2020-2021学年河南省南阳市一中高一上第二次月考数学卷

【最新】河南省南阳市一中高一上第二次月考数学卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合{|11}A x x x =<-≥或，{|21}B x x a x a =≤≥+或，若()R C B A ?，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(1,)+∞

B ．(,2][1,)-∞-+∞

C ．1(,1]

(,)2-∞-+∞ D ．1(,2][,)2-∞-+∞ 2．设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（ ）．

A ．若,m βαβ?⊥，则m α⊥

B ．,αβαγ⊥⊥，则βγ⊥

C ．若m ∥α，m β⊥，则αβ⊥

D ．,,m n m αγβγ?=?=∥n ，则α∥β

3等腰直角三角形，则原三角形的面积（ ）

A ．212

a B ．2a C 2 D ．2 4．函数22log (43)y x x =+-单调增区间是（ ）

A ．3(,)2-∞

B ．3(1,)2-

C ．3(,)2+∞

D ．3(,4)2

5．下列说法正确的是（ ）

A ．四边形一定是平面图形

B ．上下底面是平行且全等的多边形的几何体一定是棱柱

C ．圆锥的顶点与底面圆周上的点的距离可能不相等

D ．过空间不在两条异面直线上的点且与该两条异面直线都平行的平面可能不存在

A ．01,1a b <<<-

B ．01,1a b <<>

C ．1,1a b ><-

D ．1,1a b >>

7．一个水平放置的空间几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球球心到底面的距离为（ ）

A ．1.5

B ．1

C ．2 D

8．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，则异面直线CP 与1BA 所成的角θ的取值范围是（ ）

A ．00060θ<≤

B ．00090θ<≤

C ．00060θ≤≤

D ．00090θ≤≤

9．圆心角为0135，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则:A B 等于（ ）

A ．11:8

B ．3:8

C ．8:3

D ．13:8

10．已知()f x 是偶函数，它在[0,)+∞上是减函数，若()()x

f e f e ≥-，则x 的取值范围是（ ）

A ．R

B ．(,1][1,)-∞-+∞

C ．(,1]-∞

D ．[1,1]-

11．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F 分别是棱'',AA CC 的中点，过直线E 、F 的平面分别与棱'BB 、'DD 交于M 、N ，设BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四种说法：

（1）平面MENF ⊥平面''BDD B ；

（2）当且仅当12

x =时，四边形MENF 的面积最小； （3）四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数；

（4）四棱锥'C MENF -的体积()V h x =为常函数，以上说法中错误的为（ ）

A ．（1）（4）

B ．（2）

C ．（3）

D ．（3）（4）

12．已知函数32,(),x x a f x x x a

?≤?=?>??若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是（ ）

A ．(,1)(0,)-∞-+∞

B ．(,0)(1,)-∞+∞

C ．(,0)-∞

D ．(0,1)

二、填空题

13．直线l 经过点(1,2)A a b +-，点(2,5)B a b --，则直线l 的倾斜角的大小

是 .

14．若不等式2log 0m x x -<在区间1

(0,)2

上恒成立，则实数m 的取值范围是 . 15．已知四面体ABCD 的顶点都在的球O 的球面上，且

6,8,10AB BC AD BD ====，5CD =，平面ABD 垂直平面BCD ，则球O 的体积为 .

16．设定义在区间(,)a a -上的函数20151()log 12016mx f x x

+=-是奇函数(,,2016)a m R m ∈≠-，则a m 的取值范围是_________.

三、解答题

17． 已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2

(1)A ∪(B ∩C )；(2)(?U B )∪(?U C )．

18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.

（1）证明：11D E A D ⊥；

（2）若2AE =-，求二面角1D EC D --的大小.

19．已知函数()2421x x

f x a =?--. （1）当1a =时，求函数()f x 的零点；

（2）若()f x 有零点，求a 的取值范围.

20．如图（1），在三角形ABC 中，BA BC ==090ABC ∠=，点O 、M 、N 分别为线段的中点，将ABO 和MNC 分别沿BO ，MN 折起，使平面ABO 与平面CMN 都与底面OMNB 垂直，如图（2）所示.

