对数与对数运算第1课时教案(人教A版必修)

22对数函数

221对数与对数运算

整体设计

教学分析

我们在前面的学习过程中，已了解了指数函数的概念和性质，它是后续学习的基础，从本节开始我们学习对数及其运算?使学生认识引进对数的必要性，理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用?

教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质

和激发学生学习数学的兴趣和欲望?教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设?教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能，教材安排了阅读与思考”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读?根据本节内容的特

点，教学中要注意发挥信息技术的力量，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，

尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持?

三维目标

1?理解对数的概念，了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的性质；掌握对数式与指数式的

关系；通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能；运用对数运算性质解决有关问题?培养学生分析、综合解决问题的能力；培养学生数学应

用的意识和科学分析问题的精神和态度?

2?通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质；让学生归纳整理本节所学的知识?

3?学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则

的学习，培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性?

重点难点

教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用?

教学难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用?

课时安排

3课时

教学过程

第1课时对数与对数运算（1）

导入新课

思路1.1.庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭?（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125 尺？

2假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？

1 1

抽象出：1.（一）4=? （—）x= 0.125 x=?

2 2

2.（1+8%）x=2 x=?都是已知底数和幕的值，求指数?你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子，已知底数和幕的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念，教师板书课题：对数与对数运算（1）〕?

思路2?我们前面学习了指数函数及其性质，同时也会利用性质解决问题，但仅仅有指数函数还不够，为了解决某些实际问题，还要学习对数函数，为此我们先学习对数〔引出对数的概念，教师板书课

题：对数与对数运算（1）〕?

推进新课 新知探究 提出问题

(对于课本P 572.1.2的例8)

① 利用计算机作出函数 y=13O.0l x 的图象.

② 从图象上看，哪一年的人口数要达到 18亿、20亿、30亿…？ ③ 如果不利用图象该如何解决，说出你的见解？ 刚 18 20 30 即一 =1.01x , =1.01x ,

=1.01x ,在这几个式子中,x 分别等于多少？

13 13

13

④ 你能否给出一个一般性的结论

？

活动：学生讨论并作图，教师适时提示、点拨?

对问题①，回忆计算机作函数图象的方法，抓住关键点? 对问题②，图象类似于人的照片，从照片上能看出人的特点 ，当然从函数图象上就能看出函数

的某些点的坐标?

对问题③，定义一种新的运算.

对问题④，借助③，类比到一般的情形. 讨论结果：①如图2-2-1-1.

② 在所作的图象上 取点P 测出点P 的坐标，移动点P,使其纵坐标分别接近 18,20,30,观察这时 的横坐标，大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说，如果保持年增长率为 1个百分点，那么大约 经过33年,43年,84年，我国人口分别约为 18亿,20亿,30亿.

18 20 30

③ 牯曲歹1",苕g 在这几个式子中，要求x 分别等于多少,目前我们没学这种

18 18

,即若肓曲则x 称作以「°1为底的后的对数.其他的可类似得 ④ 一般性的结论就是对数的定义 一般地，如果a(a>0,a z 1 的 x 次幕等于

N,就是a x =N,那么数x 叫做以a 为底N 的对数(logarithm), 记作x=log a N,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.

有了对数的定义，前面问题的x 就可表示了 ： 18 20 30

x=log 1.01 ,x=log 1.01 ,x=log 1.01

13

13

13

a

N b 指数式a b =N 底数 幕 指数 对数式log a N=b 对数的底数

真数

对数 由此得到对数和指数幕之间的关系 ：

f =lo

g 42;10-2=0.01

运算,可以定义一种新运算 到,这种运算叫做对数运算

1 例如：42

=16

2=log 416;102

=100 2=log 10100;42

=2

-2=log 100.01

提出问题

①为什么在对数定义中规定a>O,a丰1?

②根据对数定义求log a l和log a a(a>0,a却勺值.

