埃博拉病毒传播的数学模型
数学建模论文
基于传染病模型的埃博拉疫情发展建模分析
院系名称：地球科学学院
专业名称：环境科学
学生姓名：崔昊天、牛星智、朱家佑
学号：崔昊天：2013010176
牛星智：2013010186
朱家佑：2013010194
指导教师：孟得新
完成日期2015 年 4 月 29 日
论文的分工说明：
本篇数学建模论文，是在朱家佑、崔昊天、牛星智的共同努力下完成的。其中朱家佑同学负责SEQIR模型的初步建立、Matlab程序的编译与运行，SIR模型的检验，绘制谱线图，属于首席技术人员；崔昊天同学负责SIR模型的分析与结论，提出SIR模型优化进步的建议以及论文的整体思路与撰写整合，属于文案分析人员；牛星智同学主要负责文献的查考，收集埃博拉病毒的资料以及各国疫情的数据与模型的可行性研究，对比文献资料提出模型存在的不足，并分类整理参考文献，属于认证查考人员。三位同学各司其职，有分工又有合作，环环相扣，共同学习，共同进步。
签名：
日期：2015.4.29
基于传染病模型的埃博拉疫情发展建模分析
摘要
埃博拉（Ebola virus）又译作伊波拉病毒，是一种能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒，有很高的死亡率，在50%至90%之间。本文基于西非埃博拉疫情的发展，首先建立SIR模型，对西非埃博拉疫情进行检验，得出模型改进措施，接着建立改进后的SEQIR模型，分析预测疫情发展趋势，对目前世界各国采取的防控埃博拉疫情的措施进行简单评价，并提出埃博拉疫情对于防控的建议。
关键词：埃博拉；检验；预测；评价；建议
目录
第1章绪论 (5)
1.1研究背景 (5)
1.2 研究目的及意义 (5)
1.3 国内外研究现状 (5)
1.3.1 国内外传染病模型研究现状 (5)
1.3.2 国内外埃博拉病毒医疗研究现状 (6)
1.3.2.1 EVD治疗方法 (6)
1.3.2.2治疗EVD 的新药研究进展 (7)
1.3.2.3疫苗的研究 (9)
1.4 技术路线 (10)
第2章数据与方法 (11)
2.1基础知识 (11)
2.2 数据方法 (11)
第3章模型建立与改进 (12)
3.1 SIR模型 (12)
3.1.1 模型建立 (12)
3.1.2 模型分析 (13)
3.1.3 模型验证 (16)
3.2 改进的SIEQR模型 (16)
3.2.1 模型建立 (16)
3.2.2 模型求解 (18)
3.2.3 模型分析 (19)
第4章评价与建议 (24)
4.1 模型的评价 (24)
4.1.1 SIR模型的评价 (24)
4.1.2 SEQIR模型的评价 (24)
4.2 现有医疗水平的评价 (24)
4.3防控建议 (25)
致谢 (26)
参考文献 (27)
第1章绪论
1.1研究背景
埃博拉（Ebola virus）又译作伊波拉病毒，是一种能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒，有很高的死亡率，在50%至90%之间。
2014年2月西非爆发大规模病毒疫情，截至2014年12月17日，世界卫生组织（WHO）发表数据显示埃博拉出血热疫情肆虐的利比里亚、塞拉利昂和几内亚等西非三国的感染病例(包括疑似病例)已达19031人，其中死亡人数达到7373人[1]。据世界卫生组织透露，2014年西非埃博拉病毒疫情爆发的感染及死亡人数均为历史最高，并仍处于恶化状态中[17]。世界各国针对埃博拉病毒均提出了自己的防控措施，然而埃博拉病毒的致病机理尚未明确，其致死率高居不下，基于数学模型的病毒爆发特性分析因此应运而生。
1.2 研究目的及意义
国内外学者针对一般类型的传染病提出了SIR传染病模型，可用于模拟预测传染病的传播过程，评价当前的医疗卫生体系及防控措施。但是针对埃博拉这一目前无疫苗防治措施的传染病，尚未存在基于SIR模型的改进模型进行合理的模拟预测。
