高考数学文试题分类汇编导数及其应用

高考数学文试题分类汇编导数及其应用

Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

2016年高考数学文试题分类汇编

导数及其应用

一、选择题

1、（2016年山东高考）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （A ）sin y x =

（B ）ln y x =

（C ）e x y =

（D ）3y x =

2、（2016年四川高考）已知a 函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2

3、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=

图象上

点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B 则则△PAB 的面积的取值范围是

(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)

4、（2016年全国I 卷高考）若函数1

()sin 2sin 3

f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则

a 的取值范围是

（A ）[]1,1-（B ）11,3??-????（C ）11,33??-????

（D ）11,3?

?--??

?? 二、填空题

1、（2016年天津高考）已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________.

2、（2016年全国III 卷高考）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则

曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________. 三、解答题

1、（2016年北京高考）设函数()32.f x x ax bx c =+++ （I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；

（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.

2、（2016年江苏省高考）

已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.

（1） 设a =2,b =

12

. ① 求方程()f x =2的根;

②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值； （2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.

3、（2016年山东高考）设f(x)=x ln x–ax2+(2a–1)x，a∈R. (Ⅰ)令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；

(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.

4、（2016年四川高考）设函数f(x)=a x2－a－lnx，g(x)=1

x

－

e

e x

，其中a∈R，e=…为

自然对数的底数。

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。

5、（2016年天津高考）设函数b ax x x f --=3)(，R x ∈，其中R b a ∈,

（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：

0201=+x x ；

（Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于

．．．

41.

6、（2016年全国I卷高考）已知函数f(x)=(x?2)e x+a(x?1)2.

(I)讨论f(x)的单调性；

(II)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

7、（2016年全国II 卷高考） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.

（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.

8、（2016年全国III 卷高考）设函数()ln 1f x x x =-+．

（I ）讨论()f x 的单调性； （II ）证明当(1,)x ∈+∞时，1

1ln x x x

-<

<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->.

9、（2016年浙江高考） 设函数()f x =31

1x x

+

+，[0,1]x ∈.证明： （I ）()f x 21x x ≥-+； （II ）

34<()f x 32≤.

2016年高考数学文试题分类汇编

导数及其应用

一、选择题

1、（2016年山东高考）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （A ）sin y x =

（B ）ln y x =

（C ）e x y =

（D ）3y x =

【答案】A

2、（2016年四川高考）已知a 函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D

3、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=

图象上

点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B 则则△PAB 的面积的取值范围是

(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A

4、（2016年全国I 卷高考）若函数1

()sin 2sin 3

f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则

a 的取值范围是

（A ）[]1,1-（B ）11,3??-????（C ）11,33??-????

（D ）11,3?

?--??

?? 【答案】C

二、填空题

1、（2016年天津高考）已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________. 【答案】3

2、（2016年全国III 卷高考）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则

曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________. 【答案】2y x =

三、解答题

1、（2016年北京高考）设函数()32.f x x ax bx c =+++ （I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；

（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 解：（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b '=++． 因为()0f c =，()0f b '=，

所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+． （II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++， 所以()2384f x x x '=++．

令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或2

3

x =-．

()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：

所以，当0c >且32027c -

<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ?

?∈-- ??

?，

32,03x ??

∈- ???

，使得()()()1230f x f x f x ===．

由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ??

∈ ???

时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同

零点．

（III ）当24120a b ?=-<时，()2320f x x ax b '=++>，(),x ∈-∞+∞， 此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点． 当24120a b ?=-=时，()232f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ． 当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x -∞上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．

综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ?=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．

当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()2

32442f x x x x x x =++=+只有两个不同 零点，所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件． 2、（2016年江苏省高考）

已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.

（2） 设a =2,b =

12

. ① 求方程()f x =2的根;

②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；

（2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值. 解：（1）因为1

2,2

a b ==

，所以()22x x f x -=+. ①方程()2f x =，即222x x -+=，亦即2(2)2210x x -?+=， 所以2(21)0x -=，于是21x =，解得0x =.

