微积分在普通物理学中的应用
微积分在普通物理学中的应用
1引言
从牛顿那个时代到今天，每个时代都在为一种事物惊叹不已，它不仅推动了物理学和数学的发展，也更新了人类的观念,是人类史上的里程碑,它就是微积分．
微积分可以称为是人类智慧最伟大的成就之一，在各个领域内都有重要应用．如果将整个人类科学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分．微积分在物理学、天文学等自然科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用．可以说，微积分推动了现代人类社会的发展，所以我们很有必要对它进行了解和掌握．
微积分是微分和积分的总称，它是一种数学思想，其中‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分．极限的思想是微积分的基础，它是用变化的思想来看待问题的．
微积分在物理学中的应用相当普遍，本篇论文从导数、微分、积分三方面研究了微积分在其中的应用．
2导数在力学中的应用
导数在力学中有很重要的作用，通常可求得最小的力，最省的距离等极值问题，在实际生活中应用性很强．下面简单举出两个例子说明其应用(画图略)．
例1 设有质量为5kg 的物体，置于水平面上，受力F 的作用开始移动，设摩擦系数
0.25,μ=问力F 与水平线的交角α为多少时,才可以使力F 的大小为最小？
解 由题意得
cos (sin )F P F ααμ=-,其中α0,2π??
∈????
，P 表示重力
cos sin P
F μαμα
=
+
由于P μ为常数,欲求F 最小,只须 求分母U cos sin αμα=+的最大值. 记 U αcos sin αμα=+
令U α
'=sin cos 0αμα-+=
tan αμ=,
(0.25)arctan arctan αμ==.
故当0.25arctan α=时,可使力F 最小．
例2 有一支杠杆,支点在它的一端,在距支点0.1m 处挂一质量为49kg 的物体,加力于杠杆另一端使杠杆保持水平，如果杠杆每m 的质量为5kg ,求最省力的杆长.
解 设杆长为x ,则杆重5x ,由力矩平衡得 490.152
x xF x =?+?
即 4.95
2
F x x =
+ (0x >) 两边同时对ｘ求导得
24.952
F x '=-
+ F '0=得唯一的驻点
1.4()x m =
= 由于F 只有最小值，所以由实际意义知,杠杆长为1.4()m 时最省力．
通过上面两个例子，读者可以看到，导数的性质及意义在力学中有重要应用，尤其在求一些极值问题上应用性极强，不过导数只是微积分的基础，下面我们再通过具体例子说明微分在物理学中的应用．
3 微分在运动学中的应用
微分在求一些变化率方面作用很大,最简单像位移微分是速度,速度微分是加速度,下面我再举两个求速度例子,说明微分的应用.
例1 落在平静水面上的石头，产生同心波纹．若最外一圈波半径的增大率总是6/m s ，问在２秒末扰动水面面积的增大率是多少？
分析 由于在这里面积的增大不与半径平方的增大成正比，所以中学方法根本解不出来，用微积分就简单多了，试看下面解法：
解 设波半径为()r m ，时间为()t s ，则波动面积2
S x π= ，从而 2dS dr
r dt dt
π= 当2()t s =时，由6r t =得
6212()r m =?=，
因为
6(/)dr
m s dt
=所以 22126144(/)dS
m s dt
ππ=??= 即在２秒末扰动水面面积的增大率是2
144(/)m s π ．
例2 注入水深为8m 且上顶直径为8m 的正圆锥形容器中，其速率为3
4/min m ．当水深为5m 时，其表面上升的速率是多少？
分析 这道题与上题一样，水表面上升速率不与水注入的速度成比例，所以是动态问题，需要用微积分知识来解，请看解法： 解 设水面高为()h t 米
此时，水面圆的半径为r 米，上顶半径4R =， 由相似三角形比例性质得：48
r h
=， 得 12
r h =
所以 231()312
V t r h h ππ=
= 两边同时对t 求导得
'2231124t dh dh
V h h
dt dt
ππ=
=， (1) 即 2
4dV dh dt dt h π=， 由题设可得：'3
4(/min)t V m =，5h m =，代入(1)式
得
16(/min)25dh m dt π
= 所以，当水深为5m 时，其表面上升的速率是
16
(/min)25m π
． 除了导数和微分，积分更是物理学研究者需要掌握的，尤其是在求变力的功时只有用积分知识，在这里我通过三个例题具体来展示积分在解变力做功问题时的应用．
4 积分在变力做功问题中的应用
从物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且力的方向与物体运动方向一致，那么，在物体移动了距离s 时间，力F 对物体所作的功
为
W F s =?