③负数与零有没有对数？

|0g N __

④ a a =N 与log a a b=b(a>0,a 旗1 否成立？

___________ 1 讨论结果：①这是因为若a v 0,则N为某些值时,b不存在，如log (-2)；

2

若a=0,N不为0时,b不存在，如log o3,N为0时,b可为任意正数，是不唯一的，即log o O有无数个值；

若a=1,N不为1时,b不存在，如log i2,N为1时,b可为任意数,是不唯一的，即log i l有无数个值. 综之，就规定了a> 0且1.

②log a1=0,log a a=1.

因为对任意a>0且1都有a0=1,所以log a仁0. 同样易知：log a a=1.

即1的对数等于0,底的对数等于1.

③因为底数a> 0且1由指数函数的性质可知，对任意的b € R,a b> 0恒成立,即只有正数才有对数，零和负数没有对数.

④因为a b=N,所以b=log a N,a b=a a loga =N,即a a log a =N.

因为a b=a b,所以log a a b=b.故两个式子都成立.(a a loga =N叫对数恒等式)

思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解，但还有两类特殊的对数

对科学研究和了解自然起了巨大的作用你们知道是哪两类吗？

活动：同学们阅读课本P68的内容，教师引导板书.

解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N的常用对数log10N 简记作lgN.

例如：log105 简记作Ig5;log 103.5 简记作lg3.5.

②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数，以e为底的对数叫

自然对数，为了简便,N的自然对数log e N简记作lnN.

例如：log e3简记作ln3;log e10简记作ln 10.

应用示例

思路1

例1将下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：

1 1

(1) 54=625; (2) 2-6= ; ( 3) (一)m=5.73;

64 3

⑷log 1 16=-4; (5) lg0.01=-2;(6)l n10=2.303.

2

活动：学生阅读题目，独立解题，把自己解题的过程展示在屏幕上，教师评价学生，强调注意的问题.

对(1)根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数.

1

对(2)根据指数式与对数式的关系，-6在指数位置上，-6是以2为底—的对数.

64

对(3)根据指数式与对数式的关系 ,m 在指数位置上，m 是以1为底5.73的对数.

3

1

,16在真数位置上,16是 的-4次幕.

2

,0.01在真数位置上,0.01是10的-2次幕. ,10在真数位置上,10是e 的2.303次幕.

1

（1）Iog 5625=4;（ 2）log 2一 64

1

(4)( — )-4=16;(5)10 "2=0.01;(6)e 2.303=10.

2

思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题 ？

活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据 ，回想对数概念的引出过程，理清对数与指数幕的

关系，特别是位置的对照.

解答：若是指数式化为对数式，关键要看清指数是几，再写成对数式.若是对数式化为指数式 则要看清真数是几，再写成幕的形式?最关键的是搞清N 与b 在指数式与对数式中的位置，千万 不可大意，其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据 变式训练 课本P 64练习

1、2.

例2求下列各式中x 的值：

（3）lg100=x; （ 4）-Ine 2=x.

对数式的关系，转化为指数式求解

2 2

2 ： 6 （ 一） 1

解：（1）因为 Iog 64x=-，所以 x=64 3=（2）

3

=2-4=.

3

16

（2）因为 Iog x 8=6，所以 x 6=8=2 3=（ -、2 ）6.因为 x>0,因此 x= 2 . (3) 因为 lg100=x,所以 10x =100=102.因此 x=2. (4) 因为-Ine 2=x,所以 lne 2=-x,e -x =e 2.因此 x=-2.

点评：本题要注意方根的运算，同时也可借助对数恒等式来解 变式训练 求下列各式中的 x ：

1 3 ①log 4x=;② Iog x 27=;③ Iog 5 （logex ）

2

4

3 4

3 —

—

②由 Iog x 27=，得 x 4 =27,所以 x=27 3 =81; 4

③由 Iog 5 （ Iog 10x ） =1,得 Iog 10x=5,即 x=105.