本文基于SIR模型，增加疑似病患、潜伏期感染者两个变量，构建SIEQR模型，分析埃博拉出血热的流行规律，并预测其未来的发展趋势，并对世界卫生组织（WHO）目前针对该疾病的防控措施进行评价，为埃博拉出血热的最佳防控提供理论基础。
1.3 国内外研究现状
1.3.1 国内外传染病模型研究现状
国内外对于传染病的数学模型研究不在少数。传染病模型的基础是Kermack 和McKendrick 二人提出的仓室模型(compartmentmodel,CM)[2]。杨方廷[18]通过对SARS在某北方大城市爆发的系统仿真研究发现,恰当地建模能够有效地模拟SARS 的人群传播模式。通过数学模型可推导出不同的防控策略(如限制人员流动、对疑似感染者及早隔离等)对于病毒传播的影响。
对于埃博拉病毒的数学模型研究，早在1996年，Fauci[4]就使用SIR和SEIR 模型，模拟扎伊尔两个时段的埃博拉爆发:1976 年Yambuku 疫情爆发和1995年Kikwit的疫情爆发。他们得到: 当基本再生率K满足范围1.72≤R0≤8.60时，
意味着埃博拉病毒传染性不如以前那么厉害，可以使他们减少潜在的死亡。为了预判埃博拉的发展趋势,弗吉尼亚理工大学的网络动态和模拟科学实验室(NUSSL)从2014年8月开始,采用基于个体的传染病传播工具Epi- fast来模拟埃博拉在西非的传播[22]。
国外学者在研究其发病机理以及病毒作用机理的同时，建立了新型传染病模型对疾病进行预测。由于个体在感染埃博拉病毒后经过一段时间才会出现临床症状,这段时间被称为潜伏期，对潜伏期的长度,Chowell等[9]采用最小二乘法估算出2次疫情平均潜伏期分别为5.30 d(刚果1995年)和3.35 d(乌干达2000年),Le- grand等使用临床观测结果估计的潜伏期分别为7d[12-13](刚果1995年)和12 d (乌干达，2000),与后者较为近似的潜伏期长度也被用于近期对此次西非埃博拉疫情动态的研究中[15]。美国CDC采用的潜伏期平均长度为6 d,99%的分位数为21 d。
1.3.2 国内外埃博拉病毒医疗研究现状
1.3.
2.1 EVD治疗方法
由于尚无有效的经过系统研究的药物用于EVD 患者的治疗，目前的治疗方法以积极的对症和支持治疗为主，主要包括：维持水、电解质平衡，补充体液和电解质；预防和控制出血；维持血氧及血压平衡；及时控制继发感染；治疗肾功能衰竭和出血、DIC(disseminated intravascular coagulation，弥散性血管内凝血) 等并发症。临床治疗过程中可根据患者的具体情况采取下列措施进行治疗。
①一般支持、对症治疗：卧床休息，少渣易消化半流质饮食，保证充分热量；
②补液治疗：有证据表明，早期补液，维持水电解质和酸碱平衡治疗，可明显提高存活率；可使用平衡盐液，维持有效血容量；加强胶体液补充如白蛋白、低分子右旋糖酐等，预防和治疗低血压休克；
③保肝抗炎治疗：可使用甘草酸制剂；
④出血的治疗：止血和输血，新鲜冰冻血浆补充凝血因子，预防DIC ；
⑤控制感染：及时发现继发感染，根据细菌培养和药敏结果应用抗菌药物；
⑥肾功能衰竭的治疗：必要时行血液净化治疗；
⑦呼吸衰竭的治疗：及时行氧疗等改善呼吸功能治疗；
⑧病原学治疗：未经过人体学试验的三联单克隆抗体ZMapp，在紧急状态下被批准用于EVD 患者的治疗；目前已有7 人接受此治疗，5 人获得较好疗效；另外，TKM-Ebola 也已通过FDA 的批准，紧急情况下可用于确诊或者疑似EVD 患者；
⑨恢复期血清治疗：即从康复者体内提取含埃博拉病毒抗体的血液，将其
输给患者；该方法曾在小范围内应用，亦似有较好的效果，WHO 已出台安全使用输血疗法治疗EVD患者的指导方针，并帮助受疫情影响国家从康复患者体内提取血浆、准备血清以治疗更多患者。但和ZMapp 一样，目前尚无数据支持其大规模使用的效果，还有待于在应用时机、不良反应等方面做进一步观察。
1.3.