如果物体在运动过程中所受的力是变化的，这就是变力对物体作功的问题．而 积分是与求变力做功紧密联系在一起的,下面请大家看几个这方面的例子
例1 直径为20 cm ，高为80cm 的圆柱体内充满压强为10N/2
cm 的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需做多少功？
解 由玻意耳——马略特定律，温度不变时,变化前后压强和体积的乘积不变, 而 2
10(1080)80000k pv ππ==??=
当底面积不变而高减少()x cm 时，设压强为2
()(/)p x N cm ,则有 2
()10(80)80000p x x ππ??-=
所以 800
()80p x x
=
- 功微元 2
10()dW p x dx π=? 所以功 40
402
4
0800108108080dx W dx dx x
x ππ=
=?--?
?
=440810ln(80)
800ln 2()0
x J ππ-?-=
例 2 一物体按规律3
x ct =作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0x =移至x a =时，克服媒质阻力所做的功．
解 媒质阻力2
F kv =-（0k >,k 为阻力系数，阻力与运动方向相反），而'23t v x ct ==，
所以
24
9F kc t =-
而1
3()x t c
=，代入得
243
3
()9F x kc x =-?，
243
3
00
()9a
a
W F x dx kc
x dx =-=??
2727
3
333327
907
7a kc x k c a =?=??．
例3 用铁锤将铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比,在击第一次时,将铁钉击入木板1cm .如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等,问锤击第二次时,铁钉又击入多少?
解 设第二次又击入hcm （h 为待定系数),由于木板对铁钉的阻力F ky = 其中,k 为阻力系数, y 轴正向与打击方向相同) ,故功微元dW Fdy kydy == 击第一次时,铁锤所做的功
1
210
1102
2k W kydy y k ==
=? 击第二次时,铁锤所做的功12
21
(1)12
h
k W kydy h +??==
+-???
21(2)2k h h =+ 由于1W = 2W ，所以
21(2)2
k h h +=1
2k ，2210h h +-=
解之得11h =-=
()cm ．
以上三个求变力做功问题为力学中的问题,事实上,在电磁学中也常用积分知识求变力所做的功,下面我们举一例．
例4 把一个带电量0q +的点电荷放在r 轴上坐标原点Ｏ处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果另一个点电荷q +放在这个电场中距离原点
o 为r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为
02
kq q
F k =
（k 是常数） 当这个点电荷q +在电场中从r a =处沿r 轴移动到()r b a b =<处时，计算电场力F 对它所作的功．
解 在移动过程中，电场对这点电荷q +的作用力是变的．取r 为积分变量，它的变化区间为[],a b ．设[],r r dr +为[],a b 上的任一小区间．当点电荷q +从r 移动到r dr +时，电场力对它所做的功近似于
02kq q dr r ，即功微元为02kq q
dW dr r
=． 在闭区间[],a b 上作定积分，便得所求的功为
0002111[]b
b a a
kq q W dr kq q kq q r r a b ??==-=- ????
如果将点电荷q +从该点处r a =移到无穷远处，电场力所作的功W 就是广义积分
00
002211lim lim b a
a b b kq q kq q kq q W dr dr kq q r r a b a +∞
→+∞→+∞??===-= ???
?
? 例4为积分在电磁学中的应用．除此之外，微分和导数在电磁学中的应用也有很多，这里不再一一细述．
以上一些例题表明了微积分在物理学中有很强的应用．因此,要想学好物理,必须学好微积分．
综上所述,在普通物理学中，尤其是在力学和电磁学中时时刻刻都在利用微积分处理问题．因此，掌握微积分的使用方法，学会用微积分的思维来解决力学和电磁学中的问题是十分必要的，希望这些工作能起到抛砖引玉的作用，引起同仁的共鸣，好能共同为微积分在各学科中的推广做出贡献．
微积分练习题及解析
练习题 1、质量为2kg 的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其x 轴上的坐标为x=3+5cos2t ，y 轴上的坐标为y=-4+5sin2t ，t 为时间物理量，问： ⑴物体的速度是多少？ ()'10sin(2)x dx V x t t dt = ==- ()'10cos(2)y dy V y t t dt === 2210x y V V V =+= ⑵物体所受的合外力是多少? 222(3)(4)5x y -+-= 运动轨迹是圆，半径为5，所以是做匀速圆周运动 22*100405 mv F N r === ⑶该物体做什么样的运动？ 匀速圆周运动 ⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗？ 圆心（3,4），半径5 2、一质点在某水平力F 的作用下做直线运动，该力做功W 与位移x 的关系为W=3x-2x 2,试问当位移x 为多少时F 变 为零。 34dW F x dx = =-，所以当x=3/4时，F=0 3、已知在距离点电荷Q 为r 处Ａ点的场强大小为E= KQ r 2, 请验证Ａ点处的电势公式为：U = KQ r 。 规定无穷远处电势为零，A 处的电势即为把单位正电荷缓慢的从无穷远处移到A 点所做的功 我们认为在r 变化dr 时，库仑力F 是不变的， 则2 kQq dW F dr dr r =-?=- ? 所以2 0W r kQq dW dr r ∞=-?? 即21r q kQq dr r ?∞=? 所以1|r kQ kQ r r ?∞=-=
