2013年全国初中数学联合竞赛试题及解析

2013年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1.计算=（ ）

（A 1 （B ）1 （C （D ）2

2.满足等式()

22

21m m m ---=的所有实数m 的和为（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=，ABC ∠的平分线交圆O 于点

D ，若CD =，则AB=（ ）

（A ）2 （B （C ）（D ）3

4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数角（x,y ）的组数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

5矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在线段BC 上，且BF ：FC=1：2， AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=（ ）

（A （B （C （D

6.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为（ ） （A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++=

2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3

(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 3.在ABC 中，60,75,10A C AB ∠=∠==，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，CA 上，则DEF 的周长最小值为

4.如果实数,,x y z 满足()2228x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z z x ---的最大值，则A 的最大值为

第二试（A ）

一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2

2222

23236,a c b d ad bc +=+=-=求

()()2

222a

b c d ++的值。

二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆O 上，过点B 、C 作圆O 的切线，交于点P ，连AC ，若92OP AC =，求PB AC

的值。

三、（本题满分25分）已知t 是一元二次方程2

10x x +-=的一个根，若正整数,,a b m 使得等式()()31at m bt m m ++=成立，求ab 的值。

第二试（B ）

一、 （本题满分20分）已知1t =，若正整数,,a b m 使得等式()()17at m bt m m ++=成立，求ab 的值。

二、（本题满分25分）在ABC ?中，AB>AC ，O 、I 分别是ABC ?的外心和内心，且满足AB-AC=2OI 。求证： （1）OI ∥BC ；

（2）2AOC AOB AOI S S S ???-=。

三、（本题满分25分）若正数,,a b c 满足

222

2222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ??????+-+-+-++= ? ? ???????

，

求代数式222222222

222b c a c a b a b c bc ca ab

+-+-+-++的值。

2013年全国初中数学联合竞赛试题解析

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1.计算=（B ）

（A 1 （B ）1 （C （D ）2

2.满足等式()

22

21m m m ---=的所有实数m 的和为（A ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=，ABC ∠的平分线交圆O 于点

D ，若CD =，则AB=（A ）

（A ）2 （B （C ）（D ）3

4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数角（x,y ）的组数为（B ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

5矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在线段BC 上，且BF ：FC=1：2， AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=（C ）

（A （B （C （D

6.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为（B ） （A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++= 4

2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 8

3.在ABC 中，60,75,10A C AB ∠=∠==，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，CA 上，则DEF

的周长最小值为

4.如果实数,,x y z 满足()2228x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z z x ---的

最大值，则A 的最大值为

第二试（A ）

一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2

2222

23236,a c b d ad bc +=+=-=求

()()2

222a

b c d ++的值。

解：设2222

,m a b n c d =+=+，则2

2

2

2

23223312.m n a b c d +=+++= 因为()()2

2

23232424m n m n mn mn +=-+≥，即2

1224mn ≥，所以

6mn ≤………………………………………………………………………

…○1

又因为()()222

222222222mn a b

c

d a c b d a d b c =++=+++

()()()2

2

2

6ac bd ad bc ad bc =++-≥-=……………………………

…○2

由○1，○2可得 6.mn =即()()222

26a b

c

d ++=

注：符合条件的实数,,,a b c d

存在且不唯一，

1,

33

a b c d

====-就是一组。

二、（本题满分25分）已知点C在以AB为直径的圆O上，过点B、C作圆O的切线，交于点P，连AC，若

9

2

OP AC

=，求

PB

AC

的值。

解：连OC，因为PC，PB为圆O的切线，所以∠POC=∠POB。

又因为OA=OC，所以∠OCA=∠OAC。

又因为∠COB=∠OCA+∠OAC，所以2∠POB=2∠OAC，所以∠POB=∠OAC，所以OP∥AC。

又∠POB=∠OAC，所以BAC POB，所以

AC AB

OB OP

=。

又

9

2

OP AC

=，AB=2r，OB=r（r为圆O的半径），代入可求得

OP=3r,AC=

2

3

r.

在Rt POB

中，由勾股定理可求得PB==。

所以

2

3

PB

AC r

==

三、（本题满分25分）已知t是一元二次方程210

x x

+-=的一个根，若正整数,,

a b m使得等式()()31

at m bt m m

++=成立，求ab的值。

解：因为t是一元二次方程210

x x

+-=的一个根，显然t是无理数，且21

t t

=-。

等式()()31

at m bt m m

++=即()

2231

abt m a b t m m

+++=，

即()()2

131

ab t m a b t m m

-+++=，即()()

2310.

m a b ab t ab m m

+-++-=

??