对(4)根据指数式与对数式的关系 对(5)根据指数式与对数式的关系 对(6)根据指数式与对数式的关系

解: =-6; （ 3）log 1

5.73=m; 3

（1） log 64x=

2

;（2）log x 8=6;

活动：学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况 ，要求学生说明解答的依据，利用指数式与

=1.

解: ①由 log 4x=，得 x=4 2 =2;

2

点评：在解决对数式的求值问题时，若不能一下子看出结果，根据指数式与对数式的关系，首先将其转化为指数式，进一步根据指数幕的运算性质算出结果?

思路2

例1以下四个命题中，属于真命题的是( )

1

(1)若log5x=3,则x=15 (2)若log25x=，则x=5 ( 3)若log x . 5=0,则x= .. 5 (4)

2

卄. 1

右log5x= —3,则x=

125

A. ( 2) (3)

B. (1) ( 3)

C. (2) (4)

D. ( 3) (4)

活动：学生观察,教师引导学生考虑对数的定义.

对数式化为指数式，根据指数幕的运算性质算出结果.

对于(1)因为log5X=3,所以x=53=125,错误；

、1 1

对于(2)因为log25X=，所以x=25 2 =5,正确；

2

对于(3)因为log x5 =0,所以x0= ... 5,无解，错误;

1

对于(4)因为log 5x= —3,所以x=5-3= ，正确.

125

总之(2) (4)正确.

答案：C

点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据

例2

对于a> 0,a丰下列结论正确的是( )

(1 )若M=N,贝V log a M=log a N (2)若log a M=log a N,贝U M=N (3)若log a M2=log a N2,则

M=N

(4) 若M=N,则log a M2=log a N2

A. ( 1) (3)

B. (2) (4)

C. (2)

D. (1) (2) (4)

活动：学生思考,讨论,交流，回答,教师及时评价. 回想对数的有关规定.

对(1)若M=N,当M为0或负数时log aM^ log a N,因此错误；

对(2)根据对数的定义，若log a M=log a N,则M=N,正确；

对(3) 若log a M2=log a N2,则M=± N,因此错误;

对(4)若M=N=0时，则log a M2与log a N2都不存在,因此错误.

综上,(2)正确.

答案：C

点评：0和负数没有对数，一个正数的平方根有两个.

例3计算：

(1)log927;(2)log 4 亍81;(3)log (2 3)(2-3);(4)log 3 屮625.

活动：教师引导,学生回忆,教师提问，学生回答，积极交流，学生展示自己的解题过程，教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值，首先设成对数式，再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解，所以有两种解法.

3

解法一：⑴设x=log 927,则9x=27,32x=33,所以x=—;

2

x

⑵设x=log 4.38I,则(4、3 )x=81,34 =34,所以x=16;

⑶令x=log(2 .3)(2- .、3 )=log(2 3 (2+ ：3 )-1,

所以(2+ ,.3)x=(2+ .3)-1,x=-1;

⑷令x=log 3 54 625,所以([54 )x=625,5 3 x=54,x=3.

3

-3 解法二：(1)log927=log933=log99 2 =

(2) log 4 381=log 4^(43 )16=16;

⑶log (2 ■ 3) (2- , 3 )=log(2 ..3) (2+ , 3 )-1=-1;

3 1 4

⑷log 3 54 625=log 3 54 ( 5 )3=3.

点评：首先将其转化为指数式，进一步根据指数幕的运算性质算出结果，对数的定义是转化和对数恒等式的依据?

变式训练

课本P64练习3、4.

知能训练

1?把下列各题的指数式写成对数式：

1 1

(1)42= 16; (2) 30=1; ( 3)4x= 2; ( 4) 2x= 0.5;(5)5 4=625;(6)3-2= ;(7)( )-2=16.

9 4

解：(1)2= log416;(2)0 = log31;(3) x = Iog4 2 ;(4) x= log20.5;(5)4=log 5625;

1

(6)-2=log 3 ;(7)-2=log 1 16.