4、某复合材料制成的一细杆OP 长为L ，其质量分布不均匀。在杆上距离O 端点为x 处取点A ，令M 为细杆上OA 段 的质量。已知M 为x 的函数，函数关系为M=kx 2，现定义线密度ρ=dM dx ,问当x=L 2 处B 点的线密度为何？ 2dM kx dx ρ= = ,2L x kL ρ∴== 5、某弹簧振子的总能量为2×10-5J ，当振动物体离开平衡位置12 振幅处，其势能E P =，动能E k =。 首先推导弹簧的弹性势能公式，设弹簧劲度系数为k ，伸长量为x 时的势能为E （x ） 弹簧所具有的弹性势能即为将弹簧从原长拉长x 时所做的功 dW F dx kx dx =?=? 00W x dW kx dx ∴=??? 2 ()2 kx E x ∴= 所以在距平衡位置12振幅处的弹性势能为总能量的14 ，即655*10, 1.5*10p k E J E J --== 6、取无穷远处电势为零。若将对电容器充电等效成把电荷从无穷远处移到电容器极板上，试问，用电压U 对电容为C 的电容器充电，电容器存储的电能为何？开始时电容器存放的电荷量为零。 0022 1122q q E Q q q dE dQ U Q dE dQ C Q E CU C =?∴=∴==?? 7、在光滑的平行导轨的右端连接一阻值为R 的电阻，导轨宽度为L ，整个导轨水平放置在方向竖直向下的磁场中，磁场的磁感应强度为B 。有一导体棒ab 垂直轨杆并停放在导轨上，导体棒与导轨有良好的接触。在t=0时刻，给导
物理中的微积分思想
高中物理中微积分思想 浙江省湖州中学物理组 潘建峰 伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。 微积分（Calculus ）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。 微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。 1、解决变速直线运动位移问题 匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt ；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？ 例1、汽车以10m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？ 【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式at v v +=0 2021at t v x +=就可以求得汽车走了0.025公里。 但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即202 1at t v x +=。 【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系t at v v 2100-=+=，从开始刹车到停车的时间t=5s ， 所以汽车由刹车到停车行驶的位移 km t t t a t v dt at v dt t v x 025.0)10()2()()(5025 02050050=-=+=+==?? 小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v －t 图像，找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决. 2、解决变力做功问题 恒力做功，我们可以利用公式直接求出Fs W =；但对于变力做功，我 们如何求解呢？ 例2：如图所示，质量为m 的物体以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运 动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为μ，求物体从轨道最低点运动到
高中物理微积分应用(完美)
高中物理中微积分思想 伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。 微积分（Calculus ）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。 微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。 1、解决变速直线运动位移问题 匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt ；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢 例1、汽车以10m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里 【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式at v v +=0 2 02 1at t v x + =就可以求得汽车走了公里。 动的时间无限细分。在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。 现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即2 02 1at t v x + =。 【 【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系t at v v 2100-=+=，从开始刹车到停车的时间t=5s ， 所以汽车由刹车到停车行驶的位移 km t t t a t v dt at v dt t v x 025.0)10()2()()(5 025 205 005 0=-=+=+==?? 小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度 关于时间的函数，画出v －t 图像，找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决. 2、解决变力做功问题 恒力做功，我们可以利用公式直接求出Fs W =；但对于变力做功，我们如何求解呢 例2：如图所示，质量为m 的物体以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为μ，求物体从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦 力做了多少功。 【解析】物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，在不同位置与圆环间的正压力不同， 设OA 、OB 与水平直径的夹角为θ作直线，且摩擦力可视为恒力，则在功之和可表示为： (μθμ-+?-=?R N W A f
微积分在物理 中的简单应用
求解在立体斜面上滑动的物体的速度 一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数μ恰好满足αμtg =，α为斜面的倾角。今使物体获得一水平速度 0V 而滑动，如图一，求： 物体在轨道上任意一点的速度V 与φ的关系，设φ为速度与水平线的夹角。 解：物体在某一位置所受的力有：重力G ， 弹力N 以及摩擦力f 。摩擦力f 总是与运动速度V 的方向相反，其数值 ααααμμsin cos cos mg mg tg mg N f ==== 重力在斜面上的分力为1G ，如图二，将1 G 分解为两个分力：1G ''是1G 沿轨迹切线方向的分 力，φαφsin sin sin 11 mg G G =='' ；1G '是沿轨 迹 法 向 的 分 力 ， φαφcos sin cos 11 mg G G =='，如图三。 根据牛顿运动定律，得运动方程为 τma f G =-''1 （1） n ma G ='1 （2） 由（1）， )1(sin sin )sin sin sin (1 -=-= φααφατg mg mg m a 而 ,dt dV a = τ得到 ,)1(sin sin dt g dV -=φα （3）
