四川省眉山高一下学期期末考试数学试题

眉山市高中2017届第二学期期末教学质量检测

数学试题卷

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卡交回.

第Ⅰ卷(选择题，共50分)

一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.

1. 设,a b 是非零实数，若a b <，则下列不等式成立的是 A ．22a b < B ．22ab a b < C ．2211ab a b < D ．11a b

2. 已知

()()

1,2,,1a b x ==，且a 与b 是共线向量，则x =

A ．1

B ．2

C ．12

D ．13

3. 若等比数列

{}n a 满足116n n n a a +=，则{}n a 的公比为

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16 4. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图1所示，则该几何体的侧视图为

A B

C D

5. 已知某正方体的外接球的表面积是16π，则这个正方体的棱长是

A ．

3 B ．3 C ．3 D ．3

6. 对于任意实数x ，不等式

()()222240a x a x ----<恒成立，则实数a 的取值范围是

图1

A ．(2,2)-

B ．(2,2]-

C ．(,2)-∞

D ．(,2]-∞ 7. 已知等差数列{}n a 中，n S 是它的前n 项和，若16170,0S S ><，则当n S 取最大值时，n 的

值为

A ．8

B ．9

C ．10

D ．16 8. 在ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若2

cos 22B a c c

，则ABC ?的形状为 A ．正三角形 B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

9. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图①中的

1,3,6,10,...,

由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的1,4,9,16,...,这样的数称为正方形数.下列数中既是三角形数又

是正方形数的是

A ．189

B ．1024

C ．1225

D ．1378

10. ABC ?的外接圆圆心为O ，半径为2，0OA AB AC ++=，且OA AB =，则CB 在CA 方向上的投影为

A ．1

B ．2 C

D ．3

第Ⅱ卷(非选择题，共100分)

二. 填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卷中的相应位

置.

11. 如图2所示，向量

=-b a .(用21e e ,表示)

12. 一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 .

. . .

俯视图

图2 图3

13. 已知

,a b 为单位向量，若

2144k a b k

+?=

()0k >，则k = . 14. 已知数列

{}n a 的前n 项和32n n S =+，则n a = .

15. 如图4所示，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇

险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东30θ?+角的方向沿直线前往B 处营救，则

sin θ

= .

三. 解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或

演算步骤.

16. (本小题满分12分)

在ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，32,1,cos 4

b a C ===

⑴求ABC ?的周长；⑵求sin A 的值

17. (本小题满分12分)

已知{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，且1358,30a a S +==.

⑴求{}n

a 的通项公式；⑵若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值.

18. (本小题满分12分)

设m R ∈，解关于x 的不等式22230m x mx +-<.

19. (本小题满分12分)

已知

()()

111,,22

a a

b a b a b =?=-?+=

⑴求a 与b 的夹角；⑵求a b -与a b +的夹角的余弦值.

20. (本小题满分13分)

北

30°

图4

已知函数

()2

26kx f x x k

=+()0k >

⑴若

()f x m

>的解集为{|3,2}x x x <->-或，求不等式2530mx kx ++>的解集；

⑵若存在3,x >使得()1

f x >成立，求k 的取值范围.

21. (本小题满分14分)

设

()()

1122,,,A x y B x y 是函数

()2

1log 21x f x x

=+-的图象上任意两点，

且

()

2OM OA OB =+，已知点M 的横坐标为12

. ⑴求证：M 点的纵坐标为定值； ⑵若

*121...,,2n n S f f f n N n n n n -????

??=+

++∈≥ ? ? ???????

且求n

S ；

⑶已知

n a =12 131 2(1)(1)n

n n n S S +?=????≥++??，其中*n N ∈，n

T 为数列{}n a 的前n 项和，若

()

11n n T S λ+<+对一切*n N ∈都成立，试求λ的取值范围.

眉山市高中2017届第二学期期末教学质量检测

数学参考答案

一、选择题：

11.

3e e -

12.

103 13. 12

14.

5,12,2n n n a n n N

-=?

=?≥∈?且三、解答题：

16.解：⑴在ABC ?中由余弦定理可知

2222cos 2c a b ab C =+-= ………..4分

∴c ∴ABC ?的周长为 23+

………………………………………………6分

⑵

sin C ==

……………………………………………………….8分

在ABC ?中由正弦定理可知

sin sin a c A C

……………………………..10分

sin sin 8

a C A c ∴==

…………………………………………………….12分

17. 解：⑴

{}n a 为等差数列 ∴1325328,530a a a S a +====

234,6a a ∴== ……………………………………………………………3分 322d a a ∴=-= ……………………………………………………..4分 2(2)2n a a n d n ∴=+-= ……………………………………….6分

⑵由⑴

()2

222

n n n S n n

+==+， ()2

22256

k S k k k k +=+++=++ ……………………………………..8分

若12,,k k a a S +成等比数列，则2

12k k a a S +=， ………………………………………10分即

()

224256k k k =++即2560k k --= 而*k N ∈，6k ∴= …………………….12分

18. 解：①当0m =时，不等式可化为30-<，此不等于恒成立，不等式解集为R ；..4分

②当0m >时，不等式可化为

()()310mx mx +-<，即310x x m m ????+-< ????

