攀枝花学院高等数学(下册)试卷A卷2014 ～2015学年
2014 ～2015学年度第 二 学期
《高等数学(理工)A2》试卷（ A 卷）
适用年级专业：2014级材料科学与工程、材料成型与控制工程、机械设计制造及其自动化、工业工程、工业设计、电气工程与自动化、电子信息工程、自动化、测控技术与仪器、化学工程与工艺、环境工程、生物工程、土木工程、矿物加工工程、采矿工程 考 试 形 式：（ ）开卷、（ V ）闭卷 二级学院： 行政班级： 学 号： 教 学 班： 任课教师： 姓 名： 注：学生在答题前，请将以上内容完整、准确填写，填写不清者，成绩不计。
一、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在下面的表格内）
1已知函数2(,)sin(31)54y y xy
f x y x e x e =+-++，则(0,1)f =（ ）.
（A ）sin(1)e - （B ）0 （C ）sin 3 （D ）sin(1)e - 2、对于函数22(,)231f x y x y =-+，点(0,0)（ ）. （A ）不是驻点 （B ）是极小值点
（C ）是极大值点 （D ）是驻点而非极值点 3、若级数1n n a ∞
=∑,∑∞
=1
n n b 都收敛，则（ ）
(A)级数 1
()n n n a b ∞=±∑发散 (B)级数 1
n n n a b ∞
=±∑发散
(C)级数1
()n n n a b ∞=±∑ 收敛 (D)级数1
n n n a b ∞
=±∑ 收敛
4、若直线1123:
322x y z l -+-==-与直线235
:96x y z l k
+-==-平行，则k =（ ） . （A ）6 （B ）2 （C ）-2 （D ）-6
5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶
……………………………………………线………………………………………订………………………………………装………………
连续偏导数，则L
Pdx Qdy +=??（ ）.
（A ）????-??D
dxdy x Q y P )(
（B ）????-??D dxdy y P x Q )(（C ）????-??D dxdy y Q x P )(（D ）????-??D
dxdy x P
y Q )(
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将答案填在题中的横线上）
1、函数22(,)ln(4)1f x y y x y =---的定义域是 .
2、设()f x 是周期2T π=的函数，它在(,)ππ-上定义为3,0
()12,0x f x x x ππ
-≤≤?=?+<≤?，则
)(x f 的Fourier 级数在x π=-处收敛于 ． 3、函数2
35u x yz =--在点(1,1,1)M 处沿方向(1,2,2)l →
=-的方向导数
l
u
??= . 4、设22{(,)25}D x y x y =≤+≤，则二重积分2D
d σ=?? .
5、将函数2()x f x e =展开成x 的幂级数 .
三、(本题满分7分）
已知曲面∑:222
239x y z ++=,求过(2,1,1)M -的切平面和法线方程.
四、求下列偏导数或微分(本题共2小题，每小题6分，满分12分)
1、已知2
2
ln ,2,z u v u x y v xy ==-=，求
,z z x y
????. 2、由方程35z
xz e y =-+确定隐函数(,)z z x y =,求dz . 五、计算下列重积分
(本题共2小题，每小题7分，满分14分） 1、计算
D
xydxdy ??，其中D 由直线2
,1y x x ==和0y =围成的闭区域.
2、计算()
22
d d d x y x y z Ω
+???，其中Ω是由曲面z =
及平面2z =所围成的闭区域.
六、计算下列曲线或曲面积分
(本题共2小题，每小题6分，满分12分） 1、计算曲线积分
2L
ydx xdy -?
，L 为沿2y x =从点(0,0)到(2,4)点.
2、设∑是曲面22
z x y =+被平面1z =所截下部分的下侧，求曲面积分
zdxdy ∑
??
七、判断题(本题共2小题，每小题6分，满分12分）
1、判断正项级数2
15
n n n ∞
=∑是否收敛？
2、判断级数1
2
1
1
(1)n n n n ∞
-=+-∑是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 八、(本题满分6分）求幂级数2
(2)n
n x n ∞
=-∑的收敛域.
九、(本题满分7分）要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为每平方米180元，侧面造价为每平方米60元，设计总造价为2160元，问如何选取它的尺寸，才使水槽容积最大？
2014～2015学年度第二学期
《高等数学（理工）A2》试卷（A 卷）
评阅标准及考核说明
适用年级专业：2014级理工类
考试形式：（ ）开卷、（√）闭卷
一、[三基类][教师答题时间：6分钟]选择题
二、[三基类][教师答题时间：6分钟]填空题
三、[一般综合型] [教师答题时间：4分钟]已知曲面222
239x y z ++=，求过(2,1,1)M -的切
平面和法线方程。
【解】令()222,,239F x y z x y z =++-
2,4,6x y z F x F y F z '''=== 所以(2,1,1)
(,,)
(4,4,6)x y z F F F -'''=-。取(2,2,3)n =-r
(3分)
过(2,1,1)M -的切平面：
2(2)2(1)3(1)022390x y z x y z --++-=?-+-= (2分)
过(1,1,1)M -的法线方程：
211
223
x y z -+-==
- (2分) 四、[三基类][教师答题时间：5分钟]求下列偏导数或微分
1、已知22
ln ,2,,z u v u x y v xy ==-=求
,z z x y
????. 【解】z z u z v
x u x v x
?????=+?????222ln (4)4ln u x y v x y x xy v x -=?-=+ (3分)
ln (2)z z u z v u v y x y u y v y v ?????=+=?-+?????=22
22ln x y y xy y
--+ (3分)
2、由方程35z
xz e y =-+确定隐函数(,)z z x y =.求dz .