式中φ是t 的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在φ与t 中消去一个变量，才能积分，注意到 φφ d d ds V V dS dt 1== （4） 而φ d ds 表示曲线在该点的曲率半径ρ，根据（2）式， ρ φα2 cos sin V m mg = （5） 由式（3）（4）（5），可得到 ,)sec (φφφd tg V dV -= φφφφ d tg V dV V V ??-=00)sec (， 积分，得到 )sin 1ln()ln(sec cos ln ln φφφφ+-=+--=tg V V ， .sin 10 φ += V V 运用积分法求解链条的速度及其时间 一条匀质的金属链条，质量为m ，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为1L ，另一边长度为,2L 而且120L L <<，如图一。试求： 链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。 解：设金属链条的线密度为.2 1L L m += λ当一边长度为 x L +1，另一边长度为x L -2时受力如图二所示，则根据牛 顿运动定律，得出运动方程 ,)()(11a x L T g x L λλ+=-+
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目录 中学生全国物理竞赛章程 (2) 全国中学生物理竞赛内容提要全国中学生物理竞赛内容提要 (5) 专题一力物体的平衡 (10) 专题二直线运动 (12) 专题三牛顿运动定律 (13) 专题四曲线运动 (16) 专题五万有引力定律 (18) 专题六动量 (19) 专题七机械能 (21) 专题八振动和波 (23) 专题九热、功和物态变化 (25) 专题十固体、液体和气体的性质 (27) 专题十一电场 (29) 专题十二恒定电流 (31) 专题十三磁场………………………………………………………………………… 33 专题十四电磁感应 (35) 专题十五几何光学 (37) 专题十六物理光学原子物理 (40)
中学生全国物理竞赛章程 第一章总则 第一条全国中学生物理竞赛（对外可以称中国物理奥林匹克，英文名为Chinese Physic Olympiad，缩写为CPhO）是在中国科协领导下，由中国物理学会主办，各省、自治区、直辖市自愿参加的群众性的课外学科竞赛活动，这项活动得到国家教育委员会基础教育司的正式批准。竞赛的目的是促使中学生提高学习物理的主动性和兴趣，改进学习方法，增强学习能力；帮助学校开展多样化的物理课外活动，活跃学习空气；发现具有突出才能的青少年，以便更好地对他们进行培养。第二条全国中学生物理竞赛要贯彻“教育要面向现代化、面向世界、面向未来”的精神，竞赛内容的深度和广度可以比中学物理教学大纲和教材有所提高和扩展。 第三条参加全国中学生物理竞赛者主要是在物理学习方面比较优秀的学生，竞赛应坚持学生自愿参加的原则．竞赛活动主要应在课余时间进行，不要搞层层选拔，不要影响学校正常的教学秩序。 第四条学生参加竞赛主要依靠学生平时的课内外学习和个人努力，学校和教师不要为了准备参加竞赛而临时突击，不要组织“集训队”或搞“题海战术”，以免影响学生的正常学习和身体健康。学生在物理竞赛中的成绩只反映学生个人在这次活动中所表现出来的水平，不应当以此来衡量和评价学校的工作和教师的教学水平。 第二章组织领导 第五条全国中学生物理竞赛由中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会（以下简称全国竞赛委员会）统一领导。全国竞赛委员会由主任1人、副主任和委员若干人组成。主任和副主任由中国物理学会常务理事会委任。委员的产生办法如下： 1．参加竞赛的省、自治区、直辖市各推选委员1人； 2．承办本届和下届决赛的省。自治区、直辖市各推选委员3人。 3．由中国物理学会根据需要聘请若干人任特邀委员。 在全国竞赛委员会全体会议闭会期间由主任和副主任组成常务委员会，行使全国竞赛委员会职权。 第六条在全国竞赛委员会领导下，设立命题小组、组织委员会和竞赛办公室等工作机构。命题小组成员由全国竞赛委员会聘请专家和高等院校教师担任。组
高中物理求解通过电阻或电路中的电量的几种常用方法
高中物理求解电量的几种常用方法 其实思路都是：q=It 和C=q/U 一、常规法求之 I=Q 电/t ， 已知通过某电阻的电流强度为0.2A ，求通电5min 有多少电量经过该电阻？ q=It=0.2×300C=60C 二、利用动量定理求解 求解电量的公式推导和思路： 电量表达式：t I q ?=； 动量定理：p t F ?=?合，公式中的F 合也是时间Δt 内的平均值，在F 合为金属棒受到的安培力时，有p t F ?=?安； 安培力：L I B F =安； 综合上面三式，得BL p q ?= ． F 安Δt=mv-0 BIL Δt=mv-0 BLQ 电=mv-0 Q 电=mv/BL E d C B a 如图所示，金属棒ab 的质量m=5g ，放置在宽L=1m 的光滑的平行金属导轨上，导轨处于水平面内，磁感应强度B=0.5T 。C=200μF ， E=16V ，当电容充电结束后，开关拔向右方接通，金属棒从速度为零的虚线位置运动到速度为0.01m/s 的实线位置的时候。求： （1）通过金属棒的电量为多少。 （2）此刻电容器的两端电压为多大。 (1) 1×10-4C 。 根据以上公式Q 电=MV/BL 代入数据即可得结果。 (2) 15.5V 。 根据公式得Q 1=CE=32×10-4C ΔQ=1×10-4C, Q 2=Q 1-ΔQ=31×10-4C 。又根据C=Q /U 得 U 2=Q 2/C=15.5V 电阻为R 的金属棒AC 、DE （如图1）。开始时，DE 静止，AC 棒以V0初速度向右运动，求：在运动过程中通过AC 棒上的总电量。
