详细版大学物理学-习题解答习题10.doc

第十章

10-1 无限长直线电流的磁感应强度公式为

B ＝μ0I

2πa ，当场点无限接近于导线时(即a →0)，磁感应强度B →∞，这个结论正确吗？如何解释？

答：结论不正确。公式a

I

B πμ20=只对理想线电流适用，忽略了导线粗细，当a →0，

导线的尺寸不能忽略，电流就不能称为线电流，此公式不适用。

10-2 如图所示，过一个圆形电流I 附近的P 点，作一个同心共面圆形环路L ，由于电流分布的轴对称，L 上各点的B 大小相等，应用安培环路定理，可得∮L B ·d l ＝0，是否可由此得出结论，L 上各点的B 均为零？为什么？ 答：L 上各点的B 不为零. 由安培环路定理

∑?=?i

i I l d B 0μ

得 0=??l d B

，说明圆形环路L 内的电流代数和为零，

并不是说圆形环路L 上B 一定为零。

10-3 设题10-3图中两导线中的电流均为8A ，对图示的三条闭合曲线a ,b ,c ，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论：

(1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B

的大小是否相等?

(2)在闭合曲线c 上各点的B

是否为零?为什么? 解： ?μ=?a

l B 08d

?

μ=?ba

l B 08d

?=?c

l B 0d

(1)在各条闭合曲线上，各点B

的大小不相等．

(2)在闭合曲线C 上各点B 不为零．只是B

的环路积分为零而非每点0=B ．

题10-3图

习题10-2图

10-4 图示为相互垂直的两个电流元，它们之间的相互作用力是否等值、反向？由此可得出什么结论？

答：两个垂直的电流元之间相互作用力不是等值、反向的。

B l Id F d

?= 2

0?4r

r l Id B d ?= πμ 221

21221

10221212201112)?(4?4r r

l d I l d I r r l d I l d I F d ??=??=

πμπμ 2

12

12112

20212121102212)?(4?4r r

l d I l d I r r l d I l d I F d ??=??=

πμπμ ))?()?((42

12

121221************r r l d l d r r l d l d I I F d F d ??+??-=+

πμ 2

122112

210212112221212102112)(?4))?()?((4r l d l d r

I I r l d r l d l d r l d I I F d F d

??=?-?=+πμπμ 一般情况下 02112≠+F d F d

由此可得出两电流元（运动电荷）之间相互作用力一般不满足牛顿第三定律。

10-5 把一根柔软的螺旋形弹簧挂起来，使它的下端和盛在杯里的水银刚好接触，形成串联电路，再把它们接到直流电源上通以电流，如图所示，问弹簧会发生什么现象？怎样解释？

答：弹簧会作机械振动。

当弹簧通电后，弹簧内的线圈电流可看成是同向平行的，而同向平行电流会互相吸引，因此弹簧被压缩，下端会离开水银而电流被断开，磁力消失，而弹簧会伸长，于

是电源又接通，弹簧通电以后又被压缩……，这样不断重复，弹簧不停振动。

10-6 如图所示为两根垂直于xy 平面放置的导线俯视图，它们各载有大小为I 但方向相反的电流.求：(1)x 轴上任意一点的磁感应强度；(2)x 为何值时，B 值最大，并给出最大值B max .

解：(1) 利用安培环路定理可求得1导线在P 点产生的磁感强度的大小为：

r

I B π=201μ2/1220)(12x d I +?π=μ

2导线在P 点产生的磁感强度的大小为：

r I B π=202μ2

/1220)(1

2x d I +?π=μ 1B

、2B 的方向如图所示．

P 点总场

θθcos cos 2121B B B B B x x x +=+= 021=+=y y y B B B 习题10-4图 r 12

r 21 习题10-5图 习题10-6图 y

P

r B 1

x

y

1 o

x

d θ

θ

)

()(220x d Id

x B +π=

μ，i x d Id

x B

)

()(220+π=

μ

(2) 当 0d )

(d =x x B ，

0d )(d 2

2=

10-7 如图所示被折成钝角的长直载流导线中，通有电流I ＝20 A ，θ＝120°，a ＝2.0 mm ，求A 点的磁感应强度. 解：载流直导线的磁场

)sin (sin 4120ββπμ-=d

I

B

A 点的磁感应强度

)))90sin(90(sin sin 40000θθ

πμ--+=a I

B

)5.01(2

/3100.220103

7

+???=--B =1.73?10-3T 方向垂直纸面向外。

10-8 一根无限长直导线弯成如图所示形状，通以电流I ，求O 点的磁感应强度. 解：图所示形状，为圆弧电流和两半无限长直载流导线的磁场叠加。

圆电流的中心的 π

?

μ220R I B =

半无限长直载流导线的磁场 a

I

B πμ40=

8320

R I B μ=+R I πμ20＝)38(160ππμ+=R I

B 方向垂直纸面向外。

10-9 如图所示，宽度为a 的薄长金属板中通有电流I ，电流沿薄板宽度方向均匀分布.求在薄板所在平面内距板的边缘为x 的P 点处的磁感应强度. 解：取离P 点为y 宽度为d y 的无限长载流细条

y a

I i d d = 长载流细条在P 点产生的磁感应强度

y i B π=2d d 0μy y

I πα=2d 0μ 所有载流长条在P 点产生的磁感强度的方向都相同，方向垂直纸面向外. 所以

=

=?

