西北工业大学数值分析(附答案)

西北工业大学数值分析习题集

第一章 绪 论

1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.

2. 设x 的相对误差为2％,求n

x 的相对误差.

3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指

出它们是几位有效数字:

*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====?

4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:

********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****

1234

,,,x x x x 均为第3题所给的数.

5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?

6. 设

028,Y =按递推公式

1n n Y Y -= ( n=1,2,…)

计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?

7. 求方程2

5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).

8. 当N 充分大时,怎样求

211N

dx x +∞

+?

?

9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2

? 10. 设

212S gt =

假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对

误差增加,而相对误差却减小.

11. 序列

{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到

10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?

12. 计算6

1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?

3

--

13.

()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式

ln(ln(x x =-

计算,求对数时误差有多大?

14. 试用消元法解方程组

{

101012121010;2.

x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

15. 已知三角形面积1sin ,

2s ab c =

其中c 为弧度,02c π

<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为

,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足

.s a b c

s a b c ????≤++

第二章 插值法

1. 根据(

2.2)定义的德蒙行列式,令

2000

01121112

1

()(,,

,,)1

1

n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x

x x ----==

证明

()n V x 是n 次多项式,它的根是01,

,n x x -,且 101101()(,,

,)()

()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.

2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.

3.

4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数

字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.

5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.

6. 设

j

x 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:

i) 0()(0,1,

,);

n

k k

j j

j x l x x k n =≡=∑

ii)

()()1,2,,).

n

k j

j j x

x l x k n =-≡0(=∑

7. 设[]

2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21

()()().

8max max a x b

a x

b f x b a f x ≤≤≤≤≤-"

8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x e 的近似值,要使截

断误差不超过6

10-,问使用函数表的步长h 应取多少?

9. 若2n n y =,求4n y ?及

4

n y δ. 10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ?=+-,证明()f x 的k 阶差分

()(0)k f x k m ?≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +?=为正整数).

11. 证明

1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?.

12. 证明1

1

0010

.

n n k

k

n n k k k k f g

f g f g g f --+==?=--?∑∑

13. 证明

1

2

00

.

n j n j y y y -=?

=?-?∑

14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明

{

10,02;

, 1.

1

()

n k n

j

k n a k n j j

x f x -≤≤-=-==

'∑

15. 证明n 阶均差有下列性质: i) 若()()F x cf x =,则

[][]

0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;

ii) 若()()()F x f x g x =+,则

[][][]

010101,,

,,,

,,,

,n n n F x x x f x x x g x x x =+.

16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ???

?

及01

82,2,,2f ???

?

.

17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是

(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次

埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件

(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.

20. 设

[]

(),f x C a b ∈,把

[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ?并证明当n →∞时,()n

x ?在[],a b 上一致收敛到()f x .

21. 设

2

()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.

22. 求2

()f x x =在

[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差. 23. 求4()f x x =在[]

,a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.

试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii) (0.25)(0.53)0.S S "="=

25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明

i)

[][][][]222

()()()()2()()()b

b

b

b

a a a a f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx

"-"="-"+""-"????;

ii) 若

()()(0,1,

,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则

[][][]

()()()()()()()()()b

a

S x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'?

.

26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)

式的表达式).

第三章 函数逼近与计算

1. (a)利用区间变换推出区间为

[],a b 的伯恩斯坦多项式.

(b)对()sin f x x =在

[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的

马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:

(a)当()m f x M ≤≤时,

(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.

3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在

[]0,2π的最佳一致逼近多项式.

4. 假设()f x 在

[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.

5. 选取常数a ,使301

max x x ax

≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?

6. 求()sin f x x =在

[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.

7. 求()x

f x e =在

[]0,1上的最佳一次逼近多项式. 8. 如何选取r

,使

2()p x x r =+在

[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?

9. 设4

3

()31f x x x =+-,在

[]0,1上求三次最佳逼近多项式.

10. 令

[]

()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求

***0123(),(),(),()T x T x T x T x .

11. 试证

{}*

()n

T x 是在[]0,1上带权

ρ=

的正交多项式.