（1）求证：//AB 平面CMN ；

（2）求点M 到平面CAN 的距离.

21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，0

60BAD ∠=，Q 为AD 的中点，2PA PD AD ===.

（1）求证：AD ⊥平面PQB ；

（2）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB ．

22．已知函数2

1()log 1x f x x x -=-++. （1）求20162016()()20152015

f f +-的值； （2）当[,]x a a ∈-（其中(0,1)a ∈，且a 是常数）时，若()x m e

f x --≤恒成立，求

m 的取值范围.

参考答案

1．D

【解析】

试题分析：当21a a ≥+，即1a ≥时，则B R =，R C B A =??；当1a <时，

{|21}R C B x a x a =<<+，R C B A ?11a ?+≤-或21a >，即2a ≤-或

112a <<，综上有122

a a ≤->或．故选D ． 考点：集合的运算，集合的包含关系．

2．C

【解析】

试题分析：A ．错，因为没说明

垂直于两平面的交线，B ．错，垂直于同一平面的两个平面相交或平行，C ．正确，因为平面

存在垂直于的线，D ．错，因为与有可能相交．故选C ．

考点：线线，线面，面面位置关系

3．C 【解析】试题分析：斜二测中等腰直角三角形的面积为212

S a =

，原图形的面积为2214

a

S ==．故选C ． 考点：斜二测画法．

4．B

【解析】

试题分析：由

得14x -<<，243t x x =+-在3(1,]2

-是递增，在3

[,4)2上

递减，又2log y t =在(0,)+∞上是增函数，因此所求增区间为3(1,]2-（或3(1,)2-）．故选B ．

考点：函数的单调性．

5．D

【解析】 试题分析：四边形的四个顶点不在同一平面时，是空间四边形，A 错；两个相同的棱台拼在

一起（如上底面与上底面拼起来）形成的几何体的上下底面是平行且全等的多边形，但它不是棱柱，B 错；圆锥的顶点到底面圆周上的点的连线是母线，长度相等，C 错；在两个平行平面内各选一条直线，使它们成异面直线，则过这两个平面上的点与该两条异面直线都平行的平面不存在，D 正确．故选D ．

考点：命题的真假判断．共面问题，棱柱的定义，圆锥的性质，线面平行．

6．A

【解析】

试题分析：1a >时，函数为增函数，一定过第一象限，因此一定有01a <<，又00a b +<，即1b <-．故选A ．

考点：指数函数的图象．

7．B

【解析】

试题分析：由三视图知该几何体是如图所示三棱锥A BCD -，底面BCD 是等腰直角三角形，90BCD ∠=?，AB ⊥底面BCD ，易知AD 的中点O 是外接球球心，O 到底面的距离等于AB 的一半为1．故选B ．

