几何概型教学设计

几何概型（第一课时）

设计者:福建龙岩二中郭小峰

一?教学内容分析：

本课时教材选自人教A版数学必修3第三章概率部分第3. 3节的内容?几何概型是概率必修章节的收尾篇，共有两个课时，本节课为第一课时，它是继古典概型之后学习的另一类等可能概型；是教材新增加的内容，对它的要求仅限于初步体会几何概型的意义?几何概型的研究，是古典概型的拓广，将古典概型试

验结果有限个拓广到无限个；课本介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要.概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，运用数学

方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成用随机的观念去观察、分析、研究客观世界的态度，并获取认识世界的初步知识和科学方法.

二?学生学习情况分析：

学生前面已经学习了随机事件的概率和古典概型，初步学会了用古典概型公式解决概率题，大多数学生对于概率的学习以及概率试验产生了浓厚的兴趣，逐渐

会把一些问题模型化.但是学生在探究问题的能力，应用数学的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强.

三?设计思想：

建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构.基于以上理论，本节课遵循引导发现、循序渐进的思路，采用问题探究式教学，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中建构几何概型的概念以及归纳出几何概型公式，运用实物、多媒体、投影仪辅助，倡导“自主、合作、探究”的学习方式?具体流程如下：

情境引入f概念形成f实际应用f课堂反思f作业布置

四?教学目标:

知识与技能目标：通过实例，让学生了解几何概型的概念以及几何概型与古典概型的区别?会计算简单的几何概型事件，并解决实际问题.

过程与方法目标：让学生经历概念的建构这一过程，进一步体会从特殊到一般的思想；通过实际应用，培养学生数形结合的能力，以及把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识.

情感与态度目标：通过创设情境激发学生学习数学的情趣，培养其积极探索的精神?通过实际应用让学生体会到数学在现实生活中的价值，增强了学生学习数学的自信心.

五?教学重点与难点:

重点：理解几何概型的定义、特点、及几何度量的寻找，会用公式计算几何概率.

难点：从实际问题的背景中找几何度量.

六?教学过程设计：

(一) 情景引入

问题1我们前面都学过哪些求概率的方法？(本节课的问题和题目都用多媒体幻灯片展示)

问题2下面事件的概率能否用古典概型的方法求解？

［情景一］

教师取一根长度为60厘米的绳子，拉直后在任意位置剪断，使得剪出的两段的长都不小于绳子长度1/3(记为事件A)，求此事件发生的概率. 师生共同探究：此试验中，从每一个位置剪断都是一个试验结果，剪断位置可以是绳子上任一点，试验的可能结果为无限个，发现不是古典概型，不可以用古典概型的方法求解. 探索：

如图所示，把绳子三等分，于是当剪断位置在中间一段时，事件A发生，于

是中间线段长度_1

P(A)=整条线段长度=3 教师:

疋

这个模型就是我们今天要学习的

几何概率模型，简称几何概型.

［情景二］

教师用多媒体展示商场里面的抽奖场景视频，拿出如图中

的两个转盘，规定当指针指向B区域时顾客就中奖了

问题3在两种情况下某顾客中奖的概率分别是多少？

学生思考并回答,可见在图(1)中,顾客中奖的概率为二分之一图(2)

(1)

中顾客中奖的概率为五分之三.

［情景三］一只苍蝇在一棱长为60cm的正方体笼子里飞.

问题4苍蝇距笼边大于10cm的概率是多少？

教师实物展示正方体框架，在里面嵌套一个小正方体框架.

学生思考并回答该问题.

问题5同学们观察对比，找出三个情景的共同点与不同点？问题

6同学们能否根据自己的理解说说什么是几何概型？学生进行小组讨论，以小组为单位发言，对回答问题的同学通过摇转盘的形式发给小奖品，场面气氛活跃.

【设计意图】三个情景设置让学生发现试验的结果有无限个，因此发现它们不

是古典概型，无法用古典概型的方法求解，然后师生探索此问题怎样解决，最后教

师点题：这就是我们今天要学习的几何概型. 情境一的设计是从长度方面考虑问题,是为了引入概念，情境二、三的设计从面积和体积方面考虑问题，是为了让学生全

面了解几何概型的概念，并且渗透数形结合的数学思想方法. 小组的讨论是为了培养学生的合作意识和团队精神，用转盘的形式发奖品，让学生亲身体验概率游戏的乐趣.

（二）概念形成

在问题情景的铺垫下，教师引导学生用自己的语言描述几何概型的概念：如

果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

问题6

引导学生通过对前面三个情境的总结，得到在几何概型中，事件A发生的概率的计算公式为：

构成事件A的区域长度（面积或体积）

P(A) =

全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

【设计意图】通过用表格列出相同和不同点，既体现了数学中类比的思想又能让学生更好的了解几何概型，从而突出教学重点.通过递进式地设置问题，使学生将实际问题转化成数学概念，体验到了探寻数学规律的乐趣，加深了学生对概念的了解和对公式的探究，突出教学重点.

