第5章 故障树分析

第5章故障树分析

5.1 概述

设备出现了故障，故障的根源在哪里？故障形成的过程怎样？故障的发生概率如何？设备状态监测时监测部位应如何选择？这些问题的解决都需要我们对设备进行故障分析。

过去设备结构简单，故障分析可以仅靠经验，现代设备技术密集、机型多样，仅靠经验就不够了，所以发展了各种科学的分析方法。故障树分析法是其中的一种简单、有效的重要方法，简称FTA。

5.1.1 故障树分析法特点与应用

故障树：

故障树是表示设备故障与它的各个零部件故障之间逻辑关系的图形。由于这个图像一棵倒长的树，所以叫故障树。

图5-1 简单故障树

图5-1是一棵简单故障树，它表明设备故障是由部件Ａ或者是由部件Ｂ的故障引起的，而部件Ａ的故障又是由两个零件中的一个故障引起；部件Ｂ的故障是由另外两个零件同时故障引起。由于设备故障位于故障树的顶部故称顶事件，零件 1、2、3、4 的故障是造成设备故障的基本事件，位于故障树的底部，故称基本事件（底事件）；部件Ａ、Ｂ的故障位于顶事件与底事件间，故称中间事件。

特点：

故障树分析法是对图形进行分析的一种方法。故障树是一种直观的形象化技术资料，它清晰地显示了造成设备故障的全部可能情况（全部故障模式，设备的故障谱）和故障的发展过程。

但是，故障树分析法用于复杂系统时，即便使用计算机也需要大量的人力、物力和时间；又由于受到统计数据不确定性的影响，定量分析也十分困难，所以这种方法还没有得到广泛的应用。

应用：

通过对它的分析可以找出设备的薄弱环节和故障的发生概率，这不仅为查找故障、维修设备提供了线索；为状态监测提供了传感器的配置根据，而且为设备运行

提供了可靠性评价；为产品设计提供了减少设备故障，改进设备可靠性的途径。

5.1.2 故障树分析步骤

一般分以下几个阶段：

(1)确定合理的顶事件（分析对象）和建造故障树条件；

(2)建造故障树；

(3)建立故障树的结构函数，并进行简化；

(4)定性分析，找出设备的故障模式和薄弱环节；

(5)定量分析，这个阶段的任务很多，包括计算顶事件的发生概率（设备故障率），底事件（基本事件）的重要度计算等。

5.2 建造故障树

建造故障树是故障树分析法的核心工作，故障树是否完善直接影响分析结果的准确性。建造故障树是对设备的设计、运行、管理进行彻底熟悉的一个过程，只有对这些情况进行分析后，才能找出导致设备故障的各种基本因素及其发展过程，完成建树的准备工作。

建造故障树有人工建树和计算机辅助建树两条途径。对于大型复杂设备建立故障树是很困难的工作，费时、费事，还容易出错，所以各国都在加强计算机辅助建树的研究，这是发展方向。但是采用计算机辅助建树，分析人员不能通过建树过程对设备有更加深入的理解，而且计算机辅助建树所需的输入准备工作也很多，所以目前普遍使用的还是人工建树，在这里我们也只介绍人工建树的步骤和方法。

建造故障树的步骤如下：

（1）确定顶事件

顶事件是设备不希望出现的故障状态。一个给定的设备，可以有许多不同的故障状态，我们不能把所有的故障状态都作为顶事件进行分析，所以应根据任务要求确定一个特定的故障状态作为故障树的顶事件。一般说除指定的外，顶事件应是主要的、较易发生的或后果严重的故障状态。

（2）确定边界条件

在建树之前必须对设备和零部件的初始状态作某些规定,对分析范围作适当限制。例如：不考虑环境因素、人的失误、电路系统的导线等不需往下追查的因素。没有这些条件限制就不可能建成有一定范围的、合乎需要的故障树。

