简谐振动的运动学

简谐振动的运动学

本节主要讲解：根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动的运动学特征。

一 . 简谐振动的运动学方程

方程的解为：⑴

⑴式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。

二 . 描述简谐振动的物理量

1 . 周期（T ）

完成一次全振动所用的时间：

对弹簧振子：

2. 频率（）

单位时间内完成的全振动的次数：

的含义：个单位时间内完成的全振动的次数，即圆频率。

3. 振幅

物体离开平衡位置的最大位移。

振幅可以由初始条件决定。如：t=0 时刻，，

由⑴式可得：,

∴⑵

4. 位相和初位相

振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，还须知道

才能完全决定系统的运动状态。

叫简谐振动的相位。

当时，叫初相位。

由：⑶

若：已知初始条件：，则⑶式有：

⑷

⑸

⑷，⑸式中的任意二个即可确定初位相。

相位差：两振动相位之差。

讨论：

⑴若 是 的整数倍，则振动同相位；

⑵若 是 奇数倍，则振动相位相反；

⑶若 ，则称 超前 ；

⑷若 ，则称 落后 。

相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。

例 1 ：一弹簧振子， 时， 求振动的初位相 。

解 ：

∴ 在第一象限，

例 2 ：讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。

解 ：

设： ，

则：

所以：速度的位相比位移的位相超前

加速度的位相比速度的位相超前；

加速度的位相比位移的位相超前。

理解：加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移。

总结：

⑴简谐振动是周期性运动；

⑵简谐振动各瞬时的运动状态由振幅 A 频率及初相位决定，或者说，由振幅和相位决定。

⑶简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。

三 . 简谐振动的图象：图线

描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。

中学里经常做正弦、余弦函数的图象，故不再多讲，请看书。

四 . 简谐振动的矢量表示法：

用旋转矢量的投影表示简谐振动。

如图示：

为一长度不变的矢量，的始点在坐标轴的原点处，记时起点t=0 时，矢量

与坐标轴的夹角为，矢量以角速度逆时针匀速转动。

由此可见：⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方程。

⑵矢端的速度大小为，在x 轴上的投影为：

⑶矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为：，在x 轴上的投影：

总结：旋转矢量、旋转矢量端点沿圆周运动的速度和加速度在坐标轴上的投影等于特定的简谐振动的位移、速度和加速度。因此，用旋转矢量在坐标轴上的投影描述简谐振动的方法叫简谐振动的矢量表示法。

练习题

1. （1 ）一简谐振动的运动规律为，若计时起点提前0.5s ，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？

(2) 一简谐振动的运动学方程为若计时起点推迟1s ，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？

(3) 画出上面两中简谐震动在计时起点改变前后t=0 时的旋转矢量的位置。

2. 半径为R 的薄圆环静止于刀口O 上，令其在自身内作微小的摆动。（1 ）求其震动的周期；（ 2 ）求起振动周期相等的单摆的长度；（ 3 ）将圆环去

掉而刀口支于剩余圆弧的中央，求其周期与整圆环摆动周期之比。

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