解析几何吕林根课后习题解答一到五.docx
第一章矢量与坐标
§ 1.1矢量的概念
1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？
（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；
（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；
（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；
（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.
解：
2.设点 O 是正六边形 ABCDEF的中心，
在矢量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、
OF 、 AB 、 BC 、 CD、DE 、 EF O
和 FA 中，哪些矢量是相等的？
[解 ]：
图 1-1
3.设在平面上给了一个四边形ABCD，点 K、L、 M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、
ＤＡ的中点，求证：KL ＝ NM .当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？
[证明 ]：
.
4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，
在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反
矢量的矢量：
(1) AB、; (2) AE、; (3)
AC 、
CD CG
EG ;
(4)AD 、 GF ;(5)BE 、 CH .
解：
图1—3
§ 1.2矢量的加法
1.要使下列各式成立，矢量a,b 应满足什么条件？
（1）a b a b;（2）a b a b ;
（3）a b a b ;（4）a b a b ;
（5）a b a b .
解：
§ 1.3数量乘矢量
1试解下列各题．
⑴化简 (x y) (a b) (x y) (a b) ．
⑵已知
a e1 2 e2e3，
b 3e12e2 2 e3，求a b ， a b 和 3 a 2 b ．
⑶ 从矢量方程组解：3 x 4 y
a
，解出矢量 x ，y．2 x 3 y b
2 已知四边形ABCD 中， AB a 2 c ，CD 5 a 6 b 8 c ，对角线AC 、 BD 的中
点分别为 E 、 F ，求EF．
解：
3 设AB a 5 b ， BC 2 a 8 b ，CD3( a b) ，证明： A 、 B 、 D 三点共线．解：
4在四边形 ABCD 中， AB a 2 b ， BC 4 a b ，CD 5 a 3 b ，证明 ABCD 为梯形．
解：
6. 设 L、 M、 N 分别是 ABC 的三边 BC、 CA、 AB 的中点，证明：三中线矢量AL,BM,CN 可以构成一个三角形.
7.设 L、 M 、N 是△ ABC的三边的中点， O 是任意一点，证明
OA OB + OC = OL + OM + ON .
解：
8.如图 1-5，设 M 是平行四边形 ABCD的中心， O 是任意一点，证明
OA + OB + OC + OD ＝4 OM .
解：
9在平行六面体 ABCDEFGH （参看第一节第4题图）中，证明
AC AF AH 2 AG ．
证明：
．
10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．
解
11.用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分 .
解
图1-4
12. 设点 O 是平面上正多边形A1A2A n的中心，证明:
OA1 + OA2 ++OA n＝0 .
解
,
13．在 12 题的条件下，设P 是任意
点，证明
证明：
§ 1.4矢量的线性关系与矢量的分解
1．在平行四边形ABCD中，
（1）设对角线AZ a, BD b, 求 AB, BC, CD, DA.
解
（2）设边 BC和 CD的中点 M 和 N，且AM P, AN q 求 BC, CD 。
2．在平行六面体 ABCD-EFGH中，设AB e1, AD e2, AE e3 , 三个
面上对角线矢量设为 AC p, AH q, AF r , 试把矢量 a pq r 写成 e1 , e2 ,e3的线性组合。
解：
3.设一直线上三点 A, B, P 满足AP＝PB ( － 1),O 是空间任意一点，求证：
OP＝ OA OB
1
解：
图1-7
4. 在ABC 中,设 AB e1 , AC e2.
(1)设 D、E 是边 BC 三等分点,将矢量 AD, AE 分解为 e1 ,e2的线性组合;
（2）设AT是角A的平分线 (它与BC交于T点 ),将AT分解为e1,e2的线性组合解：
5．在四面体OABC中，设点G是ABC 的重心（三中线之交点），求矢量OG对于矢量OA, ,OB, OC 的分解式。
解
6．用矢量法证明以下各题
（1）三角形三中线共点
证明：
7．已知矢量a, b不共线，问c2a b 与 d 3a2b 是否线性相关？
解：
8. 证明三个矢量 a ＝－e1+3 e2+2 e3,b ＝4 e1－6 e2+2 e3，c＝－3 e1+12 e2＋11 e3共面，其中 a 能否用 b , c 线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.