分析：AC棒和DE棒在运动中，开始时AC棒的速度大于DE棒的速度，回路中有顺时针方向的电流。AC棒受到的安培力使AC棒做减速运动，DE棒受到的安培力使DE棒做加速运动。当两棒的速度相等时，回路中的电流为零，两棒受到的安培力也为零，两棒最后以相同的速度匀速运动。尽管AC棒和DE棒所受到的安培力是变力，但始终大小相等，方向相反，两棒组成的系统合外力为零，系统动量守恒。 故有：mV0＝2mV共 V共＝V0/2 设回路中的平均电流（对时间平均）为I，再对AC棒用动量定理 得：－BIL△t＝mV共－mV0 又q＝I△t 如图2所示，既平行又光滑的水平导轨MM/宽为L，NN/宽为L/2，且都足够长，将其放置在磁感应强度为B的匀强磁场中，在导轨的宽段和窄段上分别放置导体棒AC和DE。已知AC棒质量为m1,DE棒质量为m2，开始时DE棒静止在导轨上。给AC棒一向右的初速度V1，求DE棒从静止到稳定运动过程中，通过它的电量。 分析：当AC棒刚开始运动时，回路中有顺时针方向的电流，按左手定则可以判断AC棒受到向左的安培力，DE棒受到向右的安培力，而安培力是磁场施加的，对两棒组成的系统来说是外力不是内力。鉴于流过两棒的电流必相同，而长度相差一倍，故二者受到的安培力大小始终有如下关系：FAC＝2FDE 可见系统运动方向上的合外力不为零，即系统动量在变化过程中并不守恒。虽然动量不守恒， 这种情况下仍能用动量定理解决问题。因为AC棒做变减速运动，DE棒做变加速运动，回路电流不断减小。当回路电流为零时，AC棒和DE棒受到的安培力均为零，两棒的加速度也为零，速度不再变化，各自做匀速直线运动，达到稳定状态。稳定后回路中电流I＝0 所以AC棒和DE棒产生的电动势大小相等方向相反
高中物理实用微积分
高中物理实用微积分 问题：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少 分析：自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度） ，当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大，因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度。 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而t t s v ?+=??= 9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小， t s ??越接近米/秒；当t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于米/ 秒，此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度. 1、极限 极限的严格定义比较繁琐，此处从略。通俗来说，如果当自变量x 无限趋近某一数值 0x （记作0x x →）时，函数)(x f 的值无限趋近某一确定的数值A ，则A 叫做0 x x →时函数 )(x f 的极限值，记作A x f x x =→)(lim 0 例如：∞=>-x x 1lim 0；n n x ∞→lim ，1≥x 时趋于无穷，10<
微积分在物理学上的应用复习过程
微积分在物理学上的 应用
微积分在物理学上的应用 1 引言 微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学包括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。而在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的。对于大学物理问题，可是使其化整为零，将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。只要这些局部问题分的足够小，足以使用简单，可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以得到问题的结果。而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。这种解决物理问题的思想和方法即是微积分的思想和方法。 2 微积分的基本概念及微分的物理含义 微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连续变量。在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体，再将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我们可以将这个个体的变量看成衡量，得出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和。例如，在我们研究匀变速直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt，而这一时间内的位移为dt，在每一段时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加，无限求和，就可以得出总的位移。
在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体 的物理量和角度去判断他的正确含义。 例：如图所示，一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD，试求线圈中的感应电动势大小。 解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为 B= 在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元面dS上的磁通量为 d 线圈围成的面上通过的磁通量为 线圈中的感应电动势为
新课标高中数学微积分习题
新课标高中数学微积分 习题 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
高二数学微积分练习题 一、选择题： 1．已知自由落体运动的速率 gt v =，则落体运动从0=t 到 0t t =所走的路程为 （ ） A ．320gt B ．2 0gt C ．220gt D ．62 0gt [解析]要学生理解微积分在物理学中 的应用，可用来求路程、位移、功 2、如图，阴影部分的面积是 A ．32 B ．329- C ． 332 D ．3 35 [解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积 3、 若 1 1 (2)3ln 2a x dx x +=+? ，且a ＞ 1，则a 的值为 （ ） A ．6 B 。4 C 。3 D 。2 [解析] 4、用S 表示图中阴影部分的面 积，则S 的值是( ) A ．???a c f (x )d x B ．|?? ?a c f (x ) d x | C ．???a b f (x )d x ＋?? ?b c f (x ) d x D ．???b c f (x )d x －?? ?a b f (x )d x 5、已知f (x )为偶函数且??? 6 f (x )d x ＝8，则??? -6 6 f (x )d x 等于 ( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 6、函数y ＝?? ?-x x (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( ) A ．是 奇函数 B ．是偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．以上都不正确 7、函数f(x)＝? ?? ? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π2)的图象 与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) B ． 1 C ．2 8、?? ?0 3|x 2 －4|dx ＝( ) 二、填空题： 9．曲线1,0,2 ===y x x y ，所围成 的图形的 面积可用定积分表示
