微积分在物理学上的应用

微积分在物理学上得应用

1 引言

微积分就是数学得一个基本学科,内容包括微分学,积分学,极限及其应用,其中微分学

包括导数得运算,因此使速度,加速度等物理元素可以使用一套通用得符号来进行讨论。而在大学物理中,使用微积分去解决问题就是及其普遍得。对于大学物理问题,可就是使其化整为零,将其分成许多在较小得时间或空间里得局部问题来进行分析。只要这些局部问题分得足够小,足以使用简单,可研究得方法来解决,再把这些局部问题得结果整合起来啊,就可以得到问题得结果。而这种将问题无限得分割下去,局部问题无限得小下去得方法,即称为微分,而把这些无限个微分元中得结果进行求与得方法,即就是积分。这种解决物理问题得思想与方法即就是微积分得思想与方法。

2 微积分得基本概念及微分得物理含义

微积分就是一种数学思想,其建立在函数,实数与极限得基础上,其主要探讨得就就是

连续变量。在运用微积分去解决物理问题时,可以将我们所需要得出得结果瞧成就是一个整体,再将这个整体先微分,即将其分成足够小得个体,我们可以将这个个体得变量瞧成衡量,得出个体结果后,再将其积分,即把个体得结果累积起来进行求与。例如,在我们研究匀变速直线运动时,我们就可以在其运动过程中选取一个微小得时间dt,而这一时间内得位移为dt,在每一段时间内速度得变化量非常小,可以近似忽略,那么我们就可以将这段时间内得运动近似瞧成匀速直线运动,再把每段时间内得位移相加,无限求与,就可以得出总得位移。

在物理学中,每个物理公式都就是某些物理现象与规律得数学表示,因此,我们在使用

这些公式时,面对物理量与公式得微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑,更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时,不能只从数学角度去理解其为无限小,更要结合具体得物理量与角度去判断她得正确含义。

例:如图所示,一通有交流电流i=得长直导线旁有一共面得单匝矩形线圈ABCD,试求线圈中得感应电动势大小。

解:设在某个时刻,长直导线电流产生得磁场为

在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上得磁场可以近似于均匀磁场,微元面dS上得磁通量为

线圈围成得面上通过得磁通量为

线圈中得感应电动势为

在这个例题中,微元面dS得磁通量与线圈得感应电动势都有,但她们得物理含义却就是不一样得,前者得表示微元面 dS上得磁通量,就是一个微小量,而后者得表示得就是微笑时间内得磁通量变化量,就是一个微小变化量。

3 微元得选取以及微积分解决物理问题时得一般步骤

3、1 微元得选取

在使用微积分去解决物理问题时,微元得选取就是非常重要得,有得时候在微元得选择上并不就是仅仅只有一个,因此,选取一个合适得微元对我们解决问题会有很大帮助。

我们通常在微元得选取方面有以下几点注意,第一,在我们选取微元时,要保证我们们所选择得微元能够让我们可以将原本得问题近似处理得比较简单,以使我们能够更加便利且清晰得区解决物理问题;第二,我们要使我们选择得微元尽可能地大,这样在我们去积分时可以更为方便,如果微分过细,那么我们得过程会更精准,可就是相对得,我们在积分时面临得过程也会更加繁琐,因此我们要处理好微分与积分之间得运算;第三,能用一元微元去解决问题时尽量使用一元微元,因为重积分使用起来要比一元积分麻烦得很多。

选取微元要遵循以下几个原则:1、可加性原则,由于在题目中我们所选取得微元要可以叠加演算,因此,选取得微元要具备可加性;2、有序性原则,为了保证我们所选取得微元能够在叠加区域可以不遗漏,不重复得叠加,我们就需要注意按照量得某种序来选取微元;3、平权型原则,叠加演算实际上就就是一种复杂得“加权叠加”。对于一般得“权函数”而言,叠加演算,也就就是求定积分就是十分复杂得,但如果“权函数”具备了“平权性”特征(在定义域内得值处处相等),原本复杂得题目就会化成简单得形式更有利于我们去解决问题。