12. 在[]1,1-上利用插值极小化求1

1

()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设()x

f x e =在

[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,

证明对任何1n ≥,存在常数

n α、n β,使

11()()()()(11).

n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤

14. 设在[]1,1-上

2345

11315165()128243843840x x x x x x ?=-----,试将()x ?降低到3次多项式并估计误差.

15. 在

[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005. 16. ()f x 是

[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项

式

*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数. 17. 求a 、

b 使[]2

2

sin ax b x dx π

+-?为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较. 18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义

()(,)()();()(,)()()()();

b b

a

a

a f g f x g x dx

b f g f x g x dx f a g a =''=''+??

问它们是否构成积?

19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6

1

01x dx x +?的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,

并比较其结果.

20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1

1

2221

1

(),x ax dx x ax dx

----?

?.

21. 设空间

{}{}

10010121,,,span x span x x 1?=?=,分别在

1?、2?上求出一个元素,使得其

为

[]

20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.

22. ()f x x

=在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ?=上的最佳平方逼近.

23.

sin (1)arccos ()n

n x u x +=

是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系

()()()

112n n n u x xu x u x +-=-.

24. 将

1

()sin 2f x x

=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.

25. 把()arccos f x x =在

[]1,1-上展成切比雪夫级数.

2

y a bx =+.

用最小二乘拟合求.

29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一记录

{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进

FFT 算法求出序列

{}k x 的离散频谱

{}k C (0,1,

,7).k =

第四章 数值积分与数值微分

1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所

具有的代数精度:

(1)101()()(0)()

h

h

f x dx A f h A f A f h --≈-++?

; (2)21012()()(0)()

h

h f x dx A f h A f A f h --≈-++?;

(3)

[]1

121()(1)2()3()/3

f x dx f f x f x -≈-++?

;

(4)[][]

20

()(0)()/1(0)()h

f x dx h f f h ah f f h ≈++'-'?

.

2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:

(1)1

20,84x

dx n x =+?; (2)12

10(1),10x e dx n x --=?;

(3)1,4

n =?

; (4),6

n =.

3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.

4. 用辛普森公式求积分1

0x e dx

-?

并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:

(1)2()

()()()()2b

a f f x dx

b a f a b a 'η=-+

-?; (2)2

()

()()()()2b

a f f x dx

b a f b b a 'η=---?;

(3)

3

()

()()()()224b

a

a b f f x dx b a f b a +"η=-+-?

. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()b

a

f x dx

?

.

7. 用复化梯形公式求积分()b

a

f x dx

?

,问要将积分区间

[],a b 分成多少等分,才能保证误差

不超过ε(设不计舍入误差)?

8.

1

x e dx

-,要求误差不超过5

10-.

9. 卫星轨道是一个椭圆,

椭圆周长的计算公式是S a =θ

,这里a 是椭

圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.

10. 证明等式

3

5

2

4

sin

3!5!n n

n n π

πππ=-

+

-

试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推

算法求π的近似值.

11. 用下列方法计算积分

3

1

dy

y ?

并比较结果.

(1) 龙贝格方法;

(2) 三点及五点高斯公式;

(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.

12. 用三点公式和五点公式分别求

21

()(1)f x x =

+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计

()f x 第五章 常微分方程数值解法

1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解

bx ax y +=

2

21相比较。

2. 用改进的尤拉方法解初值问题

??

?=<<+=',1)0(;

10,y x y x y

取步长h=0.1计算，并与准确解x

e x y 21+--=相比较。

3. 用改进的尤拉方法解

??

?=-+=',0)0(;2y y x x y

取步长h=0.1计算)5.0(y ，并与准确解12

+-+-=-x x e y x 相比较。

4. 用梯形方法解初值问题

??

?==+',1)0(;0y y y

证明其近似解为

,

22n

n h h y ??? ??+-=

并证明当0→h 时，它原初值问题的准确解x

e y -=。

5. 利用尤拉方法计算积分

dt

e x

t ?

2

在点2,5.1,1,5.0=x 的近似值。

6. 取h=0.2，用四阶经典的龙格－库塔方法求解下列初值问题：