②由条件知2222(2)22(22)2(())2x x x x f x f x --=+=+-=-. 因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，

所以2(())4

()

f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.

而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且

2((0))44(0)f f +=， 所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.

（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而00(0)(0)220g f a b =-=+-=， 所以0是函数()g x 的唯一零点.

因为'()ln ln x x g x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>， 所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b a

a

x b

=-

. 令'()()h x g x =，则''22()(ln ln )(ln )(ln )x x x x h x a a b b a a b b =+=+，

从而对任意x R ∈，'()0h x >，所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数， 于是当0(,)x x ∈-∞，''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <，则0002x x <

<，于是0()(0)02

x

g g <=，

又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g a b a =+->-=，且函数()g x 在以0

2

x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在0

2

x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又

02

x <，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >，同理可得，在02

x

和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾.

因此，00x =. 于是ln 1ln a

b

-

=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =. 3、（2016年山东高考）设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；

(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 解析：(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞， 则()112'2ax

g x a x x

-=

-=

， 当0a ≤时，

()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增； 当0a >时，

10,2x a ??

∈ ???时，()'0g x >，函数()g x 单调递增，

1,2x a ??

∈+∞ ???

时，()'0g x <，函数()g x 单调递减.

所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞；

当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ?? ???，单调递减区间为1,2a ??

+∞ ???

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()'10f =.

①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减.

当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增. 所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意. ②当102a <<

时，112a >，由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ?? ???

内单调递增， 可得当当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ??

∈ ???时，()'0f x >，

所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a ??

???

内单调递增，

所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意. ③当12a =

时，即112a

=时，()'f x 在(0,1)内单调递增，在 ()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ≤， ()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >

时，即1012a << ，当1,12x a ??∈ ???

时，()'0f x >，()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减， 所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为1

2

a >

. 4、（2016年四川高考）设函数f(x)=a x 2－a －lnx ，g(x)=1x －e

e x ，其中a ∈R，e=…为

自然对数的底数。

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）证明：当x ＞1时，g(x)＞0；

（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。

（I ）2121

'()20).ax f x ax x x x

-=-=

>( 0a ≤当时， '()f x <0，()f x 在0+∞（，）内单调递减. 0a >当时，由'()f x =0，有

x =

当x ∈

（时，'()f x <0，()f x 单调递减； 当x ∈+)

∞时，'()f x >0，()f x 单调递增. （II ）令()s x =1e x x --，则'()s x =1e 1x --.

当1x >时，'()s x >0，所以1e x x ->，从而()g x =111

e x x -->0.

（iii ）由（II ），当1x >时，()g x >0. 当0a ≤，1x >时，()f x =2(1)ln 0a x x --<.

故当()f x >()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >. 当10

2a <<

由（I ）有(1)0

f f <=,从而0

g >， 所以此时()f x >()g x 在区间1+)∞（，内不恒成立. 当1

2

a ≥

时，令()h x =()f x -()g x (1x ≥). 当1x >时，'()h x =122111112e x

ax x x x x x x

--+->-+-=3222

21210x x x x x x -+-+>>. 因此()h x 在区间1+)∞（，单调递增.

又因为(1)h =0，所以当1x >时，()h x =()f x -()g x >0，即()f x >()g x 恒成立.

综上，a ∈1

+)2

∞[，.

5、（2016年天津高考）设函数b ax x x f --=3)(，R x ∈，其中R b a ∈,

（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：

0201=+x x ；

（Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于

．．．

4

1. （1）解：由3()f x x ax b =--，可得2()3f x x a '=-，下面分两种情况讨论： ①当0a ≤时，有2()30f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.

②当0a >时，令()0f x '=，解得3x =

或3

x =-. 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：

所以()f x 的单调递减区间为(33-

，单调递增区间为(,3

-∞-，

()+∞. （2）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >且00x ≠.