[证明 ]：
9．证明三个矢量a b, b c, c a 共面。
证明：
§1.5 标架与坐标
3.在空间直角坐标系 {O; i , j , k }下，求 P(2,－ 3,－ 1)， M(a, b, c)关于
(1) 坐标平面； (2) 坐标轴； (3) 坐标原点的各个对称点的坐标.
[解 ]：
8.已知矢量 a , b , c 的分量如下：
(1) a ＝{0,－1, 2}， b ＝{0, 2,－4}， c ＝{1, 2,－1}；
(2) a ＝{1, 2, 3}， b ＝{2,－1, 0}， c ＝{0, 5, 6}.
试判别它们是否共面？能否将 c 表成a ， b 的线性组合？若能表示，写出表示式. [解 ]:
7．已知 A,B,C三点坐标如下：
（1）在标架O;e1, e2下，A 0,1 , B 2, 2 ,C2,4 .
（2）在标架O;e1, e2 , e3下，A 0,1,0 , B 1,0, 2 ,C 2,3,4
判别它们是否共线？若共线，写出AB 和 AC 的线形关系式.
解：
9. 已知线段 AB 被点 C(2,0,2)和 D(5,-2,0)三等分 ,试求这个线段两端点 A 与 B 的坐标 .解：
10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍 . 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来 . [证
明 ] ,
,
§1.6矢量在轴上的射影
1．已知矢量AB 与单位矢量 e的夹角为 150 ，且 AB 10 ，求射影矢量e AB 与射影e AB ，又如果 e e，求射影矢量 e AB与射影 e AB.
解：
2 试证明：射影l( a1a2 + + n a n )＝ 1 射影 l a1+2射影 l a2
+ + n射影l a n .
[ 证明 ]
§1.7两矢量的数性积
1．证明：r r r r r r r
（1）矢量a垂直于矢量(ab)c( ac)b；
（2）在平面上如果12，且 a i＝ b m i
(i=1,2)，则有 a ＝ b
.
m m m
证明：
2．已知矢量a,b互相垂直，矢量c与a,b的夹角都是60，且a1, b 2, c 3 计算：
(1)(a b) 2 ; (2)( a b)( a b); (3)(3a 2b).( b 3c);( 4)(a 2b c)2
[解 ]：
3.计算下列各题 .
uuur r uuur r uuur urr r r r r r （ 1）已知等边△ABC 的边长为1,且BC a , CA b , AB C , 求 ab bc ca ；
(2)
r r r r
1,
r r r r r r r r r
已知 a,b, c 两两垂直,且 a b2, c3, 求 r a b c 的长和它与a,b, c 的夹
角 .
r r r r r r
(3)已知 a3b与 7a5b 垂直，求 a,b 的夹角.
r r r r 2ur r r r r r
取何值时(4) 已知 a 2, b 5,(a,b), p3a b,q a17b. 问系数
ur r
3
p 与 q 垂直？
解
4.用矢量法证明以下各题：
(1)三角形的余弦定理 a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA;
(2)三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距 . 证明：
图 1-11
r r
5已知平行四边形以 a ﹛1，2，-1﹜， b ﹛1，-2，1﹜为两边
(1)求它的边长和内角(2) 求它的两对角线的长和夹角
解：
6 已知△ ABC 的三顶点A(0,0,3),B(4,0,0), C (0,8,3)试
求： (1) △三边长 (2) △三内角(3) 三中线长(4) 角A的角平分线矢量uuur AD（中点
uuur
在BC 边上），并求AD的方向余弦和单位矢量
解：
§1.8两矢量的失性
r r r r r r r r r r 2 1.已知a 1 , b5, a b 3. 试求: (1) a b(2) (a b)( a b)
r r r r 2
(3) (a2b)(b2a)
解 :
2. 证明：
（1） ( a b )2≤ a 2 b 2，并说明在什么情形下等号成立 .
（2） 如果 a + b + c ＝ 0 ，那么 a
b ＝ b
c ＝ c a ，并说明它的几何意义
.
