分数拆项与裂项
分数的速算与巧算
1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握
裂项技巧及寻找通项进行解题的能力
2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数
与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨
一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1
a b
?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有
1111()a b b a a b
=-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1(1)(2)n n n ?+?+，1
(1)(2)(3)
n n n n ?+?+?+形式的，我们有：
1111
[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-?+?+?+++
1111
[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）11
a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）
2222a b a b a b a b a b a b b a
+=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
三、整数裂项
(1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1
(1)(1)3
n n n =
-??+ (2) 1
123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4
n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+
二、换元
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
三、循环小数化分数
0.9a =
； 0.99ab =； 0.09910990
ab =?=
； 0.990a b c =，…… 2、单位分数的拆分：
例：
110=11
2020+
=()()11+=()()11+=()()11+=()()
11+ 分析：分数单位的拆分，主要方法是：
从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：
11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==++++=11A B
+ 本题10的约数有:1,10,2,5.。 例如：选1和2，有：
11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015
+==+=++++ 本题具体的解有：
111111111
1011110126014351530
=+=+=+=+
例题精讲
模块一、分数裂项
【例 1】
11111
123423453456678978910
+++???++
??????????????? 【解析】 原式111111131232342343457898910??
=?-+-++- ???????????????
11131238910??=?- ???????1192160=
【巩固】 333
(1234234517181920)
+++
????????? 【解析】 原式1111111
3[(...)]3123234234345171819181920=??-+-++-????????????
113192011139
1231819201819206840
??-=-==
?????? 【例 2】 计算：5719
1232348910
+++=?????? ．
【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不
相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差
数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算． 原式3234316
1232348910
+++=
+++
?????? 1111283212323489101232348910????
=?++++?+++ ? ?????????????????
111111111132212232334899102334910????=??-+-++-+?+++ ? ?
?????????????
31111111122129102334
910????=
?-+?-+-++- ? ???????
3111122290210????
=
?-+?- ? ?????
7114605=-- 2315= 也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n +，所以
()()()()()()
2323
121212n n n n n n n n n +=+
?+?++?+?+?+，再将每一项的
()()212n n +?+与()()
3
12n n n ?+?+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相
同．
【巩固】 计算：571719
1155234345891091011
?++++???????? （
）
【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：571719
234345891091011
++++
???????? ．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相
同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．
观察可知523=+，734=+，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
571719
234345891091011++++
???????? 2334910
23434591011+++=+++
?????? 111111
342445*********
=++++++??????
1
111113445
10112435911????=+++++++ ? ???????????
1111
11111111111113445
10112243546810911????=-+-++-+?-+-+-++-+- ? ?????
11111113112210311????=-+?-+- ? ?????8128332533??=+?+ ???3155
= 所以原式31
115565155=?=．
【巩固】 计算：34512
12452356346710111314
++++
???????????? 【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以
先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：
原式2222
345121234523456345671011121314
=++++
???????????????? 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：2
3154=?+，2
4264=?+，2
5374=?+……
【解析】 原式2222
345121234523456345671011121314=++++
???????????????? 15426437410144
1234523456345671011121314
?+?+?+?+=++++
???????????????? 1111234345456
1112134444123452345634567
1011121314??
=++++ ?
????????????
+++++ ?
??????????????????
1111111223343445111212131111111234234523453456
1011121311121314??=
?-+-++- ?????????
??+-+-++- ?
????????????????????
111112231213123411121314????
=
?-+- ? ????????????? 111112212132411121314=-+-?????1771811121314+=-???11821114=-??1175
8308616=-=
【例 3】 12349
223234234523410
+++++
????????? 【解析】 原式12349
223234234523410=+++++
????????? 213141101
22323423410----=++++
?????? 1111111
12223232342349234910
=-+-+-++-
??????????? 13628799
12349103628800
=-=
???? 【例 4】 1111
11212312100
++++
++++++ 【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简
单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公
式的代入有112(11)11122==+??，112
(12)21223
2
==+?+?，……， 原式2222120099
2(1)1
122334100101101101101=++++=?-==???? 【巩固】23450
1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)
++++?++?++++?+++++++?++++ 原式＝213?＋336?＋4610?＋51015?＋…＋50
12251275?
＝（11-13）＋（13-16）＋（16-110）＋（11225-
11275）＝12741275
【巩固】234100
1(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)
++++?++?++++?++++++?+++
【解析】2111(12)112=-?++，311
(12)(123)12123
=-+?+++++，……，
10011
(1299)(12100)129912100
=-+++?+++++++++ ，所以
原式1
112100=-+++
15049
150505050=-=
【巩固】 2310
1112(12)(123)(1239)(12310)
----?++?++++++?++++ （）
【解析】 原式23410
1()133********
=-++++????
11111
1111336610
4555??=--+-+-++- ???
11155?
?=-- ???
155= 【例 5】 222222111111
31517191111131
+++++=------ .
【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：22
()()a b a b a b -=-?+，
原式111111
()()()()()()24466881010121214=+++++??????
1111111111111()244668810101212142=-+-+-+-+-+-? 1113()214214
=-?= 【巩固】 计算：2222222235715
12233478++++
???? 【解析】 原式22222222
222222222132438712233478
----=++++????
2222222111111112233478=-+-+-++-
2118=-63
64
=
【巩固】 计算：22222222223151711993119951
3151711993119951
++++++++++=----- ．
【解析】 原式22222
22222111113151711993119951??????????
=++++++++++ ? ? ? ? ?-----??????????
2229972446
19941996??
=++++ ??????
111111997244619941996??=+-+-++- ??? 1
199721996??=+- ???
997997
1996= 【巩固】 计算：2222
1235013355799101
++++=???? ．
【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变
为221-，241-，2
61-，……，21001-，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子
的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．
原式22222222124610042141611001??
=?++++ ?----??
222211111111142141611001??=
?++++++++ ?----??
1111150413355799101??=
?+++++ ???????
111111111501423355799101????=
?+?-+-+-++- ???????
11150142101????=
?+?- ?
??????150504
101=?63
12101= 【巩固】224466881010
133********
?????++++
????? 【解析】 （法1）：可先找通项22211
1111(1)(1)
n n a n n n n ==+=+---?+ 原式11111
(1)(1)(1)(1)(1)133********=+++++++++?????