高中物理竞赛讲义——微积分初步
高中物理竞赛讲义——微积分初步 一：引入 【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几 倍。 分析： ①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立 方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U 1=8U 2 ； ②立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度ρ；二立方体的边长a ；三立方体的形状； 根据点电荷的电势公式U=K Q r 及量纲知识，可猜想边长为a 的立方体角点电势为 U=CKQ a =Ck ρa 2 ；其中C 为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q 是总电量，ρ是电荷密度；其中Q=ρa 3 ③ 大立方体的角点电势：U 0= Ck ρa 2 ；小立方体的角点电势：U 2= Ck ρ（a 2 ）2=CK ρa 2 4 大立方体的中心点电势：U 1=8U 2=2 Ck ρa 2 ；即U 0=12 U 1 【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。 二：导数 ㈠ 物理量的变化率 我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t 图像，求其斜率可 以得出加速度a ，求其面积可以得出位移s ，而斜率和面积是几何意义上 的微积分。我们知道，过v-t 图像中某个点作出切线，其斜率即a= △v △t . 下面我们从代数上考察物理量的变化率： 【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t 2,试求其t 时刻的速度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同）
AP微积分与AP物理教材推荐
天道留学https://www.360docs.net/doc/3a14013956.html,/ AP微积分与AP物理教材推荐 AP考试是大家升学备考的重点，在AP考试中，其中AP微积分和AP物理是大家选择普遍较多的考试。那么为了准备这些考试，大家应该选择怎样的备考材料和备考书籍才能保证最大程度上考取一个好分数呢?今天天道小编就和大家推荐几本相关教材，希望对大家有用。 1.微积分教材推荐(程度由易到难)： 普通高中人教版选修2-2：国内高中数学教科书，难度低，很适合自学。 新东方AP微积分：中英双语的微积分教材，适于高一学完函数的学生使用。全面涵盖AP微积分的考点的同时又没有超纲内容。 美本教材Calculus：美国大学本科使用非常广泛的一本教材，习题丰富，推导过程详细。有部分超纲内容，适用于学有余力的学生。 国内本科《高等数学》：证明严谨，定理众多，难度较大。 2.物理教材推荐(程度由易到难)： Giancoli Physics：这本书是美国高中使用最广的物理教科书之一，知识点介绍很全面，也很细致，习题数量多，公式的推导没有涉及到微积分，是自学与入门AP的最好的教材，也很适合准备SAT2物理。 美本教材《希尔斯物理学》：美国大学工科类使用比较广泛的一本教科书，知识点同样很全面细致，配图比上面的giancoli更加全面，习题难度也更上了一个档次;公式的推导和习题都需要掌握微积分，需要学生有不错的微积分基础，或者在有经验的教师指导下进行学习。 国内本科教材： 《普通物理学教程》(漆安慎，杜婵英，高等教育出版社) 《普通物理学》(程守株，高等教育出版社) 3.不推荐使用巴郎、普林斯顿、开普兰等作为自学内容，这些书上关于概念的引入、公式的推导、例题讲解、习题数量和难度都无法和正式的教材相比。 以上就是小编为大家推荐的AP考试微积分和物理教材，希望大家认真使用这些教材，考取一个优秀的AP考试分数。
高中数学~定积分和微积分基本原理
高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程：
规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。
物理中的微积分思想
物理中的微积分思想 你们不要老提我，我算什么超人，是大家同心协力的结果。我身边有300员虎将，其中100人是外国人，200人是年富力强的香港人。 高中物理中微积分思想 浙江省湖州中学物理组潘建峰 伟大的科学家牛顿 有很多伟大的成就 建立了经典物理理论 比如：牛顿三大定律 万有引力定律等；另外 在数学上也有伟大的成就 创立了微积分 微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支 微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的 微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"
好像一个事物始终在变化你很难研究 但通过微元分割成一小块一小块 那就可以认为是常量处理 最终加起来就行 微积分学是微分学和积分学的总称 它是一种数学思想 '无限细分'就是微分 '无限求和'就是积分 无限就是极限 极限的思想是微积分的基础 它是用一种运动的思想看待问题 微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一 在高中物理中 微积分思想多次发挥了作用 1、解决变速直线运动位移问题 匀速直线运动 位移和速度之间的关系x=vt；但变速直线运动那么物体的位移如何求解呢？ 例1、汽车以10m/s的速度行驶
到某处需要减速停车 设汽车以等减速2m/s2刹车 问从开始刹车到停车 汽车走了多少公里？ 【解析】现在我们知道 根据匀减速直线运动速度位移公式就可以求得汽车走了0.025公里 但是 高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的 其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分 在每一份时间微元内 速度的变化量很小 可以忽略这种微小变化 认为物体在做匀速直线运动 因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加 即"无限求和" 则总的位移就可以知道 现在我们明白 物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的"面积" 即