（3）发展故障树

在确定了顶事件之后，就要以此故障树的顶事件（根）为出发点把故障树的中间事件（干）、基本事件（支）确定出来。采用的方法人工建树时是演绎法。这种方法的要点是由顶事件出发追查导致顶事件发生的全部可能直接因素，并把这些因素称为故障树的一级中间事件。然后，往下追查导致一级中间事件的全部可能直接因素，并把这些因素称为故障树的二级中间事件，循此途径再往下查，一直追查到不能或不需再往下深究的故障事件为止，这些最底层的故障事件即为顶事件的基本事件。最后，将顶事件和中间事件用矩形符号表示，基本事件用圆形符号表示，并把它们按因果关系用相应的逻辑符号联接起来，就形成了一棵完整的故障树。演绎法建树过程实质是人的思维过程，建成的故障树是人对顶事件发生过程的图形描述。

图5-2a）为直流电动机驱动水泵的电路系统示意图，建树的边界条件为：水泵

P 、导线、接头无故障，电机M 、电源E 、开关K1、开关K2故障不再往下分析。该系统按演绎法建成的故障树如图5-2b ）所示。

a) 水泵驱动电路 b) 水泵故障树

图5-2 故障树示例

E —110V 直流电源；M —直流电动机；K1—手动开关；K2—电磁开关；P —水泵

5.3 故障树的结构函数

若设备和零部件都只考虑两种状态（正常、故障），则可用0、1二值表示顶事件和底事件的状态。设故障树有n 个底事件，第i 个底事件的状态用二值变量i x 表示，于是有

1

i i x i ?=?

?第个底事件发生 （故障）

第个底事件不发生（正常）

顶事件的状态用二值变量T 表示，于是有

10

T ?=?

?顶事件发生 顶事件不发生

由于顶事件的状态完全由底事件的状态决定，所以T 是状态变量i x 的函数，用下式表示：

)(i x T T = n i ,...,2,1=

()i T x 是故障树的数学表达式，称为故障树的结构函数（或称设备的故障结构

函数），它表明了设备状态与各组成单元状态之间的关系，是对故障进行分析的有力工具。显然，故障树结构函数可以用布尔代数运算法则进行运算和化简，使故障树的顶事件与底事件间具有最简单的逻辑关系，以便进一步对故障树进行定性、定

图5-5是比较复杂的故障树，它的结构函数需要采用上行法或下行法建立。

下行法是从顶事件开始写出顶事件与中间事件的逻辑关系式，然后自上而下用下一级中间事件代替上一级中间事件，直到底事件为止。

上行法是从底事件开始写出底事件与中间事件的逻辑关系式，然后自下而上用上一级中间事件代替下一级中间事件，直到顶事件为止。

注意：在所得结果中如有相同底事件出现，还应根据布尔代数运算法则加以简化。

采用上行法求图5-5故障树结构函数的过程如下： 最下一级的逻辑表达式

525G x x =+ 435G x x =

往上一级为：

3352335G x G x x x x ==+

再往上一级为：

14342335G x G x x x x x =+=++

531412x x x G x G +=+=

于是得结构函数为：

12T G G =

42335135()()x x x x x x x x =+++

1412313534523535x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++ 14123351421()x x x x x x x x x x =+++++ 1435123x x x x x x x =++

采用下行法求图5-5故障树结构函数的过程如下：

12T G G =

4314()()x G x G =++

5.4 故障树分析

5.4.1 故障树定性分析

故障树定性分析的主要目的是确定设备出现某种故障（顶事件）的全部可能情况即设备的故障谱（全部故障模式），并通过故障谱分析出设备的薄弱环节，为状态监测、故障分析和提高设备的可靠性提供依据。

一、割集与最小割集

如果某几个底事件的集合全部发生，顶事件必定发生，则称此集合为故障树的一个割集。若割集所含的底事件任去一个就不再是割集，则称此割集为最小割集。故障树的一个最小割集，就是顶事件发生的一种可能情况，即设备的一种故障模式；故障树的全部最小割集，就是顶事件发生的全部可能情况，即全部故障模式。确定设备的故障谱就是根据它的故障树找出全部最小割集。

二、求故障树最小割集方法

将故障树的结构函数用布尔代数运算法则化简为底事件积之和表达式，式中每一底事件的乘积项就是故障树的一个最小割集，全部乘积项就是故障树的全部最小割集，即设备的故障谱。显然，图5-5故障树的全部最小割集为：