11555(1)552111111
=+?-=+=
（法2）：原式288181832325050
(2)()()()()3355779911
=-+-+-+-+-
61014185065210453579111111
=++++-=-=
【例 6】 111
3199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999
+++
++?++?+??+ 【解析】11
2112()1112(1)(2)12(1)(1)(1)2312
n n n n n n ===?-++++++?+??++
原式＝11111111()()()()223344519992000??-+-+-++-????? ＝ 【巩固】 计算：111
112123122007
+++?
+++++? 【解析】 先找通项公式1211
2()12(1)1n a n n n n n =
==-++?++ 原式111
12(21)3(31)2007(20071)
222
=++++?+?+?+
222212233420072008=++++
???? 200722008=? 2007
1004= 【巩固】1111
33535735721
++++
+++++++ 【解析】 先找通项：()()
()111
1352122132
n a n n n n n ===+++++?++? ，
原式111111
132435469111012
=++++++
?????? 1
11111133591124461012????=+++++++ ? ??????????? 11111121112212????=?-+?- ? ????? 175264= 【例 7】 12123123412350
2232342350
++++++++++????
++++++ 1000999100011=-
【解析】 找通项(1)(1)2(1)(1)212
n n n
n n a n n
n n +??+==
+??+-- 原式2334455623344556410182814253647
????????=????=???????? ，
通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有
原式2334455648494950505114253647475048514952???????=
?????????????? 35023215226=?= 【例 8】 22222222222223333333333333
11212312341226
11212312341226
++++++++?+-+-+?-++++++++?+ 【解析】 22222333(1)(21)
12221211()(1)123(1)31
4
n n n n n n a n n n n n n n ?+?+++?++===?=?+?+++?+?++
原式=211111111[()()()()]31223342627?+-+++-+ =2152(1)32781?-=
【巩固】 222
1111112131991??????+?+??+ ? ? ?---??????
【解析】 22
221(1)(1)1(1)1(1)1(2)n n n a n n n n ++=+==+-+-?+
原式223398989999
(21)(21)(31)(31)(981)(981)(991)(991)????=????+?-+?-+?-+?-
223344559898999929949131425364999710098110050
??????=??????=?=?????? 【例 9】 计算：222
22223992131991
???=---
【解析】 通项公式：()()()()
()
22
1111112n n n a n n n n ++==
+++-+， 原
式
22
(29??
=
?
+
?
2233445598989999
31425364999710098??????=
??????
?????? 22334498989999132435979998100=?????????? 29999110050
=?= 【巩固】 计算：222
222129911005000220050009999005000
+++=-+-+-+
【解析】 本题的通项公式为2
21005000
n n n -+，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母
()()()2
100500050001005000100100100n n n n n n -+=--=----????，
可以看出如果把n 换成100n -的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下
一个2
2505050005000
-+．将项数和为100的两项相加，得
()()()()22
2222222100100220010000
2
100500010050001005000
1001001005000n n n n n n n n n n n n n n -+--++===-+-+-+---+，
所以原式249199=?+=．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式19999=?=）
【例 10】 ???
??+++++++-??? ???++?+??2222221021121111212015
4132124
【解析】 虽然很容易看出321?＝3121-，541?＝5
1
41-……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为
这不象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式 ，于是我们又有
)
12()1(6
32112222+?+?++++n n n n ＝ ．．减号前面括号里的式
子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？
?
??
??+++++++-??? ???++?+??2222221021121111212015
4132124 ＝??? ????++??+???-??? ???++?+??21111015
321321162120154132124
＝
??
?
????++??+???-??? ???++?+??212220156413421242120154132124
＝???
?????? ????-?++??
? ????-?+??? ????-??2122201212015641541342132124
＝??? ???++?+??2220164142124 ＝??
? ???++?+??111013212116 ＝??? ??
-?11116＝1160．
模块二、换元与公式应用
【例 11】 计算：33333333
135********+++++++
【解析】 原式()
333333333123414152414=++++++-+++
()
()2
23331515181274
?+=-?+++
2257600
2784
=
-?? 8128=
【巩固】
132435911?+?+?+? 【解析】 原式()()()()()()21213131101101=-++-+++-+
()()()()()22222222222131101231091231010101121
103756
=-+-++-=+++-=++++-??=
-=
【巩固】 计算：1232343458910??+??+??++??
【解析】 原式()()()()
2222
221331441991=?-+?-+?-++?-
()333323492349=++++-++++ ()()2
123912349=++++--++++
245451980=-=
【例 12】 计算：23456111111
1333333
++++++
【解析】 法一：利用等比数列求和公式。
原式71113113
?????-??
???????=
-
713264
11
32729????=-?=?? ???????
法二：错位相减法．
设234561111111333333S =+
+++++ 则23451111133133333S =++++++，61333S S -=-，整理可得364
1729
S =．
法三：本题与例3相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3，与公比4差1，
所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差1．由于公比为3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2进行算，最后
再将所得的结果除以2即得到原式的值．由题设，23456
222222
22333333S =++++++，则运用“借来还去”的方法可得到61233S +=，整理得到364
1729
S =．
【例 13】 计算：22222222(246100)(13599)
12391098321+++???+-+++???++++???+++++???+++
【解析】 原式222222222
(21)(43)(65)(10099)
10
-+-+-+???+-= (21)(21)(43)(43)(65)(65)(10099)(10099)
100
+?-++?-++?-+???++?-=
12349910050501501001002++++???++===
【巩固】 ⑴()2
314159263141592531415927-?=________；
⑵2
2
1234876624688766++?=________．
【解析】 ⑴ 观察可知31415925和31415927都与31415926相差1，设31415926a =，
原式()()()2
221111a
a a a a =--+=--=
⑵ 原式2
2
12348766212348766=++??
()2
21234876610000100000000=+==
【巩固】 计算：22222221234200520062007-+-++-+
【解析】 原式2222222
2007200654321=-++-+-+
(20072006)(20072006)(20052004)(20052004)(32)(32)1=-?++-?+++-?++ 2007200620052004321=+++++++
()1
20071200720150282
=
?+?= 【例 14】 计算：2222222222
12233445200020011223344520002001
+++++++++???+
????? 【解析】 原
式
221212=+?