2.2治疗EVD 的新药研究进展
在埃博拉病毒被发现后的几十年里，研究者们一直致力于研发抗埃博拉病毒的新药。不过目前，用于埃博拉病毒预防和治疗的药物仍多处于实验室或前期临床研究阶段。在目前的严峻形势下，美国FDA 已经批准ZMapp 和TKM-Ebola 在紧急情况下用于确诊或者疑似感染埃博拉病毒的患者。WHO 委员会也给出建议，可在患者签署知情同意书的基础上，使用未经系统研究证明的药物如ZMapp 和疫苗来控制感染，而且在伦理上也可接受。不过，即便如此，现有的可用药品也是非常有限或缺乏的。
1.ZMapp
ZMapp 是美国和加拿大共同开发的一种抗埃博拉病毒新药，由3 种人源化的鼠单克隆抗体组成，其中的主要成分为MB-003（又称为：Mapp）和ZMAb，两者优化后组成了抗埃博拉病毒感染的新药ZMapp。MB-003是 3 种具有抗埃博拉病毒作用的单克隆抗体组成的混合抗体。2012 年，研究者用MB-003 治疗了 6 只埃博拉病毒感染的恒河猴，给予MB-003 的实验组中有 4 只存活；而未给药的对照组 2 只全部死亡。2013 年一项研究发现，感染埃博拉病毒48 h 内注射MB-003 混合抗体的恒河猴，其存活率为43% ；如果不接受药物治疗，其存活率为零。ZMAb 是抗埃博拉病毒混合抗体联合腺病毒载体干扰素α的复合抗体。2013 年的另一项研究显示，使用ZMAb 治疗感染埃博拉病毒24 h 或48 h 的猴，存活率分别为100% 和50%。2 个多月后，研究人员对存活的猴子进行再次感染试验，观察这些病愈的猴子体内是否产生了抵御埃博拉病毒的抗体，结果无1 例猴子因再次感染而死亡。为进一步了解ZMapp的抗病毒作用，Qiu 等将致死剂量的埃博拉病毒给予三组猴子（每组 6 只），分别在不同时间给予ZMapp 治疗，结果发现所有动物都存活，更重要的是，即使是在猴感染病毒后5 d 出现严重症状时使用，该药也能起到很好的保护作用。不过要注意的是，试验时所用毒株与本次西非暴发的毒株不同。不管怎样，ZMapp 的开发与猴试验中的良好疗效都是对抗埃博拉病毒的巨大进步。
https://www.360docs.net/doc/394868223.html,M-Ebola
鉴于ZMapp 的产能有限和疫情的不断扩展，国际社会也在尽可能的寻找更多的治疗EVD 的有效药物。为此，2014 年9 月美国FDA 批准加拿大制药商Tekmira公司研制的TKM-Ebola 药物可在紧急情况下用于确诊或者疑似感染埃博拉病毒的患者。TKM-Ebola 也成为全球第二个可用于EVD 治疗的药物。
TKM-Ebola 属于基因治疗药物，是一种靶向埃博拉病毒RNA 多聚酶的小干扰RNA，通过抑制埃博拉病毒相关基因VP24 和VP35，使致病基因“沉默”而起作用。2010 年发表在《柳叶刀》上的小规模的概念验证研究中，研究者将猕猴暴露于高剂量的扎伊尔型病毒后30 min，开始给予TKM-Ebola，随后，第一组猕猴（n=3）在暴露后1、3、5 d 各给药1次，而第二组猕猴（n=4）在暴露后1 ～6 d 每天给药1次，结果第一组的保护率可达66%，第二组的保护率可达100%。但FDA 对其在人类的安全性上持保留态度，故仅部分准予其用于埃博拉病毒感染的患者。
3.jk-05
在应对EVD 方面，中国的科研工作者也未曾停止前进的步伐。其中由中国军事医学科学院微生物流行病研究所针对埃博拉病毒、历时 5 年研制而成的药物jk-05已通过总后卫生部专家评审，获得军队特需药品批件。jk-05 是一种小分子化学药物，该药能够选择性地抑制流感病毒和埃博拉病毒的RNA 聚合酶，从而达到抑制病毒复制的目的。研究表明，jk-05 在细胞和动物水平感染实验中具有抗埃博拉病毒活性。该药物虽已完成临床前研究，并完成了用于抗流感病毒时的临床安全性评价，但对于EVD 的治疗，目前仍仅限于紧急情况下使用。
4.法匹拉韦（favipiravir）
日本相关法规规定，在特定的条件下可采用未获批准治疗埃博拉的药物来治疗致死性的埃博拉病毒感染。根据此规定，日本富士公司和美国MediVector 公司正在向美国FDA 提交申请以扩大法匹拉韦（favipiravir，或称T-705，Avigan）这一原本应用于抗流感病毒的药物，作为抗埃博拉病毒感染用药。法匹拉韦是一种新型的抗病毒化合物，主要用作抗新型流感毒株感染，今年年初，被日本政府批准上市。由于其没有经过猿猴以及人类相关研究，法匹拉韦能否抗埃博拉感染尚不明确。不过埃博拉病毒与流感病毒具有类似的结构（均为单链反义RNA 病毒），因此法匹拉韦可能对埃博拉病毒感染同样有效。但WHO 目前并未推荐该药用于EVD 的治疗。