14{}x x 35{}x x 123{}x x x

对于复杂的故障树，运用结构函数查找最小割集有困难时，可以采用下行法或上行法查找。下面以图5-5故障树为例说明查找过程。

第一步 查找割集

将故障树的全部事件从顶事件开始按上下级次序进行置换，一直到全部置换成底事件为止。置换时若上下级事件的关系是或门，则将置换上级事件的下级事件排在一列；若关系是与门，则将下级事件排在一行。最后得到的完全由底事件组成的每一行代表故障树的一个割集，所有行代表故障树的全部割集。

下表是图5-5故障树按上述方法的置换过程。从中可以看出它有六个割集

114K x x = 2345K x x x = 3123K x x x = 4235K x x x = 5135K x x x = 635K x x =

表5-1 下行法查找图5-5故障树割集

第二步 查找最小割集 （1）赋值

对每一底事件i x 依次令其对应一个素数i n

令12x =、23x =、35x =、47x =、511x =。于是得到与割集对应的数为

1142714K x x ==?= 23455711385K x x x ==??= 312323530K x x x ==??= 42353511165K x x x ==??= 51352511110K x x x ==??= 63551155K x x ==?=

（2）按由小到大顺序排列得14、30、55、110、165、380。

（3）以小除大，剔除被整除的数，根据余下的数便可得到全部最小割集。

30/14 55/14 110/14 165/14 385/14； 55/30 110/30 165/30 385/30； （110/55） （165/55） （385/55）。

括号内两数能够整除，因此删去110、165、385，余下的是14、30、55不能被整除，它们所对应的割集14{}x x 、123{}x x x 、35{}x x 就是全部最小割集。这个结果与前面用结构函数的推导结果是相同的。实质上，素数乘积相除的过程就是按逻辑运算法则的简化过程，两种推导的结果当然应该一致。但是，这种处理方法只是数字的乘除，运算简单、清晰、不容易出错。 三、故障树定性分析

由上可知，根据故障树的最小割集可以得出设备发生某种故障的全部模式(既故障谱)；根据故障谱可以分析出设备的薄弱环节和底事件的重要程度。显然，图5-5故障树反映设备出现某种故障只有三种模式：1x ，4x 同时发生；或1x ，2x ，3x 同时发生；或3x ，5x 同时发生。薄弱环节为14{}x x 和35{}x x 。重要的底事件是1x 和3x ，因为在三种故障模式中1x 和3x 不仅是发生可能性较大模式（第一、二种模式）的底事件，而且还是第三种模式的底事件，所以一旦1x 或3x 发生，导致设备出现某种故障的可能性最大。

5.4.2 故障树定量分析

定量分析主要是根据设备的故障谱对设备的可靠性和零部件的重要度做出定量的评价，为状态监测、故障分析和设计改进提供科学、可靠的依据。

一、顶事件的发生概率（设备故障率）

在底事件（零部件故障）的发生概率已知条件下，根据故障树结构函数可以计算顶事件的发生概率。

设故障树的最小割集表达式为 m x x x K ???=21 故障树结构函数的最小割集表达式为

n j K K K K T +???++???++=21 故障树最小割集的发生概率

由于故障树最小割集（含割集）中的底事件是互相独立的事件，所以最小割集的发生概率应按独立事件积的概率公式计算：

∏==???=???=m

i i m m K q q q q x x x q q 1

2121)(

式中：m q q q ,...,,21是割集K 中底事件m x x x ,...,,21的发生概率。 因此，顶事件的发生概率（设备故障率）

（1）当结构函数的最小割集是独立事件时，应按独立事件和的概率公式计算：

1212()()1(1)(1)(1)n n K K K q T q K K K q q q =++

+=----

即

式中：12,,...,n K K K q q q 为顶事件各最小割集的发生概率。

（2）当结构函数的最小割集中有重复出现的底事件即割集相交时，应按相容（交）事件和的概率公式计算：

式中： ()∑≤≤=

n

i i

K q S 11

()∑≤<≤=

n

j i j

i

K K q S 12

┆ ┆

()∑≤???<<≤???=

n

l j i n

l

j

i

n K K K K q S 1

或将结构函数转变为完全形式（即底事件积之和表达式中每个逻辑积i K '都包含全部底事件或其否定）后，按相斥事件和的概率公式计算：

（2）化简为积之和

12132132121321211)1(K x x x x x x x x x x x x x x x x T ==+=+=+=

这是一棵与门故障树，顶事件只有一个最小割集12{}x x ，顶事件是否发生与3x 毫无关系，而与1x 和2x 有关，只有底事件1x 和2x 同时发生，顶事件T 才发生。 （3）求顶事件的发生概率

