同方专转本高数模拟试卷

江苏省20XX 年普通高校“专转本”统一考试模拟试（一）

高等数学

注意事项：

1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。

2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。

3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的，请把所选项前得字母填在题后的括号内）。

1. 已知312

lim

1

x x ax b x →+-=-存在，则常数,a b 的值分别为（ ） A. 1,4a b ==- B. 1,4a b == C. 1,4a b =-=- D. 1,4a b =-=

2. 函数222()(1)(4)

x x

f x x x x -=--的可去间断点是（ ）

A. 0x =

B. 1x =

C. 2x =-

D. 2x =

3.当0x →时，下列无穷小中与x 不等价的是（ ）

A. 2

10x x - B. 2ln(1)x x

+ C. 2

sin(2sin )x x + D. 221x e x -- 4.设()f x 的一个原函数是2ln x ，则2

(1)xf x dx '+?

（ ） A.22ln(1)1x c x +++ B. 222

ln (1)

1

x c x +++ C. 2ln(1)x c ++ D. 22ln (1)x c ++

5.下列级数绝对收敛的是（ ）

A.1(1)

n

n ∞

=-∑

B. 1

(1)

n

n ∞

=-∑ C. 11

(1)ln n

n n n ∞

=+-∑

D.

1

(1)ln

n n ∞

=-∑6.

二重积分

1

1(,)x

dx f x y dy -?交换积分次序后得（ ）

A.

1

1(,)y

dy f x y dx -?

B.

1

10

(,)y dy f x y dx -?

C.

1

1(,)y

dy f x y dx +?

D.

1

1(,)y

dy f x y dx -?

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。 7、若2lim(

)8x

x x a x a

→∞

+=-，a = 8、设()f x 是连续函数，2

()()x

e x F x

f t dt -=

?

，则()F x '=

9、以(1,2,0),(1,3,1),(2,1,2)A B C --

为顶点的三角形面积= 10、设函数(,)z z x y =由方程

23

z e z x y -=所确定，则z

x

?=? 11

、定积分

1

21

(x dx -=

?

12、幂级数1

(2)3n

n

n x n ∞

=+∑的收敛域为 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。 13、求极限20

tan sin lim

ln(12)

x x x

x x →-+

14、设函数()y y x =由方程23

ln()sin x y x y x +=+所确定，求(0),(0)y y '''

15、求不定积分

16、计算定积分

3

0?

17、求通过平面

1:240 x y

π+-=和平面

2:20 y z

π+=的交线及点

0(2,1,1)

M--的平面方程。

18、设2

2

(sin ,)x

z f e y x y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2z

x y

???。

19、计算二重积分2D

x ydxdy ??，其中D 是由1,2xy y x ==以及x 轴所围成的平面闭区域。

20、已知2(1)x

y x e =+是二阶常系数非齐次线性方程22x

y y y e αβ'''++=的一个特解，试确定常数,αβ的值，并求该方程组的通解。

21、 设函数21

()x f x x

+=

（1）求函数()y f x =的单调区间、极值。

（2）求函数()y f x =图形的凹凸区间、拐点及渐进线方程。

22、设直线(01)y ax a =<<与抛物线2

y x =所围成的图形面积为1S ,它们与直线1x =所围成的平面图形面积为2S

（1）试确定a 的值，使12S S +达到最小，并求出最小值。

（2）求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积。

23、证明：当0x >时，2

2(1)ln(1)2x x x x ++<+

24

、设20()()0x f x x x x ?>=≤?

，其中()x ?为有界函数，证明：()f x 在0x =处连续且可导。

江苏省20XX 年普通高校“专转本”统一考试模拟试（一）解析

一、单项选择题

1. 已知312

lim

1

x x ax b x →+-=-存在，则常数,a b 的值分别为（ ） A. 1,4a b ==- B. 1,4a b == C. 1,4a b =-=- D. 1,4a b =-= 解：该题考察等价无穷小阶的比较，求极限等概念与方法。

