【数学】数学锐角三角函数的专项培优易错试卷练习题及详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度．（参考数
值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【答案】6.4米 【解析】
解：∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC?cos30°=3
6392
==米， ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF 中， BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米
首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高
2．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交E 于点D ，连接OD . （1）求证：直线OD 是
E 的切线；
（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E 于点G ，连接BG ：
①当1
an 7
t ACF ∠=时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求
BG
CF
的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ??
???
，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12.
【解析】 【分析】
（1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可；
（2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ??，得1
2
BG CF ≤，从而得解. 【详解】
（1）证明：连接DE ，则：
∵BC 为直径 ∴90BDC ∠=? ∴90BDA ∠=? ∵OA OB = ∴OD OB OA == ∴OBD ODB ∠=∠ ∵
EB ED =
∴EBD EDB ∠=∠
∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠ 即：EBO EDO ∠=∠ ∵CB x ⊥轴 ∴90EBO ∠=? ∴90EDO ∠=? ∴直线OD 为
E 的切线.
（2）①如图1，当F 位于AB 上时： ∵1~ANF ABC ??
∴
11
NF AF AN AB BC AC
== ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x ==
∴103CN CA AN x =-=-
∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-，解得：10
31x = ∴150
531AF x ==
15043
33131
OF =-=
即143,031F ??
???
如图2，当F 位于BA 的延长线上时： ∵2~AMF ABC ??
∴设3AM x =，则224,5MF x AF x == ∴103CM CA AM x =+=+ ∴241
tan 1037
F M x ACF CM x ∠===+ 解得：25
x =
∴252AF x ==
2325OF =+=
即2(5,0)F
②如图，作GM BC ⊥于点M ， ∵BC 是直径
∴90CGB CBF ∠=∠=? ∴~CBF CGB ??
∴
8BG MG MG
CF BC == ∵MG ≤半径4=
∴
41
882BG MG CF =≤= ∴BG CF
的最大值为12.
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
3．如图13，矩形的对角线
，
相交于点
，
关于
的对称图形
为
．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，．
①求的值；
②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以
的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．
【答案】（1）详见解析；（2）①②和走完全程所需时间为
【解析】
试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求；
②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.
试题解析：解：（1）证明：四边形是矩形.
与交于点O,且关于对称
四边形是菱形.
（2）①连接,直线分别交于点,交于点
关于的对称图形为
在矩形中，为的中点，且O为AC的中点
为的中位线
同理可得：为的中点，
②过点P 作
交于点
由
运动到
所需的时间为3s
由①可得，
点O 以的速度从P 到A 所需的时间等于以
从M 运动到A
即：
由O 运动到P 所需的时间就是OP+MA 和最小.
如下图，当P 运动到,即时，所用时间最短.
在
中，设
解得：
和
走完全程所需时间为
考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置
4．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点
A 、点
B ，且ABO ?的面积为8. （1）求k 的值；
（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.
【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM
S =.
【解析】 【分析】
（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；
(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证
POD OCE ???可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；
（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出
QTB PTO ???；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=?，通过计算证出PO PM =；
再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到
OD BO
PD MO
=，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32. 【详解】
解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =， ∴4BO =， 又∵4ABO S ?=，
∴
1
42
AO BO ?=，4AO =， ∴(4,0)A -，
把4x =-，0y =代入4y kx =+， 得044k =-+， 解得1k =. 故答案为1；
（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +
如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，
∴90PDO CEO ∠=∠=?， ∴90POD OPD ∠+∠=?，
∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ， ∴90POC ∠=?，OP OC =， ∴90POD EOC ∠+∠=?， ∴OPD EOC ∠=∠， ∴POD OCE ???， ∴OE PD =，
4m t =+.
故答案为4m t =+.
（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，
由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=?， ∴ABO ?为等腰直角三角形，
∴45ABO BAO ∠=∠=?，9045BOT ABO ABO ∠=?-∠=?=∠， ∴BT TO =， ∵90BTO ∠=?， ∴90TPO TOP ∠+∠=?， ∵PO BM ⊥， ∴90BNO ∠=?， ∴BQT TPO ∠=∠， ∴QTB PTO ???， ∴QT TP =，PO BQ =， ∴PQT QPT ∠=∠， ∵PO PK KB =+，
∴QB PK KB =+，QK KP =， ∴KQP KPQ ∠=∠，
∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠， ∴KPB BPN ∠=∠， 设KPB x ∠=?， ∴BPN x ∠=?， ∵2PMB KPB ∠=∠， ∴2PMB x ∠=?，
45POM PAO APO x ∠=∠+∠=?+?，9045NMO POM x ∠=?-∠=?-?， ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=?+?=∠， ∴PO PM =，
过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ， ∴22OM OD t ==，
9045OPD POD x BMO ∠=?-∠=?-?=∠， tan tan OPD BMO ∠=∠， OD BO PD MO =，
4
42t t t =+， 14t =，22t =-（舍）
∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==， ∴CM y 轴， ∵90PNM POC ∠=∠=?， ∴BM OC ，
∴四边形BOCM 是平行四边形，
∴4832BOCM
S
BO OM =?=?=.