(3) r r r ur r r
r ur r ur r r
如果 a b c d , a c
b d .那么 a
d 与 b r c 共线 .
r r r
(4)
r ur ur
r r ur
r r
如
果
a p n,
b q n,
c r n, 那
么 ,
a, b,c 共
面 .
证明 :
3. 如果非零矢量 r i (i ＝ 1,2,3)满足 r 1 r 2 r 3 ， r 2 ＝ r 3 r 1 ， r 3 ＝ r 1 r 2 ，那么 r 1 , r 2 , r 3 是彼此 垂直的单位矢量，并且按这次序构成右手系.
[ 证明 ]：
r
2,
3,1 r
r r
r
4. 已 知 :
a
, b
1, 2,3 , 求 与 a , b 都 垂 直 , 且 满 足 下 列 条 件 的 矢 量 c :
r
(2) r ur
10 , 其 ur
(1) c
为 单 位 矢 量
c d 中 d 2,1, 7 .
解:
5.
在 直 角 坐 标 系 内 已 知 三 点 A(5,1, 1), B(0, 4,3), C (1, 3,7) , 试 求 :
(1) 三 角 形 ABC 的 面 积(2) 三 角 形 ABC 的 三 条 高 的 长 .
解 :
r 2,3,1 ,
r 5,6,4
r r
6.已知 : a
b
,
试求 :
(1)以 a, b 为边的平行四
边 形 的
面 积 .
(2)
这 平
行 四
边
形
的
两
条
高
的 长 .
解:
7.用矢量方法证明：（1）三角形的正弦定理
a
＝b
＝
c
sin A sin B
. sin C
（2）三角形面积的海伦(Heron) 公式，即三斜求积公式：
2＝ p(p－ a)(p－ b)(p－ c).
式中 p＝1
(a+b+c)是三角形的半周长，为三角形的面积. 2
[证明 ]：
§ 1.9三矢量的混合积
1.设 a , b , c 为三个非零矢量，证明
(3)( a , b , c + a + b ) =(a , b , c );
(4)( a＋b , b ＋ c , c ＋ a ) =2( a , b , c ).
[证明 ]：
2．设径矢 OA r1 , OB r 2 , OC r3 , 证明R ＝( r1r2 )＋ ( r2r3 )＋( r3r1 )垂直于 ABC平面 .
[ 证明 ]:
3．u = a1 e1 + b1 e2 + c1e3 , v a2 e1 + b2 e2 + c2 e3 ,w = a3e1+b3e2+ c3e3,
a1b1c1
试证明(222
123
u v w c).
, ,)= a b( e , e , e
a3b3c3
[证明 ]
r r r
4.已知直角坐标系内矢量
a, b,c 的分量 ,判别这些矢量是否共面
?如果不共面 ,求出以它们为
r
3,4,5 r
1,2,2 r
9,14,16
三 邻 边 作 成 的 平 行 六 面 体 体 积 .
(1) a
, b
, c
.
r
r
2, 4,3
r
1, 2,2
(2)
a 3,0, 1
,
b ,
c .
解:
5. 已知直角坐标系内 , ,C, D 四点坐标 ,判别它们是否共面 ?如果不共面 ,求以它们为顶点的四面体体积和从顶点 D 所引出的高的长 .
⑴ A 1,0,1 , B 4,4,6 , C 2,2,3 , D 10,14,17 ;
⑵ A 2,3,1 , B 4,1, 2 ,C 6,3,7 , D
5,4,8 .
解 :
§ 1.10
三矢量的双重矢性积
1. 在直角坐标系内 ,已知 a 1,0, 1 , b 1, 2,0 , c 1,2,1 , 求 a b c 和 a b c
解
2. 证明 对于任意矢量 r i i 1,2,3,4 下式成立 :
r 1 r 2 r 3 r 4
r 1 r 3 r 4 r 2 r 1 r 4 r 2 r 3
证
3. 证明 a b a d= a b d a
证
4. 证明 a b, c d, e f= a b d c e f a b c d e f
证
5. 证明a, b, c 共面的充要条件是 b c , c a , a b 共面.