?
1223344520002001
2132435420012000
=
++++++++???++
2132435199920012000()()1223344200020002001????=
+++++++???+++ ? ?????
200020002000
22222400020012001=++++???++= 个2相加
【例 15】 ()20078.58.5 1.5 1.5101600.3-?-?÷÷-=???? ． 【解析】 原
式
()()
2
07=-
+????
()2
007
1
=-?-
÷????
()200771600.3=-÷-12.50.3=-12.2=
【巩固】 计算：53574743?-?= ． 【解析】 本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能收到更好的效果．
原式()()()()
552552452452=-?+-+?-()2222552452=---
()()225545554555451000=-=-?+=
【巩固】 计算：1119121813171416?+?+?+?= ． 【解析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．
原式()()()()2
222222215
4153152151=
-+-+-+-
()222221541234=?-+++
90030870=-=
其中2
2
2
2
1234+++可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式
()()2221
121216
n n n n +++=++ 进行计算．
【巩固】 计算：1992983974951?+?+?++?= ． 【解析】 观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式． 原式()()()()()()5049504950485048501501=-?++-?+++-?+
()()()22222250495048501=-+-++-
()222250491249=?-+++ ()222250491249=?-+++
21
50494950996
=?-???
25049492533=?-?? ()492510033=??-
492567=??
82075=
【巩固】 看规律 3211=，332123+=，33321236++=……，试求3 3.3
6714+++
原
式
()(
)
3
3.
121
=++
()()2
2
1231412345=++++-++++
()()22105151051510515=-=-+9012010800=?=
【例 16】 计算：1111111111
(1)()(1)()2424624624+
+?++-+++?+ 【解析】 令1111246a +++=，111
246
b ++=，则：
原式11
()()66a b a b =-?-?-
11
66
ab b ab a =--+
1()6a b =-11166=?= 【巩固】 11111111111111
(1)()(1)()23423452345234+++?+++-++++?++
【解析】 设111234a =++，则原式化简为：111
1(1555
a a a a +(+)(+)-+)=
【巩固】 11
1111111111111111213141213141511121314151213141????????+
++?+++-++++?++ ? ? ? ????????? 【解析】 设111111213141a +++=，111
213141
b ++=，
原式115151a b a b ?
???=?+-+? ? ?????
11
5151ab a ab b =+--
1
()51a b =-
111
5111561=?=
【巩固】 1111111111111111
())()5791179111357911137911+++?+++-++++?++（）（
【解析】 设111157911A +++=，111
7911
B ++=，
原式111313A B A B ?
???=?+-+? ? ????? 11
1313A B A A B B =?+-?-
()1
13
A B =-
111
13565
=?=
【巩固】 计算
11111111111111111111234523456234562345????????++++?++++-+++++?+++ ? ? ? ??
???????
【解析】 设111112345A ++++=，1111
2345B +++=
原式=1166A B A B ?
????+-+? ? ??
???=1166A B A A B B ?+?-?-?=1166A B ?-? 16=?(A B -)
16
= 【巩固】
2
123
9123911292391234
1023410223103410????????+++++++++?-++++?+++ ? ? ? ?
????????
【解析】 设123923410t =
++++ ，则有22211111(1)222222t t t t t t t t t ??
??+?-+-=+-+--= ? ???
??
【巩固】 21239123911239239
()()(1)()
23410234102234103410
+++++++++?-+++++?+++
【解析】 设123923410t =
++++ ，则有22211111(1)()()222222
t t t t t t t t t +?-+-=+-+--= 【巩固】 计算11
11
2111
31434120092009+
++
++
++
++
+
【解析】 设3N =+11412009++ . 原式=12N ++1
1111N
+
+
=1N +111N ++ =
1
12121
N N N N ++=++.
【巩固】 (7.88 6.77 5.66++)?(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)?(9.3110.98+) 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+， 则原式a =?(10b +)-(10a +)b ?=(10ab a +)-(10ab b +)
101010ab a ab b =+--=? (a b -)
10=?(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=?= 【巩固】 计算(10.450.56++)?(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)?(0.450.56+)
【解析】 该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设0.450.56a =+，0.450.560.67b =++，
有原式=(1a +)b ?-(1b +)0.67a b ab a ab b a ?=+--=-=
三、循环小数与分数互化
【例 17】 计算：0.1+0.125+0.3+0.16 ，结果保留三位小数． 【解析】 方法一：0.1+0.125+0.3+0.160.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736≈ 方法二：0.1+0.125+0.3+0.16
1131598990=+++111188=+530.736172
== 【巩固】 ⑴ 0.540.36+= ； ⑵
19
1.2 1.2427????+=
【解析】 ⑴ 法一：原式54536494899
90999011990
-=+=+=
． 法二：将算式变为竖式：
可判断出结果应该是··
0.908，化为分数即是
9089899
990990
-=
． ⑵ 原式22419111231920
1199927999279=?+=?+=
【巩固】 计算：0.01
0.120.230.340.780.89+++++ 【解析】 方法一：0.01
0.120.230.340.780.89+++++ 1121232343787898
909090909090-----=+++++
11121317181909090909090=+++++
= 216
90 方法二：0.01
0.120.230.340.780.89+++++
=0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+0.010.020.030.040.080.09+++++
=2.1+0.01(1+2+3+4+8+9)? 0.5444440.3636360.908080+
1
2.12790
=+
?
2.10.3 2.4=+= 【巩固】 计算 （1）0.291
0.1920.3750.526-++ （2）0.3300.186? 【解析】 （1）原式29119213755265999990999990--=
+++291375521191999990+-=+6663301999990=+=
（2）原式3301861999990-=
?330185999990?=?5
81
=
【例 18】 某学生将1.23
乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?
【解析】 由题意得：1.23 1.230.3a a ?-=，即：0.0030.3a ?
=，所以有：
33
90010
a =．解得90a =，
所以111
1.23 1.23909011190
a ?
?
=?=
?= 【巩固】 将循环小数0.027
与0.179672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?
