不用再次求解。

3.优缺点分析

自顶向下只需要求解问题需要的解，不需要对所有子问题都去求

解。但是它需要额外的递归开销。自底向上必须对所有子问题进

行求解但是可有效减少计算时间和所需的存储空间。

四、总结

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问

题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希

望找到具有最优值的解。解决动态规划问题的关键是找到最最优

子结构并定义出递归式，根据经验，通常会分为若干种情况分开

讨论，尤其注意容易遗漏的特殊情况（0、1、相等…）。在求解计

算时，如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再

找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时

间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该

子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表

中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多

样，但它们具有相同的填表格式。