证
6.对于任意矢量 a, b, c, d ,证明
b c d a c d a b d a b c a b c d0
证
第二章轨迹与方程
§ 2.1平面曲线的方程
1.一动点M到A(3,0)的距离恒等于它到点B( 6,0) 的距离一半，求此动点M的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？
解：
2.有一长度为2a ( a＞0）的线段，它的两端点分别在x 轴正半轴与y 轴的正半轴上移动，
是求此线段中点的轨迹。 A ， B 为两端点， M 为此线段的中点。
解：
3.一动点到两定点的距离的乘积等于定值m2,求此动点的轨迹.
解:
4.设P,Q, R是等轴双曲线上任意三点,求证VPQR的重心H必在同一等轴双曲线上.
证明 :
5.任何一圆交等轴双曲线xy c2于四点P(ct1 ,c
t1
) , Q( ct2 ,
c
t2
) , R(ct3 ,
c
t3
) 及S(ct 4 ,
c
t4
) .那
么一定有t1t2t3 t4 1 .
证明 :
8. 把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程.
111
⑴ y 2x 3;⑵x2y 2 a 2, a 0 ;⑶x3y33axy 0, a 0 .解:
§ 2.2曲面的方程
1、一动点移动时，与A(4,0,0) 及xoy平面等距离，求该动点的轨迹方程。解：
2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：
（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹；
（2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹；
（3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；
（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。
解：
3.求下列各球面的方程：
（1）中心(2, 1,3)，半径为；R6
（2）中心在原点，且经过点(6, 2,3) ；
（3）一条直径的两端点是(2 3,5)与( 4,1, 3)
（4）通过原点与( 4,0,0), (1,3,0), (0,0, 4)
解：
§ 2.3母线平行于坐标轴的柱面方程1、画出下列方程所表示的曲面的图形。
（1）4x29y 236
解：
z
y
O
x
§ 2.4空间曲线的方
程
1、平面x c 与 x 2y 2 2 x 0 的公共点组成怎样的轨迹。
解：
2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？
（1）x2y 216 z264 ；（2）x2 4 y216z 264 ；（3）x2 4 y216 z264 ；（4）x29 y210 z
解：
3.求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。
x2y2z 0x 2z23yz 2x 3z 3 0 0（1）;（ 2）
z x 1y z 10
x 2 y 6z 5x 2y2z21
（3）（ 4）
1) 2(z 1) 2
3x 2y 10z 7x 2( y1解：
y24z0 6. 求空间曲线
z2的参数方程 .
x0
解 :
第三章平面与空间直线
§3.1 平面的方程
1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：
（ 1 ）通过点M 1(3,1,1)和点M 2 (1, 1,0) 且平行于矢量{ 1,0,2} 的平面（ 2 ）通过点M 1 (1, 5,1) 和 M 2(3,2,2)且垂直于xoy坐标面的平面；
（3）已知四点A(5,1,3)， B(1,6,2)， C (5,0,4) D (4,0,6)。求通过直线AB 且平行于直线CD
的平面，并求通过直线AB 且与ABC 平面垂直的平面。
解：
2.化一般方程为截距式与参数式：
: x 2 y z 40 .
解：
3. 证明矢量v{ X ,Y, Z} 平行与平面Ax By Cz D 0 的充要条件为：
AX BY CZ0 .
证明：
4. 已知连接两点A(3,10, 5), B(0,12, z) 的线段平行于平面 7x 4 y z 10 ，求B点的 z
坐标 .
解：
5.求下列平面的一般方程 .
⑴通过点12,1,1 和23, 2,1 且分别平行于三坐标轴的三个平面;
x轴和y轴上截距分别为 2 和 3 的平面;
⑵过点3,2, 4 且在
⑶与平面5x y 2z 30 垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面;
⑷已知两点13, 1,2 ,24, 2, 1, 求通过 1 且垂直于 1 ,2的平面 ;
⑸原点在所求平面上的正射影为2,9, 6 ;
⑹求过点13,5,1 和24,1,2 且垂直于平面 x 8 y 3z10 的平面.
解:
6．将下列平面的一般方程化为法式方程。
1 .x
2 y 5z
3 0. 2 x y 1 0. 3 x 2 0.