故答案为32. 【点睛】
本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
5．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，C在AB的延长线上，AD⊥CE交CE的延长线于点D，且AE平分∠DAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求AD的长．
【答案】（1）详见解析；（2）9 2
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线的性质得到∠OAE＝∠DAE，再利用半径相等得∠AEO＝∠OAE，等量代换即可推出OE∥AD，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°，在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解题.
【详解】
证明：如图，连接OE，
∵AE平分∠DAC，
∴∠OAE＝∠DAE．
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE．
∴∠AEO＝∠DAE．
∴OE∥AD．
∵DC⊥AC，
∴OE⊥DC．
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．
∴∠EAB ＝30°，
在Rt △ABE 中，AE ＝AB·
cos30°=6×3
=33， 在Rt △ADE 中，∠DAE ＝∠BAE ＝30°， ∴AD=cos30°×AE=3
×33=92.
【点睛】
本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.
6．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF AE =，连接DE ，DF ，EF . FH 平分EFB ∠交BD 于点H .
（1）求证：DE DF ⊥； （2）求证：DH DF =：
（3）过点H 作HM EF ⊥于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.
（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=?，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=?.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于
45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=?+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=?+∠,
所以DH DF =.
（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得
222BD AB AD AB =
+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得
HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=?∠=?，
，所以22sin 45HN
BH HN HM ===?
.
由22cos 45DF
EF DF DH =
==?
，得22EF AB HM =-.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=?. ∴90EAD FCD ∠=∠=?. ∵CF AE =。 ∴AED CFD △△≌. ∴ADE CDF ∠=∠.
∴90EDF EDC CDF EDC ADE ADC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=?. ∴DE DF ⊥.
（2）证明：∵AED CFD △△≌， ∴DE DF =. ∵90EDF ∠=?， ∴45DEF DFE ∠=∠=?.
∵90ABC ∠=?，BD 平分ABC ∠， ∴45DBF ∠=?. ∵FH 平分EFB ∠， ∴EFH BFH ∠=∠.
∵45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=?+∠,
45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=?+∠, ∴DHF DFH ∠=∠. ∴DH DF =.
（3）22EF AB HM =-.
证明：过点H 作HN BC ⊥于点N ，如图，
∵正方形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=?，
∴222BD AB AD AB =
+=.
∵FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，
∴HM HN =.
∵4590HBN HNB ∠=?∠=?，
， ∴22sin 45HN
BH HN HM =
==?
.
∴22DH BD BH AB HM =-=-.
∵22cos 45DF
EF DF DH =
==?
，
∴22EF AB HM =-. 【点睛】
本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.
7．如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点A 、B 分别为地球仪的南、北极点，直线AB 与放置地球仪的平面交于点D ，所夹的角度约为67°，半径OC 所在的直线与放置它的平面垂直，垂足为点E ，DE =15cm ，AD =14cm ．
（1）求半径OA 的长（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
（2）求扇形BOC 的面积（π取3.14，结果精确到1cm ）
【答案】(1)半径OA 的长约为24.5cm ；(2)扇形BOC 的面积约为2822cm ． 【解析】 【分析】
(1)在Rt △ODE 中，DE=15，∠ODE=67°，根据∠ODE 的余弦值，即可求得OD 长，减去AD 即为OA ．
(2)用扇形面积公式即可求得. 【详解】
(1)在Rt △ODE 中，15cm DE =，67ODE ∠=?． ∵cos DE
ODE DO
∠=， ∴15
0.39
OD ≈
， ∴()384614245cm OA OD AD =-≈-≈．
．，
答：半径OA 的长约为24.5cm ． (2)∵67ODE ∠=?， ∴157BOC ∠=?， ∴2
360
BOC
n
r S π=
扇形 2
157 3.1424.52360
??≈
()2822cm ≈．
答：扇形BOC 的面积约为2822cm ． 【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，本题把实际问题转化成数学问题，利用三角函数中余弦定义来解题是解题关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点B 坐标（﹣6，0），点C 在y 轴正半轴上，且cos B ＝
3
5
，动点P 从点C 出发，以每秒一个单位长度的速度向D 点移动（P 点到达D 点时停止运动），移动时间为t 秒，过点P 作平行于y 轴的直线l 与菱形的其它边交于点Q ． （1）求点D 坐标；
（2）求△OPQ 的面积S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值； （3）在直线l 移动过程中，是否存在t 值，使S ＝320ABCD
S 菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点D 的坐标为（10，8）．（2）S 关于t 的函数关系式为S ＝
24(04)
220
(410)3
3t t t t t ??