5.其他用于EVD 治疗的药物
除上述 4 种药物外，还有一些对抗埃博拉病毒的药物正在开发中，虽然很多药物均表现出良好的前景，但同样存在着相似甚至更大的不确定性。BCX-4430 是一个新的核苷类似物，可以影响病毒RNA 多聚酶的功能而抑制病毒的复制，在啮齿类动物中具有抗埃博拉病毒活性，在非人灵长类动物中能够保护其免受马尔堡病毒感染，但并没有安全性试验的数据。AVI-7537 可通过RNA 干扰技术靶向作用于埃博拉病毒VP24 蛋白，实验中对非人灵长类动物具有一定的保护作用。还有一些明确安全用法但用于其它疾病的药物，如氯喹、伊马替尼、雌激素受体调节剂（克罗米芬和托瑞米芬）、钙通道阻滞剂（胺碘酮、维拉帕米）等，也在
体外实验中体现出抗埃博拉病毒活性，可作为候选药物单独或联合其他药物用于治疗EVD。
1.3.
2.3疫苗的研究
寻找或研发抗埃博拉病毒的治疗药物固然重要，但管理和控制埃博拉病毒疫情暴发的最有效手段应该还是疫苗的使用，WHO 正与各方加快埃博拉病毒疫苗的临床试验。目前有数种针对埃博拉病毒的疫苗表现出良好的开发前景，但同样需要进一步的研究才能明确其应用价值。其中葛兰素史克公司开发的“ChAd”和美国纽琳基因公司开发的“VSV”疫苗最受关注，WHO 正与药物研发公司、临床专家与监管方加快这两种疫苗的临床试验，希望受疫情影响的国家能在2015 年1 月以后用上这些疫苗。
ChAd 疫苗是针对扎伊尔株设计研发的疫苗，它以一种良性病毒（腺病毒）为载体，仅包含了埃博拉病毒基因组的部分结构，因此不会导致接种疫苗者感染埃博拉病毒，该腺病毒也不会在人体内复制，但是如果人体处于感染状态时却会诱导免疫系统产生埃博拉病毒抗体。之前的动物实验已经证实该疫苗能够有效地防止埃博拉病毒感染，并且单剂量疫苗即可诱导产生高水平的保护效果，促进感染动物的恢复。目前，ChAd 已进入Ⅰ期临床试验阶段，这是首个进入Ⅰ期临床试验的抗击埃博拉病毒的疫苗。该试验已于2014 年9 月在牛津大学疫苗研究中心进行，有60 名志愿者参与，目的是研究疫苗对健康人体是否有害，同时进一步确定最合适的疫苗剂量，但最终确定ChAd 的疗效还要进行一系列试验。然而，在当下的情况下，人们希望把通过Ⅰ期临床试验的疫苗直接送到疫区的医护工作者手中，之后直接在疫区检测疫苗的效果。
VSV 疫苗是活病毒，该疫苗使用水泡性口炎病毒进行接种，可自我复制，感染细胞后可将埃博拉病毒的蛋白质带入宿主细胞中，之后就会激发免疫反应，防止机体出现器官衰竭和出血等症状。VSV 疫苗的价值在于，对于已经感染的猴子来说，该疫苗依然有效。美国纽琳基因公司已批准开展VSV 疫苗的Ⅰ期临床实验。
1.4 技术路线
第2章 数据与方法
2.1基础知识
微分方程可以很好的模拟传染病的流行方式以及人感染传染病后的状态，SIR 传染病模型是我们建立模型的理论基础，通过对SIR 模型的改进，完善埃博拉病毒的传染机理，经过世界卫生组织数据带入验证，确立模型的准确性、科学性。
2.2 数据方法
根据已知埃博拉病毒的疾病生态学,同时考虑到埃博拉较高的病死率、短潜伏期、目前尚无疫苗防疫的特点，对传播动力学过程有较大的影响,本模型在SIR 三分室的基础上增加疑似病患E ，潜伏期感染者Q 。设定的五分室模型如下:
各仓室之间关系如下：
???????????????+-+-+-=-+=+---==--=)(2]1)()1)(()()[1)(()(1)(2]1)()1)(()[1)(()(1)()1)((21332133t I d d d p t E p t E t S p t Q dt
dI t Q d t I d d dt dQ d p t E p t E p t Q dt dE t I d dt dR t S p t Q dt dS λλλ 这样，就可以更加详细地描述模型变量，更好的预测埃博拉传染趋势。 本文首先运用SIR 模型验证传染病传播的规律，再对模型进行参数修正，得出SEQIR 模型预测某地区埃博拉疫情的发展。
第3章 模型建立与改进
3.1 SIR 模型
3.1.1 模型建立
针对一般的传染病，姜启源等《数学模型》中建立了三个数学模型对其进行模拟，并逐步改进出了SIR 模型，现将其作为初步分析的工具，具体过程如下。