1212独发生或同时发生时，顶事件T 必发生。

（2）求顶事件的发生概率

1x ，2x 是独立事件，应按独立事件和的概率公式计算：

19.0)1.01)(1.01(1)1)(1(1)1(1)(211=---=---=--=∏=q q q T q n

i K i

例3 图5-9

所示故障树，底事件发生概率各为0.1（即

1.054321=====q q q q q ），求顶事件的发生概率。

解：

（1） 故障树的结构函数

123T G G G =++142345x x x x x x =++123K K K =++

这是故障树结构函数的最小割集表达式, 顶事件有三个最小割集}{41x x 、}{32x x 和}{54x x ,在41x x 、32x x 和54x x 单独发生或同时发生时，顶事件T 必发生。

（2）求顶事件的发生概率

在}{41x x 、}{32x x 和}{54x x 这三个最小割集中有重复出现的底事件4x ，应按相容（交）事件和的概率公式计算：

n n n S S S S K K K q T q 132121)1()()(+-+???-+-=+???++=

=)(T q 1423451234145234512345

()()q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q ++-+++2435()0.130.120.10.10.02881q T =?-?-+=

用结构函数完全形式计算顶事件的发生概率

利用 1i i x x += 可以将故障树的结构函数转变为故障树的结构函数的完全形式：

1422335523114455()()()()()()T x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++

11223345()()()x x x x x x x x ++++

123451234512345123451234512345x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++ 1234512345123451234512345

12345x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++ 1234512345123451234512345x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++++

结构函数完全形式反映了设备发生故障的全部可能情况，也反映了每一种情况发生时所有底事件的状态。所以结构函数完全形式中的割集是不能同时发生的相斥事件，根据完全形式计算顶事件的发生概率应按相斥事件和的概率公式计算：

∑≤≤'

=

N

i K i q

T q 1)(，即

123451234512345123451234512345

()q T q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q =+++++

1234512345123451234512345

12345q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q ++++++ 1234512345123451234512345q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q +++++

代入已知数据得设备故障的发生概率

543223()0.1[0.10.9]5[0.10.9]8[0.10.9]30.02881q T =+??+??+??=

计算结果与前面的计算相同。 若将 1i i q q =- 代入上式得

12345123451234512345()(1)(1)(1)(1)q T q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q =+-+-+--

123451234512345(1)(1)(1)(1)(1)q q q q q q q q q q q q q q q +-+--+-- 123451234512345(1)(1)(1)(1)(1)(1)q q q q q q q q q q q q q q q +---+-+-- 123451234512345(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)q q q q q q q q q q q q q q q +--+--+--- 123451234512345(1)(1)(1)(1)(1)q q q q q q q q q q q q q q q +-+--+-- 12345(1)(1)(1)q q q q q +---

=1423451234145234512345()()q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q ++-+++

这个式子与采用相容事件和的概率公式相同。显然,直接利用相容（交）

事件和的概率公式计算要简便很多。但是，在割集较多时计算仍然十分复杂，所以一般都采用以下几种近似算法。

（1）相斥近似（相容事件求和公式首项近似）

当最小割集发生概率足够小（如＜0.01）可视为相斥事件时，可以采用相斥事件求和公式计算。对于上例

142345()0.10.10.10.10.10.10.03q T q q q q q q =++=?+?+?=

（2） 独立近似

当最小割集发生概率小于0.1时， 采用独立事件求和公式计算往往能得到满足要求的结果。对于上例

142345()1(1)(1)(1)1(0.990.990.99)0.0297

q T q q q q q q =----=-??=

（3） 平均値近似

对于上例按相容事件求和公式 上限値 1423450.03q q q q q q ++=

下限値 14234512341452345()0.030.00120.0288q q q q q q q q q q q q q q q q q ++-++=-= 所以按平均値近似