B B d y dy I

x

a x

?

+πα

20μx

x

a a I +π=ln 20μ 方向垂直纸面向外.

习题10-7图 d 习题10-8图 习题10-9图

y

10-10 如图所示，半径为R 的圆盘上均匀分布着电荷，面密度为＋σ，当这圆盘以角速度ω绕中心垂轴旋转时，求轴线上距圆盘中心O 为x 处的P 点的磁感应强度.

解：在圆盘上取一半径为r ，宽度为d r 的环带，此环带所带电荷

r r q d 2d π?=σ． 此环带转动相当于一圆电流，其电流大小为 π=2/d d q I ω

它在x 处产生的磁感强度为

2/32220)(2d d x r I r B +=μr x r r d )(22

/3223

0+?=σωμ

故P 点处总的磁感强度大小为：

?+=R r x r r B 02/3223

0d )(2σωμ)2)(2(22/122220x x R x R -++=σωμ 方向沿x 轴方向.

10-11 半径为R 的均匀带电细圆环，单位长度上所带电量为λ，以每秒n 转绕通过环心，并与环面垂直的转轴匀速转动.求：(1)轴上任一点处的磁感应强度值；(2)圆环的磁矩值.

解：(1) n R I λπ2=

2

/322

3

0)

(y R nR B B y +=

=λπμ

B

的方向为y 轴正向

(2) j R n j I R p m 3

222πλπ==

10-12 已知磁感应强度0.2=B Wb ·m -2

的均匀磁场，方向沿x 轴正方向，如题

10-12图所示．试求：(1)通过图中abcd 面的磁通量；(2)通过图中befc 面的磁通量；(3)通过图中aefd 面的磁通量． 解： 如题10-12图所示

题10-12图

(1)通过abcd 面积1S 的磁通是

24.04.03.00.211=??=?=S B

ΦWb

y O

R

ω

习题10-10图

(2)通过befc 面积2S 的磁通量

022=?=S B

Φ

(3)通过aefd 面积3S 的磁通量

24.054

5.03.02cos 5.03.0233=???=θ???=?=S B ΦWb (或曰24.0-Wb )

10-13 两平行长直导线，相距0.4 m ，每根导线载有电流I 1＝I 2＝20 A ，如图所示，试计算通过图中斜线部分面积的磁通量. 解：如图取面微元 l d x=0.20dx

Bldx S d B d m =?=Φ

)(222

010x d I x I B -+=πμπμ

方向垂直纸面向外.

ldx x d I x I d m m ??-+=Φ=Φ30.010.02

010))

(22(πμπμ

30.040.010

.040.0ln

210.030.0ln 22010--+=πμπμl I l I =2.26?10-6Wb

10-14长直同轴电缆由一根圆柱形导线外套同轴圆筒形导体组成，尺寸如图所示.电缆中的电流从中心导线流出，由外面导体圆筒流回.设电流均匀分布，内圆柱与外圆筒之间可作真空处理，求磁感应强度的分布.

解： ?∑μ=?L

I l B 0d

(1)a r < 22

02R

Ir r B μπ=

2

02R

Ir

B πμ=

(2) b r a << I r B 02μπ=

r

I

B πμ20=

(3)c r b << I b

c b r I r B 02

2

2

202μμπ+---= )

(2)

(2

2220b c r r c I B --=πμ 习题10-13图 x

dx d

(4)c

r>0

2=

r

Bπ

=

B

题10-14图习题10-15图

10-15如图所示，一截面为长方形的闭合绕线环，通有电流I＝1.7 A，总匝数N ＝1000 匝，外直径与内直径之比为η＝1.6，高h＝5.0 cm.求：(1)绕线环内的磁感应强度分布；(2)通过截面的磁通量.

解：(1) 环内取一同心积分回路

NI

rB

Bdl

l d

B

2μ

π=

=

=

??

?

r

NI

B

π

μ

2

=

方向为右螺旋

(2) 取面微元h dr

Bhdr

S d

B

d

m

=

?

=

Φ

通过截面的磁通量. ?

?=

?

=

Φ2

12

R

R

m

hdr

r

NI

S d

B

π

μ

η

π

μ

π

μ

ln

2

ln

2

1

2

NIh

R

R

NIh

m

=

=

Φ=8.0?10-6Wb

10-16一根m＝1.0 kg的铜棒静止在两根相距为l＝1.0 m的水平导轨上，棒载有电流I＝50 A，如图所示.(1)如果导轨光滑，均匀磁场的磁感应强度B垂直回路平面向上，且B＝0.5 T，欲保持其静止，须加怎样的力(大小与方向)？(2)如果导轨与铜棒间静摩擦系数0.6，求能使棒滑动的最小磁感应强度B.