因为1

lim(1)0x x →-=这表明1

(1)x -是1x →时的一阶无穷小； 312lim 1

x x ax b x →+-=-存在，可推出31lim(2)0x x ax →+-=，同阶无穷小量或是高阶无穷小量的

商式极限才有可能存在，这是无穷小量阶的比较理论。

由31

lim(2)0x x ax →+-=可得 120a +-=，解得1a =。 0

33

21

1112231

lim lim lim 4111

a x x x x ax x x x

b x x =→→→+-+-+====-- 故答案选择B

2. 函数222()(1)(4)

x x

f x x x x -=--的可去间断点是（ ）

A. 0x =

B. 1x =

C. 2x =-

D. 2x = 解：求函数间断点的方法首先需要考察函数的定义域，因为初等函数在定义域内都是连续函数，只有定义域的分段点才有可能是间断点。

本题的间断点有可能为0,1,2,2x x x x ====-，下面逐个考察

当0x =时，因函数表达式中含有绝对值，从而必须分左右极限加以讨论。

220002(2)1

lim ()lim lim (1)(4)(1)(2)(2)2x x x x x x x f x x x x x x x x →+→+→+--===-

----+ 220002(2)1

lim ()lim lim (1)(4)(1)(2)(2)2

x x x x x x x f x x x x x x x x →-→-→+--===

------+ 综上可知，0x =是跳跃间断点；

下面继续判断1,2,2x x x ===-是否为间断点。

当被讨论的函数是分段函数，并且分段点左右两边的表达式互不相同时，判断分段点的连续性或是间断点的类型才需分左右极限加以讨论。

1x =是无穷间断点，这是因为

2211112(2)1

lim ()lim lim lim (1)(4)(1)(2)(2)(1)(2)

x x x x x x x x f x x x x x x x x x x →→→→--====∞----+-+； 2x =是可去间断点，这是因为

2222222(2)11

lim ()lim lim lim (1)(4)(1)(2)(2)(1)(2)4

x x x x x x x x f x x x x x x x x x x →→→→--====-

----+-+； 2x =-是无穷间断点，这是因为

2222222(2)1lim ()lim lim lim (1)(4)(1)(2)(2)(1)(2)

x x x x x x x x f x x x x x x x x x x →-→-→-→---====∞----+-+； 从而该题选择D

3.当0x →时，下列无穷小中与x 不等价的是（ ）

A. 2

10x x - B. 2ln(1)x x

+ C. 2

sin(2sin )x x + D. 221x e x -- 解：判断等价无穷小或是无穷小的阶，结合本题，常用的方法是

考察

0()

lim 0k

x x c x α→=≠，则说明无穷小量()x α是k 阶无穷小。

进一步

0()lim 1k

x x cx α→=，说明无穷小量()x α与k

cx 是等价无穷小。 本题需要判断所给出的四个选项中的无穷小与x 是否为等价无穷小，只需判断

0()

lim 1

x x x

α→=何时成立。

2010lim 1x x x x →-= 220l n (1)l i m 1x x x →+= 200214lim lim 11x x x x e x e x

x →→---== 22

00sin(2sin )2sin lim lim 2x x x x x x x x →→++==?202sin lim

12x x x x →+=

?0x →时，22sin ~2x x x +

从而C 选项是错误的。

对于寻找一个无穷小量的等价无穷小量，这是一个非常重要的问题，这涉及到求极限，无穷小阶的比较，级数敛散性的判断等许多问题。学习过程中还需掌握以下一些结论：

同“小”取“小”：有限个无穷小量的代数和，其阶数取最低的无穷小量的阶。

例如：0x →时，2

5

37x x x +-，其阶数为1阶，它与x 是同阶无穷小，且为等价无穷小。

同“大”取“大”：有限个无穷大量的代数和，其阶数取最高的无穷小量的阶。

例如：x →∞时，2

5

37x x x +-，其阶数为5阶，它与5x 是同阶无穷大，且与5

7x -是等

价无穷大。

以上结论的证明不难，大家可尝试使用以上结论求解本题。

4.设()f x 的一个原函数是2

ln x ，则2

(1)xf x dx '+?

（ ）

A.22ln(1)1x c x +++

B. 222

ln (1)1

x c x +++ C. 2ln(1)x c ++ D. 22

ln (1)x c ++ 解：该题是考察函数与原函数之间的关系。

本题有两种思路，一种是对()F x 分别求两次导数，可得()f x '，然后再积分：

另外一种是先对2

(1)xf x

dx '+?积分，再根据已知条件求解。

解题时除了考察可行性，还要考虑计算效率。

2222

11(1)(1)(1)(1)22

xf x dx f x d x f x c ''+=++=++?