【解析】
0.027 ×0.179672 27179672117967248560.00485699999999937999999999999
=?=?== 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．
【例 19】 有8个数，0.51
，23,59,0.51 ,2413,4725
是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51
，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数? 【解析】 2=0.6
3 ,5=0.59
,240.510647≈,13=0.5225 显然有0.5106<0.51<0.51<0.52<0.5<0.6 即241352<051<0.51<<<472593
，8个数从小到大排
列第4个是0.51 ，所以有241352<<<0.51<0.51<<<472593
口口．(“□”，表示未知的那2个
数).所以，这8个数从大到小排列第4个数是0.51
． 【例 20】 真分数7
a
化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a
是多少?
【解析】1=0.1428577 ， 27=0.285714 ，37=0.428571 ，47=0.571428 ，57=0.714285 ， 67=0.857142
．因此，真分数7
a 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以.=0.8571427
a ，即6a =．
【巩固】 真分数7
a
化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a 是多少？
【解析】 我们知道形如7
a
的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成，
只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的142857+++++和一个不完整142857+++++组成。 ()903912457833421÷+++++= ，而21276=-，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该为
6
7
，所以6a =。
【巩固】 真分数
7
a
化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则a 是多少？ 【解析】 我们知道形如7
a
的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6位数字组成，
200963345÷= ，因此只需判断当a 为几时满足循环节第5位数是7，经逐一检验得3a =。 【例 21】 20022009和1
287
化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.
【解析】 如果将20022009和1
287
转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算
我们
发现2002112009287
+=，而10.9?
=，则第100位上的数字和为9.
【巩固】 纯循环小数0.abc
写成最简分数时,分子和分母的和是58,则三位数_________abc = 【解析】 如果直接把0.abc 转化为分数,应该是999abc
,因此,化成最简分数后的分母应该是999的约数,我
们将999分解质因数得: 3
999337=?,这个最简分数的分母应小于58,而且大于29,否则该
分数就变成了假分数了,符合这个要求的999的约数就只有37了,因此,分母应当为37,分子就
是583721-=,也就是说21
0.999372737
abc abc abc
===
? ,因此2127567abc =?=. 【例 22】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
（1）()()()()()()()()
11111111111102020=+=+=+=+=+； （2）
()()
11110=- 【解析】 单位分数的拆分，主要方法是从分母N 的约数中任意找出两个数m 和n ，有：
111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B +==+=++++， 从分母n 的约数中任意找出两个m 和n (m n >)，有： 111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B -==-=---- （1） 本题10的约数有：1，10，2，5．
例如：选1和2，有：11212111010(12)10(12)10(12)3015
+==+=+?+?+?+； 从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的m 和n ，它们的数值虽然不同，但是如果m 和n 的比值相同，那么最后得到的A 和B 也是相同的．本题中，从10的约数中任取两个数， 共
有2
4410C +=种，但是其中比值不同的只有5组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，
5)，所以本题共可拆分成5组．具体的解如下：
1111111111110202011110126014351530
=+=+=+=+=+． （2）10的约数有1、2、5、10，我们可选2和5：
152********(52)10(52)10(52)615
-==-=-?-?-?- 另外的解让学生去尝试练习． 【巩固】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
()()()()()()
1111111
10=--=++ 【解析】 先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式521--和连加式521++．
则：()()()()()()
11111111041020804016=--=++
如果选10、5、2，那么有：
1111111
103615173485
=--=++
． 另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差了．比如，要得到
()()()
1111
10=++
，根据前面的拆分随意选取一组，比如111101260=+，再选择其中的一个分数进行拆分，比如111
1213156=+
，所以1111
101360156=++
． 【例 23】 ()()()()()()()()()()11111111111
45=+=-=++=--
【解析】()()()()()()()()()()
11111111111
457212018304051358191545=+=-=++=--
【巩固】1
10=()()11--()1=()()()111++
【解析】()()()()()()
1111111
1041020804016=--=++
注：这里要先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式5-2-1和连加式5+2+1.
【例 24】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。 【解析】 小于30的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十个，分母为17的真分数相加，和
等于
11621531489()()()()81717171717171717++++++++==
171
2
-。 类似地，可以求出其它分母为质数的分数的和。因此，所求的和是
1315171111131171191231291
2222222222---------+++++++++
11123568911145922
=+++++++++= 【巩固】 分母为1996的所有最简分数之和是_________。 【解析】 因为1996=2×2×499。所以分母为1996的最简分数，分子不能是偶数，也不能是499的倍数，
499与3×499。因此，分母为1996的所有最简真分数之和是
11995319935011495997999
()()()()11149819961996199619961996199619961996
++++++++=++?+=
=
11235689112++++++++=1592
【例 25】 若111
2004a b
=+，其中a 、b 都是四位数，且a
【解析】 2004的约数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，满足题意的分拆有：
11211
20042004(12)2004(12)60123006=+=+++ 11311
20042004(13)2004(13)80162672=+=+++ 12311
20042004(23)2004(23)50103340=+=+++ 13411
20042004(34)2004(34)46763507
=+=+++
【巩固】 如果
111
2009A B
=-，A B ，均为正整数，则B 最大是多少？ 【解析】 从前面的例题我们知道，要将1N 按照如下规则写成11
A B
-的形式：
111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B
-==-=----，其中m 和n 都是N 的约数。如果要让B 尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的n 尽可能地小而m 尽可能地大，因此应当m 取最大的约数，而n 应取最小的约数，因此2009m =，1n =，所以20092008B =?.
课后练习： 练习1.
123456
121231234123451234561234567
+++++
?????????????????????
【解析】 原
式
1
312
-
-
=
+
?
?
111111
121212312312341234567=
+-+-+-
??????????????? 111
12121234567
=+-
???????? 1
15040=-
5039
5040=
练习2. 12389
(1)(2)(3)(8)(9)234910
-?-?-??-?-
【解析】 通项为：2
(1)111
n n n n n n
a n n n n +-=-==
+++， 原式22222
123489346789362882345910=??????=?????=
练习3. 计算：3333
13599++++= ___________．
【解析】 与公式()()2
22
3
3
3
112124
n n n n ++++=++=
相比，3333
13599++++ 缺少偶数
项，所以可以先补上偶数项． 原式()()3
3
3333312
310024100=
++++-+++
()2233331
100101212504=??-?+++ 2232211
1001012505144
=??-??? ()22250101251=?-?