高中物理竞赛辅导讲义-微积分初步
微积分初步 一、微积分的基本概念 1、极限 极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式 0sin lim 1x x x →= *1lim 11x x x →∞??+= ??? 2、导数 当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。 0'lim x dy y y dx x ?→?==? 导数含义，简单来说就是y 随x 变化的变化率。 导数的几何意义是该点切线的斜率。 3、原函数和导函数 对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。 00()()'()lim lim x x y y x x y x y x x x ?→?→?+?-==?? 4、微分和积分 由原函数求导函数：微分 由导函数求原函数：积分 微分和积分互为逆运算。 例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数 （1）2y x = （2） (0)n y x n =≠ （3）sin y x = 二、微分 1、基本的求导公式 （1）()'0 ()C C =为常数 （2）()1' (0)n n x nx n -=≠ （3）()'x x e e = *（4）()'ln x x a a a = （5）()1ln 'x x = *（6）()1log 'ln a x x a =
（7）()sin 'cos x x = （8）()cos 'sin x x =- （9）()21tan 'cos x x = （10）()21cot 'sin x x = **（11）() arcsin 'x = **（12）()arccos 'x = **（13）()21arctan '1x x =+ **（14）()2 1arccot '1x x =-+ 2、函数四则运算的求导法则 设u =u (x )，v =v (x ) （1）()'''u v u v ±=± （2）()'''uv u v uv =+ （3）2'''u u v uv v v -??= ??? 例2、求y=tan x 的导数 3、复合函数求导 对于函数y =f (x )，可以用复合函数的观点看成y =f [g (x)]，即y=f (u )，u =g (x ) 'dy dy du y dx du dx == 即：'''u x y y u = 例3、求28(12)y x =+的导数 例4、求ln tan y x =的导数 三、积分 1、基本的不定积分公式 下列各式中C 为积分常数 （1） ()kdx kx C k =+?为常数 （2）1 (1)1n n x x dx C n n +=+≠-+?
微积分在物理学上的应用
微积分在物理学上得应用 1 引言 微积分就是数学得一个基本学科,内容包括微分学,积分学,极限及其应用,其中微分学 包括导数得运算,因此使速度,加速度等物理元素可以使用一套通用得符号来进行讨论。而在大学物理中,使用微积分去解决问题就是及其普遍得。对于大学物理问题,可就是使其化整为零,将其分成许多在较小得时间或空间里得局部问题来进行分析。只要这些局部问题分得足够小,足以使用简单,可研究得方法来解决,再把这些局部问题得结果整合起来啊,就可以得到问题得结果。而这种将问题无限得分割下去,局部问题无限得小下去得方法,即称为微分,而把这些无限个微分元中得结果进行求与得方法,即就是积分。这种解决物理问题得思想与方法即就是微积分得思想与方法。 2 微积分得基本概念及微分得物理含义 微积分就是一种数学思想,其建立在函数,实数与极限得基础上,其主要探讨得就就是 连续变量。在运用微积分去解决物理问题时,可以将我们所需要得出得结果瞧成就是一个整体,再将这个整体先微分,即将其分成足够小得个体,我们可以将这个个体得变量瞧成衡量,得出个体结果后,再将其积分,即把个体得结果累积起来进行求与。例如,在我们研究匀变速直线运动时,我们就可以在其运动过程中选取一个微小得时间dt,而这一时间内得位移为dt,在每一段时间内速度得变化量非常小,可以近似忽略,那么我们就可以将这段时间内得运动近似瞧成匀速直线运动,再把每段时间内得位移相加,无限求与,就可以得出总得位移。 在物理学中,每个物理公式都就是某些物理现象与规律得数学表示,因此,我们在使用 这些公式时,面对物理量与公式得微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑,更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时,不能只从数学角度去理解其为无限小,更要结合具体得物理量与角度去判断她得正确含义。 例:如图所示,一通有交流电流i=得长直导线旁有一共面得单匝矩形线圈ABCD,试求线圈中得感应电动势大小。 解:设在某个时刻,长直导线电流产生得磁场为 B= 在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上得磁场可以近似于均匀磁场,微元面dS上得磁通量为 d 线圈围成得面上通过得磁通量为
微元法在高中物理中的应用
微元法在高中物理中的应用 江苏省靖江市斜桥中学夏桂钱 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。它是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从其中抽取某一微小单元即“元过程”，进行讨论，每个“元过程”所遵循的规律是相同的。对这些“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法可以把一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化，从而起到巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 一、挖掘教材中微元素材，认知微元思想 微元法思想在新课标教材（人教版）上时有渗透。如在引入瞬时速度的概念时，教材从平均速度出发，提出从t到t+△t这段时间间隔内，△t越小运动快慢的差异也就越小，运动的描述就越精确。在此基础上，再提出若△t趋向于零时，就可以认为△t的平均速度就是t时刻的瞬时速度。正是这种无限分割的方法，可以使原来较为复杂的过程转化为较简单的过程。再如，我们要推导匀变速直线运动的位移公式，显然不能直接用s=vt，原因就在于速度本身是变化的，不能直接套用匀速直线运动的公式。但是我们可以想象，如果我们把整个过程的时间分成无数微小的时间间隔，我们分得愈密，每一份的时间间隔也就愈小，此间隔内，速度的变化亦就愈小，如果分得足够细，就可以认为速度几乎不变，此时就可将每一份按匀速直线运动来处理，完毕之后，再累加即可。 必修2第五章第四节《重力势能》中，计算物体沿任意路径向下运动时重力所做的功时，先将物体运动的整个路径分成许多很短的间隔，由于每一段都很小很小，就可以将每一段近似地看做一段倾斜的直线，从而就能利用功的定义式计算出每一小段内重力的功，再累加得到整个过程重力的总功。第五节《弹性势能》中关于在求弹簧弹力所做的功时，先将弹簧拉伸的整个过程分成很多小段，在足够小的情况下，每一小段位移中可以认为拉力是不变的，从而也能直接利用功的定义式来计算每一小段内拉力所做的功，再累加得到整个过程拉力的总功。这两个功的计算，前者的难点在于物体运动的路径是曲线，后者的难点在于力的大小在变化。教材中的处理方法是前者采用了“化曲为直”的思想，后者采用了“化变为恒”的思想。