4 4x 4y 7 z0.
解：
7．求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。
1 .2x 3 y 6z 35 0.
2 .x 2 y 2z 210.
解
8．已知三角形顶点 A 0, 7,0 , B 2, 1,1 ,C 2,2,2 .求平行于 VABC 所在的平面且与她
相距为 2 各单位的平面方程。
解：
9．求与原点距离为 6 个单位，且在三坐标轴ox, oy 与oz上的截距之比为 a : b : c1:3: 2
的平面。
解：
10．平面x y z
1 分别与三个坐标轴交于点A, B, C . 求VABC的面积。
a b c
解
1111
11．设从坐标原点到平面的距离为。求证
.
p2a2b2c2
证明：
§ 3.2平面与点的相关位
置
1.计算下列点和平面间的离差和距离：
（1）M ( 2,4,3)，:2x y2z30 ；
（2）M (1,2, 3)，:5x 3 y z40.
解：
2.求下列各点的坐标：
（1）在y轴上且到平面22y 2 z 2 0 的距离等于 4 个单位的点；
（2）在z轴上且到点M (1,2,0) 与到平面 3x 2 y 6 z90 距离相等的点；
（3）在 x 轴上且到平面12 x16 y 15z 10 和 2 x 2 y z 1 0 距离相等的点。
解：
3.已知四面体的四个顶点为S(0,6,4), A(3,5,3), B( 2,11, 5), C (1, 1,4) ，计算从顶点S 向底
面ABC所引的高。
解：
4.求中心在C (3, 5,2)且与平面2x y 3z 110 相切的球面方程。
解
5．求通过x轴其与点M 5,4,13 相距8个单位的平面方程。
解：
6. 求与下列各对平面距离相等的点的轨迹.
3y50 ;
⑴ 3x 6 y2z70和
4x
y 2 z60 .
⑵ 9x y 2z140和9
x
解: .
9 判别点M（ 2 -1 1）和 N （ 1 2 -3）在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，
还是在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？
（ 1） 1 : 3x y 2 z30 与 2 : x 2 y z 40
（ 2）1: 2 x y 5z10与 2 : 3x 2 y6z
1
解：
10 试求由平面 1 ：2x y 2z 3 0 与 2 ：3x2y 6z 10 所成的二面角的角平分
方程，在此二面角内有点（1，2，-3）
解：
解析几何经典例题
解析几何经典例题 圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从 的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。 图1 解析：易知故 在中， 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。 图2 解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则， 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3 解析：易知抛物线的准线l：， 作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。 评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地， 求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） 图4 ②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|， 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝ 故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。
平面解析几何经典题(含答案)
平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角的范围 0 180 （2）经过两点的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2 ，其斜率分别为k1, k2 ，则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地， 当直线 l1,l2 的斜率都不存在时，l1与l2 的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线l1,l2 斜率存在，设为k1, k2 ，则l1 l2 k1 k2 1 注：两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为 -1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中 有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时， l1与l2 互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 点斜式 不包括垂直于x 轴的直 线为直线上一定点，k 为斜率 斜截式k 为斜率， b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式 不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或
线在 y 轴上的非零截距过原点的直线 一般式 A ，B，C 为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1 ）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ，则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y . （1）22221x y a b +=；（2）22 221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++= （5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =221 (,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2）2210010 000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-.（3）0001000p A p -?? ? = ? ? -?? ； 1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35 (,)22 F x y x =+；（5）1232 171227342 A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? ；11(,)232F x y x y =- -；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342 F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线2 2 234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.（1）550 x y --=
解析几何第四版习题答案第四章
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即：02 3 5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为： ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上，所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2 而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010******* 22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过 又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： S v u Y x +=)( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。 证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则， v M =' 即 1、求顶点在原点，准线为01,0122 =+-=+-z y z x 的锥面方程。 解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为： z Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得： 0)()(222=-+--y z y z z x 即：02 22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12 22=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