12497500=
练习4.
计
算
：
1
111111111112200723200822008232007????????+++?+++-+++?+++ ? ? ? ??
???????
【解析】 令111232007a =+++ ，111
232008
b =+++ ，
原式()()1
112008
a b b a b ab a ab b a =+?-+?=+--=-=
练习5. ⑴ ····110.150.2180.3111??+?? ???
； ⑵ ()
2.234
0.9811-÷ (结果表示成循环小数) 【解析】 ⑴原式151218231190
9909111--??=+??
???371111123456790.01234567999311181999999999=??=== ⑵23422322.23422990990-== ，980.9899= ，所以23298242222.234
0.982119909999090-=-== ， ()22122.234
0.98111110.090.020.113901190
-÷=÷=+=+= 月测备选 【备选1】计算：
2399
3!4!100!
+++= . 【解析】 原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了． 原式2399
1231234123100=+++
????????? 31411001
1231234123100---=+++
????????? 11111112123123123412399123100
=-+-++-????????????????
1112123100=
-????? 11
2100!=-
【备选2】计算：22222222
1223200420052005200612232004200520052006
++++++++
???? 【解析】 （法1）：可先来分析一下它的通项情况，
2222(1)(1)1(1)(1)(1)1n n n n n n n a n n n n n n n n ++++==+=+?+?+?++
原式= 213243542005200420062005
()()()()()()122334452004200520052006
++++++++++++
20052005
200524010
20062006
=?+= （法2）：222
22(1)22111
22(1)(1)
n n n n n a n n n n n n n n ++++===+=+?+++?+
【备选3】计算：333
12320061232006
+++???++++???+
【解析】 原式()2
12320061232006+++???+=+++???+1232006=+++???+()1
2006200612
=??+2013021=
【
备
选
4
】
计
算
：
621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947????????
++?++-+++?+ ? ? ? ?????????
【解析】 令621739458126358947a ++=；739458
358947
b +=，
原式378378207207a b a b ?
???=?+-+? ? ?????()3786213789207126207a b =-?
=?= 【备选5】计算200920091199900999909901
??-?
??? (结果表示为循环小数) 【解析】 由于
10.00001
99900= ，10.0000199990
= ，
所以
11
0.000010.000010.00000000900991 9990099990
-=-=
，
而9009917139901919901
=??=?，
所以，
200920091111
0.000000009009912009 999009999099019901??
-?=??
?
??
0.000000000000911120090.0000000000100120090.00000002011009 =??=?=
分数拆项法
分数拆项法 1 / 1 分数拆项法 一、教学过程： 【知识点梳理】 公式一：1 11)1(1+-=+?a a a a 公式二:)11(1)(1n a a n n a a +-?=+? 【例题精讲】 例题1、计算：错误!+错误!+错误!+…..+ 错误! 【即时练习】计算下面各题 (1）错误!+错误!＋错误!+…．.+ 错误! （2）错误!+错误!＋错误!+错误!+ 错误!+错误! (3)＼F （1,10×11） +11１×12 ＋112×1３ + １13×14 ＋错误! 例题２、计算：错误!+错误!＋错误!+…..＋ 错误! 【即时练习】计算下面各题: （1)错误!+错误!+错误!+…..+ 错误! （2）错误!+错误!+错误!+….．+ 错误! （3）错误!+错误!+错误!+…..+ 错误! 例题3、计算:1＼F(1,3） －＼F(7,12） ＋错误!-错误!+错误!-错误! 【即时练习】计算下面各题： (1)1错误!+错误!－错误!+错误!-错误! (2） 1错误!－错误!＋错误!－错误!+错误! （3） 错误!+错误!+错误!+ 错误!+错误! 例题4、计算:错误!+错误!＋错误!+错误!+错误!+错误! 【即时练习】计算下面各题： (１）12 +1４ +＼Ｆ(1,8) +………+１256 (2）错误!+错误!+错误!+错误!+错误! 【奥赛天天练】 1. 1－错误!+错误!＋错误!+错误! 2. 错误!+错误!+错误!+错误!+错误! 3、１1×３ +错误!+错误!＋……+错误!+错误! 4、计算错误!+错误!+错误!+……+错误! 四、【家庭作业】 1、100991.......431321211?++?+?+? 2、40 391......761651541?++?+?+? 3、55 542......141321312212112?++?+?+? 作业完成后家长签名: 欢迎家长对老师教学提出建议或意见:
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结 （一） 用裂项法求1(1) n n +型分数求和 分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111(1)1 n n n n =-++ （二） 用裂项法求 1()n n k +型分数求和 分析：1() n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为11111()[]()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++ （三） 用裂项法求() k n n k +型分数求和 分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝() k n n k + 所以 () k n n k +＝11n n k -+
（四） 用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和 分析： 2()(2) k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ （五） 用裂项法求1()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和 分析：1()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ （六） 用裂项法求 3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和 分析：3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 311()(2)(3)()(2)()(2)(3) k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 记忆方法： 1.看分数分子是否为1； 2.是1时，裂项之后需要整体×首尾之差分之一； 3.不是1时不用再乘； 4.裂项时首尾各领一队分之一相减。
最新分数裂项法解分数计算
分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 【例 1】 111111223344556 ++++=????? 。
六年级奥数训练第五周——分数裂项
第五周分数裂项 专题简析： 前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。 运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地， 形如1 a×(a+1)的分数可以拆成 1 a － 1 a+1 ；形如 1 a×（a+n） 的分数可以拆成 1 n ×（ 1 a － 1 a+n ）， 形如a+b a×b 的分数可以拆成 1 a + 1 b 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。