考点：三视图，外接球．

8．A

【解析】

试题分析：正方体中11//BA CD ，因此1PCD θ∠=，在1ACD ?中知060θ?<≤?，故选A ． 考点：异面直线所成的角．

9．A

【解析】

D

C B

试题分析：由题意135360r l ?=??，38

r l =，B rl π=，2A rl r ππ=+，2118

A rl r l r

B rl l πππ++===．故选A ． 考点：圆锥的侧面展开图，圆锥的表面积．

【名题点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，其侧面展开图扇形中心角为θ，则2r l

θπ=?，实际上就是扇形的弧长是圆锥底面周长，扇形的半径是圆锥的母线．同样圆柱、圆台的侧面展开图也有类似的性质，只要抓住展开图与侧面的关系即可．

10．C

【解析】

试题分析：因为()f x 是偶函数，所以不等式()()x f e f e ≥-等价于()()x

f e f e ≥，又()f x 在[0,)+∞是是减函数，所以x e e ≤，1x ≤．故选C ．

考点：函数的奇偶性与单调性．

11．C

【解析】

试题分析：正方体中''EF BDD B ⊥平面，因此有平面MENF ⊥平面''BDD B ，（1）正确；

122MENF S EF MN =

?=，当12

x =时，MENF S 最小（MN 最短），（2）正确；

()f x =()f x 在1[0,]2上单调递减，在1[,1]2

上单调递增，（3）错； '''22C MENF C MEF E C MF V V V ---=='121123326

C MF AB S BC CF =??=???=，（4）正确． 故选C ．

考点：命题的真假判断．面面垂直，函数的最值，棱锥的体积．

【名题点睛】本题是通过命题真假的判断，考查面面垂直的判断，考查函数的性质，考查棱锥的体积，意在考查分析问题的能力，空间想象能力，运算求解能力，本题4个命题中，第

（1）个命题，是用判定定理去证明，第（2）、（3）、（4）有一个命题关键是求出函数式，通

过函数来分析结论，以数证形．此类题有一定的难度，它要求学生正确地判断每一个命题，都能得出正确的结论，属于较难题．

12．B

【解析】

试题分析：如图是函数2

y x =和3y x =的图象，在01x <<时，32x x <，而当1x >时，32

x x >，所以当01a ≤≤时，函数32,(),x x a f x x x a ?≤?=?>??是R 上的增函数，当0a <或1a >时函数32,(),x x a f x x x a

?≤?=?>??在R 上不是单调函数，满足题意．故选B ．

考点：函数的图象，函数的零点，函数的单调性．

【名题点睛】函数()f x 的零点是函数()f x 图象与x 轴交点的横坐标，是方程()0f x =的解，数形结合是解决零点问题经常用的方法，正确地作出函数的图象是解题的关键，转化思想在解题过程中起了决定性作用．本题中函数()g x 有两个零点，转化为函数()y f x =的图象与存在直线y b =有两个交点，转化为分段函数()f x 在R 上不具有单调性，从而易得结论．

13．135°

【解析】 试题分析：斜率为5(2)12(1)

b b k a a ---==---+，所以倾斜角为135°．

考点：直线的倾斜角．

14．

【解析】

试题分析：不等式2log 0m x x -<即为2log m x x <，作出函数2y x 和log m y x =的图象，

如图，当log m y x =的图象过点11(,)24时，116m =

，因此不等式2log m x x <在区间1(0,)2上恒成立时，有1116

m ≤<．

考点：不等式恒成立，函数的图象，对数函数的图象与性质．

15．

【解析】

试题分析：由已知可得AB AD ⊥，CD BC ⊥，所以BD 的中点O 是四面体ABCD 外接球的球心，所以球半径为52BD r =

=，33445005333V r πππ==?=． 考点：球的体积．

【名题点睛】解决球的体积问题，首先要熟练掌握球的体积公式，它可以想象成以球的半径为底面半径，球的直径为高的圆柱体积的三分之二．在求球的体积时，其关键是求球的半径．对于多面体外接球问题，关键是找球心，寻找时注意球心到各顶点的距离相等，从这点出发，长方体、正方体的对角线交点，直角三角形的斜边中点，三角形的外心等是我们要特别注意的点．

16．

【解析】

试题分析：由于()f x 是奇函数，所以2015201511()()log log 1201612016mx mx f x f x x x

+-+-=+-+

22

2015221log 12016m x x

-=-0=，222016m =，所以2016m =（－2016舍去），201512016()log 12016x f x x +=-，由12016012016x x +>-得1120162016x -<<，所以102016

a <≤（由a a >-得0a >），所以1201612016a m <≤．

考点：函数的奇偶性，指数函数的性质．

【名题点睛】在函数在奇偶性问题中，奇偶性的定义是解题的根据，但有些函数，特别是遇到对数函数时，一般用()()0f x f x +-=来判断在其为奇函数或为奇函数时来求参数值．具有奇偶性珠函数的单调性表性质：()f x 为奇函数时，()f x 在关于原点对称的区间上单调性相同，()f x 为偶函数时，()f x 在关于原点对称的区间上单调性相反．

17．（1）A ∪(B ∩C )＝{1,2,3,4,5}．（2）(?U B )∪(?U C )＝{1,2,6,7,8}．

【解析】

试题分析：（1）先求集合A,B,C ；再求B ∩C ，最后求A ∪(B ∩C )（2）先求?U B ，?U C ；再求(?U B )∪(?U C )．

试题解析：解：

(1)依题意有：A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4,5}，C ＝{3,4,5,6,7,8}，∴B ∩C ＝{3,4,5}，故有A ∪(B ∩C )＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．