解：(1)导线ab中流过电流I，受安培力

IlB

F=

1

方向水平向右,如图所示

欲保持导线静止，则必须加力

2

F

，

1

2

F

F=

2

F

方向与

1

F

相反，即水平向左，

5.0

10

20

1

2

?

?

=

=

=IlB

F

F =25N

(2) F1-μmg=m a

F1-μmg≥0

Il

mg

B

μ

==

0.1

50

8.9

0.1

6.0

?

?

?

0.12T

习题10-16图

a

b

I

l

F2F1

10-17 如题10-17图所示，在长直导线AB 内通以电流1I =20A ，在矩形线圈CDEF 中通有电流2I =10 A ，AB 与线圈共面，且CD ，EF 都与AB 平行．已知

a =9.0cm,

b =20.0cm,d =1.0 cm ，求：

(1)导线AB 的磁场对矩形线圈每边所作用的力；

(2)矩形线圈所受合力和合力矩．

解：(1)CD F

方向垂直CD 向左，大小

41

02100.82-?==d

I b

I F CD πμ N 同理FE F

方向垂直FE 向右，大小

51

02100.8)

(2-?=+=a d I b

I F FE πμ N

CF F

方向垂直CF 向上，大小为

?

+-?=+πμ=πμ=a

d d

CF d

a

d I I r r I I F 5210210102.9ln 2d 2 N ED F

方向垂直ED 向下，大小为

5

102.9-?==CF ED F F N

(2)合力ED CF FE CD F F F F F

+++=方向向左，大小为

4102.7-?=F N

合力矩B P M m

?=

∵ 线圈与导线共面

∴ B P m

//

0=M

．

题10-17图

题10-18图

10-18 边长为l =0.1m 的正三角形线圈放在磁感应强度B =1T 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向平行.如题10-18图所示，使线圈通以电流I =10A ，求： (1) 线圈每边所受的安培力； (2) 对O O '轴的磁力矩大小；

(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功．

解： (1) 0=?=B l I F bc

B l I F ab

?= 方向⊥纸面向外，大小为

866.0120sin ==?IlB F ab N

B l I F ca

?=方向⊥纸面向里，大小

866.0120sin ==?IlB F ca N

(2)IS P m =

B P M m

?= 沿O O '方向，大小为

22

1033.44

3-?===B l I ISB M m N ?

(3)磁力功 )(12ΦΦ-=I A

∵ 01=Φ B l 2

24

3=Φ ∴ 22

1033.44

3-?==B l I

A J

10-19 横截面积S ＝2.0 mm 2的铜线，密度ρ＝8.9×103 kg·m －3，弯成正方形的三边，可以绕水平轴OO ′转动，如图所示.均匀磁场方向向上，当导线中通有电流I ＝10 A ，导线AD 段和BC 段与竖直方向的夹角θ＝15°时处于平衡状态，求磁感应强度B 的量值.

解：在平衡的情况下，必须满足线框的重力矩与线框所受的磁力矩平衡(对OO ＇轴而言)． 设正方形的边长为a , 则重力矩

θρθρsin sin 2

1

21gSa a a gS a M +?=

θρsin 22g Sa =

磁力矩 θθcos )2

1

sin(222B Ia BIa M =-π=

平衡时 21M M =

所以 θρsin 22g Sa θcos 2B Ia = 31035.9/tg 2-?≈=I g S B θρ T

10-20 塑料圆环盘，内外半径分别为a 和R ，如图所示.均匀带电＋q ，令此盘以ω绕过环心O 处的垂直轴匀角速转动.求：(1)环心O 处的磁感应强度B ；(2)若施加一均匀外磁场，其磁感应强度B 平行于环盘平面，计算圆环受到的磁力矩. 解：(1) 取一r →r r d +圆环，

环上电荷 r r q d 2d π=σ 环电流 r r I d d ωσ=

圆环电流的中心的 r

dI

dB 20μ=

dr dB 2

0σω

μ=

dr B R

a

2

0σω

μ?

=)()

(22

20a R a R q --=

πω

μ)

(20a R q +=

πω

μ

(2) 圆环r →r r d +磁矩大小为

I r p m d d 2π=r r r d 2σωπ=

r B r M R a d 3σωπ=?)(22a R B q +4

1

=ω

10-21 一电子具有速度 v ＝(2.0×106i ＋3.0×106j ) m·s －1，进入磁场B ＝(0.03i －0.15j ) T 中，求作用在电子上的洛伦兹力.

解：)(B q F ?=υ

610)15.003.0()0.30.2(?-?+=j i j i q F

N k j k k F

-1413106.0810)09.030.0(6.1?-=?--?=-

10-22 一质子以v ＝(2.0×105i ＋3.0×105j ) m·s －1的速度射入磁感应强度B ＝0.08i T 的均匀磁场中，求这质子作螺线运动的半径和螺距(质子质量m p ＝1.67×10－27 kg).

解：半径:qB

m R ⊥=υ 08.0106.1100.31067.119

527?????=--=3.91?10-2

m qB

m v R T ππ22==⊥

螺距:qB

m v T v h π2////?== 08.0106.11067.114.32100.219

275

???????=--=0.164m

习题10-20图