二次函数的图象和性质对称性

1.2.8 二次函数的图象和性质——对称性

教学目标：

1．能从数和形两个角度认识函数的奇偶性，掌握判断函数是奇函数还是偶函数的方法；

2．理解函数的奇偶性将有助于函数图象的绘制简化函数性质研究的工作量；

3．通过代数推理手段理解二次函数图象的对称性，提高抽象、概括、推理能力；

4．进一步领悟数形结合的思想方法。

教学重点：

1．函数的奇偶性定义的形成与应用；

2．认识二次函数图象的对称轴，以及二次函数的对称性的应用。

教学难点：

1． 用数量关系刻画函数奇偶性与二次函数的对称性；

2． 综合利用函数的奇偶性与单调性研究函数。

教学过程：

一． 复习提问

1． 叙述函数单调性的定义，以及描述二次函数单调性与最值的定理。（口头提问）

2． 课本53页练习（三位同学上黑板练习）

（1）写出函数232-=x y 的图象的开口方向，顶点坐标，并作出草图；

（2）写出函数2)3(--=x y 的图象的开口方向，顶点坐标，并作出草图；

（3）已知函数m x x x f +-=

42)(2，当m 在什么范围内变化时，函数的定义域为全

体实数？

二．二次函数的图象和性质——对称性。（板书）

我们接着上次研究二次函数的图象和性质。两个内容：从解析式看函数的奇偶性；二次函数图象的对称性。

1． 从解析式看函数的奇偶性。

从练习（1），我们看到函数232-=x y 的图象关于y 轴对称。想想看，可以把图象具有这种性质的函数叫什么函数？（偶函数）

让我们看看二次函数n m x a x f +-=2)()(),0(R x a ∈≠在什么情况下是偶函数？二

次函数c bx ax x f ++=2)(),0(R x a ∈≠。通过计算机演示，把m 调到0，得到n ax x f +=2)(的图象。把b 调到0，得到c ax x f +=2)(的图象。

由图象看，它关于y 轴对称，此函数为偶函数。现在问，不画图能不能从函数的解析式看出一个函数是偶函数？类似地，我们知道，如果一个函数的图象关于原点对称，这个函数叫奇函数。能不能从函数的解析式看出一个函数是奇函数？如果能，函数图象画出

了一半，另外一半也就清楚了。知道了函数在x 正半轴的变化情况，也就能知道函数在x 负半轴的变化情况。因此，有必要研究怎样从从解析式看函数的奇偶性。

先考虑如何从解析式看函数是偶函数。这需要从轴对称图形的特征来探索。

什么叫图象关于y 轴对称？所谓图象关于y 轴对称就是指如果在图象上任意取一点（例如

A ），则它关于y 轴的对称点（点C ）也在函数图象上。这个条件从函数的解析式上怎么看出呢？让我们分析如何把“形”的特征转化到与之等价的“数”的特征。

“形”的特征（对照上图）：y 轴是 AC 的垂直平分线→AC 被y 轴平分、AC ∥x 轴

→“数”的特征：A 、C 两点的横坐标互为相反数，A 、C 两点的纵坐标相等。因为A 点在函数)(x f y =的图象上，可设A 点的坐标为))(,(x f x ，于是C 点的坐标为))(,(x f x -，如果C 点在函数)(x f y =的图象上，因C 点的横坐标为x -，故纵坐标为)(x f -，于是)(x f -=)(x f 。

反之，如果对于函数)(x f y =定义域内任意的x ，都有)(x f -=)(x f ，就说明点A ))(,(x f x 关于y 轴的对称点))(,(x f x C -可改写为))(,(x f x --，这标志着点C 在函数图象上。

这样一来，函数图象关于y 轴对称的条件可等同于)(x f -=)(x f 。

类似地，函数图象关于原点对称的条件等价于)(x f -=)(x f -。

例如：c ax y +=2

，||x y =，211x y +=，112-=x y ，421x x y +=等都是偶函数。 kx y =，x y 1=，x x y 1+=，21x x y +=，x

x y ||=为奇函数。（让学生验证） 阅读课本54页—55页的课文与例题, 提问

谁能说出奇（偶）函数定义中的两个条件？为什么在这两个定义中都有这样的条件“如果对于一切使)(x f 有定义的x ，)(x f -也有定义”？没有这个条件行不行？试举出反例。 （)(x f =2x ，),2[+∞-∈x ；x

y 1=，+∈R x ，配合图象说明。） 总结判断函数奇偶性的步骤：先看定义域，再看是否满足条件)(x f -=)(x f 或)(x f -=)(x f -。

做课本55页的练习：判断下列函数的奇偶性

（1）10553x x x y -+=；（2）332

x y -=；（3）4233x x y +=；（4）321x x y +-=

（在黑板上给出规范的解题过程，在找对应的函数图象时先找出此题中唯一一个非奇非偶函数，唯一一个奇函数的图象，剩下两个偶函数其中一个是二次函数，指出它的开口方向、顶点、对称轴。至于函数4233x x y +=