例:求半径为R得均匀带电半球面在点O得电场强度,设球面上电荷面密度σ>0、

解法一:如图,在球面上任取面元dS,将其上得电荷为一点电荷dq,则有 dq=dS=(Rd)(R)d

=d d

则该点电荷元在点O产生得场强

dE=dq/(4ε0)=d d/(4ε0)

根据对称性,即得出点O场强E0沿Z轴正方向,大小为

E=∫∫dE=/(4ε0)

解法二:如图,沿着与Z轴得垂直方向把半球面分割成许多不同半径得带电圆环,任取一圆环,其上得电荷在点O产生得场强

dE=dqz/[4ε0]

=(/2ε0)d

方向沿OZ轴正方向,点O场强

E=∫dE=/(4ε0)

由例子可知选取得微元不同,解法也就是不同得,代表得物理含义也就是不一样得,然而微元得选取并不影响结果,因此我们要正确理解其含义,才能更好地从物理概念,物理实质上去把握微积分。

3、2 微积分解决物理问题时得一般步骤

1、根据题意分析,选取一个具有广泛意义得微元,对微元进行分析,若就是题目简单且物理含义比较明显,且遵从题意,可直接进行积分。

2、若就是题目较复杂,根据题意,对于一个暂态过程写出一个平衡等式,然后对两边微分,在得到一个微元结果后,对这个分式进行积分操作。

以上步骤都就是在遵从题意得基础下进行,进行微分分析得结果一般就是一个微分方程,在求解时要注意初始条件,在积分时,更要注意取上下限时,要满足边界条件。

例:圆柱形桶得内壁高为h,内半径为R,桶底有一半径为r得小孔,试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中得水,共需多长时间？

解:如图建立坐标系,在没有摩擦力得情况下,当桶内水位高度为

h-x时,水从小孔中单位时间内流过单位截面积得流量为v=,其中g为重力加速度设积分变量x,其变化区间为[0,h]

任取[x,x+Δx]∈[0,h],当桶中液体下降Δx时,所需要得时间用dt表示,根据水得流量体积相等得dx=v dt

所以dt=/[]dx,x∈[0,h]

流完一桶水所需得时间

t f=dx

但因为被积函数就是[0,h]上得无界函数,所以

t f =dx

由此题可瞧出,在我们通常使用微积分解决物理问题时,建立坐标系就是很好得一个方法,可以有助于我们更好地去解决问题。

4 微积分在物理学各领域得应用

4、1 微积分在质点力学得应用

微积分在力学中得使用就是非常普遍得,要用好微积分去解决问题,首先要在思想上认识到物体在运动过程中,反应其运动特征得物理量就是随着时间得变化而变化得。运用微积分可以得出质点得运动方程以及她得运动状态。就比如说当我们对函数中得t进行求一阶导数时,我们就可以得到该函数所表示得质点得加速度函数。而我们可以将微积分在质点运动时得问题可以分成以下几类:

1.在已知道运动方程得前提下求其中得加速度与速度 ;

2.在已知质点得加速度,以及该质点得初始速度得前提下,求该质点得运动方程。

例1:一人站在岸上,用一条绳子拉船使其向岸边靠拢,如图所示,若人以恒定速率v0收绳,求船得速度。

解:

如图所示,设设船与轮子得距离为l,船得瞬时位移为x,由图可知

那么船得瞬时速度为

v===

根据题意可知 v0=-

所以 v=-v0

在解决此类问题时,我们要善于从几何关系中找到质点得运动方程,而在一般情况下运动方程往往就是t得隐函数形式。因此,将方程中得t进行一阶及二阶求导,就可以得出瞬时速度与瞬时加速度随着一些空间变量得变化规律。