模型假设：
1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N 。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t 时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t 时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。）占总人数的比例。
2.病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数r ，日治愈率（每天被治愈或死亡的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=r ／μ。
基于以上模型假设，进行建模过程，我们看出，在假设1中显然有：
s(t) + i(t) + r(t) = 1 （3.1.1.1）
对于病愈免疫或死去的移出者的数量应为
（3.1.1.2） 我们不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为（＞0），
（＞0），=0.
SIR 基础模型用微分方程组构成表示如下：
（3.1.1.3）
方程组中各参数及其含义如下：
r t d N Ni d μ=0s 0s 0i 0i 0r di dt ds dt
dr dt si i
si
i
λμλμ?=-???=-???=??
日治愈率（每天被治愈或死亡的病人占总病人数的比例） μ
病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数 r
传染期有效接触数 σ
时刻t 内健康人群 S(t)
时刻t 内潜伏期人群 I(t)
时刻t 内治愈或死亡人群 R(t)
则，在方程（3）中设r=1，μ=0.1，i （0）= 0.00001，s （0）=0.99999，用MATLAB 软件编程：
运行后得出图像如图3-1所示。
图3-1 感染者比例与时间关系
3.1.2 模型分析
我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i （t ）,s （t ）的性质。
i ~ s 平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域（s ，i ）∈D 为
D = ｛（s ，i ）| s ≥0，i ≥0 ， s + i ≤1｝ （3.1.2.1） 在方程（3）中消去并注意到σ的定义，可得
， （3.1.2.2）
t d 11i s d d ??=- ???s σ00|s s i i ==
所以，有
（3.1.2.3） 利用积分特性容易求出方程(5)的解为
（3.1.2.4）
在定义域D 内,(6)式表示的曲线即为相轨线，如图3-2所示。其中箭头表示了随着时间t 的增加s(t)和i(t)的变化趋向。
图3-2 s(t)和i(t)的变化曲线
下面根据(3.1.1.3)、(3.1.2.4)式和图3-2分析s(t)、i(t)和r(t)的变化情况(t →∞时它们的极限值分别记作,和)。
1. 不论初始条件s 0，i 0如何,病人消失将消失,即
（3.1.2.5）
其证明如下：
首先,由(3.1.1.3) 而 故 存在; 由(3.1.1.2)而
故 存在;再由(3.1.1.1)知存在。
其次,若则由(3.1.1.1),对于充分大的t 有 ， 这将导致，与存在相矛盾.从图形上看，不论相轨线从P1或从P2点出发,它终将
11i s d d ??=- ???s σ?00i
11s i s i s d d ??=- ?????s σ0001
()ln s
i s i s s σ=+-=s ∞i ∞r ∞00i =0s t d d ≤()0s t ≥s ∞0t dr d ≥()1r t ≤r ∞i ∞0i ε∞
=>2t dr d εμ>r ∞=∞r ∞s ∞1/σD
2
P 1
P s i
m i o
与s 轴相交(t 充分大)。
2.最终未被感染的健康者的比例是，在(7)式中令i=0得到，是方程
（3.1.2.6）
在(0,1/σ)内的根。在图形上是相轨线与s 轴在(0,1/σ)内交点的横坐标。
3.若>1/σ,则开始有，i(t)先增加,令=0，可