()(0.030.0288)/20.0294q T =+=

对于上例各种近似算法的误差：

相斥近似误差为 [(0.030.02881)/0.02881]4%

-=

独立近似误差为 [(0.02970.02881)/0.02881]3%-=

平均近似误差为 [(0.02940.02881)/0.02881]2%

-= 由此可知，平均近似算法的误差最小，相斥近似误差最大，但在某些情况下也能满足工程要求。

二、底事件重要度

一棵故障树包含多个底事件，为了比较它们在故障树中的重要性（底事件对顶事件的贡献大小）应作重要度计算。

底事件重要性可以从不同角度评定 1．概率重要度()g I i

第i 个底事件的概率重要度定义为

()g i

q I i q ?=

? 式中：q —— 顶事件的发生概率

i q —— 第i 个底事件的发生概率

概率重要度反映了底事件的发生概率变化对顶事件发生概率变化的影响程度。如能使概率重要度大的底事件的发生概率下降，顶事件的发生概率就会明显降低，获得较显著的效果。

例4 求两零件的与门故障树(图5-7b)、或门故障树(图5-8)中底事件的概率重要度。设底事件1的概率10.02q =，底事件2的概率20.04q =。

解

（1） 或门故障树

因121212()1(1)(1)0.020.040.020.040.0592q T q q q q q q =---=+-=+-?= 故底事件1的概率重要度为 21

(1)110.040.96g q

I q q ?=

=-=-=? 底事件2的概率重要度为 12

(2)110.020.98g q

I q q ?=

=-=-=? 由计算可知，在这种条件下，底事件2对顶事件影响大。 （2）与门故障树

因 0008.004.002.0)1(1)(2121=?==--=q q q q t q 故 21

(1)0.04g q

I q q ?=

==?

12

(2)0.02g q

I q q ?=

==? 由计算可知，在这种条件下，底事件1对顶事件影响大。 2．结构重要度()I i φ

结构重要度是概率重要度的一种特殊情况，所有底事件的发生概率都取为1/2。因此结构重要度只与底事件在结构中的地位有关，与它们的发生概率值无关。

显然，在上例中底事件的结构重要度都是1/2没有差别。 3．关键重要度()c I i

第i 个底事件的关键重要度定义为

/()()/i

c g i i q q q I i I i q q q

?=

=?

可以看出关键重要度是顶事件与底事件的发生概率变化率之比。 在上例中 或门故障树

11212120.02

(1)(1)

(1)0.960.3243()0.0529c g q q I I q q T q q q q ==-=?=+- 22112120.04

(2)(2)

(1)0.980.6622()0.0529

c g q q I I q q T q q q q ==-=?=+- 与门故障树

11212

(1)(1)

1()c g q q

I I q q T q q === 22112

(2)(2)

1()c g q q

I I q q T q q === 改善概率重要度大的底事件，降低它的发生概率，虽然可以较显著地减少顶事件的发生概率，提高设备的可靠性。但是概率重要度没有考虑底事件的原有发生概率值，这可能要带来不经济的后果，因为发生概率原来就小的底事件要降低它的概率值难度是很大的。关键重要度弥补了概率重要度这方面的不足，所以在设计时为了提高设备的可靠性降低顶事件的发生概率应该考虑零部件（底事件）关键重要度的大小，首先应该改善关键重要度大的零部件质量，降低它的故障发生概率。在检查故障的根源时，为了在最短时间内查出设备的故障源，也应根据底事件关键重要度的大小，确定诊断检查顺序，首先要检查关键重要度大的零部件，因为检查顺序不仅应考虑零部件故障对设备故障的影响程度，而且要考虑零部件本身的发生概率。

思考题

5-1 故障树分析法的重要意义？

5-2 故障树分析的步骤？

5-3 怎样建造故障树？

5-4 故障树定性分析和定量分析的主要目的是什么？

5-5 怎样求故障树的最小割集？

5-6 设备的故障谱如何确定？根据故障谱能分析出什么结果？5-7 设备故障的发生概率与哪些因素有关，如何计算？

5-8 设备基本零部件的重要度怎样表示？如何计算？