(2)由?U B ＝{6,7,8}，?U C ＝{1,2}；

故有(?U B )∪(?U C )＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．

18．（1）见解析；（2）45°．

【解析】

试题分析：（1）要证线线垂直，一般可先证线面垂直，E 点移动时，1D E 在平面11ABC D 内，因此要证1AD ⊥平面11ABC D ，这在长方体中，由于1AA AD =，因此易证（可证11A D AD ⊥，1A D AB ⊥）；（2）要求二面角1D EC D --的大小，首先要作出其平面角，为此作DF CE ⊥于F ，连接1D F ，可证1CE D F ⊥，即1D FD ∠为该二面角的平面角．在1D FD ?中求得此角．

试题解析：(1)证明：∵长方体中1AA AD =，∴11A D AD ⊥，

又1A D AB ⊥，1AD B A =，1AD ?平面11ABC D ，1AB ?平面11ABC D ，

∴1AD ⊥平面11ABC D ，又1D E ?平面11ABC D ，

∴11D E A D ⊥．

（2）过点D 作DF CE ⊥于F ，连接1D F ，

∵DF 是1D F 在平面ABCD 上的射影，∴1CE D F ⊥，∴1D FD ∠为该二面角的平面角．

由22AE AB =-=得BE =1BC =，∴2CE =，即CE CD =，

∴11DF DD ==，∴145D FD ∠=?．

考点：线面垂直的判定与性质，二面角．

19．（1）0x =；（2）0a >．

【解析】

试题分析：（1）利用零点的定义，解方程22(2)210x x ?--=得函数()f x 的零点；（2）若()

f x 有零点，则方程24210x x a ?--=有解，从而把a 表示为关于x 的函数，通过求函数的值域得a 的范围．

试题解析：（1）1a =时，()2421x x f x =?--，令()0f x =，

即22(2)210x x ?--=，

解得21x =或122

x =-（舍） 所以0x =，所以函数()f x 的零点为0x =．

（2）若()f x 有零点，则方程24210x x a ?--=有解． 于是221111112()()()4242

24x x x x x a +??==+=+-????， 因为1

()02x >，所以112044

a >-=，即0a >， 考点：1、零点的定义；2、分式型函数求值域．

【方法点睛】（1）求函数()f x 的零点的实质就是求方程()=0f x 的时对应的自变量x 的值，需要注意的是零点是一个数值，而不是一个点，是函数与x 轴交点的横坐标；（2）若()f x 有零点，则方程24210x x a ?--=有解，从而分离出参数()=a f x ，然后求出函数()f x 在给定区间上的值域，只要a 取这个值域内的数就可以了．

20．（1）证明见解析；（2）

3

． 【解析】 试题分析：（1）要证线面平行，一般是证线线平行，本小题中过AB 的平面与平面CMN 的交线难以确定，因此采取另一种方法，证明面面平行，因此过AB 的平面ABO 中有

//BO MN ，还易证//OA MC ，从而两个平面平行，因此有线面平行；

（2）要求点M 到平面CAN 的距离，由于高不易作出，可通过M CAN A CMN V V --=转换，A 到平面CMN 的距离就是OM 的长，CMN ?面积易得，体积易得，下面的关键是求得得ACN 的面积（为此可求得三角形的三边长，然后求得面积）即可．

试题解析：（1）//OB MN ，OB ?平面CMN //OB ?平面CMN ，

∵平面AOB ⊥平面OMNB ，OA OB ⊥，∴OA ⊥平面OMNB ，同理MC ⊥平面OMNB ，∴//OA MC ，

又∵OA ?平面CMN ，

//OA ?平面CMN ，OA OB O =，

∴平面//OAB 平面AMN ，又AB ?平面OAB ，

∴//AB 平面CMN.

