函数的奇偶性练习题附答案

函数的奇偶性

1 .函数f (x) =x(-1 < x三1)的奇偶性是( )

A .奇函数非偶函数

B .偶函数非奇函数

C .奇函数且偶函数

D .非奇非偶函数

2. 已知函数f(x) =ax2+ bx + c (a工0)是偶函数，那么g(x) =ax3+ bx2+ ex 是()

A.奇函数

B.偶函数

C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数

3. 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0］上是减函数，

且f(2)=0，贝U使得f(x)<0的x的取值范围是()

A.(- 乂2)

B. (2,+ ￡

C. (- M-2) e(2,+ ￡

D. (-2,2)

4 .已知函数f(x)是定义在(一％，+ %)上的偶函数.

当x € ( —X ,0)时，f(x)=x-x4，则当x € (0.+ g)时，f(x)= __________ .

5. 判断下列函数的奇偶性：

⑴f(x)二lg( x21-x);

(2) f(x)=x 2+ 2 x

x(1 x) (x 0),

⑶ f (x) = x(1 x) (x 0).

6. 已知g(x)= —x2—3, f(x)是二次函数，当x € ［-1,2］时，f(x)的最小值是1，且f(x)+g(x) 是奇函数，求f(x)的表达式。

7. 定义在(-1 , 1 )上的奇函数f (x)是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求a的取值范围

ax2 1

8. 已知函数f(x) (a,b,c N)是奇函数，f(1) 2, f(2) 3,且f (x)在［1,)上是

bx c

增函数，

(1)求a,b,c的值;

⑵当x €［-1,0)时,讨论函数的单调性.

9. 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)= log 2 3且对任意x ,y € R都有f(x+y )=f(x)+f(y).

(1) 求证f(x)为奇函数；

(2) 若f(k ? 3x )+f(3 x -9 x -2) v 0对任意x € R恒成立，求实数k的取值范围.

10下列四个命题：

(1) f (x) =1是偶函数；

(2)g (x) =x3, x € (— 1 , 1 ］是奇函数；

(3)若f (x)是奇函数，g (x)是偶函数，贝U H (x) =f (x) ? g (x)一定是奇

函数；

(4)函数y=f (| x| )的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是( )

A. 1 B . 2 C . 3 D . 4

11下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是()

A. f(x) sinx

B. f(x) x 1

C. f(x) 1a x a x

D. f (x) In 2 2 x

12若y=f (x) (x € R)是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y=f (x)上的是( )

C - ( —iga，— f(ig 丄))

D - ( —a，—f(a))

13. 已知f (x) =x4+ax3+bx —8，且f ( —2) =10，则f (2) = _____________ 。

A. (a，f(一a)) B . ( —sin a，—f (—sin a))

a 2x a 2

14. 已知f(x) a一仝一是R上的奇函数，贝U a =

2x1 ----------------------------------------------------

15. 若f(x)为奇函数，且在(-g ,0)上是减函数又f(-2)=0，则xf(x)<0的解集为_____________

16. 已知y=f(x)是偶函数，且在[0,)上是减函数，则f(1 —x2)是增函数的区间是 _ 17?已知f

(x) x(J [)

2x1 2

(1)判断f (x)的奇偶性；

(2)证明f (x) >0

答案

1. I提示或答案】D

【基础知识聚焦】掌握函数奇偶性的定义。

2. I提示或答案】A

【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念

3. I提示或答案】D

【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念及数形结合的思想

【变式与拓展】

1: f(x)是定义在R上的偶函数，它在［0,)上递减，那么一定有()

3 3

A- f( 4)f(a2 a 1) B. f( 4) f(a2 a 1)

3 2 3 2

C - f( 4) f(a2 a 1)

D . f( -) f(a2 a 1)

【变式与拓展】

2 :奇函数f(x)在区间［3,7］上递增，且最小值为5，那么在区间［-7 , - 3］上是() A

?增函数且最小值为—5

B?增函数且最大值为—5

C ?减函数且最小值为—5

D ?减函数且最大值为—5

4. 【提示或答案】f(x)=-x-x4

【变式与拓展】已知f (x)是定义在R上的奇函数，x>0时，f (x) =x2—2x+3，则f (x) = ____________________ 。

【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式

5 ?【提示或答案】

解(1)此函数的定义域为R.

f(-x)+f(x)= lg(、.x2 1+x)+lg( ,x2 1-x) = lg1 = 0

f(-x) = -f(x)，即f(x)是奇函数。

(2)此函数定义域为｛2｝，故f(x)是非奇非偶函数。

(3函数f (x)定义域(一％, 0)U( 0，+ %)，当x>0 时，一x V0，

? ?? f ( — x ) = ( — x ) [ 1 —(— x ) ] = — x (1 + x ) = — f (x ) (x > 0 ) 当 x V 0 时，一x > 0 , ? f ( — x ) = — x (1 — x ) = — f (x ) ( x V 0 ) 故函数f (x )为奇函数.

【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念并会判断函数的奇偶性

ax 2 bx

【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式，渗透数形结合 7. 【提示或答案】

-1<1-a<1 -1<1-a 2<1

f(1-a)<- f(1-a 2)=f(a 2-1),1-a> a 2-1 得 0

2迈 f(x)

x 2 2、2X 3 (2 )当

2即b

2 4时,f(2)=1无解;

(3 )当 b

1即b 2时，

f( 1) 1 b 3, f(x)

x 2 3x 3

综上得： f(x) x 2 2、、2x 3或 f (x)

2即-4

(1) b 2

小

x 3x

当

f(x) g(x)

(a 1)x 2

bx c 3是奇函数

a 1

c 3,

f(x)

bx 3

(b 2 (x 2)

1b2

4b 21 b 2迂

2时，最小值为:

【基础知识聚焦】结合具体函数，考查函数性质 9【提示或答案】

分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x 都有f(-x)=-f(x)成立.在式子f(x+y )=f(x)+f(y) 中，令y= — x 可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值?令x=y= 0可得 f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0 , f(x)是奇函数得到证明.

(1)证明：

f(x+y )=f(x)+f(y)(x , y € R), ①

令 x=y =0，代入①式，得 f(0+0)= f(0)+ f(0)，即 f(0)=0 . 令 y= - x ，代入①式，得 f(x-x )=f(x)+f(-x)，又 f(0)=0，则有 0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)对任意x € R 成立，所以f(x)是奇函数.

⑵解：f( 3)=log 2 3 > 0,即f(3) > f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数.

f(k ? 3x )<-f(3x -9 x -2) =f(-3 x +9 x +2)， k ? 3x < -3 x +9 x +2，

32x -(1+k) -3x +2 >0 对任意 x € R 都成立?令 t=3x >0，问题等价于 t 2-(1+k)t+2 > 0对任意t > 0恒成立.

令 f(t)=t 2 - (1 + k)t+2,其对称轴 x

解(1) f(x)

日

六疋奇

函数，则

ax 2 1

ax 1 ax 2 1

bx c bx c bx c

由 f (2)

a 2 0 1

a 1 又 a N, a 0,1

. 当 a 0时,b

1 N,舍去.

8 ?【提示或答案】

a 1

当 a=1 时,b=1, f(x)

c 0 由 f(1) 2得 a 1 2b ,