可以指出它的定义域，图象过原点，函数值非负等特

点。

顺便指出，函数可以是奇函数，可以是偶函数，可以是非奇非偶函数，还可以同时是奇函数与偶函数。

有条件的学校可以现场画奇（偶）函数图象：（1）整条画，（2）画一半后另外一半利用对称点轨迹跟踪的方法画。）

我们知道二次函数2)(x x f =，在区间]0,(-∞上递减，在),0[+∞上递增。其实有它是偶函数的特性，从在区间]0,(-∞上递减就可以推出它在),0[+∞上递增。推广开来

例1． 已知定义在R 上的偶函数)(x f ，它在区间]0,(-∞上递增，那么在),0[+∞上递增还

是递减？证明你的结论。

（分析：任意取012>>x x ，判断)(2x f 与)(1x f 的大小。因为012>>x x ，所以012<-<-x x 。又因为)(x f 在区间]0,(-∞上递增，所以)()(12x f x f -<-。考虑到)(x f 是偶函数，因此)()(22x f x f =-，)()(11x f x f =-，于是有)()(12x f x f <，所以函数)(x f 在),0[+∞是减函数。）

由这个题你还能想到有什么结果？（对奇函数的情况）通过展示212)(x x x f +=或x

x x f 1)(+=的图象举例说明。

例2． 已知定义在R 上的偶函数)(x f ，它在区间]0,(-∞上递增，比较)2(-f ，)3(f ，)

4(f

的大小。（)3(f =)3(-f ，)4(f =)4(-f ，由此，)4(f <)3(f <)2(-f ）

2． 讨论二次函数c bx ax x f ++=2)(),0(R x a ∈≠图象的对称性

上节课我们已经得出二次函数n m x a x f +-=2)()(图象的顶点与对称轴方程分别是（m ,n ）和x = m , 二次函数c bx ax x f ++=2)(图象的顶点与对称轴方程分别是

)44,2(2

a

b a

c a b --和x = a b 2-。 一般地考虑，如果函数)(x F 的图象有一条平行于y 轴的对称轴，对称轴与x 轴的交点坐标为(s ,0)，则对于任意的h ，有)()(h s F h s F -=+，反之亦然。如下图。

对于二次函数则有

c h s b h s a ++++)()(2c h s b h s a +-+-=)()(2

整理后得到 a

b s 2-= a b m 2-=，由

c n am =+2，得到224a b a c n -==a

b a

c 442

-。 这又一次证明了二次函数的图象的轴对称性，并找到了对称轴方程。

例3． 已知：c bx x x f ++=2)(，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立，那么（ ）

（A ）)4()1()2(f f f <<； （B ）)4()2()1(f f f <<；

（C ）)1()4()2(f f f <<； （D ）)1()2()4(f f f <<.

提问 ：条件对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立说明函数图象有什么特征？

图象的开口方向如何？画出草图看看。（函数图象的对称轴为直线x =2，故选（A ）） 如果把条件改为对任意实数t 都有)4()(t f t f -=，函数图象的对称轴在哪里？你能猜出一般规律吗？（函数图象的对称轴依然为直线x =2）

例4．求函数542+--=x x y ，]4,[+∈t t x 的最大值。

题示：1、函数542+--=x x y 图象的对称轴是什么？（直线x =-2）

2、表示此题图象的抛物线弧段该怎么画？（界于区间]4,[+t t 的部分）

3、利用课件展示当t 变动时抛物线弧段变化的情况。

（分三种情况讨论：（1）当)6,(--∞∈t 时，最大值为27122

---t t ；（2）当

]2,6[--∈t 时，最大值为9；（3））当),2(+∞-∈t 时，最大值为542+--t t 。） 三、小结：

1．函数的单调性与奇偶性是函数的重要性质，从数与形两方面认识函数的奇偶性

2．掌握函数奇偶性的判别方法；

3．函数的单调性与奇偶性的简单综合应用；

4．二次函数图象的对称性。

带着以上问题，阅读课本，整理笔记。

七、布置作业：

课本58页习题11的1-2题，70页第12题、72页第23题。