解析几何第四版吕林根课后习题集规范标准答案第一章
第一章 矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆 （3）直线； （4）相距为2的两点 2. 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心， 在矢量、OB 、 、OD 、OE 、 OF 、AB 、BC 、CD 、 DE 、 和中，哪些矢量是相等的？ [解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF 中， 相等的矢量对是： 图1-1 .和和和和和 3. 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：KL ＝NM . 当ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明]：如图1-2，连结AC , 则在?BAC 中， 2 1 AC. KL 与方向相同；在?DAC 中， 2 1 AC . NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝ NM . 4. 如图1-3，设ABCD -EFGH 是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量： (1) AB 、; (2) AE 、; (3) 、; (4) AD 、GF ; (5) BE 、CH . [解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。 §1.2 矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？ C
解析几何课后答案按
第1章 矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆 （3）直线； （4）相距为2的两点 §1.3 数量乘矢量 1.要使下列各式成立，矢量,应满足什么条件？ （1-=+ （2+=+ （3-=+ （4+=-
（5 = [解]：（1）, -=+； （2）, +=+ （3 ≥且, -=+ （4）, +=- （5）, ≥ -=- 2. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, , 可 以构成一个三角形. [证明]： )(21 AC AB AL += )(21 BM += 0= 3. 设L 、 [证明] 4. [证明] 但 OB OD OC OA OB OC OA OD +=+-=-∴=-=-= 由于)(OC OA +∥,AC )(OD OB +∥,BD 而AC 不平行于BD ， ∴0=+=+OB OD OC OA ， 从而OA=OC ，OB=OD 。
5. 如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB ++＝4. [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), ＝2 1 (OB +), 所以 2＝2 1 (OA +OB ++OD ) 所以 OA +OB ++OD ＝4OM . 6. [所以所以显然所以 1. [所以从而 OP ＝λ+1. 2. 在△ABC 中，设＝1e ，AC ＝2e ，AT 是角A 的平分线（它与BC 交于T 点），试将分解为1e ,2e 的线性组合. 图1-5
解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题(重点)详解
第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21 AC AB AL += Θ )(21 BC BA BM += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL +OM +ON . [证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB +OC +OD ＝4OM . [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), OM ＝2 1 (OB +OD ), 所以 2OM ＝2 1 (OA +OB +OC +OD ) 所以 OA +OB +OC +OD ＝4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 图1-5
解析几何经典例题
解析几何经典例题 圆锥曲线的定义就是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1、如图1,P为椭圆上一动点,为其两焦点,从的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。 图1 解析:易知故 在中, 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2、如图2,为双曲线的两焦点,P为其上一动点,从 的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。 图2 解析:不妨设P点在双曲线的右支上, 延长F1M交PF2的延长线于N, 则, 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3、如图3,AB为抛物线的一条弦,|AB|＝4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3 解析:易知抛物线的准线l:, 作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。 评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地,求 抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当(即通径长)时,才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4、①已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) 图4 ②已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解析:①如图4,由垂直平分线的性质,知|QM|＝|QP|, 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝ 故Q的轨迹就是以O(0,0)、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理,利用垂直平分线的性质及双曲线的定义,可知点Q的轨迹为双曲线的一支,应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5、如图5,已知三点A(－7,0),B(7,0),C(2,－12)。①若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。
空间解析几何(练习题参考答案)
1. 过点Ｍo （１,1-，１)且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程. 3９．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ,使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等. 7.)5 1,1,57(. ５.已知：→ →-AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= ( ） Ａ.4 B ．1 C. 2 1 D ．2 ７.设平面方程为0=-y x ,则其位置( ） Ａ．平行于x 轴 B.平行于y 轴 Ｃ．平行于z 轴 Ｄ.过z 轴. 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系( ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D.重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系( ) Ａ.平行 Ｂ.垂直 C ．斜交 D.直线在平面内 1０．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ) Ａ.5 B ． 6 1 C. 51 D.8 1 5.Ｄ 7．D ８.B 9．A 10．A. 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2, 22+-=, 243+-=，则 )(prj c += . 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 1０．曲面方程为:442 2 2 =++z y x ,它是由曲线___＿____绕____＿_______＿旋转而成的.