得当s=1/σ时，i(t)达到最大值：
（3.1.2.7）
然后s<1/σ时，有 ，所以i(t)减小且趋于零,s(t)则单调减小至,如图3-2中由P1(，)出发的轨线。
4.若1/σ，则恒有，i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至，
如图3中由P2(s0,i0)出发的轨线。
可以看出,如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么1/σ是一个阈值,当>1/σ(即σ>1/s0)时传染病就会蔓延。而减小传染期接触数σ，即提高阈值1/σ使得≤1/σ(即σ ≤1/)，传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值是一定的,通常可认为接近1)。
并且,即使>1/σ，从(19),(20)式可以看出, σ减小时， 增加(通过作图分
析)，降低，也控制了蔓延的程度.我们注意到在σ=λμ中，人们的卫生水平越高,日接触率λ越小;医疗水平越高，日治愈率μ越大，于是σ越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。
从另一方面看，是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一病人被个健康者交换。所以当 即时必有σS ≤1既然交换数不超过1,病人比例i(t)绝不会增加,传染病不会蔓延。
s ∞s ∞0001ln 0s s i s s σ∞∞+-+=s ∞0s 11i s d o d ??=-> ???s σ11i s d d ??=- ???s σ00011ln )m i s i s σσ=+-+（11i s d o
d ??=-< ???s σs ∞0s 0i 0s ≤110i s d d ??=-< ???s σs ∞0s 0s 0s 0s 0s 0s s ∞m i 1/s s σλμ=?s σ01/s σ≤01s σ≤
3.1.3 模型验证
几内亚是联合国公布的最不发达国家之一，人口1120万。2014年3月23日WHO宣布几内亚埃博拉病毒感染所致的埃博拉病毒病，又称埃博拉出血热暴发，并在几内亚首都科纳克里和利比里亚和塞拉利昂的边界也出现EHF疑似病例。
下表显示了2014年感染埃博拉病毒人员在几内亚的变化情况：
表3-1 2014年感染埃博拉病毒人员在几内亚的变化情况表
由数据可知在前十天内，病毒传播情况大致符合模型模拟情况，可是其增长速度并没有模拟的那么快。究其原因，是因为病毒爆发后，政府采取了相应的隔离措施，而减小传染期接触数σ,即提高阈值1/σ使得≤1/σ(即σ≤1/),传染病就不会蔓延。下面通过改进的SIEQR模型进行模拟与预测某未知地区的埃博拉病毒爆发情况。
3.2改进的SIEQR模型
3.2.1 模型建立
在埃博拉病毒爆发的初期,由于潜伏期的存在,社会对埃博拉病毒传播的速度和危害程度认识不够,政府和公众都没有引起足够的重视。当人们发现被感染者不断增加时,政府开始采取多种措施以控制埃博拉病毒的进一步蔓延。通过上述分析,可以把埃博拉病毒的传播过程大致分为3个阶段:
①控制前,接近于自然传播时的传播模式；
②过渡期,从公众开始意识到埃博拉的严重性到政府采取严格控制之的一段时间；
③控制后,在介入人为控制因素,严格控制之后埃博拉病毒的传播模式。
除西非等不发达地区外,美国、西班牙等国家都是在埃博拉病毒刚刚大肆传播就采取了强有力的措施,因此,这些地区的过渡期都可包括在控后期。由以上分析可知,单纯的SIR模型对于采取控制前埃博拉疫情的预测基本与实际情况较为吻合,但不能反映相关人为因素介入后的病毒传播规律和疫情的实际情况。在考虑相关人为控制因素后,针对SIR模型的不足,我们对加入了隔离等强制措施的SIR模型进行改进。
首先是人群种类的变化，我们在结合理论分析的基础上，把考察范围内的人群分为以下种类：
1、健康人群，即易感染（Susceptibles）人群。记其数量为S(t),表示t 时刻未感染病但有可能感染该疾病的人数；
2、确诊患者，即被感染（Infection）该疾病的人群，记其数量为I(t) 表
示t时刻可能感染该疾病的但又不是疑似病患的人数；
3、疑似病患，记其数量为E(t)表示t时刻感染该疾病的并是疑似病患的人数；