而

31m m -<，此时不等式的解集为31|x x m m ??-<

?； …………….8分 ③当0m <时，不等式可化为

()()310mx mx +-<，即310x x m m ????+-<

????

而

31m m ->，此时不等式的解集为13|x x m

m ??<<-????； ………………..12分 19. 解：⑴

(

)()

12a b a b -?+=

∴2

∴ ………………………………………………….2分

设a 与b 的夹角为θ，则

cos 2a b

a b

θ?==

………………………..4分

而

[]0,θπ∈ 4

θ∴=………………………………………………………………6分

⑵设a b -与a b +的夹角为φ，

()2

222

a b a b a a b b -=

-?+=

………………………………….8分

()

1022

a b a b a a b b +=

+?+=

………………………………..10分

()()5

cos 5

a b a b a b a b

φ-?+==

-+ …………………………………………………….12分

20. 解：⑴

()2

22260

6kx f x m m mx kx km x k

>?>?-+<+……2分不等式2260mx kx km -+<的解集为{|3,2}x x x <->-或

∴3,2--是方程2260mx kx km -+=的根

2152

665k k m m k =??=-??∴???=-??=??

……………………………………………………………4分

353023012

mx kx x x x ++>?--

∴不等式2530mx kx ++>的解集为31,2??- ?

? ……………………………………6分

⑵

()()22

2211260266kx f x x kx k x k x

x k

>?>?-++ 存在3,x >使得()1

f x >成立，即存在3,x >使得

226

x k x >

-成立…………….9分令

()()

2,3,26

x g x x x =∈+∞-，则()min k g x > 令26x t -=，则

()

0,t ∈+∞

，

6923364t t y t t +?? ???==++≥= 当且仅当t t

94=即23=t 时等号成立.()min 156

4g x g ??∴== ???

……………..12分 ()

6,k ∴∈+∞ ………………………………………………………………..13分

法二：令

()()

226,3,g x x kx k x =-+∈+∞

存在3,x >使得

()1f x >成立，即存在

()0

g x <成立，即

()min 0

g x <成立……8分

当03k <≤时，

()

g x 在

()3,+∞上单调递增，∴()()39g x g >=，显然不存在

()0

g x <；…………………………………………10分

当3k >时，

()

g x 在

()3,k 上单调递减，在(),k +∞上单调递增，()()2min 6g x g k k k ==-+，

由260k k -+<可得6k > ………………………………………………….12分综上，

()

6,k ∈+∞ ……………………………………………………13分

21. ⑴证明：设

(),M x y 1()2OM OA OB =+ ∴121222

x x x y y y +?=???

+?=??

由

x 知121=+x x ，122111x x x x -=-=∴, …………………2分

()()1222

121212

121222221211log log 11222

1log 1log log 1222

x x f x f x y y x x y x x x x

x x x x ++++--∴===

??+?++ ?

??===

∴M 点的纵坐标为定值2

1 ……………………………………………………4分

(2)由(1)知

()()12121,1

x x f x f x +=+= ………………………5分

121...n n S f f f n n n -????

??=+

++ ? ? ???

121n n n S f f f n n n --????

+?+

? ? ???????

，

两式相加得：

2n S =112211...n n n f f f f f f n n n n n n ?-??-??-?????????????++++++ ? ? ? ? ? ???????

?????????????????? 1

n =-……7分 ∴

()*

12,2

n n S n n N -=≥∈ ………………………………………………8分 (2)当2n ≥时，

114114().

(1)(1)(1)(2)12

n n n a S S n n n n +===-++++++ …………………9分

123...n n

T a a a a

=++++

432+)](...)()[(211151414131+-+++-+-n n =432+(1

12).322

n n n -=++ ………………………………11分

由

()

11n n T S λ+<+得22+n n ＜λ·.

2+n

∴λ＞

444)2(422++=++=+n

n n n n n n

∵

4n n

≥4，当且仅当2=n 时等号成立， ………………………………………12分

∴

44444

4=+≤++n

当1n =时，

λ>

………………………………………13分因此λ＞2

1，即λ的取值范围是(,

21+∞)…………………………………………14分