计算：11×2 +12×3 +13×4 +…..+ 199×100 原式=（1－12 ）+（12 －13 ）+（13 －14 ）+…..+ （199 －1100 ） =1－12 +12 －13 +13 －14 +…..+ 199 －1100 =1－1100 =99100 练习1 计算下面各题： 1. 14×5 +15×6 +16×7 +…..+ 139×40 2. 110×11 +111×12 +112×13 + 113×14 +114×15 3. 12 +16 +112 +120 + 130 +142 4. 1－16 +142 +156 +172
计算：12×4 +14×6 +16×8 +…..+ 148×50 原式=（22×4 +24×6 +26×8 +…..+ 248×50 ）×12 =【（12 －14 ）+（14 －16 ）+（16 －18 ）…..+ （148 －150 ）】×12 =【12 －150 】×12 =625 练习2 计算下面各题： 1. 13×5 +15×7 +17×9 +…..+ 197×99 2. 11×4 +14×7 +17×10 +…..+ 197×100 3. 11×5 +15×9 +19×13 +…..+ 133×37 4. 14 +128 +170 +1130 +1208
六年级奥数试题-分数裂项与分拆(教师版)
第十三讲 分数裂项与分拆 1. “裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 ①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- ②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111[]()(2)2()()(2) n n k n k k n n k n k n k =-?+?+?+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-?+?+?+?+?++?+?+
③对于分子不是1的情况我们有：?? ? ??+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ??=- ?++?? ()()()()() 21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()() 31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ??=-??+++++?? ()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k k n n k n k n k n k n k ??=-??++++++++?? ()()() 221111212122121n n n n n ??=+- ?-+-+?? 2. 裂差型裂项的三大关键特征： ①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 ②分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” ③分母上几个因数间的差是一个定值。 3.复杂整数裂项型运算 复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。 整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N 。N 取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。 需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。 此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。 4. “裂和”型运算
分数拆项法6
分数简便计算（六） 拆项法 班级： 姓名： 【知识点详解】（1）观察数1 31=34=3131?+=1+31 ，127=4343?+=31+4 1 ，209=5454?+=41+51，……都是相同特征，分解成b a b a ?+=a 1+b 1。 （2）若a 、b 、c 是三个连续的自然数，并且a （2））3211??+4321??+5431??+……+8 761 ?? 【列3】［（ 1249-2063+3077-4291+56105）-361］÷24 1 【思维拓展训练】： （1）1 21-65+127-209+3011-4213+5615-7217+90 19 （2）7×158-7×3512+7×6316-99 20×7 （5）1—32-92-272-812-2432-7292 (5) 41×773+0.25×755÷4 1 【银川一、二九中历年计算部分考试真题】 一、选择合适的方法计算。 （1）（0.7+0.7+0.7+……+0.7）×1.25 （2）5-（76÷143+13 6 ） （3）2.8×43+0.75×6.2+43 （4）154×21÷(53+4 1) (5)10÷［38-( 135÷265+52)］ (6) 34 3×1.25+375×0.975-37.5％×87 （7）7.5-153÷(0.875×53+81×0.6) (8) 211+2121202+21212150505+21212121 13131313 (9) 411? + 741? + 1071?+13101?+……+100 971? 思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。 分数裂项求和方法总结 （一）用裂项法求 1一型分数求和分析：因为n(n 1) 1 n(n 1) n(n 1) （n为自然数）所以有裂项公式: n（n 1） 【例1】 求丄 10 11 11 12 1的和。 59 60 【例2】 咕右）'11 1 1 10 60 1 12 用裂项法求 1 1 k(n 计算 n(n k) 1 1 - [2 5 1 15 n(n 1) 59 60) 型分数求和: k) n n(n k)] 分析： n（n k） 型。 （n,k 均为自然 数） 因为 n(n k) 所以n(n k)k( ； n k 9 11 11 13 13 15 7) 1 1) 丄(1 2 7 1 (1 9) 1(1 却 2、11 1 1 1 1 1 , 1 1、1(丄丄 2(13 15 1 13) 1 用裂项法求 9 11 11 13 型分数求和: n（n k） n n k n(n k) n(n k) n(n k) 13 分析：型（n,k均为自然数）n（n k） k 所以一- n(n k) n n k (1 1 3 97 99 3200 9603 自然数） n(n k)( n 2k)( n 3k) 3k (n(n k^(n 2k) 1139 20520 I (n k)(n 2k)(n 3k) 【例3】 的和 97 99 98 99 (四) 1 3) (3 5 1 1 )( 5 1 7) 1 1 1 99 用裂项法求 型分数求和: n （n k ）（n 2k ） 分析: 2k n(n k)(n 2k) 【例4】 计算： 4 4 4 4 1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99 (1I II 3 15) (315 517)…( 1 1 )( 1 1 ) 3 93 95 95 9/ V 95 97 97 99, 1 1 （n,k 均为自然数） 【例5】 1 1 计算：1 2 3 4 2 3 4 5 1 17 18 19 20 3[(1 1 1 3[1 2 3 （丘 18 19 20] 1 17 18 19 1 18 19 20 )] （六）用裂项法求 3k n(n k)(n 2k)(n 3k) 型分数求和：分析: 3k n(n k)(n 2k)( n 3k) (n,k 2k n(n k)(n 2k) 1 1 n(n k) (n k)( n 2k) (五) 用裂项法求 型分数求和分析: n(n k)(n 2k)(n 3k) (n,k 均为 n(n k)(n 2k)(n 3k) 分数裂项练习题1 1. 11111 1223344556 ++++= ????? 。 2. 111 ...... 101111125960 +++ ??? 3. 2222 109985443 ++++=???? L 4.1111 11212312100 ++++ ++++++ L L L 5. 1111 133******** ++++=???? L 6.计算： 1111 25 1335572325 ?? ?++++= ? ???? ?? L 7.251251251251251 4881212162000200420042008 +++++ ????? L 分数裂项练习题1详解 1. 11111 1223344556 ++++= ????? 。 【解析】原式 111111115 122356166?????? =-+-++-=-= ? ? ? ?????? L 2. 111 ...... 101111125960 +++ ??? 【解析】原式 111111111 ()()......() 101111125960106012 =-+-++-=-= 3. 2222 109985443 ++++=???? L 【解析】原式 11111111 2 910894534 ?? =?