? 22ln ()()(ln )x

f x F x x x

''===

5.下列级数绝对收敛的是（ ）

A.1(1)

n

n ∞

=-∑

B. 1

(1)

n

n ∞

=-∑ C. 11

(1)ln n

n n n ∞

=+-∑

D. 1

(1)ln

n n ∞

=-∑解：考察一般项级数的是否绝对收敛，可使用正项级数敛散性的判别方法。 正项级数敛散性的判别方法通常有比较判别法，比式判别法以及根式判别法。 对于比较判别法，通常使用极限形式。

设正项级数1n n u ∞

=∑和1n n v ∞

=∑，若lim 0n

n n

u l v →∞=≠，则1n n u ∞=∑与1n n v ∞

=∑同敛同散。 该定理的意义在于寻找n u 的同阶无穷小n v ，特别的，若1l =，n u 和n v 是等价无穷小。

根据

1

n

n v

∞

=∑的敛散性推出

1

n

n u

∞

=∑的敛散性。

1

n n v ∞

=∑通常选取p 级数1

1

p n n ∞

=∑

，1p >收敛，1p ≤ 发散； p -级数的意义在于1

()p n

当n →∞时是p 阶无穷小。可通过判别无穷小的阶数进而判

断级数的敛散性。

本题中考察

1

n

n u

∞

=∑通项n u 的同阶或是等价无穷小对应级数的敛散性。

选项A

中1

~n u n

=；

1

1n n ∞

=∑ 1p =，从而原级数不绝对收敛。 选项B

中3

2

1~

n u n

=

；

312

1n n

∞

=∑

3

2

p =

，从而原级数绝对收敛。 选项C 中11

ln ~n

n u n n

+=； 1

1

n n ∞

=∑ 1p =，从而原级数不绝对收敛。 选项D

中111

ln ~22n n u n n

+==；

1

1111

22n n n n ∞

∞===∑∑，1p =，从而原级数不绝对收敛。 6.

二重积分

1

1(,)x

dx f x y dy -?交换积分次序后得（ ）

A.

1

1(,)y

dy f x y dx -?

B.

1

10

(,)y dy f x y dx -?

C.

1

1(,)y

dy f x y dx +?

D.

1

1(,)y

dy f x y dx

-?

二重积分

1

1(,)x

dx f x y dy -?

的积分区域为011x D x y ≤≤??

?-≤≤??

只用y

型积分区域表示为011y D y x ≤≤??

?-≤≤??

答案选择（A ）

二、填空题 7、若2lim(

)8x

x x a x a

→∞

+=-，a = 解：该题考察的是第二个重要极限，33333lim(1)lim[(1)]8x a ax

x a a x a

x x a a e x a x a

--→∞

→∞+=+==--， 解得ln 2a =

8、设()f x 是连续函数，2

()()x

e x F x

f t dt -=

?

，则()F x '=

解：变上限函数的求导公式，对于很多同学可能会觉得不容易记牢

在记忆时不彷考虑牛顿莱布尼兹公式辅助记忆

()

()()

()

()()

[()][()]b x b x a x a x f t dt F t F b x F a x ==-?

()

()

(())([()][()])(())()(())()b x a x f t dt F b x F a x f b x b x f a x a x ''''=-=-?

22()(())()()()(2)

x e x x x

F x f t dt f e e f x x ---''==--?

9、以(1,2,0),(1,3,1),(2,1,2)A B C --

为顶点的三角形面积= 解：该题考察的是向量的点乘和叉乘等运算性质

以向量a 和向量b 为两边的三角形的面积等于

1

2

a b ?， (2,1,1)a AB OB OA ==-=-，(3,4,1)b BC OC OB ==-=-

211555341

i

j

k

a b i j k ?=-=++-，55553a b i j k ?=++=

三角形的面积等于1532a b ?=

10、设函数(,)z z x y =由方程23

z e z x y -=所确定，则

z

x

?=? 解：本题求由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数(,)z z x y =的偏导数。 解法一：对方程2

3

z

e z x y -=两边关于x 直接求偏导数,得

32z

z z e xy x x ??-=??，解得321z

z xy x e ?=?-

解法二：公式法

设23

(,,)z F x y z e z x y =--,则3(,,)2x F x y z xy =-，

(,,)1z z F x y z e =- 由公式 321

x z z

F z

xy x F e ?=-=?-

11

、定积分

1

21

(x dx -=

?

解：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质

1

1

11

2221

1

1

1

((21)122

x dx x x dx dx ----=--=-=?

???