??

因为,,

a b m是正整数，t是无理数，所以

()

2

0,

310,

m a b ab

ab m m

?+-=

?

?

+-=

??

于是可得

2

31,

31.

a b m

ab m m

+=-

?

?

=-

?

因此，,a b是关于x的一元二次方程()

22

31310

x m x m m

+-+-=的两个整数根，该方程的判别式()()()()

22

31431313150.

m m m m m

?=---=--≥

又因为,a b是正整数，所以310

a b m

+=->，从而可得

31

0.

5

m

<≤

又因为判别式?是一个完全平方数，验证可知，只有6

m=符合要求。

把6

m=代入可得2

31150.

ab m m

=-=

第二试（B ）

一、 （本题满分20分）

已知1t =，若正整数,,a b m 使得等式()()17at m bt m m ++=成立，求ab 的值。

解：因为1t =

，所以2

3t =-

等式()()17at m bt m m ++=即()2217,abt m a b t m m +++=

即((

)

)

23117ab m a b m m -+++=，

整理得(

)()223170m a b ab ab m a b m m ??+--++-=??????

于是可得()2

217,

17.

a b m ab m m ?+=-??

=-?? 因此，,a b 是关于x 的一元二次方程2

2

2(17)170x m x m m +-+-=……○1的两个整数根，

方程○1的判别式()(

)()()2

2

4174174171720.m m m

m m ?=---=--≥

又因为,,a b m 是正整数，所以()2170a b m +=->，从而可得17

02

m <≤ 又因为判别式?是一个完全平方数，验证可知，只有8m =符合要求， 把8m =代入得2

1772ab m m =-=。

二、（本题满分25分）在ABC ?中，AB>AC ，O 、I 分别是ABC ?的外心和内心，且满足AB-AC=2OI 。求证：

（1）OI ∥BC ；

（2）2AOC AOB AOI S S S ???-=。

证明（1）作OM ⊥BC 于M ，IN ⊥BC 于N 。 设BC=a ，AC=b ，AB=c 。 易求得CM=

12a ，CN=()12a b c +-，所以MN=CM-CN=()1

2

c b -=OI ， 又MN 恰好是两条平行线OM ，IN 之间的垂线段，所以OI 也是两条平行线OM ，IN

之间的

垂线段，所以OI ∥MN ，所以OI ∥BC 。

（2）由（1）知OMNI 是矩形，连接BI ，CI ，设OM=IN=r （即为ABC ?的内切圆半径），则

()()

1111

222222

1122.

22AOC

AOB

AOI

COI

AIC

AIB

AOI

BOI

AOI

BOI

COI

AIC

AIB AOI

AOI

AOI

S

S

S

S

S

S

S

S

S S

S

S

S

S OI r OI r AC r AB r S

r OI b c S

-=++---=+++-=+??+??+??-???

?=+?+-= ??

? 三

、（本

题满分

25分）

若正数

,,a b c

满足

2

2

2

2222222223

222b c a c a b a b c bc ca ab ??????

+-+-+-++= ? ? ???????

，求代

数式

222222222

222b c a c a b a b c bc ca ab

+-+-+-++的值。

解：由于,,a b c 具有轮换对称性，不妨设0.a b c <≤≤ （1）若c a b >+，则0,0c a b c b a ->>->>，从而得：

()2

2

222

11,22c b a b c a bc bc

--+-=+

> ()2

2

222

11,22c a b c a b ca ca

--+-=+

> ()2

22

2

2

11,22a b c a b a

ab ab

+-+-=-<-

所以222

2222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ??????+-+-+-++> ? ? ???????

，与已知条件矛盾。

（2）若c a b <+，则0,0c a b c b a ≤-<≤-<，从而可得：

()2

2

222

011,22c b a b c a bc bc

--+-<=+

< ()2

2

222

011,22c a b c a b ca ca

--+-<=+

< ()2

2

222

011,22a b c a b c ab ab

--+-<=+

<

()2

2

22211,22a b c

a b a ab ab

+-+-=->-

所以222

2222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ??????+-+-+-++< ? ? ???????

，与已知条件矛盾。

综合（1）（2）可知：一定有.c a b =+

于是可得

222222222

1,1,1222b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-===- 所以

222222222

1.222b c a c a b a b c bc ca ab

+-+-+-++=