9 4

2. 把下列各题的对数式写成指数式：

1

(1) x= log527;(2) x= log87;(3) x = log 43;(4) x= log7 ;

3

⑸Iog216=4;(6)log 27=-3;(7)log -x=6;(8)log x64=-6;

3

(9)log2128=7;(10)log 327=a.

1 1

解：(1)5x= 27;(2)8x=7 ;(3)4x= 3;(4)7x= - ;(5)2 4=16;(6)( - )-3=27;(7)( ■. 3 )6

3 3

=x;(8)x -6=64;(9)2 7=128;(10)3 a=27.

3. 求下列各式中x的值：

2 3

(1)log8X= ;(2)log x27= ;(3)log2 (log5x) =1;(4)log 3 (lgx) =0.

3 4

2 2 2

2 _ -

3 ( _) 1

解：⑴因为log8X= ，所以x=8 3 =(23) 3 = 2 3 =2-2=;

3 4

3 4 -

⑵因为Iog x27= —，所以x4 =27=33,即x=(33) 3 =34=81;

4

⑶因为Iog2 (log5x) =1,所以Iog5x=2,x=52=25;

⑷因为Iog3 (Igx) =0,所以lgx=1,即x=101=10.

4. (1)求Iog84 的值；

⑵已知Iog a2=m,Iog a3=n,求a2m+n的值?

2 2

解：⑴设Io g 84=x,根据对数的定义有8x=4,即23x=22,所以x=，即Iog84=;

3 3

⑵因为Iog a2=m,Iog a3=n,根据对数的定义有a m=2,a n=3,

所以a2m+n=(a m)2 a n=(2)2 3=4 X3=12.

点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化，还涉及到常见的幕的运算法则的应用?

拓展提升

请你阅读课本75页的有关阅读部分的内容，搜集有关对数发展的材料，以及有关数学家关于对数的材料，通过网络查寻关于对数换底公式的材料，为下一步学习打下基础?

课堂小结

(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5) 对数恒等式；(6)两种特殊的对数.

作业

课本P74习题2.2A组1、2.

【补充作业】

1?将下列指数式与对数式互化，有x的求出x的值.

11 1

(1)5 2 = 一；(2) Iog24=x; (3) 3x= ；

V5 27

1

(6) Ine5=x.

(4) (―)x=64; (5) IgO.OOO 仁

x;

4

解：(1) 5 2= 1化为对数式是Iog5 1=

15 V'5

x

X

(2) x=Iog 24 化为指数式是( 2)x=4,即2 2 =22, =2,x=4;

1 1 1

(3) 3x= 化为对数式是x=Iog3 ，因为3x=( )3=3-3,所以x=-3;

27 27 3

1 1

(4) ( —)x=64 化为对数式是x=log 1 64,因为(一)x=64=43，所以x=-3;

4 4 4

(5) IgO.OOO仁x 化为指数式是10x=0.0001,因为10x=0.000 仁10-4,所以x=-4;

(6) Ine5=x化为指数式是e x=e5,因为e x=e5,所以x=5.

5 —log 3—

2?计算3 g3 .3 5的值.

1 1 1 1 - 1 解：设x=log3—,则3x=—,(3

2 )x=( —)2,所以x=log 3一.

5 5 5 y\j5

1 1

所以 3 3log3 5-.3lOg35=，5 寸35-5 1 =6^.

J5 5

log a b?log h c?log c N

3计算a ga gh gc (a>0,b>0,c>0,N>0).

解：a log a b?log b C?log c N =h log b C?log c N =c log c N=N

设计感想

本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上，为了运算的方便，引进了对数的概念，使学生感受到对数的现实背景，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，鉴于这种情况，安排教学时，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，通俗易懂，要反复练习，要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别，结合指数式理解对数式，强化对数是一种运算，并注意对数运算符号的理解和记忆，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务，为下一节课作准备?

（设计者：路致芳）