12、幂级数1

(2)3n

n

n x n ∞

=+∑的收敛域为 解：幂级数

1

n n n a x ∞

=∑的收敛半径1

lim

n

n n a R a →∞+=，收敛区间为(,)R R -,

收敛域为(,)R R -+收敛区间端点。

幂级数

01

()n n n a x x ∞

=-∑的收敛半径1

lim

n

n n a R a →∞+=，收敛区间为00(,)x R x R -+,

收敛域为00(,)x R x R -++收敛区间端点。

该题中13n n a n =，1

1

(1)3lim lim 33n n n n n n a n R a n +→∞→∞++===，收敛区间为(5,1)- 当5x =-时，原级数变为1

(1)n n n ∞

=-∑收敛；

当1x =时， 原级数变为

1

1

n n ∞

=∑ 发散； 所以原级数的收敛域为[5,1)-

三、计算题 13、求极限2

tan sin lim

ln(12)

x x x

x x →-+ 解：求极限时，多次使用罗比达法则，成了求极限的“利器”。这是不提倡的。 罗比达法则求极限的好处主要有两方面，一是通过求导降阶，二是通过求导将难求极限的极限形式转变为容易求极限的形式。

求极限的通常形式是无穷小量或是无穷大量阶的比较，使用等价无穷小或是等价无穷大的目的是将函数转换为幂的形式，方便判别阶数。本题可这样求解

求极限0tan sin lim

k

x x x

x →-，目的是找到tan sin x x -的等价无穷小。

3000001tan sin sin (1cos )sin (1cos )12lim lim lim lim lim cos cos k k k k x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x →→→→→---=== 显然，当3k =时，30tan sin 1lim 2

x x x x →-=，也即03tan sin lim 112

x x x

x →-= 从而，可得0x →时，31tan sin ~

2

x x x - 又 2

2

ln(12)~2x x +

从而322001tan sin 12lim lim ln(12)24

x x x

x x x x x x →→-==+? 本题常规做法是23

0tan sin tan sin lim

lim ln(12)2x x x x x x

x x x →→--=+，然后使用罗比达法则求极限。

两种解题方法，体现了对极限思想不同理解的差异，其繁简程度大家做完该题后自行体会。

14、设函数()y y x =由方程23

ln()sin x y x y x +=+所确定，求(0),(0)y y '''

解：该题是隐函数求导的问题，可对方程两边直接求导，求一阶导时，也可采用公式法求导。 求一阶导数：

（1） 直接求，232

23cos x y x y x y x x y

'

+'=+++ 说明：求y ''本可对上式两边继续关于x 求导，但是上式等号左侧是商的形式，求完后形式较繁琐，而且后续计算量较大，积的导数形式要比商式的导数简单。从而变形为下面的表达式。

解出 452223

23c o s 3c o s x y x y x y x x x y x y y y x

'''+=++++

+ 对上式两边关于x 继续求导得

344522(123)(5)(2cos sin )y x y x y x y x y x x x x ''''''+=++++-+

22233(66)(3)(cos sin )xy x yy x yy x y y x yy y x y x '''''''+++++-

上式中令0x =，可得2(0)(0)y y '''+=

将0x =代入 452223

23cos 3cos x y x y x y x x x y x yy y x '''+=+++++中

得(0)(0)y y '=

将0x =代入23

ln()sin x y x y x +=+得ln (0)0y =，得(0)1y =

从而解得(0)1y =，(0)(0)1y y '==，(0)1y ''=-

通过求解本题，大家需要学习到解题过程中细节的处理，以及解题风格的培养，本题难度不大，但是求解过程冗长，如何沉着仔细，又快又好的得到正确结果，需要不断训练。

（2） 求解一阶导数时还可使用公式法求解

设2

3

(,)ln()sin 0F x y x y x y x =+--=

222(,)

3c o s x x F x y x y x x y =--+，3

2

1(,)y F x y x x y =-+，x y

F dy y dx F '==- 将以上各式代入整理，转化为积的形式，继续求导，可得y ''

15

、求不定积分

解:根据往年的命题规律，几乎每年都有不定积分与定积分的题型各一道。主要考察第一、

第二类换元法与分部积分法。 分析：

2

2211arcsin arcsin (arcsin )[(arcsin )(arcsin )]22

x xd x xd x x x x dx ==

=-???从而该题转化为求解不定积分2

(arcsin )x dx ?

，继续使用分部积分不可取。

可考虑使用换元法，令arcsin ,sin ,sin x t x t dx d t ===

22222

(arcsin )sin sin sin sin 2sin x dx t d t t t tdt t t t tdt ==-=-???