高等代数与解析几何第七章习题7答案
习题 习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明： （1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则 A 不可对角化。 证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有 n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无 关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。 （2）假设A 可对角化，即存在对角阵???? ?? ? ? ?=n B λλλO 2 1 ，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而 E a a a a B nn 112211 =???? ?? ? ? ?=O ，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与 假设矛盾，所以A 不可对角化。 习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值 s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。证明： （1）s V V V +++Λ21是直和；
（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有 021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。现用1 2,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得 ??? ??? ?=+++=+++=+++---000 1212111221121s s s s s s s s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。 写成矩阵形式为 )0,,0,0(11 1 ),,,(11221 1 121ΛΛ M M M Λ ΛΛ=???? ?? ? ? ?---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21Λ是互不相同的，所以矩阵???? ?? ? ? ?=---11221 1111 1 s s s s s B λλλλλλΛ M M M Λ Λ的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 )0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121ΛΛΛ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21ΛΛ=s ααα。 这说明s V V V +++Λ21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 s V V V +++Λ21是直和。 （2）)(?因i V ，s i ,,2,1Λ=都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21。 又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕Λ21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈Λ21α，即得 s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21成立，故有s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 )(?因s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21， 所以分别取i V ),,2,1(s i Λ=的基：i id i i ααα,,,21Λ，
解析几何吕林根课后习题解答一到五.docx
第一章矢量与坐标 § 1.1矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解： 2.设点 O 是正六边形 ABCDEF的中心， 在矢量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、 OF 、 AB 、 BC 、 CD、DE 、 EF O 和 FA 中，哪些矢量是相等的？ [解 ]： 图 1-1 3.设在平面上给了一个四边形ABCD，点 K、L、 M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：KL ＝ NM .当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明 ]： . 4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体， 在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反 矢量的矢量： (1) AB、; (2) AE、; (3) AC 、 CD CG EG ; (4)AD 、 GF ;(5)BE 、 CH . 解： 图1—3
§ 1.2矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量a,b 应满足什么条件？ （1）a b a b;（2）a b a b ; （3）a b a b ;（4）a b a b ; （5）a b a b . 解： § 1.3数量乘矢量 1试解下列各题． ⑴化简 (x y) (a b) (x y) (a b) ． ⑵已知 a e1 2 e2e3， b 3e12e2 2 e3，求a b ， a b 和 3 a 2 b ． ⑶ 从矢量方程组解：3 x 4 y a ，解出矢量 x ，y．2 x 3 y b 2 已知四边形ABCD 中， AB a 2 c ，CD 5 a 6 b 8 c ，对角线AC 、 BD 的中 点分别为 E 、 F ，求EF． 解： 3 设AB a 5 b ， BC 2 a 8 b ，CD3( a b) ，证明： A 、 B 、 D 三点共线．解：
高中数学解析几何大题专项练习
解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [
3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、
解析几何第四版吕林根课后习题答案
解析几何第四版吕林根 课后习题答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：
空间解析几何(练习题(答案))
1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ →-AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．33 2212--=+=-x y x ； 10．曲线1422=+z y 绕z 轴
解析几何大题带规范标准答案
三、解答题 26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点， 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过 坐标 原点，所以 .22122 =-- = k （2）直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线
. 32 21 1| 323432|,21=+--=d 因此 （3）解法一： 将直线PA 的方程kx y = 代入 221,42x y x μ+==解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为 ,20k k =++μμμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2 (32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1 ) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二： 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y
解析几何第四版吕林根课后习题答案第二章