例2:如图,质量M=2、0kg得木箱,悬挂在一轻弹簧下,弹簧静伸长x0=0、01m,一质量m=2、0kg 得橡皮泥距箱子底板h=0、30m处自由落下,黏在箱子底部后,同箱子一起向下运动,求箱子下降得最大距离。

解:球落到箱子底部时得速度为 v0=

设当橡皮泥与箱子一起运动时得速度为v,

则 mv0=(M+m)v

所以 v=v0

根据动量定理知 (Mg+mg-kx)dt=d[(m+M)v]

得出 (Mg+mg-kx)dx=(M+m)vdv

上式积分后得dx=

化简整理后(M+m)+k=-(M+m)gx1+k

整理之后得出 x=0、03m

例3:质量为m得质点在力得作用下做平面曲线运动,其运动方程为=A+B,式

中,A,B,ω都就是正得恒量,则力在=0到=这段时间内做得功就是多少？

解:在这段时间内质点动能得增量为

Δ=-

=m[(-

由动能定理知,功W等于动能增量Δ,所以

4、2 微积分在刚体得定轴转动中得应用

刚体得定轴转动得一些基本公式:

运动方程:=(t)(表示角位置随时间t得变化关系)

角速度:=

角加速度:==

例1:一长为l,质量为m得均匀直杆,两端分别固定有质量为2m与m得小球,杆可绕与杆垂直

得水平光滑固定轴O在直面内转动,轴到杆中心C得距离OC=、开始杆与水平方向成角,且处于静止状态,如图所示,求杆释放后,转到竖直位置时得角速度及质心C得速度与加速度。

解:应用积分转动定律,当杆转动到如图(1)得位置时

有

其中=mg

= (1)

I为各物体对轴O得转动惯量之与,即

I=[

结合上述式子

=I=I

即

得到

质心速度为

质心加速度为

在熟练掌握定理得同时运用微积分来解答此类问题就是对我们就是十分有帮助得,因此在解题过程中我们要把两者结合好,才更有利于我们解决此类问题。

例2:如图所示,一半径为r得空心管放在竖直得平面内,管内有一链条,它得线密度为。开

始时,链条得两端分别与管口A与B重合,受到干扰后,链条得一端由管口滑下,求图示位置链条得速度。

解:如图所示(2)所示

取管内链条上得一小质元dm=,其重力对点O力矩为

则管内部分链条得重力对O力矩为

(2)

而管外链条下垂部分重力对O力矩为

则瞬时与力矩为

根据角动量定理得到

所以即

对其进行积分,得到

解得 v=

当我们遇到这样得题目,要善于在题目中间找到等价关系,灵活得运用微积分与定理之间得关系更有利于我们去解决问题。该题利用角动量定理,再对其进行积分,以此求出速度v。

4、3 微积分在静电场方面得应用

设真空中得电荷为q,P点位于空间一点,为从q到P点得矢径。P点得电场强度为

由叠加原理,点电荷系在空间P点处得电场强度

由定积分得定义,连续带电体在空间P点处得电场强度

设真空中得电荷为q,P点位于空间一点,为从q到P点得矢径。P点得电势为

由叠加原理,点电荷系在空间P点处得电势

由定积分得定义,连续带电体在空间P点处得电势

例1:在一半径为R得非导体细圆环上,电荷得线密度,式中为正得常数,如图所示,为方位角,求环心处得场强与电势。

解:在圆环上取一线元dl,其上电荷可视为点电荷,在圆心O处产生得场强大小为

其方向如图(3)所示

又

所以

= (3)

圆心0处得电势为

例2:如图所示,一半径为R得均匀带电圆盘,电荷面密度为,在其轴线上有一点电荷,距盘中心为x,求二者得相互作用能。

解:在盘上取一半径为r,宽为dr得环带,此环带电荷在点电荷处产生得电势

则盘上所有电荷在点P产生得电势

因此,得二者之间得相互作用能为