?-+
（1）在Rt △BOC 中，求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标；（2）分两种情况分析：①当0≤t ≤4时和②当4＜t ≤10时，根据面积公式列出解析式，再求函数的最值；（3）分两
种情况分析：当0≤t ≤4时，4t ＝12，；当4＜t ≤10时，2220
1233
t t -+= 【详解】
解：（1）在Rt △BOC 中，∠BOC ＝90°，OB ＝6，cos B ＝
35
， 10cos OB
BC B
∴=
=
8OC ∴==∵四边形ABCD 为菱形，CD ∥x 轴，
∴点D 的坐标为（10，8）．
（2）∵AB ＝BC ＝10，点B 的坐标为（﹣6，0）， ∴点A 的坐标为（4，0）． 分两种情况考虑，如图1所示． ①当0≤t ≤4时，PQ ＝OC ＝8，OQ ＝t ，
∴S ＝
1
2PQ ?OQ ＝4t ， ∵4＞0，
∴当t ＝4时，S 取得最大值，最大值为16；
②当4＜t ≤10时，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0）， 将A （4，0），D （10，8）代入y ＝kx +b ，得：
4k b 010k b 8+=??
+=?，解得：4k 3
16b 3?=????=-??
， ∴直线AD 的解析式为416
33
y x =-． 当x ＝t 时，416
33
y t =
-， 4164
8(10)3
33PQ t t ??∴=--=- ???
21220
233
S PQ OP t t ∴=
?=-+ 22202502
(5),033333S t t t =-+=--+-<∴当t ＝5时，S 取得最大值，最大值为
503
． 综上所述：S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)
220(410)3
3t t t t t ??
?-+
（3）S 菱形ABCD ＝AB ?OC ＝80．
当0≤t ≤4时，4t ＝12， 解得：t ＝3； 当4＜t ≤10时，2220
33
t t -
+＝12， 解得：t 1＝5﹣7（舍去），t 2＝5+ 7． 综上所述：在直线l 移动过程中，存在t 值，使S ＝
3
20
ABCD S 菱形，t 的值为3或5+7．
【点睛】
考核知识点：一次函数和二次函数的最值问题.数形结合，分类讨论是关键.
9．如图，正方形ABCD 的边长为2+1，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAC 分别交BC 、BD 于E 、F ， （1）求证：△ABF ∽△ACE ； （2）求tan ∠BAE 的值；
（3）在线段AC 上找一点P ，使得PE+PF 最小，求出最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）tan ∠EAB 2﹣1；（3）PE+PF 的最小值为
22+
【解析】 【分析】
（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；
（2）如图1中，作EH ⊥AC 于H ．首先证明BE=EH=HC ，设BE=EH=HC=x ，构建方程求出x 即可解决问题；
（3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小，最小值为线段EH 的长； 【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ACE ＝∠ABF ＝∠CAB ＝45°， ∵AE 平分∠CAB ， ∴∠EAC ＝∠BAF ＝22.5°， ∴△ABF ∽△ACE ．
（2）解：如图1中，作EH ⊥AC 于H ．
∵EA 平分∠CAB ，EH ⊥AC ，EB ⊥AB ， ∴BE ＝EB ，
∵∠HCE ＝45°，∠CHE ＝90°， ∴∠HCE ＝∠HEC ＝45°， ∴HC ＝EH ，
∴BE ＝EH ＝HC ，设BE ＝HE ＝HC ＝x ，则EC ＝2x ， ∵BC ＝2+1， ∴x+x ＝2+1， ∴x ＝1，
在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝90°， ∴tan ∠EAB ＝
221
BE AB ＝＝+﹣1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．
作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝
2
2
， ∵AC 22AB BC +2，
∴OA ＝OC ＝OB ＝
12AC ＝222
+ ， ∴OH ＝OF ＝OA?tan ∠OAF ＝OA?tan ∠EAB ＝22+ ?（2﹣1）＝2
， ∴HM ＝OH+OM ＝
22
+， 在Rt △EHM 中，EH ＝2
2
22222EM HM 22????
+++
? ? ? ?????
＝ ＝22+．． ∴PE+PF 的最小值为22+．． 【点睛】
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
10．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A 处与E 处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C 点测得条幅顶端A 点的仰角为45°，条幅底端E 点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD 为12米，求条幅AE 的长度．(结果保留根号)
【答案】AE 的长为(123)+ 【解析】 【分析】
在Rt ACF 中求AF 的长, 在Rt CEF 中求EF 的长,即可求解. 【详解】
过点C 作CF AB ⊥于点F 由题知：四边形CDBF 为矩形
12CF DB ∴==
在Rt ACF 中，45ACF ∠=?
tan 1AF
ACF CF
∴∠=
= 12AF ∴=
在Rt CEF 中，30ECF ∠=?
tan EF
ECF CF
∴∠=
12EF ∴
=
EF ∴=
12AE AF EF ∴=+=+
∴求得AE 的长为(12+
【点睛】
本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.