4、潜伏期感染者,记其数量为Q(t)表示t时刻已经感染病毒但没有表现症状即处在潜伏期的人数；
5、恢复人群（Recovered）,记其数量为R(t)，表示t时刻已从感染病者中移出的人数，恢复者或死亡者（这部分人数既不是已感染者，也不是非感染者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已经推出了传染系统）。
基于以上人群分类，我们假设（埃博拉病毒传入某城市）：
1. 假设易感人数的变化率与当时的易感人数和感染人数的乘积成正比;
2. 假设从感染数中移除个体的速率与当时的感染人数成正比;
3. 假设考察地区内疾病传播期间忽略人口的出生，死亡，流动等种群动力因素对总人数的影响。即：总人口数不变,记为N。
4. 假设潜伏期人群不会传染健康人，不具有传染性。
5. 假设被隔离的患者无法跟别人接触，不会传染健康人。
6. 假设治愈者已对该病毒有免疫力，不会再被该传染病传染，可以退出系统
7.假设初始时刻健康人群的总人数为0S=1.1千万（某城市）,潜伏期的总人数为0I=1，疑似病患的总人数为0E=0，确诊病患的总人数为0Q=0，恢复人群的总人数为0R=0。
同样，方程组中参数及其含义如下：
病毒潜伏期（天） d1、d2
病患者治愈（死亡）时间（天） d3
病患人均每天接触人数 r
防控措施强度 p
时刻t内健康人群 S(t)
时刻t内潜伏期人群 Q(t)
时刻t内病症疑似人群 E(t)
时刻t内已患病人群 I(t)
时刻t内治愈或死亡人群 R(t)
传染病传染率
由模型的假设得到如下关系
S(t)+I(t)+E(t)+Q(t)+R(t)=N（3.2.1.1）
根据假设在时刻t ?内健康人群变化有
t t S p t Q t S t t ?--=-?+)()1)(()()(S λ （3.2.1.2）
在时刻t ?内治愈或死亡人群的变化有
t t I d t R t t ?=-?+)(1)()(R 3（31d 为单位时间内患者的恢复率）（3.2.1.3） 在时刻t ?内病症疑似人群的变化有
t ]1)()1)(()[1)(()()(E 3?+---=-?+d p t E p t E p t Q t E t t λ（3.2.1.4）
在时刻t ?内已潜伏期人群的变化有（已患病人群等于潜伏期病人转为感染者减去移除人数）
)(1)(2)()(Q 321t Q d t I d d t Q t t -+=-?+（3.2.1.5）
在时刻t ?内患病人群的变化有
t I(t)}d 2-]d 1E(t)p p)-E(t)(1p)[S(t)-Q(t)(1{I(t)-t)I(t 213?+++=?+d λ （3.2.1.6） （21d 2
d +为单位时间内潜伏期病人转为感染者的比例常数）
根据以上变化有方程组：
???????
????????+-+-+-=-+=+---==--=)(2]1)()1)(()()[1)(()(1)(2]1)()1)(()[1)(()(1)()1)((21332133t I d d d p t E p t E t S p t Q dt dI t Q d t I d d dt dQ d p t E p t E p t Q dt dE t I d dt dR t S p t Q dt dS λλλ（3.2.1.7） 3.2.2 模型求解
当d1=6, d2=12, d3=10, r=20, p=80%，我们假设患者2天后入院治疗，疑似患者2天后被隔离。有初始状态的患者人数为：
2*)*)0()0((*)0(r N E Q N Q Q --= （3.2.2.1） 运用Matlab 对模型进行模拟运算，得出患者人数随时间变化如图一：
图3-3 感染者比例与时间关系（P=0.8）
由上图可以得到：在当当d1=6, d2=12, d3=10, r=20, p=80%，在患者2天后入院治疗以及疑似患者2天后被隔离的条件下，当t 在0~9.6607d 时，患者的人数是急剧上升的，在t=9.6607达到最大值，此时患者人数为y=140822.1475在采取医疗措施，比如患者入院治疗，隔离疑似患者等后患者人数随着时间的增长呈现下降的趋势。
3.2.3 模型分析
通过上述建模过程，我们可继续分析该模型特点，其中b1，b2，b3为固定值，当P 值（防控措施强度）改变时，我们得到以下几幅不同的图像。
图3-4 感染者比例与时间关系（P=0）
图3-5 感染者比例与时间关系（P=0.2）