高中物理微积分应用(完美)(可编辑修改word版)
y .B ? N B mg x O N A A mg L （弧长）=α(弧度)x r(半径) (弧度制) 5 5 2 高中物理中微积分思想 伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。 微积分（Calculus ）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。 微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。 1、解决变速直线运动位移问题 匀速直线运动，位移和速度之间的关系 x=vt ；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？ 例 1、汽车以 10m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速 2m/s 2 刹车，问从开始刹车到停车， 汽车走了多少公里？ 【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式v = v 0 走了 0.025 公里。 + at x = v t + 1 at 2 就可以求得汽车 0 2 但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面 积”，即 x = v t + 1 at 2 。 2 【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系v = v 0 + at = 10 - 2t ，从开始刹车到停车的时间 t=5s ， 所以汽车由刹车到停车行驶的位移 5 a 5 x = v (t )dt = (v + at )dt = (v t + t 2 ) = (10t - t 2 ) = 0.025km ? ? 小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出 v －t 图像，找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决. 2、解决变力做功问题 恒力做功，我们可以利用公式直接求出W = Fs ；但对于变力做功，我们如何求解 呢？ 例 2：如图所示，质量为 m 的物体以恒定速率 v 沿半径为 R 的竖直圆轨道运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为 ，求物体从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦 力做了多少功。 【解析】物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，在不同位置与圆环间的正压力不同， 可由圆轨道的对称性，在圆轨道水平直径上、下各取两对称位置 A 和 B ， 设 OA 、OB 与水平直径的夹角为θ。在?S = R ?的足够短圆弧上，△S 可看作直线，且摩擦力可视为恒力，则在A 、B 两点附近的△S 内，摩擦力所做的功之和可表示为： ?W f = -N A R ?+ (-N B R ?) v a=-2m/s 2
高中物理中微积分思想
高中物理中微积分思想 伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。 微积分（Calculus ）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。 微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。 1、解决变速直线运动位移问题 匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt ；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？ 例1、汽车以10m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？ 【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式at v v +=0 2 02 1at t v x + =就可以求得汽车走了0.025公里。 但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即 2 02 1at t v x + =。 【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系t at v v 2100-=+=，从开始刹车到停车的时间t=5s ， 所以汽车由刹车到停车行驶的位移 km t t t a t v dt at v dt t v x 025.0)10()2()()(5025 205 005 0=-=+=+==?? 小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度关于 时间的函数，画出v －t 图像，找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决. 2、解决变力做功问题 恒力做功，我们可以利用公式直接求出Fs W =；但对于变力做功，我们如何求解呢？ 例2：如图所示，质量为m 的物体以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运动，已知物体 中，摩擦力做与竖直圆轨道间的摩擦因数为μ，求物体从轨道最低点运动到最高点的过程了多少功。 【解析】物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，在不同位置与圆环间的正压力不同，故而摩擦力为一変力，本题不能简单的用s F W ?=来求。