? 做到此，积分sin t tdt ?

是容易求的，但是做到这，回过来看看，好似兜了个大圈子，该方法也可以求解出结果。但是有点繁琐。

经过以上分析，本题最好的求解方法是直接换元。 解：令arcsin ,sin ,sin cos x t x t dx d t tdt ====

sin cos sin cos [cos cos ]cos sin cos t t

tdt t tdt td t t t tdt t t t c t

===-=--=-++?

???

变量代换可得

x x c =++

16、计算定积分

3

?

解：

3

34

01==?

??

u =，则2

t u =，2dt udu =，上式变为

4

2222

21

111122112[](1)(1)1udu du du du u u u u u u ===-+++?

???? 2[2ln 2ln3ln1]=--4

2ln

3=

17、求通过平面1:240x y π+-=和平面2:20y z π+=的交线及点0(2,1,1)M --的平面方程。

解：求平面方程通常使用点法式，这是最基本的方法。

解法一：（基本解法，点法式）对于本题，先取满足方程组240

20x y y z +-=??+=?的两个特殊点

1(1,2,1)P -和2(0,4,2)P -，再由平面上的不共线三点120,,P P M 求出平面方程。具体可先求

出向量10PM 和20P M ，然后两向量再叉乘求出平面的法向量。使用点法式求出平面方程。该方法虽然计算量略微繁琐，但是方法是基本方法。

解法二：该题还可使用平面束理论

假设有两个相交平面11111:0A x B y C z D π+++=和平面22222:0A x B y C z D π+++=, 则通过两平面的交线的所有平面构成一平面束。其方程为

11112222()0A x B y C z D A x B y C z D λ+++++++=

注意：该平面束不包含平面2π，因为0λ=时，上面的方程表示平面1π。 解: 设通过平面1:240x y π+-=和平面2:20y z π+=的交线的方程为

24(2)0x y y z λ+-++=

因为点0(2,1,1)M --在该平面上，代入上面的方程解得1

3

λ=-

从而所求方程为124(2)03

x y y z +--+=，也即360x y z +--=

18、设2

2

(sin ,)x

z f e y x y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2z

x y

???。

解：该题型是几乎每年必考。需要认真掌握。

2212(sin )()x x x z

f e y f x y x

?''''=++?12sin 2x e yf xf ''=+ 2z

x y

???1212(sin 2)(sin )2()x x y y y e yf xf e yf x f '''''''=+=+ 2

2

1121

22[cos sin ()]2[(sin )()]x

x

y y y e yf y f x f e y f x y '''''''''=++++

22111

122

2

21

22[cos sin ((sin )())]2[(sin )()]x x y y x

y y e yf y f e y f x y x f e y f x y '''''''=+++''''''+++

111

122122[cos sin (cos 2)]2[cos 2]x x x e yf y f e y f y x f e y f y '''''''''=++++

19、计算二重积分2

D

x

ydxdy ??，其中D

是由1,2xy y x ==以及x 轴所围成的平面闭

区域。

解： 该题的积分区域D 是无论是使用x 型积分区域还是y 型积分区域，都必须分成两块来表示 ，该题使用x 型积分区域求解。

1

2

1

12

2

22

2

20

1

x D

D D x

ydxdy x ydxdy x ydxdy dx ydy dx x ydy

=+=+?????????

12301115

228x dx dx =

+=??

20、已知2(1)x

y x e =+是二阶常系数非齐次线性方程22x

y y y e αβ'''++=的一个特解，试确定常数,αβ的值，并求该方程组的通解。

分析：对于该题，需要熟悉形如()x

n y y y P x e λαβ'''++=的特解形式

方程的特解形式为 *()k x n y x Q x e λ=

其中k 的取值为 λ不是特征方程2

0r r αβ++=的根， 则0k =； λ不是特征方程2

0r r αβ++=的单根，则1k =；

λ不是特征方程20r r αβ++=的重根，则2k =；

()n Q x 是与()n P x 次数相同的多项式；

根据以上理论，本题的特解形式应为*

2k

x

y x Ae =,A 是待定的零次多项式。

本题的特解形式为 *

2(1)x

y x e =+ ，与已给的形式不匹配，所以已

有的公式不能使用，需要使用其他方法。将特解代入方程，过程如下

*22x x y e xe =+； *232x x y e xe '=+； *284x x y e xe ''=+ 222222(84)(32)()x x x x x x y y y e xe e xe e xe αβαβ'''++=+++++

22[(42)(83)]2x

x x e e αβαβ=+++++=

对比上式左右两边，可得420832αβαβ++=??