第二章 轨迹与方程 §2.1平面曲线的方程 1.一动点M 到A )0,3(的距离恒等于它到点)0,6(-B 的距离一半，求此动点M 的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？ 解：动点M 在轨迹上的充要条件是MB MA 2 1 =。设M 的坐标),(y x 有 2222)6(2 1 )3(y x y x ++= +- 化简得36)6(22=+-y x 故此动点M 的轨迹方程为36)6(2 2 =+-y x 此轨迹为椭圆 2.有一长度为a 2a (＞0）的线段，它的两端点分别在x 轴正半轴与y 轴的正半轴上移动， 是求此线段中点的轨迹。A ，B 为两端点，M 为此线段的中点。 解：如图所示 设(,),A x o (,)B o y .则(,)22 x y M .在Rt AOB 中有 222()(2)x y a +=.把M 点的坐标代入此式得: 222()x y a +=(0,0)x y ≥≥.∴此线段中点的轨 迹为2 2 2 ()x y a +=. 3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值2 m ,求此动点的轨迹. 解:设两定点的距离为2a ,并取两定点的连线为x 轴, 两定点所连线段的中垂线为y 轴.现有: 2AM BM m ?=.设(,)M x y 在Rt BNM 中 2 2 2 ()a x y AM ++=. (1) 在Rt BNM 中 2 22()a x y BM -+=. (2) 由(1)(2)两式得: 22222244()2()x y a x y m a +--=-. 4.设,,P Q R 是等轴双曲线上任意三点,求证PQR 的重心H 必在同一等轴双曲线上. 证明:设等轴双曲线的参数方程为x ct c y t =?? ?=?? 11(,)P x y ,22(,)Q x y ,33(,)R x y .重心H
数学 解析几何 经典例题 附带答案
数学解析几何经典例题~ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线x 22－y 21 ＝1的焦点坐标是( ) A ．(1,0)，(－1,0) B ．(0,1)，(0，－1) C ．(3，0)，(－3，0) D ．(0，3)，(0，－3) 解析： c 2＝a 2＋b 2＝2＋1，∴c ＝ 3. ∴焦点为(3，0)，(－3，0)，选C. 答案： C 2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线 x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析： 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立； 当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1. 所以“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充要条件． 答案： C 3．(2010·福建卷)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＋2x ＝0 B ．x 2＋y 2＋x ＝0 C ．x 2＋y 2－x ＝0 D ．x 2＋y 2－2x ＝0 解析： 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r ＝12＋02＝1，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，故选D. 答案： D 4．方程mx 2＋y 2＝1所表示的所有可能的曲线是( ) A ．椭圆、双曲线、圆 B ．椭圆、双曲线、抛物线 C ．两条直线、椭圆、圆、双曲线 D ．两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线 解析： 当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示圆；当m <0时，方程为y 2－(－m )x 2＝1，表示双曲线；当m >0且m ≠1时，方程表示椭圆；当m ＝0时，方程表示两条直线． 答案： C 5．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2 所得的直线方程是( ) A ．－x ＋2y －4＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．－x ＋2y ＋4＝0 D ．x ＋2y ＋4＝0 解析： 由题意知所求直线与直线2x －y －2＝0垂直． 又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)． 故所求直线方程为y ＋2＝－12 (x －0)， 即x ＋2y ＋4＝0. 答案： D 6．直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为 ( ) A.32 B.34 C ．2 5 D.355
解析几何(经典题型)
高中数学解析几何公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 2、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 3、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：? ??=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 4、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 5、 （1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→ →，，夹角b a ； （3）直线l 与平面]2 0[π ∈ββα，，的夹角； （4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2 0[π，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，， 6、 直线的倾斜角α与斜率k 的关系
解析几何第四版吕林根课后习题答案
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：
042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B --， 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;
解析几何第四版吕林根课后习题答案
第三章 平 面 与 空 间 直 线 § 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点)1,5,1(1-M CD 的（3）（ⅰ）设平面通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=AB ，}2,0,1{-=CD 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。
（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=? 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 0=. 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B -- ， 从而平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面?
? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： }5,2,3{z AB +-= ⑹求过点()1,5,31-M 和()2,1,42M 且垂直于平面0138=-+-z y x 的平面. 解:平行于x 轴的平面方程为 00 1 011112 =--+-z y x .即01=-z . 同理可知平行于y 轴,z 轴的平面的方程分别为01,01=-+=-y x z .
⑵设该平面的截距式方程为 132=+-+-c z y x ,把点()4,2,3-M 代入得19 24-=c 故一般方程为02419812=+++z y x . ⑶若所求平面经过x 轴，则()0,0,0为平面内一个点, {}2,1,5-和{}0,0,1为所求平面的方位矢量, ∴ .11 6 cos ,119cos ,112cos -=== ?γβ 则该平面的法式方程为: .01111 6 119112=--+z y x 既 .0121692=--+z y x