（三）实际应用

例1某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.

此例首先让学生独立思考，然后教师再画龙点睛的分析并求解.

解完此例题后归纳求解几何概型问题的步骤：

1判断该概率模型是不是几何概型.

2如果是，把实际问题中的度量关系转化成长度、面积、体积等形式.

3根据几何概型计算公式求出概率.

思考延伸：能否设计一个实验，来模拟例1?

请一位同学说一说他的模拟实验，教师引导学生一起分析其可行性.

例2 一海豚在水中自由游弋，水池为长30m,宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边超过2m的概率.

变式：一海豚在水中自由游弋，水池为长30m，宽20m，深40米的长方体，求此刻海豚嘴尖离岸边离水面、水底都不超过2m的概率.

此例可让学生将答案做在作业纸上，挑选几个有代表性的解答用实物投影展出请一些同学进行点评，教师进行总结.

例3:假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30 —7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00 —8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

课堂训练：

1. 某公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的，求乘客等车不超过3分钟的概率.

2?如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，分别计算它落到阴影部分的概率

3?在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少？

4 ?在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？

【设计意图】实际应用部分有问题，有例题，也有学生的训练，

问题7的设计是为了让学生认识到数学源于生活，又应用于生活，生活中处处有数学;三道例题的设置让学生对几何概型的题目有了更深刻的理解，认识到几何概型主要是要把概率问题与几何问题完美的结合，几何度量中到底是长度、面积还是体积呢？我们要认真加以判断，要学会用数形结合的思想解决概率问题.

(四) 课堂反思

教师引导学生反思：本节课我们学了什么？学会了什么？还有哪些问题没有解决？

该环节让学生归纳讨论，教师将结果梳理写于黑板上.

1 ?几何概型的特点：无限性、等可能性.

2?几何概型的计算公式

3 ?度：线段的度是长度；

平面图形的度是面积；

立体图形的度是体积.

【设计意图】学生自己梳理本节所学知识，以便于对知识有一个系统的理解与认识；同时让学生学会反思，是一个非常良好的学习习惯的养成，也是学生将来处理工作生活问题的一个很好的习惯.

(五) 作业布置

必做题：教科书P142A组1,2

选做题:教科书P142B组1,2

探究题：

1. 平面上画了彼此相距为2a的平行线，把一枚半径为r(O

2. 上网搜索阅读“贝特朗(Bertrand)问题”，谈谈阅读后的感想.

注:几何概型在概率的发展中起到了非常重大的作用，在19世纪,人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答,然而Bertrand在1888年提出的一个问题改变了人们的想法.

“贝特朗(Bertrand)问题”：在半径为1的圆内随机取一条弦，问其长度超过

该圆内接等边三角形边长(、.3)的概率是多少？

参考:http://www . charlesgao . com/?p=130

【设计意图】对课后书面作业实施分层设置，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦. 分层布置作业使数学教育既面向了全体学生，人人都能获得必需的数学，又使不同的人在数学上得到不同的发展充分体现了课改精神.

七?教学小结与反思：

本节课的几个亮点：

1. 用实物演示，加深学生对学习内容的印象，让学生在做中学，增强了学生学习数学的兴趣.

2. 颇具特色的情景引入，让学生很自然地把实际问题演变成数学概念，体验到了探寻数学规律的乐趣，符合新课改精神.

3. 转盘游戏寓教于乐，活跃了课堂气氛,使学生能够轻松愉悦地接受新知识.

4. 两次的小组讨论学习，培养了学生的合作意识和团队精神，尝试到了合作的乐趣提高了学习的主动性.

5 ?例题的设置从长度、面积、体积三种几何度量设置题目，由浅入深,覆盖面广, 符合学生的认知规律.

6. 例题2的处理让学生来批改解答作业，学会发现错误，发现解题的不足之处，有利于学生自觉地养成良好的学习习惯.

7. 本节课充分使用了多媒体、实物演示、影片剪辑，声情并茂,活跃了课堂的气氛,让数学课堂如此的生动有趣.

8. 课后书面作业实施分层设置，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，使不同的人在数学上得到不同的发展，充分体现了课改精神. 9. 采用问题式教学，发挥了学生的主观能动性. 本节课的特色：

1. 注重加强数学应用意识，本课时在情境选择、问题设置、作业布置等方面都注重与实际生活紧密联系，让学生体会到数学的应用价值，通过师生互动，实现了概念的意义建构.

2. 注重知识的探求与发现，本课时在形成概念、推导公式、实际应用等教学环节中，突出体现了以学生能力的发展为主线，应用启发式、讲述式引导学生层层深入，培养学生自主探索以及发现问题、分析问题和解决问题的能力.

3. 注重数学思想方法的渗透，本课时的教学中，每一个细节都别具匠心，多次渗透了数形结合、随机模拟、从特殊到一般等数学思想方法.