-+-++-+- ? ?? L 11 2 310 ?? =?- ? ?? 7 15 = 4.1111 11212312100 ++++ ++++++ L L L 【解析】原式 2222120099 2(1)1 122334100101101101101 =++++=?-==???? L L 5. 1111 133******** ++++=???? L 【解析】 111111111150 (1 13355799101233599101101 ++++=?-+-++-= ???? L…） 6.计算： 1111 25 1335572325 ?? ?++++= ? ???? ?? L 【解析】原式 111111 251 23352325 ?? =??-+-++- ? ?? L 11 251 225 ?? =??- ? ?? 2524 225 =?12 = 7.251251251251251 4881212162000200420042008 +++++ ????? L 【解析】原式 25111111 16122334500501501502??=?+++++ ? ????? ?? L 2511111111 1 1622334501502 ?? =?-+-+-++- ? ?? L 25150150121 15 165023232 =?== 2008年10月4日 六年级 基本公式：()111n n+1n n 1-+＝； 推广形式：()111n n+d d n n d ??-??+?? 1＝ 例1、计算：11111122334989999100+++++?????=（1－21）＋（21－31）＋（31－4 1）＋……＋（991－100 1）=1－1001=10099。 例2、计算：1111112612203042+++++=7 6； 例3、计算：1111111357911104088154238340+++++=20 336； 例4、计算：=?+++?++?++?+200120002001200043433232212122222222 200120004000 注意：拆分未必拆成两个分数之差，有的时候，需要拆成两个分数之和；可以利用公式： 11m+n m n mn +＝ 例5、计算：1111(1)(1)(1(1)2233441010 -?-?-??-???? (1120) 提示：1n n 1(n 1)(n 1)1n n n n n n ?--+- ==???。 解：原式＝1324359112233441010????????????……＝111210?＝1120 例6、计算：60 59605859586035343602423260131211+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ = 解答：因为()2 1211121-=-??=-+++n n n n n n n n ，所以 ()886 59212 112 592221160 59605859586035343602423260131211=+++?+=++++=+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ 【课堂练习】 1. 计算：111116425672-+++=9 8； 分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2) n n n ?+?+，1(1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： 知识点拨 教学目标 第五讲:分数拆项法 一、教学目标 学会运用分数拆项法计算 二、教学重点难点 综合运用分数拆项法解决实际问题 三、教学过程： 【知识点梳理】 公式一：1 11)1(1+-=+?a a a a 公式二：)11(1)(1n a a n n a a +-?=+? 【例题精讲】 例题1、计算：11×2 +12×3 +13×4 +…..+ 199×100 【即时练习】计算下面各题 1. 14×5 +15×6 +16×7 +…..+ 139×40 2. 110×11 +111×12 +112×13 + 113×14 +114×15 3. 12 +16 +112 +120 + 130 +142 例题2、计算：12×4 +14×6 +16×8 +…..+ 148×50 【即时练习】计算下面各题： 1. 13×5 +15×7 +17×9 +…..+ 197×99 2. 11×4 +14×7 +17×10 +…..+ 197×100 例题3、计算：113 －712 +920 －1130 +1342 －1556 【即时练习】计算下面各题： 1. 112 +56 －712 +920 －1130 2. 114 －920 +1130 －1342 +1556 3. 19981×2 +19982×3 +19983×4 + 19984×5 +19985×6 例题4、计算：12 +14 +18 +116 +132 +164 【即时练习】计算下面各题： 1. 12 +14 +18 +………+1256 2. 23 +29 +227 +281 +2243 3. 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6 四、【家庭作业】 1. 1－16 +142 +156 +172 六 年级 数学 科 导学案 发现规律、利用公式的过程。 2学会观察、改造、运用公式等过程。 3需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算。 教学重点：列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提， 教学难点：学会找规律 ，发现数字规律。 知识点： 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 例谈分数拆项技巧 学习了分式的加减运算，我们可以验证以下等式的正确性，即： ， ， ， ， ． 熟练运用以上恒等式及平方差公式，可将算式中某数拆成两个（或两个以上）数的和或差，从而使计算简便． 一、运用拆项 例1．例1．计算： 解：原式= = = 二、运用拆项 例2．计算： 11m n mn n m +=+111(1)1 n n n n =-++11()m n n m n n m =-++211(1)(2)(1)(1)(2) n n n n n n n =-+++++12(1)(2)122222 n n n n n n n n n -+-+++==-11m n mn n m +=+3579197199...26122097029900-+-+-+12233445989999100 (12233445989999100) ++++++-+-+-+??????111111111111()()...()2233445989999100 +-+++-++-+++11011100100+=111(1)1 n n n n =-++1111...12123123...100+ ++++++++++ 解：因为 所以 原式=1+ = 三、运用拆项 例3.计算：- ． 解：原式= - = 四、运用拆项 例4计算： 解：原式=+… + ==． 五、运用拆项 1222123...(1)1 n n n n n ==-++++++222222 (2334100101) -+-++-22002101101-=11()m n n m n n m =-++23411(12)(12)(123)(123)(1234) ---?+++++++++...-10(123...9)(123...10) ++++++++1111(1)()1212123-- --++++11()1231234--+++++11()123...9123 (10) -++++++++11123 (1055) =++++211(1)(2)(1)(1)(2) n n n n n n n =-+++++4444 (123234345200420052006) ++++????????222222()()()122323343445 -+-+-??????22()2004200520052006 -??2120052006-?2011014201101512(1)(2)122222 n n n n n n n n n -+-+++==- 知识要点和基本方法 1.2分数计算(裂项法) 分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。 分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快 速、准确，关键是掌握运算技巧。对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运 算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力, 都有很大的帮助。 公式: (1)平方差公式：a2 b2(a b) (a b) (2)等差数列求和公式: a i a2 a3 a n 1 a n 1 a1 2 a n n (3)分数的拆分公式: n(n 1) 1 n(n d) 裂项 法： 例1. 计算: 例2. 计算: 10X 11 1 2 3 _1 +11X 12 1 ..... +—— 3 4 99 1 +……+59X 60 1 100 例7. 