（2）

33)(可得距离为等体积转化（略解）根据CMN A ACN M V V --=． 考点：线面平行的判断，点到平面的距离．

21．（1）证明见解析；（2）3

1=

t . 【解析】 试题分析：（1）要证线面垂直，一般是线线垂直，即证直线与平面内的两条相交直线垂直，题中要证AD ⊥平面PQB ，只要证,AD PQ AD BQ ⊥⊥即可；（2）假设已有//PA 平面MQB ，设BQ AC N =，则有//PA MN （反之亦然）

，在底面ABCD 中可求得12AN AQ NC BC ==，因此有12PM AN MC NC ==，从而得13t =．本题可由13

t =证//PA 平面MQB ．

试题解析：（Ⅰ）连接BD ．

∵四边形ABCD 为菱形， 60=∠BAD ，

∴△ABD 为正三角形．又Q 为AD 中点，

∴AD BQ ⊥．

∵PD PA =,Q 为AD 的中点，∴AD PQ ⊥．

又Q PQ BQ = ， ∴AD ⊥平面PQB ．

（Ⅱ）当3

1=t 时，PA ∥平面MQB ． 下面进行证明： 连接AC 交BQ 于N ，连接MN ．

∵AQ ∥BC ， ∴

12

AN AQ NC BC ==． 又∵PC PM 31=， ∴12PM MC =． ∴12PM AN MC NC ==， ∴MN ∥PA . 又?MN 平面MQB ，?PA 平面MQB ， ∴PA ∥平面MQB ．

【另解】 连接AC 交BQ 于N ，连接MN ． ∵AQ ∥BC ， ∴

12AN AQ NC BC ==． 若PA ∥平面MQB ，又PA ?平面PAC ，平面MQB

平面PAC MN =， ∴MN ∥PA . ∴12PM AN MC NC ==． ∴PC PM 3

1=，即31=t ． 考点：线面垂直的判定，线面平行的判定或性质．

【名题点睛】1．由线面垂直的判定定理证明线面垂直的程序是：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这两条直线是相交的；③根据定理得结论．

2．由线面平行的判定定理证明线面平行的程序是：①寻求两条直线的平行关系；②证明一条直线在平面内，一条在平面外；③由判定定理得结论．概括为过直线，作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．

22．（1）0；（2）2

1log 1a a m a e a

--≤-+++． 【解析】

试题分析： （1）这类问题在数字较简单或函数式较简单时，可直接代入计算，当然命题者

的意图是先判断函数为奇函数（或构造奇函数），然后利用奇函数的性质得结论；（2）不等式()x m e f x --≤恒成立，即()x m f x e -≤+恒成立，因此只要求得()x f x e -+的最小值即

可，由于()()x g x f x e -=+的解析式比较复杂，因此可先研究其单调性（可用定义证得函数

()g x 是减函数）

，通过单调性求得最小值． 试题解析：（1）由).1,1()(11011-∴<<->+-的定义域为，得x f x x

x 又)()11log (11log )(22

x f x x x x x x x f -=+-+--=-++=-， )(x f ∴为奇函数.

)2015

2016()20152016(-+f f =0 （2）设1121<<<-x x ，则

)1)(1()(2111121122211x x x x x x x x ++-=+--+-， 0)1)(1(,0,11211221>++>-∴<<<-x x x x x x ，

011112211>+--+-∴x x x x ，即2

2111111x x x x +->+- 21log (1,1)1x y x

-∴=-+函数在上是减函数，21()log (1,1).1x f x x x

-=-+-+从而得在上也是减函数 )(x f e m x ≤--恒成立，即x e x f m -+≤)(恒成立

令x e x f x h -+=)()(，则x e x f x h -+=)()(在定义域上是减函数， 则a e a a a a h x h m -++-+-==≤11log )()(2min ．

考点：函数的奇偶性，单调性，不等式恒成立问题．

【名题点睛】由奇函数的性质，对奇函数()f x 定义域内的任意实数a ，有()()0f a f a +-=，利用此结论求一些函数的值可以大大计算难度，增加正确率．因此在函数值计算时，有时还

要根据已知条件构造新函数为奇函数，例如求函数2112016()log 2112016x f x x x -

=-+++在[1000,1000]-上的最大值与最小值之和．