【解】(),,35z F x y z xz e y =-+-
,3x y F z F ''==, 'z z F x e =- (2分)
''''3,y x z z
z z F F z z z x F e x y F e x
??=-==-=?-?- (2分) 3
z z z z z dz dx dy dx dy x y e x e x
??=
+=+??-- (2分) 五、[三基类][教师答题时间：5分钟]计算下列重积分
1、计算D
xydxdy ??，其中D 由直线2,1y x x ==和0y =围成的闭区域.
【解】积分区域 D 为 2
01
0x y x ≤≤??
≤≤?
(2分) 2
1
x D
xydxdy dx xydx =????
(3分)
15011
212
x dx =
=
? (2分) 2、计算()22d d d x y x y z Ω
+???，其中Ω
是由曲面z =2z =所围成的闭区域.
【解】使用柱面坐标计算，且积分区域表示成
不等式如下Ω：02022r r z θπ≤≤??
≤≤??≤≤?
(3分)
222
2223
()r
x y dxdydz r r drd dz d r dr dz πθθΩ
Ω
+=??=????????? (2分) 2
52
3
400
1162(2)2255r r r dr r π
ππ??=-=-=
????? (2分) 六、[一般综合型] [教师答题时间：5分钟]计算下列曲线或曲面积分 1、计算曲线积分
2L
ydx xdy -?
，L 为沿2y x =从点(0,0)到(2,4)点.
【解】 L :2,:02y x x =→ (2分)
()22
22002223L ydx xdy x x x dx x dx ??-=-?=-????? (2分) 2
3
08x ??=-=-?? (2分)
2、设∑是曲面22
z x y =+被平面1z =所截下部分的下侧，求曲面积分zdxdy ∑
??．
【解】把∑：2
2
z x y =+在投影在xoy 平面，
区域2202:101
D x y r θπ
≤≤?+≤??≤≤?， (2分)
则曲面积分
22
()D
zdxdy x y dxdy ∑
=-+????． (2分) 21
2
2
dx r rdr ππ
=-?=-
?? (2分)
七、[一般综合型] [教师答题时间：5分钟]判断题
1、判断正项级数2
15
n n n ∞
=∑是否收敛？
【解】因为2
5
n n n V =
又22211(1)11/(1)555n n n n V n n V n
+++==+（2分） 1lim
n n n
V V +→∞=1
15=< （2分）
所以正项级数2
15
n n n ∞
=∑收敛． （2分）
2、判断数项级数1
21
1
(1)n n n n
∞
-=+-∑是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 【解】令21n n u n +=,因为 211n n n +> 而 11
n n
∞
=∑ 发散
故 1
2
1
(1)1
n n n
n ∞
-=-+∑发散 （2分）
2
1
lim lim
0n n n n u n →∞→∞+== （1分）
因为 2312
()(1),()x x f x x f x x x +--'=≥=
当1x ≥时, f '()x <0, ∴()f x 是减函数 所以1()(1)n n u f n f n u +=>+= 故 交错级数1
211
(1)n n n n
∞
-=+-∑收敛 （2分） 即 原级数条件收敛 （1分）
八、[综合型] [教师答题时间：4分钟]求幂级数2
(2)n
n x n ∞
=-∑的收敛域. 【解】设2y x =- 因为21
n a n =
， 12211lim lim /1(1)n n n n a a n n
ρ+→∞→∞===+， (2分) 故幂级数20n
n y n
∞
=∑的收敛半径1R =. (1分)
当1y =±时，幂级数成为交错级数20(1)n
n n
∞
=±∑收敛； (2分)
所以幂级数2
(2)n
n x n ∞
=-∑的收敛域为[1,3]． (1分) 九、[综合型] [教师答题时间：5分钟]
要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为每平方米180元，侧面造价为每平方米60元，设计总造价为2160元，问如何选取它的尺寸，才使水槽容积最大？ 【解】设,,x y z 分别是水槽的长，宽，高，则容积为V xyz =由题设知
18060(22)216032()36xy xz yz xy z x y ++=?++= (2分)
求在此条件下的最大值
构造辅助函数(,,)[32()36]F x y z xyz xy z x y λ=+++- (2分)
()()320
232022()03
32()36x y z F yz y z x F xz x z y F xy x y z xy z x y λλλ?=++==??
=++=???=??=++=??=??++=?
选取它的长2,宽2，高3，才使水槽容积