例8. 例3. 1111 计算：2 + 6 + / + 20 1 1 + — + — +30 +42 例9. 例4. 计算: —1——+ -—— 10X 11 11X 12 1 +……+19X 20 例10. 例5. 1 1 计算2X 3 + 3X4 + 1 1 +6X7 +7X8 例11. 1 1 1 1 1 1 1 6 + ' —+— +— + 12 + 20 + 30 + 矗+56 + 72 1 1 1 1 1 1 + —+ + —- + —+ 3 15 35 63 99 143 1 1 1 1 1 4 4 7 7 10 10 13 13 2 2 2 2 2 3 15 35 63 99 1 丄丄丄 1 1 8 24 48 80 120 168 计算: 1 计算: 计算: 计算: 计算: 16 例6. 计算: 例12. 计算: 例13. 计算: 112 11 +丄+土+丄+丄+ 1 2 2 1 + — + 1 2 2 3 1 ----------- F 1 2 3 2 3 2 1 + Y +仝+丄 3 3 3 3 1 例14. 计算: 2X( 1 —丄)X 2丿 20052-------------- +……+ 12 3 4 「-亠) 20042 100 +……+ + 100 100 1 旦+……+ 100 1 100 X( 1 2 3 2005 1 1 1 —2) X ......... X( 1 ---------- ) 2003222 分数的速算与巧算 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数 7、用拆项法求分数和（2） 例题4、用拆项法求 ) 2)((1 k n k n n ++型分数和类： 1、3 211??+4 321??+…+ 50 49481?? 2、1 231??+ 2 341??+ 3 451??+…+ 98 991001?? 3、6 421??+ 8 641??+…+ 100 98961?? 4、5311 ??- 7531 ??- 9 751 ??-…- 99 97951?? 5、6 1+ + 24 1+ 60 1120 1+ + 210 184 1 例题5、用拆项法求 ) 2)((k 2k n k n n ++型分数和类： 1、 5 314??+ 7 534 ??+…+ 97 95934??+99 97954?? 2、3 212??+ 4 322??+…+ 100 99982?? 3、3 212??- 4322 ??- 5 432 ??-…- 100 99982?? 例题（6）用拆项法求 ) 3)(2)((1 k n k n k n n +++型分数和类 1、4 3211???+ 5 4321 ???+…+ 20 1918171 ??? 2、24 1+ 120 1+ 360 1+ 840 1+ 630 1 例题7、用拆项法求 ) 3)(2)((3k n k n k n n k +++型分数和类 1、4 3213???+ 5 4323 ???+ 6 5433???+…+20 1918173 ??? 2、4 3215???+ 5 4327???+ 6 5439???+…+ 20 19181737 ??? 例题8、用拆项法求复合型分数和类 1、 2 1+ 3 22?+ 4 323?? 2、 2 1+ 3 22?+ 4 323??+ 5 4324???+ 6 54325 ???? 3、3 1+ 5 34?+ 7 536??+ 9 7538???+ 11 975310 ???? + 11 97531 ???? 4、2 1+ 6 5+ 12 11+ 20 19+ 42 41+ 56 55+…+ 9702 9701+ 9900 9899 5、+ 6 524 23+ 60 59+ 120 119+ 210 209+ 84 83 分数计算一一裂项法 【知识要点】 正确、迅速、灵活、合理地进行整数、小数、分数四则混合运算，是小学生须掌握的技能、技巧之一，计算时必须做到： 1、拿到一题，首先要全面审题，确定运算顺序，这是运算的根本。 2、然后要全面观察题目的结构、特征，分析题中数与数的关系，灵活运算各种定律、性质使 计算简便，这是运算的灵魂。 3、计算时要做到一步一回头，也就是及时检验，这是使你终生受益的习惯。【自主练习】 111 1 1 1_ -11 1 11 2 3 3 4 4 5r T 5 6 6 77 8十十?… 12 2 3 49 50 1111 +?-?++ 1995 19961996 19972007 20082008 ?丄?丄丄 12 20 30 42 56 72 90 7 13 21 31 43 57 73 91 —十-------- 十------- r ------------ r ----------- ~1~------ 十 ------- r ----------- 6 12 20 30 42 56 72 90 二 1 」… J 1 4 4 7 7 10 97 100 1111 1 1 ----- + ------- + ------- + -------- + --------- + --------- 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15 11 31 5丄7丄9丄 3 15 35 63 99 2.2.2 ..???丄 21 77 165 1677 1 7 9 11 13 15 1 — 3 1 2 20 30 42 56 小结：求若干个分数之和的计算题，一般可以用通分的办法，但有些计算题，可以 采用裂项的办法，即运用以下这些公式巧妙求出整个算式的和，称为裂项法。 1 9 11 1 3 15 --- ----- -------- "T - ---------- ---- -------- ~T~ ------------- 4 20 30 42 56 ---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 分数乘法与分数裂项法 分数乘法与分数裂项法【专题解析】我们知道，分数乘法的运算是这样的：分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母（当然能约分的最好先约分在计算）。 分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。 1、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。 对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。 2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为 1。 进行分数的乘法运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。 需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。 【典型例题】——乘法分配律的妙用 44 例 1．计算：（1）×37 4567 2003 44 44 44 分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的与 1 只相差 1 个分数单位，如果把写成（1－） 45 45 45 67 的差与 37 相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。 同样，第（2）题中可以把整数 2004 写成（2003+1）的和与 2003（2）2004× 相乘，再运用乘法分配律计算比较简便。 1/ 10 【举一反三】43 56 56 ×37 （2）×37 （3）×56 44 57 57 17 1 4 1 例 2．计算：（1）72 × （2）73 × 17 24 15 8 4 4 1 分析与解：（1）72 把改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 （2）73 把 17 17 15 16 改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 15计算：（1）【举一反三】4 7 计算：（1）20 × 7 10（2）166 13 × 13 32（3）573 1 × 13 8（4）641 1 × 17 9【小试牛刀】 五年级奥数 分数的速算与巧算（一） 一、知识要点 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 5、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 （三）、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1(1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+六年级分数巧算裂项拆分
分数裂项练习题1
分数拆分(裂项法)
分数裂项计算
第讲：分数拆项法
分数地裂项与巧算
例谈分数拆项技巧
六年级分数-裂项法
分数拆项与裂项
7、用拆项法求分数和(2)
六年分数计算裂项法
分数乘法与分数裂项法
20180420五年级奥数分数的速算与巧算