由题意得200()30f x x a '=-=，即2

03a x =

，进而3

00002()3

a f x x ax

b x b =--=--， 又3

000000082(2)822()33

a a f x x ax

b x ax b x b f x -=-+-=-+-=--=，且002x x -≠，

由题意及（1）知，存在唯一实数1x 满足10()()f x f x =，且10x x ≠，因此102x x =-， 所以10+2=0x x .

（3）证明：设()g x 在区间[1,1]-上的最大值为M ，max{,}x y 表示x ，y 两数的最大值，下面分三种情况讨论：

①当3a ≥时，11≤-<≤1） 知()f x 在区间[1,1]-上单调递减， 所以()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为[(1),(1)]f f -，因此，

max{[(1),(1)]}max{|1|,|1|}M f f a b a b =-=---+-max{|1|,|1|}a b a b =-+--

1,0,

1,0,a b b a b b --≥?=?

--

②当

3

34

a ≤<时，113333-≤-<-<<≤，

由（1）和（2） 知(1)((33f f f -≥-

=，(1)((33

f f f ≤=-，

所以()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为[),(33

f f -，

所以max{||,|(|}max{||,||}f f b b =

231

|,||}||944

b b b ==≥?.

③当3

04

a <<

时，1133-<-<<，由（1）和（2）知，

(1)((33f f f -<-

=，(1)((33

f f f >=-， 所以()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为[(1),(1)]f f -，因此，

max{[(1),(1)]}max{|1|,|1|}M f f a b a b =-=-+---max{|1|,|1|}a b a b =-+--

11||4

a b =-+>

. 综上所述，当0a >时，()g x 在区间[1,1]-上的最大值不小于

14

. 6、（2016年全国I 卷高考）已知函数f (x )=(x ?2)e x +a (x ?1)2. (I)讨论f (x )的单调性；

(II)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.

【解析】（Ⅰ）()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a '=-+-=-+．

（ i ）当0a ≥时，则当1x >时，()0f x '>；当1x <时，()0f x '< 故函数()f x 在(,1)-∞单调递减，在(1,)+∞单调递增．

（ ii ）当0a <时，由()0f x '=，解得：1x =或ln(2)x a =-

①若ln(2)1a -=，即2

e

a =-，则x R ?∈，()(1)()0x f x x e e '=-+≥

故()f x 在(,)-∞+∞单调递增．

②若ln(2)1a -<，即2e

a >-，则当(,ln(2))(1,)x a ∈-∞-+∞时，()0f x '>；当

(ln(2),1)x a ∈-时，()0f x '<

故函数在(,ln(2))a -∞-，(1,)+∞单调递增；在(ln(2),1)a -单调递减．

③若ln(2)1a ->，即2e

a <-，则当(,1)(ln(2),)x a ∈-∞-+∞时，()0f x '>；当

(1,ln(2))x a ∈-时，()0f x '<；

故函数在(,1)-∞，(ln(2),)a -+∞单调递增；在(1,ln(2))a -单调递减．

（Ⅱ）（i ）当0a >时，由（Ⅰ）知，函数()f x 在(,1)-∞单调递减，在(1,)+∞单调递增．

又∵(1),(2)f e f a ==，取实数b 满足0b <且ln

2

a

b <，则 223

()(2)(1)()022

a f

b b a b a b b >

-+-=-> ∴()f x 有两个零点．

（ii ）若0a =，则()(2)x f x x e =-，故()f x 只有一个零点．

（iii ）若0a <，由（I ）知，当2

e

a ≥-，则()f x 在(1,)+∞单调递增，又当1

x ≤时，()0f x <，故()f x 不存在两个零点；

当2

e

a <-，则函数在(ln(2),)a -+∞单调递增；在(1,ln(2))a -单调递减．又当1

x ≤时，()0f x <，故不存在两个零点．

综上所述，a 的取值范围是()0,+∞．

7、（2016年全国II 卷高考） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.

（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；