++=? 解得2

αβ=-??=?

从而原方程对应的齐次线性方程为20y y '''-=，对应的特征方程为2

20r r -=，对应的特

征根为120,2r r ==，故齐次线性方程的通解为0212x

x y c e c e =+ 原方程的特解为 02212(1)x x x y c e c e x e =+++

说明：本题的特解*222(1)x

x x y x e

xe e =+=+，

其中2x

xe 是222x

y y e '''-=的解，

2x e 是 20y y '''-= 的解，

22x x xe e +是222x y y e '''-= 的解。若强行使用特解形式，将导致错误。

四、综合题 21、 设函数2

1

()x f x x +=

（1）求函数()y f x =的单调区间、极值。

（2）求函数()y f x =图形的凹凸区间、拐点及渐进线方程。 解：

（1）22244

()(1)(1)2()x x x x x x

f x x x ''+-++'== ，解得驻点为2x =-，不可导点为0x =。

函数的极小值为1(2)4

f -=-

。 （2）24242484

2()(2)(2)26

()()x x x x x x x x x f x x x x

''++-++'''=== 二阶导数等于零的点为3x =-和二阶导数不存在的点为0x =。

函数的拐点为2(3)9

f -=-

函数2

1

()x f x x +=

的渐进线方程 水平渐进线为lim ()0x f x →∞

=，即0y =；铅直渐进线0

lim ()x f x →=∞，即0x =；

斜渐进线因 ()

lim x f x k x

→∞

=不存在，从而不存在。

22、设直线(01)y ax a =<<与抛物线2

y x =所围成的图形面积为1S ,它们与直线1x =所围成的平面图形面积为2S

（1）试确定a 的值，使12S S +达到最小，并求出最小值。

（2）求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积。 解： （1）12230

1

()()()(232)6

a

a S a ax x dx x ax dx a a =

-+-=-+?

?

21()02S a a '=-

=，解得2a =-（舍去），2

a =

()20S a a ''=>，故()S a

在2

a =

处有极小值，极小值为26-；

（2）12V V V =+

11222222

0[

)()][())]x dx x dx x dx x dx =-+-

1

30

π=

五、证明题

23、证明：当0x >时，2

2(1)ln(1)2x x x x ++<+

分析：证明不等式的常用方法通常有以下几种 （1）利用单调性证明

（2）利用极值或是最值理论证明

（3）利用拉格朗日中值定理并结合导数的有界性 对于本题，可尝试使用单调性证明 分析法证明：

欲使原不等式成立，等价于证明：当0x >时，2

22(1)ln(1)0x x x x +-++>

设 2

()22(1)l n (1)

F x x x x x =+-++，且(0)0F = 从而等价于证明当0x >时，()F x 严格单调递增。即要证明()22ln(1)0F x x x '=-+> 改证当0x >时，ln(1)x x >+，对于该不等式，可对函数ln(1)x +在区间[]0,x 上使用拉格朗日中值定理。1

ln(1)ln(10)(0)1x x ξ

+-+=

-+，因ξ介于0和x 之间，且0x >，易知

111ξ<+，从而1x x ξ

<+，故ln(1)x x +< 原命题得证。

24

、设20()()0x f x x x x ?>=≤?

，其中()x ?为有界函数，证明：()f x 在0x =处连续且可导。 解析：要讨论分段函数在分段点的连续性和可导性，若分段点左右两端的表达式互不相同需要讨论左右连续性和左右可导性。

本题的分段点是0x =，左右两端的表达式互不相同。 首先讨论连续性

左极限2

0(00)lim ()0x f x x ?→-

-== [无穷小乘有界量仍然是无穷小量]

右极限2001(00)lim lim 0x x x

f →→+=== 因为(00)(00)f f -=+，故()f x 在0x =连续。 讨论可导性

左导数2000()(0)()0

(0)lim

lim lim ()000

x x x f x f x x f x x x x ??-→-→-→---'====--

右导数2

30002

1()(0)2(0)lim lim lim 00x x x x

f x f f x x +→+→→+-'====-

因为(0)(0)f f -+''=，故()f x 在0x =可导。 从而函数()f x 在0x =处连续且可导。